2020-2021学年高三数学一轮复习知识点讲解5-6 三角函数单元测试卷

专题 5.6 三角函数单元测试卷 一、单选题 1．（2020·上海静安·高一期末） 的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， 故选：D 2．（2020·高二期末（文））下面函数中为偶函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 对于 A 选项，设 ，该函数的定义域为 ， ， 所以，函数 为奇函数； 对于 B 选项，设 ，该函数的定义域为 ， ，所以， 函数 为奇函数； 对于 C 选项，设 ，该函数的定义域为 ， ，所 以，函数 为偶函数； 对于 D 选项，设 ，则 ， ，则 ， ，所以，函数 为非奇非偶函数. 故选：C. 3．（2020·武威第六中学高二期末（文））函数 的最小正周期和最大值分别为（ ） A． ，1 B． ， C． ，1 D． ， sin 240° 1 2 − 1 2 3 2 3 2 − ( ) 3sin 240 =sin 180 +60 = sin 60 2 ° ° ° − ° = − 2 siny x x= cosy x x= siny x= cosy x x= − ( ) 2 sinf x x x= R ( ) ( ) ( ) ( )2 2sin sinf x x x x x f x− = − − = − = − 2 siny x x= ( ) cosg x x x= R ( ) ( ) ( )cos cosg x x x x x g x− = − − = − = − cosy x x= ( ) sinh x x= R ( ) ( ) ( )sin sin sinh x x x x h x− = − = − = = siny x= ( ) cost x x x= − ( )1 1 cos1t = − ( ) ( )1 1 cos 1 1 cos1t − = − − − = − − ( ) ( )1 1t t− ≠ ( ) ( )1 1t t− ≠ − cosy x x= − sin cosy x x= ⋅ π π 1 2 2π 2π 1 2 【答案】B 【解析】 ， 函数 的最小正周期 ， ， ， 函数 的最大值为 . 故选：B. 4．（2020·湖北蔡甸·汉阳一中高三其他（理））若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 故选 5．（2020·武威第六中学高二期末（文））若 ，且 为锐角，则 的值等于（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 , 为锐角, , , 故选：B 1sin cos = sin 22y x x x= ⋅ sin cosy x x= ⋅ 2 2T π π= =  1 sin 2 1x− ≤ ≤ ∴ 1 1 1sin 22 2 2x− ≤ ≤ ∴ sin cosy x x= ⋅ 1 2 1sin( )3 3 π α− = cos( 2 )3 π α+ = 7 9 − 2 3 2 3 − 7 9 1cos cos3 2 3 6 3sin π π π πα α α      − = − − = + =             2 2 1 72 cos2 2 1 2 13 6 6 3 9cos cos π π πα α α       ∴ + = + = + − = × − = −               A 4sin 5 α = α sin 2α 12 25 24 25 12 25 − 24 25 − 4sin 5 α = α 3cos 5 α∴ = 4 3 24sin 2 2sin cos 2 5 5 25 α α α∴ = = × × = 6．（2020·高一期末）已知 ， ，则 （ ） A． B．3 C．13 D． 【答案】D 【解析】 ， ， ， ， . 故选：D 7．（2020·高一期末）已知点 是角 终边上一点，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 点 是角 终边上一点， ， ， ， . 故选：C 8．