2020-2021学年高三数学一轮复习知识点讲解5-4 三角恒等变换

专题 5.4 三角恒等变换 【考纲解读与核心素养】 1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式. 2.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明. 3.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 4.高考预测： （1）和（差）角公式； （2）二倍角公式； （3）和差倍半的三角函数公式的综合应用. （4）对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用（正用、逆用、变用）、计算为主，其中多以与 角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查. 5.备考重点： (1) 掌握和差倍半的三角函数公式； (2) 掌握三角函数恒等变换的常用技巧. 【知识清单】 知识点 1．两角和与差的三角函数公式 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ； S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β； T(α－β)：tan(α－β)＝ tan α－tan β 1＋tan αtan β. 变形公式： tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)； . 函数 f(α)＝acos α＋bsin α(a，b 为常数)，可以化为 f(α)＝ a2＋b2sin(α＋φ)或 f(α)＝ a2＋b2 cos(α－φ)，其中 φ 可由 a，b 的值唯一确定． 知识点 2．二倍角公式 )4sin(2cossin πααα ±=±二倍角的正弦、余弦、正切公式： S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α； C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； T2α：tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α. 变形公式： cos2α＝1＋cos 2α 2 ，sin2α＝1－cos 2α 2 1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 【典例剖析】 高频考点一 两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用 【典例 1】（2020·湖南娄星�高一期末）已知 为锐角，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ∵cos（α ） （α 为锐角）， ∴α 为锐角， ∴sin（α ） ， ∴sinα＝sin[（α ） ]＝sin（α ）cos cos（α ）sin ， 故选 B． 【典例 2】（2020·山东聊城�高一期末）角 的终边与单位圆的交点坐标为 ，将 的终边绕原点顺 时针旋转 ，得到角 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A α 3cos( )6 5 πα + = sinα = 4 3 3 10 + 4 3 3 10 − 3 3 4 10 + 3 3 4 10 − 6 π+ 3 5 = 6 π+ 6 π+ 4 5 = 6 π+ 6 π− 6 π+ 6 π − 6 π+ 6 π 4 3 3 1 4 3 3 5 2 5 2 10 −= × − × = α 3 1( , )2 2 α 3 4 π β cos( )α β+ = 6 2 4 − 6 2 4 + 3 1 4 − 0【解析】 由角 的终边经过点 ，得 ， 因为角 的终边是由角 的终边顺时针旋转 得到的， 所以 ， 故选： . 【典例 3】（2020·广东高一期末）已知函数 f（x）＝sin（ωx+ ）﹣cos（ωx+ ）（0＜ω＜6）的图象关 于直线 x＝1 对称，则满足条件的 ω 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】 因为 ， 由 ， ， 因为 ，所以 ， ， 由题意可得 ， ，得 ， ， 因为 ，所以 或 . 故选：BC. 【规律方法】 1.三角函数求值的两种类型： (1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 2.三角公式化简求值的策略 α 3 1( , )2 2 1 3sin ,cos2 2 α α= = β α 3 4 π 3 3 3 1 2 3 2 2 6sin sin( ) sin cos cos sin ( )4 4 4 2 2 2 2 4 π π πβ α α α − −= − = − = × − − × = 3 3 3 3 2 1 2 2 6cos cos( ) cos cos sin sin ( )4 4 4 2 2 2 2 4 π π πβ α α α −= − = + = × − + × = 3 2 6 1 2 6 6 2cos( ) cos cos sin sin 2 4 2 4 4 α β α β α β − − − −+ = − = × − × = A 5 12 π 5 12 π 6 π 3 π 4 3 π 7 3 π 5( ) 2 sin( ) 2 sin( )12 4 6f x x x π π πω ω= + − = + 6 2x kω π π+ = π + k Z∈ 0 6ω< < x = kπ ω 3 π ω+ k Z∈ 13 kπ π ω ω+ = k Z∈ 3k πω π= + k Z∈ 0 6ω< < ω = 3 π 4 3 πω =(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简 记为：“同名相乘，符号反”． (2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 3.