2020-2021学年高三数学一轮复习知识点讲解5-2 同角三角函数的基本关系与诱导公式

专题 5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式 【考纲解读与核心素养】 1. 理解同角三角函数的基本关系. 2. 掌握正弦、余弦、正切的诱导公式. 3．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 4.高考预测： （1）公式的应用. （2）高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查方式以小题或在大题中应用为主． 5.备考重点： （1）掌握诱导公式，注意灵活运用诱导公式进行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系； （2）掌握同角三角函数基本关系式，注意同角的三个函数值中 知一求二. 【知识清单】 知识点 1．同角三角函数的基本关系式 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)． (2)商数关系：tan α＝sin α cos α(α ≠ kπ＋π 2，k ∈ Z). 2.对同角三角函数基本关系式的理解 注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系 式都成立，即与角的表达形式无关，如 sin23α＋cos23α＝1 成立，但是 sin2α＋cos2β＝1 就不一定成立． 3．常用的等价变形 sin2α＋cos2α＝1⇒Error! tanα＝sinα cosα⇒Error! 知识点 2．三角函数诱导公式 六组诱导公式 　角 函数　 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α π 2－α π 2＋α 正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan_α tan_α －tan_α －tan_α sin ,cos ,tanθ θ θ对于角“kπ 2 ±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当 k 为奇数时， 正弦变余弦，余弦变正弦；当 k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在 α 的三角函数值前面加上当 α 为锐角时，原函数值的符号” 知识点 3．特殊角的三角函数值（熟记） 【典例剖析】 高频考点一 同角三角函数的基本关系式 【典例 1】【多选题】若 ，且 为锐角，则下列选项中正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】 ，且 为锐角， ，故 正确， ，故 正确， 角 α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 角 α 的 弧度数 sin α cos α tan α 4sin 5 α = α 4tan 3 α = 3cos 5 α = 8cos 5sinα α+ = 1cos 5sinα α− = − 4sin 5 α = α 2 24 3cos 1 1 ( )5 5sinα α∴ = − = − = B 4 sin 45tan 3cos 3 5 αα α∴ = = = A，故 错误， ，故 错误. 故选： . 【典例 2】（2020·金华市江南中学高一月考）已知 =2，则 tanx=____，sinxcosx=____. 【答案】3 【解析】 【分析】 将 =2 左端分子分母同除以 ，得 ，解得 ， . 故答案为： ； 【规律方法】 1.同角三角函数关系式的三种应用方法--“弦切互化法”、““1”的灵活代换法”、“和积转换法” (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现 α 的正弦、余弦的互化，注意 等； (2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平 方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论． 2. 利用 sinα cosα＝tanα 可以实现角 α 的弦切互化． （1）若已知 tanα＝m，求形如asinα＋bcosα csinα＋dcosα(或asin2α＋bcos2α csin2α＋dcos2α)的值，其方法是将分子、分母同除以 cosα(或 cos2α)转化为 tanα 的代数式，再求值，如果先求出 sinα 和 cosα 的值再代入，那么运算量会很大，问题的解 决就会变得繁琐． （2）形如 asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α 通常把分母看作 1，然后用 sin2α＋cos2α 代换，分子、分母同除以 cos2α 再求解． 【变式探究】 1.（2019·北京高考模拟（文））已知 ，且 ，那么 （ ） A． B． C． D． 4 3 7 8sin cos 5 5 5 5 α α∴ + = + = ≠ C 4 3 1 1sin cos 5 5 5 5 α α∴ − = − = ≠ − D AB sin cos sin cos x x x x + − 3 10 sin cos sin cos x x x x + − cos x tan 1 2tan 1 x x + =− tan 3x = 2 2 2 2 sin cos tan 3 3sin cos sin cos tan 1 3 1 10 x x xx x x x x = = = =+ + + 3 3 10 ( )22 21 2 4sin cos sin cos sin cos tan πθ θ θ θ θ θ= + = + − = 3( , )2 2 π πα ∈ tan 2α = sinα = 3 3− 3 6− 3 6 3 3【答案】B 【解析】 因为 ， >0，故 即 ， 又 ， 解得： 故选 ：B 2.（2020·山西平城�高一月考）已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由已知 ． 故选：B． 【总结提升】 在使用开平方关系 sinα＝± 1－cos2α和 cosα＝± 1－sin2α时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据 是角 α 所在的象限，如果角 α 所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果 角 α 所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论． 高频考点二 sinα cosα 与 sinαcosα 的关系及应用 【典例 3】（2019·山东高三期末（理））已知 ， ，则 （ ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】B 【解析】 由题意知， ，① ，即 ， ， 为钝角，， 3( , )2 2 π πα ∈ sintan 2cos αα α= = 3( , )2 πα π∈ sin 2 cosα α= 2 2sin cos 1α α+ = sinα = 3 6− tan 3α = 3sin cos 5cos sin α α α α − =− 2 4 6 8 3sin cos 3tan 1 3 3 1 45cos sin 5 tan 5 3 α α α α α α − − × −= = =− − − ±， ， ，② 由①②解得 ， ，故选 B. 【典例 4】（2020·永州市第四中学高一月考）已知 .试用 k 表示 的值. 【答案】详见解析 【解析】 ， , 当 时， ，此时 ， 当 时， ，此时 . 【规律方法】 和积转换法:利用 的关系进行变形、转 化. 【变式探究】 1.（2018·河北高考模拟（理））已知 ， ，则 的值为( ) 22sin 2sin cos 01 tan 2k α α α παα +  = <