（2020·吉林扶余市第一中学高一期中）函数 的单调递增区间为（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 5cos 5 α = ,02 πα  ∈ −   tan 4 π α + =   1 3 1 3 − 5cos 5 α = ,02 πα  ∈ −   2 2 5sin 1 cos 5 α α∴ = − − = − sintan 2cos αα α= = − 1 tan 1 2 1tan 4 1 tan 1 2 3 π αα α + − + = = = −  − +  (6, 8)P − α 3sin 2 π α + =   4 5 − 4 5 3 5- 3 5  (6, 8)P − α ( )226 8 10r OP∴ = = + − = 6 3cos 10 5 x r α∴ = = = 8 4sin 10 5 y r α −= = = − 3 3sin sin sin cos2 2 2 5 π π πα π α α α     + = + + = − + = − = −           ( ) 1 πsin 22 3f x x = +   5π ππ , π12 12k k − +   k Z∈ π 3ππ , π4 4k k + +   k Z∈ 2π ππ , π3 6k k − −   k Z∈ π ππ , π4 4k k + +   k Z∈ 【答案】A 【解析】 当 ， 时，函数 单调递增， 即当 ， 时，函数 单调递增. 故选：A 9．（2020·吉林扶余市第一中学高一期中）已知函数 在 上单调递减，则实数 的 一个值是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 因为 ，则 ， 又函数 在 上单调递减， 所以 ， ， 因此 ， ，解得： ， 故选：C． 10．（2020·广西兴宁·高二期末（文））已知函数 ， ，则下列命题中： ① 的最小正周期是 ，最大值是 ；② 的单调增区问是 ；③ ；④将 的图象向右平移 个单位可得函数 的图 象；其中正确个数为（ ） π π π2 π 2 2 π2 3 2k x k− ≤ + ≤ + k Z∈ ( ) 1 πsin 22 3f x x = +   5π ππ π12 12k x k− ≤ ≤ + k Z∈ ( ) 1 πsin 22 3f x x = +   ( ) ( )sin 2f x x ϕ= + π0, 6      ϕ 3π 2 π 2 − π 2π π0, 6x  ∈   3 π2 ,x ϕ ϕ ϕ + ∈ +   ( ) ( )sin 2f x x ϕ= + π0, 6      π 3, 2 ,23 22k k π πϕ ϕ π π   + ⊆ + +       k Z∈ 22 π 3 23 2 k k πϕ π πϕ π  ≥ +  + ≤ + k Z∈ 32 2 ,2 2k k k Z π ππ ϕ π+ ≤ ≤ + ∈ 2( ) sin cos cos= +f x x x x x∈R ( )f x π 2 1 2 + ( )f x 3 , ( )8 8k k k Z π ππ π − + + ∈   ( ) ( ) 1 sin22f x f x x π+ − = + ( )f x 4 π 2sin sin cosy x x x= + A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】 ， 所以最小正周期为 ，最大值为 ，故①正确； 令 ， ， 则 ， 故单调增区间为 ，所以②正确； .故③正确； 将 的图象向右平移 个单位后，所得图象对应的解析式为： ， 即 ， 故④正确. 故选：D. 二、多选题 11．（2020·辽宁锦州·高一期末）将函数 的图象向左平移 个单位长度，再向上 平移 1 个单位长度，得到函数 的图象，则下列关于函数 的说法正确的是（ ） A．最小正周期为 1 1 2 1( ) sin2 (1 cos2 ) sin 22 2 2 4 2f x x x x π = + + = + +   T π= 2 1 2 + 2 2 22 4 2k x k π π ππ π− ≤ + ≤ + k Z∈ 3 +8 8k x k π ππ π− ≤ ≤ 3 , ( )8 8k k k Z π ππ π − + + ∈   2 2( ) sin cos cos sin cos cos2 2 2 2f x f x x x x x x x π π π π       + − = + + − − + −               2 22sin cos sin cos 1 sin2x x x x x= + + = + ( )f x 4 π 2sin cos cos4 4 4y x x x π π π     = − − + −           cos2 +11 1 1 sin 24sin 2 cos22 2 2 2 2 x xy x x π π  −  +   = − + = − +   ( )2 21 1 2sin cos1 2sin sin cos sin2 2 x xx x x x += − − + = + ( ) π3 cos 2 13f x x = + −   π 3 ( )g x ( )g x π B．