专题 5.3 三角函数的图象与性质
【考纲解读与核心素养】
1. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，了解三角函数的周期性.
2．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.
3.高考预测：
（1） “五点法”作图；
（2）三角函数的性质；
（3）往往将三角恒等变换与三角函数图象、性质结合考查.
4.备考重点：
（1）掌握正弦、余弦、正切函数的图象；
（2）掌握三角函数的周期性、单调性、对称性以及最值.
【知识清单】
知识点 1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
正弦函数 ,余弦函数 ,正切函数 的图象与性质
性质
图象
定义域
值域
最值
当 时 ，
； 当
时 ，
．
当 时， ；
当 时 ，
．
既无最大值，也无最小值
siny x= cosy x= tany x=
siny x= cosy x= tany x=
R R ,2x x k k Z
ππ ≠ + ∈
[ ]1,1− [ ]1,1− R
( )2 2x k k Z
ππ= + ∈
max 1y =
( )2 2x k k Z
ππ= − ∈
min 1y = −
( )2x k k Zπ= ∈ max 1y =
( )2x k k Zπ π= + ∈
min 1y = −周期性
奇偶性 ,奇函数 偶函数 奇函数
单调性
在
上 是 增 函 数 ； 在
上是减函数．
在 上 是
增 函 数 ； 在
上 是 减
函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴 ，既
是中心对称又是轴对称图形.
对称中心
对称轴 ，既是中心
对称又是轴对称图形.
对称中心
无对称轴，是中心对称但不是轴
对称图形.
知识点 2．“五点法”做函数 的图象
“五点法”作图：先列表，令 ，求出对应的五个 的值和五个 值，再根据求出
的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到
在一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数
的图象.
【典例剖析】
高频考点一 三角函数的定义域和值域
【典例 1】（2020·山东高一期末）函数 的定义域为_____．
【答案】
【解析】
解不等式 ，可得 ，
因此，函数 的定义域为 .
2π 2π π
( )sin sinx x− = − ( )cos cosx x− = ( )tan tanx x− = −
( )2 ,22 2k k k Z
π ππ π − + ∈
( )32 ,22 2k k k Z
π ππ π + + ∈
[ ]( )2 ,2k k k Zπ π π− ∈
π
[ ]( )2 ,2k k k Zπ π π+ ∈
( ),2 2k k k Z
π ππ π − + ∈
( )( ),0k k Zπ ∈
( )
2x k k Z
ππ= + ∈
( ),02k k Z
ππ + ∈
( )x k k Zπ= ∈
( ),02
k k Z
π ∈
( )siny A x hω ϕ= + +
30, , , ,22 2x
π πω ϕ π π+ = x y
( )siny A x hω ϕ= + +
( )siny A x hω ϕ= + +
tan 2
xy =
{ }2 ,x x k k Zπ π≠ + ∈
( )
2 2
x k k Z
ππ≠ + ∈ ( )2x k k Zπ π≠ + ∈
tan 2
xy = { }2 ,x x k k Zπ π≠ + ∈故答案为： .
【典例 2】（2017 新课标 2）函数 （ ）的最大值是__________．
【答案】1
【解析】化简三角函数的解析式，则
，由 可得 ，当 时，函数 取得最大值 1．
【规律方法】
1．三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法
(1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；
(2)把所给的三角函数式变换成 y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；
(3)把 sin x 或 cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域；
(4)利用 sin x±cos x 和 sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域．
【变式探究】
1.（2020·上海高三专题练习）函数 的最大值为 2，最小值为 ，则 _________，
_________.
【答案】
【解析】
由已知得 ，解得 .
故答案为： ； .
2.（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域.
（1） ；
（2） .
【答案】（1） ；（2）
【解析】
{ }2 ,x x k k Zπ π≠ + ∈
siny m x n= + 4− m = n =
3± 1−
2
4
m n
m n
+ =− + = −
3
1
m
n
= ±
= −
3± 1−
siny x=
sin cos
tan
x xy x
+=
{ | 2 2 , }x k x k k Zπ π π≤ ≤ + ∈ | ,2
kx x k Zπ ≠ ∈ （1）要使函数有意义，必须使 .
由正弦的定义知， 就是角 的终边与单位圆的交点的纵坐标是非负数.
∴角 的终边应在 轴或其上方区域，
∴ .
∴函数 的定义域为 .
（2）要使函数有意义，必须使 有意义，且 .
∴
∴ .
∴函数 的定义域为 .