给值求角问题，解题的一般步骤是： (1)先确定角 α 的范围，且使这个范围尽量小； (2)根据(1)所得范围来确定求 tanα、sinα、cosα 中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函 数； (3)求 α 的一个三角函数值；(4)写出 α 的大小． 【变式探究】 1.（2019·北京高考模拟（文））如图，在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，终边分别 是射线 OA 和射线 OB．射线 OA，OC 与单位圆的交点分别为 ， .若 ，则 的值是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 依题意，有： ， ， ， ， ＝ . 故答案为：C. xOy α β Ox 3 4,5 5A     ( 1,0)C − 6BOC π∠ = ( )cos β α− 3 4 3 10 − 3 4 3 10 + 4-3 3 10 4 3 3 10 + 3cos 5 α = 4sin 5 α = cos 3 2 β = − 1sin 2 β = ( )cos β α− 3 3 1 4 4 3 3cos cos sin sin 2 5 2 5 10 β α β α −+ = − × + × =2. （2019·江西高考模拟（文））如图，点 A 为单位圆上一点， 点 A 沿单位圆逆时针方向旋转 角 到点 B(- ， )则 cos =( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由题意得： 故选 A 3.（2019·河南高考模拟（文））平面直角坐标系 中，点 是单位圆在第一象限内的 点， ，若 ，则 为_____． 【答案】 【解析】 由题意知： ， ，由 ，得 ， 3XOA π∠ = α 4 5 3 5 α 3 3 4 10 − 4 3 3 10 + 3 4 3 10 − 3 4 3 10 + 4 3cos ,sin3 5 3 5 π πα α   + = − + =       cos cos 3 3 π πα α  ∴ = + − =     1 3cos sin2 3 2 3 π πα α   + + +       1 4 3 3 3 3 4 2 5 2 5 10 − = × − + × =   xOy ( )0 0,P x y xOP α∠ = 11cos 3 13 α π + = −   00 yx + 15 3 1 26 + 0, 2 πα  ∈   5,3 3 6 π πα π + ∈   11cos 3 13 α π + = −   4 3sin 3 13 πα + =   0 sin sin sin cos cos sin3 3 3 3 3 3y π π π π π πα α α α     = = + − = + − +           4 3 1 11 3 15 3 13 2 13 2 26 = ⋅ + ⋅ = ，故答案为： . 【总结提升】 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把 “所求角”变成“已知角”． 高频考点二 两角和与差的正切公式的应用 【典例 4】（2020·山西高一期中（理））若 ,则 ______,应用此 结论求 的值为______. 【答案】 【解析】 ，即 故答案为： ； 【典例 5】（2018 年全国卷 II 文）已知 ，则 __________． 【答案】 . 【解析】 ， 解方程得 . 【规律方法】 1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如 tanα＋tan β ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等． 0 cos cos cos cos sin sin3 3 3 3 3 3x π π π π π πα α α α     = = + − = + + +           11 1 4 3 3 1 13 2 13 2 26 −= ⋅ + ⋅ = 0 0 15 3 1 15 3 1 26 26 26x y ++ = + = 15 3 1 26 + 45A B+ = ° (1 tan )(1 tan )A B+ + = ( )( ) ( )( )1 tan1 1 tan2 1 tan43 1 tan44+ ° + ° + ° + ° 2 222 45A B+ =  ( ) tan tantan 11 tan tan A BA B A B +∴ + = =− tan tan tan tan 1A B A B+ + = ( )( )1 tan 1 tan 1 tan tan tan tan 2A B A B A B∴ + + = + + + = ( )( ) ( )( ) 221 tan1 1 tan 2 1 tan 43 1 tan 44 2+ + ⋅⋅⋅ + +∴ =    2 2222．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆 用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用 后，才能真正掌握公式的应用． 提醒：在 T(α＋β)与 T(α－β)中，α，β，α±β 都不等于 kπ＋π 2(k∈Z)，即保证 tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义； 若 α，β 中有一角是 kπ＋π 2(k∈Z)，可利用诱导公式化简． 【变式探究】 1.（2019·黑龙江高考模拟（理））已知 是第二象限角，且 ，则 的值 为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由 ，得 . 