图象关于点 对称 C．图象关于 轴对称 D．在区间 上单调递增 【答案】ABC 【解析】 将函数 的图象向左平移 个单位长度， 可得 的图象， 再向上平移 1 个单位长度，得到函数 的图象． 关于函数 ， 它的最小正周期为 ，故 正确； 令 ，求得 ，可得它的图象关于点 ， 对称，故 正确； 由于它是偶函数，故它的图象关于 轴对称，故 正确； 在区间 ， 上， ， 单调递增，故 单调递减，故 错误， 故选：ABC． 12．（2020·山东高一期末）已知函数 f（x）＝sin（2x+ ），将 f（x）图象上每一点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到函数 g（x）的图象，则（ ） A．当 x＝ 时，g（x）取最小值 B．g（x） 在[ ， ]上单调递减 C．g（x）的图象向左平移 个单位后对应的函数是偶函数 D．直线 y＝ 与 g（x）（0＜x＜ ）图象的所有交点的横坐标之和为 【答案】ACD 【解析】 π ,04      y π ,π2      ( ) 3 cos(2 ) 13f x x π= + − 3 π 3 cos(2 ) 1 3 cos2 1y x xπ= + − = − − ( ) 3 cos2g x x= − ( )g x 2 2 π π= A 4x π= ( ) 0g x = ( 4 π 0) B y C ( 2 π )π 2 ( ,2 )x π π∈ cos2y x= ( ) cos2g x x= − D 3 π 1 2 7 24 π 12 π 3 π 24 π 1 2 3 2 π 19 4 π 由条件可知 当 时， ，此时 ，取得最小值，所以 A 正确； 当 时， ，当 ，即 ，此时函数单调递减， 当 ，即 时，函数单调递增，故 B 不正确； 向左平移 个单位后得到函数 ，函数是偶函数， 故 C 正确； ，解得： ，解得： ， 或 ，解得： , , 因为 ，所以 或 所以交点的横坐标之和为 ，故 D 正确. 故选：ACD 13．（2020·山东滨州·高二期末）将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得图象 对应的函数为 ，则下列结论正确的是（ ） A．函数 的图象关于直线 对称 B．函数 的图象关于点 对称 C．函数 在 上单调递减 D．函数 在 上恰有 4 个极值点 【答案】AD 【解析】 ( ) sin 4 3g x x π = +   7 24x π= 34 3 2x π π+ = ( ) 1g x = − ,12 3x π π ∈   2 54 ,3 3 3x π π π + ∈   2 34 ,3 3 2x π π π + ∈   7,12 24x π π ∈   3 54 ,3 2 3x π π π + ∈   7 ,24 3x π π ∈   ( )g x 24 π sin 4 sin 4 cos424 3 2y x x x π π π    = + + = + =         1sin 4 3 2x π + =   4 2 ,3 6x k k Z π π π+ = + ∈ 2 24 kx π π= − k Z∈ 54 2 ,3 6x k k Z π π π+ = + ∈ 2 8 kx π π= + k Z∈ 30 2x π< < 11 23 35, ,24 24 24x π π π= 5 9, , ,8 8 8x π π π= 19 4 π ( ) 2sin 2 3f x x π = +   4 π ( )y g x= ( )g x 3x π= ( )g x ,03 π−     ( )g x 5,24 24 π π −   ( )g x [ ]0,2π 将函数 的图象向右平移 个单位长度后得 因为 ，所以函数 的图象关于直线 对称，即 A 正确； 因为 ，所以函数 的图象不关于点 对称，即 B 错误； 因为 ，所以函数 单调递增，即 C 错误； 因为 ，所以当 时函数 取得极值，即函数 在 上恰有 4 个极值点，D 正确； 故选：AD 14．（2020·全国高三其他（理））已知函数 的图象的一条对称轴为 ，其中 为常 数，且 ，则以下结论正确的是( ) A．函数 的最小正周期为 B．将函数 的图象向左平移 所得图象关于原点对称 C．函数 在区间 上单调递增 D．