【总结提升】
在使用开平方关系 sinα＝± 1－cos2α和 cosα＝± 1－sin2α时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据
是角 α 所在的象限，如果角 α 所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果
角 α 所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．
高频考点二 三角函数的单调性
【典例 3】（2020·海南枫叶国际学校高一期中）函数 = 的部分图像如图所示，则 的单
调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
sin 0x ≥
sin 0x ≥ x
x x
2 2 ,k x k k Zπ π π≤ ≤ + ∈
siny x= { | 2 2 , }x k x k k Zπ π π≤ ≤ + ∈
tan x tan 0x ≠
,( )2x k k Z
x k
ππ
π
≠ + ∈
≠
,2
kx k Zπ≠ ∈
sin cos
tan
x xy x
+= | ,2
kx x k Zπ ≠ ∈
( )f x cos( )xω ϕ+ ( )f x
1 3( , ),4 4k k k Zπ π− + ∈ 1 3(2 ,2 ),4 4k k k Zπ π− + ∈
1 3( , ),4 4k k k Z− + ∈ 1 3(2 ,2 ),4 4k k k Z− + ∈由五点作图知， ，解得 ， ，所以 ，令
，解得 ＜ ＜ ， ，故单调减区间为（ ，
）， ，故选 D.
【典例 4】（2020·河南洛阳�高一期末（理））已知 ， ， 则 ， ， ，
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为 ，且 ，
所以 .
故选： .
【典例 5】（2020·浙江柯城�衢州二中高三其他）已知函数 ，则 的最大值为
________，若 在区间 上是增函数，则 的取值范围是________.
【答案】2
【解析】
因为函数 ，
所以 ，
所以 的最大值为 2，
因为 在区间 上是增函数，
1 +4 2{5 3+4 2
πω ϕ
πω ϕ
=
=
=ω π = 4
πϕ ( ) cos( )4f x x
ππ= +
2 2 ,4k x k k Z
ππ π π π< + < + ∈ 12 4k − x 32 4k + k Z∈ 12 4k −
32 4k + k Z∈
sin33a = ° cos55b = ° tan35c = ° a b c
a b c< < a c b< < b a c< < b c a< <
cos55 sin35 sin33b a= = > = sin35tan35 sin35cos35c = = >
c b a> >
A
( ) ( )2sin 0f x xω ω= > ( )f x
( )f x ,4 3
π π −
ω
30, 2
( ) ( )2sin 0f x xω ω= >
( ) [ ]2sin 2,2ω= ∈ −f x x
( )f x
( )f x ,4 3
π π − 所以 ，
所以 ，
解得 .
故答案为：(1). 2 (2).
【规律方法】
1.求形如 或 (其中 A≠0， )的函数的单调区间，可以通过解不
等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ ( )”视为一个“整体”；②A>0(A
xω ϕ+ 0ω >
siny x= x R∈ cosy x= x R∈
0ω < sin( )y A xω ϕ= − − −
xω ϕ− − xω ϕ− −
ABC A B C> >
2C
π≠
tan tanA C< tan tanA C> sin sin
5 4 3, ,12 12 3 12 4A B C
π π π π π= = = = = 0 2C A
π< < < tan tanA C>若 ，则 ，
，所以 BC 选项错误.
在三角形 中，大角对大边，由于 ，所以 ，由正弦定理得 ①， 是三
角形 外接圆的半径.
由①得 .所以 D 选项正确.
故选：D
2.（2020·河南高一月考） 若 是函数 的零点，
是函数 的对称轴， 在区间 上单调，则 的最大值是
( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为 是函数 的零点， 是函数 的对称轴，
所以 ，即 , ，即 ，即 为正偶数.
因为 在区间 上单调，则 ，即 . .
当 时， ，得 ， ,
，所以 ， ， ，时， ，其中，
，即 在区间 上不单调；
当 时， ，得 ， ,
，所以 ， ， ，时， ，满足
7 4, ,12 12 3 12A B C
π π π π= = = = tan 0 tanA C< <
7 5sin sin sin sin sin12 12 12A C
π π π= = > =
ABC A C> a c> 2 sin 2 sinR A R B> R
ABC
sin sinA C>
π( ) sin( )( 0, ),2f x xω ϕ ω ϕ= + > ≤ π
8x = − ( )f x
π
8x = ( )f x ( )f x π π( , )5 4
ω
14 18 20 22
π
8x = − ( )f x π
8x = ( )f x
2 1
4 4
n T n N ，π+ = ∈ 2 1 2
4 4
n π π
ω
+ = n N∈ 4 2, n n Nω = + ∈ ω
( )f x π π,5 4
π π
4 5 20 2
Tπ− = ≤ 2
10T
π π
ω= ≥ 20ω ≤
18ω = π πsin 18 08 8f ϕ − = × − + =
9 ,4 k k Z
π ϕ π− + = ∈ 9 , 4k k Z
πϕ π= + ∈
π
2
ϕ ≤ π
4
ϕ = ( ) πsin 18 4f x x = +
π π,5 4x ∈
π 77 9518 ,4 20 20x
π π + ∈
90 120 2f f
π π = =
( )f x π π,5 4
14ω = π πsin 14 08 8f ϕ − = × − + =
7 ,4 k k Z
π ϕ π− + = ∈ 7 , 4k k Z
πϕ π= + ∈
π
2
ϕ ≤ π
4
ϕ = − ( ) πsin 14 4f x x = −
π π,5 4x ∈
π 51 6514 ,4 20 20x
π π − ∈
( )f x在区间 上不单调.
