专题 4.3 应用导数研究函数的极值、最值
【考纲解读与核心素养】
1.了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上
函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.
2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.
3. 高考预测：
（1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函
数与方程、函数的图象相结合；
（2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较强.
其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性．
（3）以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象等
相结合，且有综合化更强的趋势．
（4）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；
（5）适度关注生活中的优化问题.
4.备考重点：
（1）熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；
（2）熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论
思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.
【知识清单】
1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点 x＝a 附近
的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0，则点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点 x＝b 附
近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，则点 b 叫做函数 y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在[a，b]上单
调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．【典例剖析】
高频考点一 ：函数极值的辨析
【典例 1】（2020·江苏高二期末）已知函数 的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． 是函数 的极小值点
B． 是函数 的极小值点
C．函数 在区间 上单调递增
D．函数 在 处切线的斜率小于零
【答案】BC
【解析】
由图象得 时， ， 时， ，
故 在 单调递减，在 单调递增，
故 是函数 的极小值点，
故选：BC．
【典例 2】（2020·山东高二期中）【多选题】已知函数 ，则（ ）
A． 时， 的图象位于 轴下方
B． 有且仅有一个极值点
C． 有且仅有两个极值点
D． 在区间 上有最大值
【答案】AB
【解析】
( )y f x=
1− ( )f x
3− ( )f x
( )f x ( )3,1−
( )f x 0x =
3x < − ( ) 0f x′ < 3x > − ( ) 0f x′
( )f x ( , 3)−∞ − ( 3, )− +∞
3x = − ( )f x
( )
ln
xef x x
=
( )0,1x∈ ( )f x x
( )f x
( )f x
( )f x ( )1,2由题,函数 满足 ,故函数的定义域为
由 当 时 ，
所以 ，则 的图象都在轴的下方，所以 A 正确；
又 ，在令 则 ，故
函数 单调递增，则函数 只有一个根 使得
当 时 函数单调递減 ，当 时，函数单调递增，
所以函数只有极值点且为极小值点，所以 B 正确，C 不正确；
又 所以函数在 先减后增，没有最大值，所以 D 不正确.
故选：AB.
【总结提升】
1.函数极值的辨析问题，特别是有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是 f(x)的图象还是 f ′(x)的图
象，若给的是 f(x)的图象，应先找出 f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是 f ′(x)的图象，应先找出 f ′(x)
的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．
2.f(x)在 x＝x0 处有极值时，一定有 f ′(x0)＝0，f(x0)可能为极大值，也可能为极小值，应检验 f(x)在 x＝x0 两
侧的符号后才可下结论；若 f ′(x0)＝0，则 f(x)未必在 x＝x0 处取得极值，只有确认 x1
( )g x ( ) 0f x′ = 0 ,x ( )0 0 ,f x′ =
( )00,x x∈ , ( ) 0 ,f x′ < ( )0 ,x x∈ +∞
1(1) 1 0, (2) ln 2 0,2g g= − < = − > (1,2)结合图象得 和 的图象有交点，∴方程 有解，由此根据函数的单调性
和极值的关系得到：函数 既有极大值，又有极小值具有极大值，也有极小值，故选 C.
2.设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f ′(x)，且函数 y＝(1－x)f ′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立
的是( D )
A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)
B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1)
C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2)
D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
【答案】D
【解析】由函数的图象可知，f ′(－2)＝0，f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，并且当 x＜－2 时，f ′(x)＞0，当－2＜x＜1，
f ′(x)＜0，函数 f(x)有极大值 f(－2)．
又当 1＜x＜2 时，f ′(x)＜0，当 x＞2 时，f ′(x)＞0，故函数 f(x)有极小值 f(2)．
故选 D．
【易错提醒】
（1）可导函数 y＝f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f ′(x0)＝0，且在 x0 左侧与右侧 f ′(x)的符号不
同；
（2）若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
高频考点二：已知函数求极值点的个数
【典例 3】（2019·河南高考模拟（文））已知函数 .
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 的极值点个数.
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
（1）依题意， ，故 ，
又 ，故所求切线方程为 .
（2）依题意 .
令 ，则 ，且当 时， 当 时， ，
所以函数 在 单调递减，在 单调递增， ，
当 时， 恒成立， .
函数 在区间 单调递增， 无极值点；
当 时， ，
故存在 和 ，使得 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，所以函数 在 单调递减，在 和 单调递增，所以 为
函数 的极大值点， 为函数 的极小值点.
综上所述，当 时， 无极值点；当 时， 有 个极值点.