函数 在区间 上有 66 个零点 【答案】AC 【解析】 由函数 的图象的一条对称轴为 ， 得 ，因为 ， 所以 ，则 ，所以周期 ，A 项正确； 将函数 的图象向左平移 ， ( ) 2sin 2 3f x x π = +   4 π ( ) 2sin 2( ) cos(2 )4 3 3g x x x π π π = − + = − +   ( ) 13g π = ( )g x 3x π= 1( )3 2g π− = − ( )g x ,03 π−     5 3, ,2 ,24 24 3 4 4x x π π π π π   ∈ − + ∈       ( )g x [ ]0,2 ,2 [ ,4 ]3 3 3x x π π ππ π∈ + ∈ + 2 ,2 ,3 ,43x π π π π π+ = ( )g x ( )g x [ ]0,2π ( ) 2sin( )6f x x πω= − x π= ω (0,1)ω ∈ ( )f x 3π ( )f x 6 π ( )f x [ , ]6 2 π π− ( )f x (0,100 )π ( ) 2sin( )6f x x πω= − x π= ( )6 2k k π πωπ π− = + ∈Z (0,1)ω ∈ 20, 3k ω= = 2( ) 2sin( )3 6f x x π= − 2 32 3 T π π= = ( )f x 6 π 得 ， 显然 的图象不关于原点对称，B 项错误： 由 ，取 ，得 ， 即 ，是函数 的一个单调递增区间，又 ， 所以函数 在区间 上单调递增，C 项正确； 由 ，得 ，解得 ，由 ，得 ， 因为 ，所以 ，所以函数 在区间 上有 67 个零点，D 项错误. 故选：AC. 三、填空题 15．（2020·上海静安·高一期末）函数 的定义域为______ 【答案】 【解析】 由 ，得 ， 所以函数 的定义域为 ， 故答案： 16．（2020·上海静安·高一期末）已知 ， ,则 ________. 【答案】 【解析】 因为 ， , 又 ， 2 2( ) ( ) 2sin[ ( ) ] 2sin( )6 3 6 6 3 18g x f x x x π π π π= + = + − = − ( )g x 22 2 ( )2 3 6 2k x k k π π ππ π− − + ∈Z  0k = 2 x π π−   [ , ]2 π π− ( )f x [ , ] [ , ]6 2 2 π π π π− ⊆ − ( )f x [ , ]6 2 π π− ( ) 0f x = 2 ( )3 6x k k π π− = ∈Z 3 ( )2 6x k ππ= + 30 ( ) 1002 6k ππ π< + < 1 66.56 k− < < k Z∈ 0,1,2, ,66k =  ( )f x (0,100 )π ( ) tan 6f x x π = +   ,3x x k k Z ππ ≠ + ∈   ,6 2x k k Z π π π+ ≠ + ∈ ,3x k k Z π π≠ + ∈ ( ) tan 6f x x π = +   ,3x x k k Z ππ ≠ + ∈   ,3x x k k Z ππ ≠ + ∈   2tan( ) 5 α β+ = 1tan( )4 4 πβ − = tan( )4 πα + = 3 22 2tan( ) 5 α β+ = 1tan( )4 4 πβ − = ( ) ( )4 4 π πα α β β+ = + − − 所以 = ， 故答案为 . 17．（2020·高一期末）已知函数 （其中 ， ）的图象关于点 成中心对称,且与点 相邻的一个最低点为 ，则对 于下列判断： ①直线 是函数 图象的一条对称轴；②函数 为偶函数； ③函数 与 的图象的所有交点的横坐标之和为 . 其中正确的判断是__________________．（写出所有正确判断的序号） 【答案】②③ 【解析】 函数 （其中 ， ）的图象关于点 成中心对称,且与 点 相邻的一个最低点为 ，， 则： ， 所以 ， 进一步解得： 由于 （其中 ， ）的图象关于点 成中心对称,，所 以： 解得： ，由于 ， 所以：当 时， ． 所以： ①当 时， 故错误． tan( ) tan( )4tan( ) tan[( ) ( )]4 4 1 tan( ) tan( )4 πα β βπ πα α β β πα β β + − − + = + − − = + + − 2 1 35 4 2 1 221 5 4 − = + × 3 22 ( ) sin( )f x A xω ϕ= + 0A > 0,0ω ϕ π> < < M 5( ,0)12 π M 2( , 3)3 π − 2x π= ( )f x ( )3y f x π= − 1y = 35( )( )12 12y f x x π π= − ≤ ≤ 7π ( ) ( )sinf x A xω ϕ= + 0A > 0,0ω ϕ π> < < M 5 ,012 π     M 2 , 33 π −   2 5 4 3 12 4 T π π π−＝ ＝ T π=： 3 2 6f x sin x π = +  （ ） ． 