故 的最大值是 14.
故选 A.
3.（2019·涡阳县第九中学高一期末（文））已知函数 ．求 的单调增区间；
【答案】 ， .
【解析】
因为 在区间 上单调递增，
所以 ，解得
所以 的单调增区间为 ， .
【总结提升】
1.对正弦函数、余弦函数单调性的两点说明
(1)正弦函数、余弦函数在定义域 R 上均不是单调函数，但存在单调区间．
(2)由正弦函数、余弦函数的最小正周期为 2π，所以任给一个正弦函数、余弦函数的单调区间，加上 2kπ，(k
∈Z)后，仍是单调区间，且单调性相同．
2．对正弦函数、余弦函数最值的三点说明
(1)明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1．
(2)函数 y＝sinx，x∈D，(y＝cosx，x∈D)的最值不一定是 1 或－1，要依赖函数定义域 D 来决定．
(3)形如 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数最值通常利用“整体代换”，即令 ωx＋φ＝Z，将函数转化为 y＝AsinZ
的形式求最值．
3.正切函数单调性的三个关注点
(1)正切函数在定义域上不具有单调性．
(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－π
2，π
2)，(π
2，3
2π)，…上都是增函数．
(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(－π
2，π
2)∪(π
2，3π
2 )∪…上
是增函数．
高频考点三 三角函数的周期性
π π,5 4
ω
( ) 2sin 2 3f x x
π = +
( )f x
5 ,12 12k k
π ππ π − + k Z∈
siny x= 2 , 2 ,2 2k k k Z
π ππ π − + + ∈
2 2 2 ,2 3 2k x k k
π π π− + π ≤ + ≤ + π ∈Z 5 ,12 12k x k k Z
π ππ π− ≤ ≤ + ∈
( )f x 5 ,12 12k k
π ππ π − + k Z∈【典例 6】（2018 年全国卷Ⅲ文）函数 的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由已知得
的最小正周期
故选 C.
【规律方法】
1.求三角函数的周期的方法
（1）定义法：使得当 取定义域内的每一个值时，都有 .利用定义我们可采用取值进行验
证的思路，非常适合选择题；
（2）公式法： 和 的最小正周期都是 ，
的周期为 .要特别注意两个公式不要弄混；
(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够
容易画出函数草图的函数；
(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：
弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如
的周期都是 , 但 的周期为 ，而
， 的周期不变.
2.使用周期公式，必须先将解析式化为 或 的形式；正弦余弦函
数的最小正周期是 ，正切函数的最小正周期公式是 ；注意一定要注意加绝对值.
3.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻
的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.
【变式探究】
x ( ) ( )f x T f x+ =
( ) sin( )f x A xω ϕ= + ( ) cos( )f x A xω ϕ= + 2
| |T
π
ω=
( ) tan( )f x A xω ϕ= + T
π
ω=
xyxy sin,sin 2 == π siny x= cos x+
2
π
1| 2sin(3 ) |, | 2sin(3 ) 2 |6 2 6y x y x
π π= − + = − + | tan |y x=
sin( )y A x hω ϕ= + + cos( )y A x hω ϕ= + +
2T
π
ϖ= T
π
ϖ=已知函数 y＝1
2sinx＋1
2|sinx|．
(1)画出函数的简图；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
【答案】（1）见解析；（2）是，2π.
【解析】
(1)y＝1
2sinx＋1
2|sinx|
＝Error!
函数图象如图所示．
(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔 2π 重复一次，则函数的周期是 2π．
【特别提醒】
最小正周期是指使函数重复出现的自变量 x 要加上的最小正数，是对 x 而言，而不是对ωx 而言．.