因为 是第二象限角，所以 . . . 故选 C. 2.（2019·四川高考模拟（理））已知 ， ，则 ( ) A． B．7 C． D． 【答案】C 【解析】 α 3sin( ) 5 π α+ = − tan 2α 4 5 23 7 − 24 7 − 24 9 − ( ) 3sin 5 π α+ = − 3sin 5 α = α 4cos 5 α = − 3 4 sintan cos αα α= = − 2 3 2tan 242tan2 91 tan 71 16 αα α − = = = −− − 4cos 5 = −α ( )π,0∈ −α πtan 4  − =   α 1 7 1 7 − 7− 4cos , ( ,0)5 aα π= − ∈ −∴ 则 故选：C． 【总结提升】 1.“1”的代换：在 Tα±β 中如果分子中出现“1”常利用 1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的． 2．若 α＋β＝π 4＋kπ，k∈Z，则有(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2． 3．若化简的式子里出现了“tanα±tanβ”及“tanαtanβ”两个整体，常考虑 tan(α±β)的变形公式． 高频考点三 二倍（半）角公式的应用 【典例 6】（2020·全国高考真题（文））若 ，则 __________． 【答案】 【解析】 . 故答案为： . 【典例 7】（2020·浙江高一期末）已知 ，若 ，则 __； __. 【答案】7 【解析】 因为 ，若 ， 故可得 sin ，cos . 则 tan ； ( , )2 πα π∈ − − 3 3sin , tan5 4 α α∴ = − = tan 1tan 4 1 tan π αα α − − =  +  3 1 14 3 71 4 − = = − + 2sin 3x = − cos2x = 1 9 2 22 8 1cos2 1 2sin 1 2 ( ) 13 9 9x x= − = − × − = − = 1 9 ( ,2 )α π π∈ 3tan 4 α = tan( )4 πα + = 2cos 2 α = 1 10 ( ,2 )α π π∈ 3tan 4 α = 3 5 α = − 4 5 α = − 7 1 4 714 1 4 tan tan π αα α + + = = =  − . 故答案为：7； . 【典例 8】(2019 年高考全国Ⅰ卷文)函数 的最小值为___________． 【答案】 【解析】 ， ， 当 时， ， 故函数 的最小值为 ． 【总结提升】 1.转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结 构的差异，寻求联系，实现转化．注意三角函数公式逆用和变形用的 2 个问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系． (2)注意特殊角的应用，当式子中出现 1 2，1， 3 2 ， 3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角” 构造适合公式的形式． 2.已知 θ 的某个三角函数值，求θ 2的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得 θ 的其他三 角函数值；(2)代入半角公式计算即可 【变式探究】 1.（2020·海南枫叶国际学校高一期中）若 ， 则 的值为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 因为 ， 所以 ， ， 2cos 2 α = ( )1 1 1 112 2 5 10cosα+ = × = 1 10 3π( ) sin(2 ) 3cos2f x x x= + − 4− 23π( ) sin(2 ) 3cos cos2 3cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x= + − = − − = − − + 23 172(cos )4 8x= − + + 1 cos 1x− ≤ ≤ ∴ cos 1x = min( ) 4f x = − ( )f x 4− 3cos 2 2 sin( )4 πα α= − ( , )2 πα π∈ sin 2α 4 2 9 − 5 2 9 − 7 9 − 7 9 3cos 2 2 sin( )4 πα α= − 3cos 2 2(sin cos cos sin ) 2(cos sin )4 4 π πα α α α α= − = − 2 23(cos sin ) 2(cos sin )α α α α− = −， 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 两边平方得， 所以 ， 故选：C 2.（2020·河南高一月考）已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的值. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）2 【解析】 （Ⅰ）由题意得： 原式 （Ⅱ） ， = ． 【特别提醒】 1.倍角的含义： 3(cos sin )(cos sin ) 2(cos sin )α α α α α α+ − = − ( , )2 πα π∈ cos sin 0α α− ≠ 3(cos sin ) 2α α+ = 2cos sin 3 α α+ = 21 2cos sin 9 α α+ = 7sin 2 9 α = − α x ( 3, 3)P − tan( ) sin( )2 cos( )sin( 3 ) πα α π α π α − + + − − − tan 2 tan 2 αα + 2 3 − 1 3 3sin ,cos ,tan .2 2 3 α α α= = − = − tan cos ( cos ) sin α α α α − += − ⋅ 3 3 23 2 33 1 2 2 − = = − × 2 2tantan 2 31 tan αα α= = −− 1 sin 2tan 2 3.2 1 cos 31 2 α α α= = = ++ − tan 2 tan 2 αα + 2对于“二倍角”应该有广义的理解，如 2α 是 α 的二倍角，4α 是 2α 的二倍角，8α 是 4α 的二倍角，α 是α 2的二 倍角……这里的蓄含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的． 