2 2 3A πω π =＝ ＝ ， ( ) ( )sinf x A xω ϕ= + 0A > 0,0ω ϕ π> < < M 5 ,012 π     52 12 k k Z π ϕ π⋅ + ∈＝ （ ）， 5 ,6k k Z πϕ π − ∈＝ 0 ϕ π< < 1k = 6 πϕ＝ 2x π= 332 6 2f sin π ππ = + = −  （ ） ． ② 则 为偶函数，故正确． ③由于： 则： 所以函数 的图象与 有 6 个交点． 根据函数的交点设横坐标为 根据函数的图象所有交点的横标和为 ．故正确． 故答案为②③ 四、双空题 18．（2020·浙江省平阳中学高三一模）若 ，则 ________， ________. 【答案】 【解析】 ，故 . 故答案为： ； . 19．（2020·浙江衢州·高一期末）已知 ， ，若 ， ，则 ________， ________. 【答案】 ； 【解析】 因为 ， ， 3 2 3 263 3f x sin x cos x ππ π    − − + = −         ＝ ． 3y f x π = −   35 12 12x π π− ≤ ≤ ， 0 2 66x π π≤ + ≤ ， ( )f x 1y = 1 2 3 4 5 6x x x x x x、 、 、 、 、 ， 7π 1sin 2 3 π α + =   cosα = cos2 cosα α+ = 1 3 4 9 − 1sin cos2 3 π α α + = =   2 4cos2 cos 2cos 1 cos 9 α α α α+ = − + = − 1 3 4 9 − 0, 2 πα  ∈   ,2 πβ π ∈   1cos 3 β = − 7sin( ) 9 α β+ = sin β = sinα = 2 2 3 1 3 ,2 πβ π ∈   1cos 3 β = − 所以 ； 又 ，所以 ， ， 由 ，所以 ， ． 故答案为： ， ． 20．（2019·浙江高三月考）已知 ， 为锐角，且 ， ，则 ______， ______． 【答案】 【解析】 ∵ 是锐角， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ 、 是锐角，∴ ， ∵ ，∴ ， ， . 综上： ， . 2 21 2 2sin 1 cos 1 ( )3 3 β β= − = − − = (0, )2 πα ∈ ( 2 πα β+ ∈ 3 )2 π 7sin( ) 9 α β+ = 27 4 2cos( ) 1 ( )9 9 α β+ = − − = − sin sin[( ) ] sin( )cos cos( )sinα α β β α β β α β β= + − = + − + 7 1 4 2 2 2( ) ( )9 3 9 3 = × − − − × 1 3 = 2 2 3 1 3 α β 3tan 4 α = ( ) 5sin 5 α β− = cos2 =α ( )tan α β+ = 7 25 41 38 α 3tan 4 α = 3sin 5 α = 4cos 5 α = 2 2 4 7cos2 2cos 1 2 15 25 α α  = − = × − =   3 4 24sin 2 2sin cos 2 5 5 25 α α α= ⋅ = × × = 24tan 2 7 α = α β 2 2 π πα β− < − < 5sin( ) 5 α β− = 2 5cos( ) 5 α β− = 1tan( ) 2 α β− = [ ] 24 1 tan 2 tan( ) 417 2tan( ) tan 2 ( ) 24 11 tan 2 tan( ) 381 7 2 α α βα β α α β α α β −− −+ = − − = = =+ ⋅ − + × 7cos2 25 α = 41tan( ) 38 α β+ = 21．（2020·浙江慈溪·高二期末）已知函数 ，则 ______；函数 在 上的值域为______. 