高频考点四 三角函数的奇偶性
【典例 7】（2018 届辽宁省丹东市测试（二））设 ，若 ，则函数
A. 是奇函数 B. 的图象关于点 对称
C. 是偶函数 D. 的图象关于直线 对称
【答案】C
【解析】
由题意得 ，
∴ ．
∴
，
∴函数 为偶函数．
故选 C．【规律方法】
1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，
则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求 ；最后比较 和
的关系，如果有 = ，则函数是偶函数，如果有 =- ，则函数是奇函数，否则是非奇
非偶函数.
2. 如何判断函数 的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数 的奇偶
性，常见的结论如下：
(1)若 为偶函数，则有 ;若为奇函数则有 ；
(2)若 为偶函数，则有 ;若为奇函数则有 ；
(3)若 为奇函数则有 .
【变式探究】
（浙江省 2019 届高考模拟卷（二)）函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意得函数 的定义域为 ，
∵ ，
∴函数 为偶函数，
∴函数图象关于 y 轴对称，故排除 C,D．
又当 时， ，
因此可排除 B．
故选 A．
【特别提醒】
利用定义判断与正切函数有关的一些函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看 f(x)的
定义域是否关于原点对称，然后再判断 f(－x)与 f(x)的关系．
高频考点五 三角函数的对称性
( )f x− ( )f x− ( )f x
( )f x− ( )f x ( )f x− ( )f x
( )f xω ϕ+ ( )f xω ϕ+
sin( )y A xω ϕ= + ( )2k k Z
πϕ π= + ∈ ( )k k Zϕ π= ∈
cos( )y A xω ϕ= + ( )k k Zϕ π= ∈ ( )2k k Z
πϕ π= + ∈
tan( )y A xω ϕ= + ( )k k Zϕ π= ∈【典例 8】（2018 年江苏卷）已知函数 的图象关于直线 对称，则 的值是
________．
【答案】
【解析】
由题意可得 ，所以 ，因为 ，所以
【规律方法】
函数的对称性问题，往往先将函数化成 的形式，其图象的对称轴是直线
，凡是该图象与直线 的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数
的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心．
【变式探究】
（2021·广西钦州一中高三开学考试（理））关于函数 有如下四个命题：
① 的图像关于 轴对称.
② 的图像关于原点对称.
③ 的图像关于直线 对称.
④ 的图像关于点 对称.
其中所有真命题的序号是__________.
【答案】①④
【解析】
对于①， 定义域为 ，显然关于原点对称，
且 ，所以 的图象关于 y 轴对称，命题①正确；
对于②， ， ，则 ，所以 的图象不关于原点对称，命题②
sin )y A x Bω ϕ= + +（
)(2 Zkkx ∈+=+ ππϕω By =
( ) 1cos cosf x x x
= +
( )f x y
( )f x
( )f x 2x
π=
( )f x ,02
π
( )f x ,2x x k k Z
π π ≠ + ∈
( ) ( ) ( ) ( )1 1cos coscos cosx xxf x f xx
= − =− + + =− ( )f x
5
3 2f
π =
5
3 2f
π − = 3 3f f
π π − =
( )f x错误；
对③， ， ，则 ，所以 的图象不关于 对称，命题③
错误；
对④， ， ，
则 ，命题④正确.
故答案为：①④.
【特别提醒】
1.求 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)函数的对称轴或对称中心时，应把ωx＋φ作为整体，代入相应的
公式中，解出 x 的值，最后写出结果．
2.正切函数图象的对称中心是(kπ
2 ，0)而非(kπ，0)(k∈Z)．
高频考点六 三角函数的图象和性质的应用
【典例 9】（2018 年理北京卷】设函数 f（x）= ，若 对任意的实数 x 都成立，
则 ω 的最小值为__________．
【答案】
【解析】
因为 对任意的实数 x 都成立，所以 取最大值，所以
，因为 ，所以当 时，ω 取最小值为 .
【典例 10】（2020·上海高三专题练习）函数 的最大值是____，最小值是_________.
【答案】
【解析】
5
3 2f
π =
2 5
3 2f
π = −
2
3 3f f
π π ≠
( )f x 2x
π=
1sin2 sinf x x x
π − = +
1sin2 sinf x x x
π + = − −
2 2f x f x
π π − = − +
3sin 1( ) sin 2
xf x x
−= +
2
3 4−
3(sin 2) 7 7( ) 3sin 2 sin 2
xf x x x
+ −= = −+ +
sin [ 1,1]x Î -
[ ]sin 2 1,3x∴ + ∈即 ，
故答案为： ；
【典例 11】（2020·陕西省汉中中学（理））已知函数 的周期是 .
（1）求 的单调递增区间；
（2）求 在 上的最值及其对应的 的值.