【易错提醒】
极值点处的导数为 0，而导数为 0 的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．
( ) lnx
af x xe
= +
a e= ( )y f x= (1, (1))f
( )f x
1 0y − =
( ) 1' x
ef x e x
= − + ( )' 1 0f =
( )1 0f = 1 0y − =
( ) 1 1'
x x
x x x
a e ax ef x ae x xe e x
−= − + = = −
( ) xem x x
= ( ) ( )
2
1'
xx em x x
−= 0 1x< < ( )' 0m x < 1x > ( )' 0m x >
( )m x ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) ( )min 1m x m e∴ = =
a e≤ ( )m x a≥ ( )' 0f x∴ ≥
( )f x ( )0,+∞ ( )f x
a e> ( ) ( )min 1m x m e a= = <
( )1 0,1x ∈ ( )2 1,x ∈ +∞ ( ) ( )1 1m x m x a= =
10 x x< < ( )' 0f x >
1 2x x x< < ( )' 0f x <
2x x> ( )' 0f x > ( )f x ( )1 2,x x ( )10, x ( )2 ,x +∞ 1x
( )f x 2x ( )f x
a e≤ ( )f x a e> ( )f x 2【变式探究】
（2018·全国高考模拟（理））设 ，则函数
A．仅有一个极小值 B．仅有一个极大值
C．有无数个极值 D．没有极值
【答案】A
【解析】
，得 .
设 ，则 .
即 为增函数，且 .
所以当 ,则 单调递减；
当 ,则 单调递增，
且 .
所以函数 仅有一个极小值 .
故选 A.
高频考点三：已知函数求极值（点）
【典例 4】（2017·山东高考真题（文））已知函数 .
(I)当 a=2 时,求曲线 在点 处的切线方程；
(II)设函数 ,讨论 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析.
【解析】
（Ⅰ）由题意 ，
所以，当 时， ， ，
所以 ，
因此，曲线 在点 处的切线方程是 ，
即 .
( ) 3 21 1 ,3 2f x x ax a R= − ∈
( )y f x= ( )( )3, 3f
( ) ( ) ( )cos sing x f x x a x x= + − − ( )g x
3 9 0x y− − =
( ) 2f x x ax′ = −
2a = ( )3 0f = ( ) 2 2f x x x′ = −
( )3 3f ′ =
( )y f x= ( )( )3, 3f ( )3 3y x= −
3 9 0x y− − =（Ⅱ）因为 ，
所以 ，
，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，
所以，当 时， ；当 时， .
（1）当 时， ，
当 时， ， ， 单调递增；
当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增.
所以当 时 取到极大值，极大值是 ，
当 时 取到极小值，极小值是 .
（2）当 时， ，
当 时， ， 单调递增；
所以 在 上单调递增， 无极大值也无极小值.
（3）当 时， ，
当 时， ， ， 单调递增；
当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增.
( ) ( ) ( )cos sing x f x x a x x= + − −
( ) ( ) ( )cos sin cosg x f x x x a x x= + − − −′ ′
( ) ( )sinx x a x a x= − − −
( )( )sinx a x x= − −
( ) sinh x x x= −
( ) 1 cos 0h x x=′ − ≥
( )h x R
( )0 0h =
0x > ( ) 0h x > 0x < ( ) 0h x <
0a < ( ) ( )( )sing x x a x x−′ = −
( ),x a∈ −∞ 0x a− < ( ) 0g x′ > ( )g x
( ),0x a∈ 0x a− > ( ) 0g x′ < ( )g x
( )0,x∈ +∞ 0x a− > ( ) 0g x′ > ( )g x
x a= ( )g x ( ) 31 sin6g a a a= − −
0x = ( )g x ( )0g a= −
0a = ( ) ( )sing x x x x−′ =
( ),x∈ −∞ +∞ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x
( )g x ( ),−∞ +∞ ( )g x
0a > ( ) ( )( )sing x x a x x−′ = −
( ),0x∈ −∞ 0x a− < ( ) 0g x′ > ( )g x
( )0,x a∈ 0x a− < ( ) 0g x′ < ( )g x
( ),x a∈ +∞ 0x a− > ( ) 0g x′ > ( )g x所以当 时 取到极大值，极大值是 ；
当 时 取到极小值，极小值是 .
综上所述：
当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，函数既有极大值，又有极
小值，极大值是 ，极小值是 ；
当 时，函数 在 上单调递增，无极值；
当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，函数既有极大值，又有极
小值，极大值是 ，极小值是 .
【规律方法】
(1)求函数 f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数 f′(x)；③解方程 f′(x)＝0,求出函数定义
域内的所有根；④检验 f′(x)在 f′(x)＝0 的根 x0 左右两侧值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在 x0 处取
极大值,如果左负右正,那么 f(x)在 x0 处取极小值．
(2)若函数 y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么 y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数
没有极值．
【变式探究】（2020·山东高二月考）已知 是 的极小值点，那么函数
的极大值为______.