【答案】0 【解析】 由题可知： 则 所以 ， 则 由 ，所以 ， 又函数 在 单调递减，在 单调递增 当 ，即 时， 当 ，即 时， 所以函数 在 上的值域为 故答案为： ， 五、解答题 ( ) 2 33 cos sin cos 2f x x x x= − − 6f π  =   ( )f x 0, 2 π     31, 2  −    ( ) 2 33 cos sin cos 2f x x x x= − − ( ) cos2 1 1 3 3 13 sin 2 cos2 sin 22 2 2 2 2 + = − − = −   xf x x x x ( ) cos 2 6f x x π = +   cos 2 06 6 6 π π π   = × + =      f 0, 2x π ∈   72 ,6 6 6 π π π   + ∈      x cosy t= ,6 π π     7, 6 ππ     2 6x π π+ = 5 12x π= ( )min cos 1π= = −f x 2 6 6x π π+ = 0x = ( )max 3cos 6 2 π= =f x ( )f x 0, 2 π     31, 2  −    0 31, 2  −    22．（2020·武威第六中学高二期末（文））已知 . (1)化简 ； (2)若 是第三象限角，且 ，求 的值. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 (1)根据诱导公式 , 所以 ; (2)由诱导公式可知 ,即 , 又 是第三象限角, 所以 , 所以 . 23．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期末）函数 且 的部分图象如 图所示. ( ) ( ) ( ) ( ) 3sin cos 2 cos 2 cos sin2 f ππ α π α α α π α π α  − − −  =  − − −   ( )f α α ( ) 1sin 5 α π− = ( )f α ( ) cosf α α= − 2 6 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 3sin cos 2 cos 2 cos sin2 f ππ α π α α α π α π α  − − −  =  − − −   ( )sin cos sin sin sin α α α α α ⋅ ⋅ −= ⋅ cosα= − ( ) cosf α α= − ( )sin sinα π α− = − 1sin 5 α = − α 2 2 6cos 1 sin 5 α α= − − = − ( ) 2 6= cos 5f α α− = ( ) sin( )( 0f x A x Aω ϕ= + > 0,0 )2 πω ϕ> < − < x 2, 3 πω ϕ= = − ,3x k x k k Z ππ π < < + ∈    ( )f x π 2 2T π π ωω∴ = = ⇒ = 3cos 24 4 2f π π ϕ   = × + =       3sin 2 ϕ = − 02 π ϕ− <    2 2 23 3 3k x k π π ππ π⇔ − < − < + k Z∈ 3k x k ππ π< < + k Z∈ ( ) 1 2f x > ,3x k x k k Z ππ π < < + ∈    ( ) Asin( )( 0, 0,| | )2f x x A πω ϕ ω ϕ= + > > < A ω ϕ ( )y f x= [ ]1,2 ( )y f x= [ ],a b b a− 1A = ω π= 3 πϕ = − [1 11]6 [2019 2020) 【解析】 （1）由题可得 ， ，则 ， 当 时， 取得最大值，则 ， 所以 ， 又因为 ，故 ； （2）由（1）可知 ， 令 ， ， 则 ， ， 故 的单调递减区间为 ， ， 则 在 ， 上的单调递减区间为 ， ； （3）令 ，则 ，解得 ， ， 所以 在 上有两个零点，因为 周期为 2， 若函数 在区间 ， 上恰有 2020 个零点， 则 ， 解得 的取值范围为 ， ． 1A = 4 12( ) 23 3T = − = 2 T πω π= = 5 6x = ( )f x 5 2 ( )6 2 k k Z ππ ϕ π+ = + ∈ 2 ( )3 k k Z πϕ π= − + ∈ | | 2 ϕ π< 3 πϕ = − ( ) s in ( )3f x x ππ= − 32 22 3 2k x k π π ππ π π+ − +  k Z∈ 5 112 26 6k x k+ +  k Z∈ ( )f x 5[ 26 k+ 11 2 ]( )6 k k Z+ ∈ ( )f x [1 2] [1 11]6 ( ) sin( ) 03f x x ππ= − = 3x k ππ π− = 1 3x k= + k Z∈ ( )f x 1 7[ , )3 3 ( )f x ( )y f x= [a ]b 1009 2 1 1010 2b a× + − < × b a− [2019 2020)