【答案】（1） ；（2）当 时， ；当 时， .
【解析】
（1）解：∵ ,∴ ,
又∵ ,∴ ,∴ ,
∵ , ,
∴ , ,
∴ , ,
∴ 的单调递增区间为
（2）解：∵ ,∴ ,∴ ,
∴ ,
1 1 ,1sin 2 3x
∴ ∈ +
7 77,sin 2 3x
∴− ∈ − − +
7 23 4,sin 2 3x
∴ − ∈ − +
max
2( ) 3f x = min( ) 4f x = −
2
3 4−
( ) 2sin( ) 1( 0)6f x x
πω ω= − − > π
( )f x
( )f x [0, ]2
π x
( ),6 3k k k Z
π ππ π − + + ∈ 0x = ( )min 2f x = −
3x
π= ( )max 1f x =
2T
π πω= = 2ω =
0>ω 2ω = ( ) 2sin 2 16f x x
π = − −
2 2 22 6 2k x k
π π ππ π− + ≤ − ≤ + k Z∈
22 2 23 3k x k
π ππ π− + ≤ ≤ + k Z∈
6 3k x k
π ππ π− + ≤ ≤ + k Z∈
( )f x ( ),6 3k k k Z
π ππ π − + + ∈
0 2x
π≤ ≤ 0 2x≤ ≤ π 526 6 6x
π π π− ≤ − ≤
1 sin 2 12 6x
π − ≤ − ≤ ∴ ,
∴ ,
当 时, ,
当 ,即 时,
【规律方法】
1．求形如 y＝asinx＋b 的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解．
2．对于形如 y＝Asin(ωx＋φ)＋k(Aω≠0)的函数，当定义域为 R 时，值域为[－|A|＋k，|A|＋k]；当定义域为
某个给定的区间时，需确定 ωx＋φ 的范围，结合函数的单调性确定值域．
3．求形如 y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R 的函数的值域或最值时，可以通过换元，令 t＝sinx，将原函数
转化为关于 t 的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性．
4．求形如 y＝asinx＋b
csinx＋d，ac≠0 的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立
关于 y 的不等式反解出 y．
综上可知，求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助于正弦函数的有界性、单调性求
解；
(2)转化为关于 sinx 的二次函数求解．注意求三角函数的最值对应的自变量 x 的值时，要考虑三角函数的周
期性．
【变式探究】
1.（2020·山东潍坊�高一期末）若函数 的最小正周期为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由题意，函数 的最小正周期为 ，
1 2sin 2 26x
π − ≤ − ≤
2 2sin 2 1 16x
π − ≤ − − ≤
0x = ( )min 2f x = −
2 26x ππ− =
3x
π= ( )max 1f x =
( ) tan ( 0)4f x x
πω ω = + >
π
(2) (0) 5f f f
π > > − (0) (2) 5f f f
π > > −
(0) (2)5f f f
π > − > (0) (2)5f f f
π − > >
( ) tan ( 0)4f x x
πω ω = + >
π可得 ，解得 ，即 ，
令 ，即 ，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，
又由 ，
又由 ，所以 .
故选：C.
2.（2020·陕西新城�高三月考（文））设 ，若不等式 对于任意
的 恒成立，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
令 ，则不等式 对 恒成立，因此
3.（浙江省 2019 届高三上期末）设函数
(1)求函数 的最小正周期和单调递增区间；
(2)当 时， 的最大值为 ，求 的值
【答案】(1) 最小正周期 , 为 的单调递增区间；(2) .
【解析】
（1）
则 的最小正周期
当 时， 单调递增
即
的单调递增区间为：
w
π π= 1w = ( ) tan( )4f x x
π= +
,2 4 2k x k k Z
π π ππ π− + < + < + ∈ 3 ,4 4k x k k Z
π ππ π− + < < + ∈
1k = 5
4 4x
π π< < ( )f x 5( , )4 4
π π
4(0) ( ), ( ) ( ) ( )5 5 5f f f f f
π π ππ π= − = − + =
4 25
ππ > > (0) (2)5f f f
π > − >
0a < 2 2cos ( 1)cos 0x a x a− + − + ≥
x∈R a
2a ≤ −
cos [ 1,1]t x= ∈ − 2 2( ) ( 1) 0f t t a t a= − − − ≤ [ 1,1]t ∈ −
2
2
( 1) 0 0 , 0 2(1) 0 2 0
f a a a af a a
− ≤ − ≤ ⇒ < ∴ ≤ − ≤ − − ≤ (2)当 时，
当 ，即 时，
所以
【总结提升】
比较三角函数值大小的步骤：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用
函数的单调性比较大小．
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