【答案】
【解析】
函数 的导数 ，
由题意得， ，即 ，解得 ．
， ，
，得 或 ，即函数 在 和 上单调递增；
，得 ，函数 在 上单调递减；
故 在 处取极小值， 处取极大值，且为 ．
0x = ( )g x ( )0g a= −
x a= ( )g x ( ) 31 sin6g a a a= − −
0a < ( )g x ( ),a−∞ ( )0,+∞ ( ),0a
( ) 31 sin6g a a a= − − ( )0g a= −
0a = ( )g x ( ),−∞ +∞
0a > ( )g x ( ),0−∞ ( ),a +∞ ( )0,a
( )0g a= − ( ) 31 sin6g a a a= − −
2x = ( ) 3 3 2f x x ax= − +
( )f x
18
3( ) 3 2f x x ax= − + 2( ) 3 3f x x a′ = −
( )2 0f ′ = 12 3 0a− = 4a =
3( ) 12 2f x x x∴ = − + 2( ) 3 12 3( 2)( 2)f x x x x∴ ′ = − = − +
( ) 0f x′ > 2x > 2x < − ( )f x ( ), 2−∞ − ( )2,+∞
( ) 0f x′ < 2 2x− < < ( )f x ( )2,2−
( )f x 2x = 2x = − ( )2 8 24 2 18f − = − + + =即
故答案为： ．
高频考点四：已知极值(点)，求参数的值或取值范围
【典例 5】（2018·北京高考真题（文））设函数 .
（Ⅰ）若曲线 在点 处的切线斜率为 0，求 a；
（Ⅱ）若 在 处取得极小值，求 a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）因为 ，
所以 .
，
由题设知 ，即 ，解得 .
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得 .
若 a>1，则当 时， ；
当 时， .
所以 在 x=1 处取得极小值.
若 ，则当 时， ，
所以 .
所以 1 不是 的极小值点.
综上可知，a 的取值范围是 .
方法二： .
（1）当 a=0 时，令 得 x=1.
随 x 的变化情况如下表：
x 1
( ) 18f x =
极大值
18+ 0 −
↗ 极大值 ↘
∴ 在 x=1 处取得极大值，不合题意.
（2）当 a>0 时，令 得 .
①当 ，即 a=1 时， ，
∴ 在 上单调递增，
∴ 无极值，不合题意.
②当 ，即 01 满足题意.
（3）当 a
( )f x [0, ]3
π
[ , ]3
π π
3x
π=
min
3( ) 6 2f x
π= −
( ) ( )0 0, 2f f
ππ= = max( ) 2f x
π=
3
6 2
π −
2
π
( )
1
x xf x e tx
= + −
( ) 0t = ( )f x
( ) 0t < ( )f x 1,t
+∞
1 1
0t = ( ) xf x e x= − ( ) 1xf x e′⇒ = −
∴ 0x > ( ) 0f x′ > 0x < ( ) 0f x′ <
( )f x∴ ( ),0−∞ ( )0, ∞+
∴ 0x = ( )f x ( )0 1f =
( ) 2 2
1 1
( 1) ( 1)
x xtx txf x e etx tx
− −′ = + = −− −
( ) 0f x′ = ( )21 xtx e−− =
( )21y tx= − xy e−=由图象可知当 时，
，即
当 时，
，即
在 上单调递减，在 上单调递增
的最小值为
高频考点六：根据函数的最值求参数的值（范围）
【典例 8】（2020 届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知函数 ，其
中 ， ，记 为 的最小值，则当 时， 的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
函数 ，
导数 ，
当 时， ， 在 递增，可得 取得最小值，
且为 ，由题意可得 方程有解；
当 时，由 ，可得 (负的舍去)，
1 0xt
< < 2( 1) 0xe tx− > − >
2
1
( 1)
xe tx
∴ < − ( ) 0f x′ <
0x > 2( 1) 0xtx e−− > >
2
1
( 1)
xe tx
∴ > − ( ) 0f x′ >
( )f x∴ 1,0t
( )0, ∞+
( )f x∴ ( )0 1f =
( ) [ )2 ,bf x x a x ax
= + + ∈ +∞，
0a > b R∈ ( ),m a b ( )f x ( ), 4M a b = b
( )2−∞，
( ) [2 )bf x x a x ax
+ + ∈ + ∞＝ ， ，
( ) 2
21 bf x x
′ −＝
0b ≤ ( ) 0f x′ ＞ ( )f x [ )x a∈ + ∞， ( )f a
22 ba a
+ 22 4 0 0ba a ba
+ ≤＝ ， ＞ ，
0b＞ ( ) 2
21 0bf x x
′ −＝ ＝ 2x b＝当 时， ， 在 递增，可得 为最小值，
且有 ，方程有解；
当 时， 在 递减，在 递增，
可得 为最小值，且有 ，即 ，解得 .
综上可得 的取值范围是 .
故答案为： .
【易错提醒】
1．由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，
需注意是否分类讨论．
2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们
的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
【变式探究】
（2019·北京高考模拟（文））设函数 若 ，则 的最小值为__________；
若 有最小值，则实数 的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
（1）当 a=1, , = ( )= ( )>0,1>x>ln2;
( )
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