专题 5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数
【考纲解读与核心素养】
1.了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.
2. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.
3．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.
4.高考预测：
（1）三角函数的定义；
（2）扇形的面积、弧长及圆心角；
（3）在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二
是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．
5.备考重点：
(1) 理解三角函数的定义；
(2) 掌握扇形的弧长及面积计算公式.
【知识清单】
知识点 1．象限角及终边相同的角
1．（1）任意角的分类：
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
(2)终边相同的角：
终边与角 α 相同的角可写成 α＋k·360°(k∈Z)．
2.弧度制：
①1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l
r，l 是以角 α 作为圆心角时
所对圆弧的长，r 为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值l
r与所取的 r 的大小无关，仅与角的大小有关．
3.弧度与角度的换算：360°＝2π 弧度；180°＝π 弧度．
若一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则 α rad＝(180α
π )°，n°＝n· π
180 rad．
知识点 2．三角函数的定义
1.任意角的三角函数定义：设 α 是一个任意角，角 α 的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么
（1）点 P 的纵坐标叫角 α 的正弦函数，记作 sin α＝y；
（2）点 P 的横坐标叫角 α 的余弦函数，记作 cos α＝x；
（3）点 P 的纵坐标与横坐标之比叫角 α 的正切函数，记作 tan α＝y
x.它们都是以角为自变量，以单位圆上点
的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 y＝sinx，x∈R； 余弦函
数 y＝cosx，x∈R； 正切函数 y＝tanx，x≠
π
2＋kπ（k∈Z）．
2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦
知识点 3．扇形的弧长及面积公式
(1)弧长公式
在半径为 r 的圆中，弧长为 l 的弧所对的圆心角大小为 α，则|α|＝l
r，变形可得 l＝|α|r，此公式称为弧长公式，
其中 α 的单位是弧度．
(2)扇形面积公式
由圆心角为 1 rad 的扇形面积为πr2
2π＝1
2r2，而弧长为 l 的扇形的圆心角大小为l
r rad，故其面积为 S＝l
r×r2
2＝1
2
lr，将 l＝|α|r 代入上式可得 S＝1
2lr＝1
2|α|r2，此公式称为扇形面积公式．
(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示
名称 角度制 弧度制
弧长公式 l＝nπr
180 l＝__|α|r__
扇形面积公式 S＝nπr2
360 S＝ |α|
2 r2 ＝ 1
2lr
注意事项
r 是扇形的半径，n 是圆心角的角度
数
r 是扇形的半径，α 是圆心角的弧度
数，l 是弧长
【典例剖析】
高频考点一 象限角及终边相同的角
【典例 1】（2019·乐陵市第一中学高三专题练习）如果 ，那么与 终边相同的角可以表示为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，与 终边相同的角可以表示为 ．
故选 B．
【规律方法】
象限角的两种判断方法
(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
(2)转化法：先将已知角化为 k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角
α，再由角 α 终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
【变式探究】
若角 是第二象限角，试确定 ， 的终边所在位置．
【答案】角 的终边在第三象限或第四象限或 轴的负半轴上, 的终边在第一象限或第三象限.
【解析】∵角 是第二象限角，∴ ，
（1） ，
∴ 角 的终边在第三象限或第四象限或 轴的负半轴上．
（2） ，当 时，
∴ ，
∴ 的终边在第一象限．
当 时，
∴ ，
∴ 的终边在第三象限．
综上所述， 的终边在第一象限或第三象限．
【总结提升】
象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示
(1)象限角：
象限角 集合表示
第一象限角 {α|k·360°
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