2．公式的适用条件： 在 S2α，C2α 中，α∈R，在 T2α 中，α≠kπ 2 ＋π 4且 α≠kπ＋π 2(k∈Z)，当 α＝kπ＋π 2(k∈Z)时，tanα 不存在，求 tan2α 的值可采用诱导公式． 高频考点四 简单的三角恒等变换---化简与证明 【典例 9】（2020·浙江吴兴�高三其他）已知 ， ， ，则 _______； __. 【答案】3 【解析】 因为 ， ，所以 ， 所以 ， 因为 所以 ， 所以 ， 故答案为：3； . 【典例 10】求证： . 【答案】见解析 0 2 πα< < 4sin 5 α = 1tan( ) 3 α β− = − tan β = sin( ) 2 cos( )4 β π πβ + = + 3 2 0 2 πα< < 4sin 5 α = 2 16 3cos 1 sin 1 25 5 α α= − = − = sin 4tan cos 3 αα α= = 1tan( ) 3 α β− = − tan tan( )tan tan[ ( )] 1 tan tan( ) α α ββ α α β α α β − −= − − = + − 4 1 5( )3 3 3 34 1 51 ( )3 3 9 − − = = = + × − sin( ) sin tan 3 3 cos sin 1 tan 1 3 22 cos( )4 β π β β π β β ββ + − − −= = = =− − −+ 3 2 ααπα cos 1 )24tan( 1tan = + +【解析】左边＝sin α cos α＋ ＝右边． 故原式得证． 【总结提升】 1.三角函数式化简的方法 (1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂． (2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需 要升次，去掉根号． 2．三角函数式的化简遵循的三个原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公 式． (2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”． (3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式 分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等． 3．三角恒等式的证明方法 (1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目． (2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子． (3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立． 提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根 据角的范围确定三角函数的符号． )24sin( )24cos( απ απ + + )24sin(cos )24cos(cos)24sin(sin απα απααπα + +++ = )24sin(cos )24cos( απα ααπ + −+ = )24sin(cos )24cos( απα απ + − = == + + = ααπα απ cos 1 )24sin(cos )24sin(【变式探究】 1.（2018 届河南省高三第十五次调研）已知 ，满足 ，则 的最大值为______. 【答案】 . 【解析】由 ， 得 化为 ， ， ， 的最大值为 ， 故答案为 . 2.将下列三角函数解析式化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋m 的形式． (1)f(x)＝2cosx 2( 3sinx 2＋cosx 2)－1； (2)f(x)＝2 2cos(x＋π 4)cos(x－π 4)＋2 2sinxcosx． 【答案】见解析 【解析】思路分析：先将 f(x)利用三角恒等变换化为 asinx＋bcosx 的形式，再利用辅助角公式化为 f(x)＝ Asin(ωx＋φ)＋m 的形式 详解：(1)f(x)＝2 3sinx 2cosx 2＋2cos2x 2－1＝ 3sinx＋cosx＝2(sinxcosπ 6＋cosxsinπ 6)＝2sin(x＋π 6)． (2)f(x)＝2 2(cosxcosπ 4－sinxsinπ 4)·(cosxcosπ 4＋sinxsinπ 4)＋ 2sin2x＝ 2(cosx－sinx)(cosx＋sinx)＋ 2sin2x＝ 2 cos2x＋ 2sin2x ＝2sin(2x＋π 4)． 【总结提升】 将三角函数 y＝f(x)化为 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m 的步骤 (1)将 sinxcosx 运用二倍角公式化为 1 2sin2x，对 sin2x，cos2x 运用降幂公式，sin(x±α)，cos(x±α)运用两角和与 差的公式展开．(2)将(1)中得到的式子利用 asinα＋bcosα＝ a2＋b2·sin(α＋φ)化为 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m 的形式．