专题 6.1 平面向量的概念及其线性运算
【考纲解读与核心素养】
1.平面向量的实际背景及基本概念：理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量
相等、平行向量、向量夹角的概念.
2. 向量的线性运算：掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.
3.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.
4.高考预测：
（1）以考查向量的线性运算、共线为主，且主要是在理解它们含义的基础上，进一步解题，如利用向量的
线性运算求参数等；
（2）考查单位向量较多.
（3）常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线等问题；也易同解析几何知识相结合，以
工具的形式出现．.
5.备考重点：
(1) 理解相关概念是基础，掌握线性运算的方法是关键；
(2) 注意与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题，注意运用数形结合的思想方法.
【知识清单】
知识点 1．向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：长度等于 0 的向量，其方向是任意的．
3．单位向量：长度等于 1 个单位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
知识点 2．平面向量的线性运算
一．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则
(1)交换律：
；
(2)结合律：
a b b a＋ ＝ ＋
( +( )a b c a b c＋ ) + ＝ ＋平行四边形法则
减法
求 a 与 b 的相反向量
－b 的和的运算叫做
a 与 b 的差 三角形法则
二．向量的数乘运算及其几何意义
1．定义：实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作 λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当 λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ a b a b>
a b b c ∥ ，∥ a c ∥
0b = a b b c ∥ ，∥ a c综上，以上正确的命题个数是 0．
故选 A．
【典例 2】（2020·衡水市第十四中学高一月考）下列说法错误的是（ ）
A．向量 的长度与向量 的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等
【答案】D
【解析】
A.向量 与向量 的方向相反，长度相等，故 A 正确；
B.规定零向量与任意非零向量平行，故 B 正确；
C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故 C 正确；
D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故 D 不正确.
【易错提醒】
1．有关平面向量概念的注意点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点．
(5)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．
【变式探究】
1. 给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
②若 是不共线的四点，则 ＝ 是四边形 为平行四边形的充要条件；
③若 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b；
④λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线．
其中假命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】
【解析】 ①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．
②正确．∵ ＝ ，∴| |＝| |且 ∥ .
又∵ 是不共线的四点，
OA AO
OA AO
A B C D， ， ， AB DC ABCD
C
AB DC AB DC AB DC
A B C D， ， ，∴四边形 是平行四边形．
反之，若四边形 是平行四边形，则 且 与 方向相同，因此 ＝ .
③不正确．两向量不能比较大小．
④不正确．当 时，a 与 b 可以为任意向量，满足 λa＝μb，但 a 与 b 不一定共线．
选 .
2. 设 a0 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|·a0；②若 a 与 a0 平行，则 a＝
|a|a0；③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0，假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】D
【解析】向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与
a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综
上所述，假命题的个数是 3.
【总结提升】
(1)非零向量 a 与
a
|a|的关系：
a
|a|是与 a 同方向的单位向量，－
a
|a|是与 a 反方向的单位向量．
(2)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．
(3)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．
（4）几个重要结论
①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；
②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
高频考点二 平面向量的线性运算
【典例 3】（2018 年新课标 I 卷理）在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
根据向量的运算法则，可得
ABCD
ABCD AB CD∥ AB DC AB DC
0λ µ＝ ＝
C ，
所以 ，故选 A.
【典例 4】（2020·湖南衡阳·三模（文））在平行四边形 中，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
∵ ∴
∴ .
故选： D.
【规律方法】
1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形
法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
ABCD 4CE ED= BE =
3
4 AB AD− + 4
5 AB AD− 4
5AB AD− + 4
5 AB AD− +
4CE ED= 4
5CE CD =
4 4
5 5BE BC CE BC CD AB AD= + = + = − + 【变式探究】
1.（2019·浙江高一期末）已知点 G 为 的重心，若 ， ，则 =( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设 是 中点，则 ，又 为 的重心，∴
．
故选 B．
2.（2019·广东高考模拟（理））已知 ， ， 三点不共线，且点 满足 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
已知 ， ， 三点不共线，且点 满足 ，所以 =
+ = ） （ ）+ = ，所以
,
故选：A
【总结提升】
平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线
等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
高频考点三 利用向量线性运算求参数
【典例 5】（2019·北京高考模拟（文））设 为 的边 的中点， ，则 的值分
ABC∆ AB a= AC b= BG
2 1
3 3a b+ 2 1
3 3
− + a b 2 1
3 3a b− 2 1
3 3a b− −
D AC 1 ( )2BD BA BC= + G ABC∆ 2
3BG BD= 2 1 ( )3 2 BA BC= × +
1 1 2 1( ) ( )3 3 3 3BA BC AB AC AB AB AC= + = − + − = − + 2 1
3 3a b= − +
A B C O 16 12 3 0OA OB OC− − =
12 3OA AB AC= + 12 3OA AB AC= −
12 3OA AB AC= − + 12 3OA AB AC = − −
A B C O 16OA 12OB 3OC 0− − = 16OA 12OB 3OC− −
12 12 3 3OA OB OA OC− + − OA 12 OA OB （ − 3+ OA OC− OA 0
12 3OA AB AC= +
E ABC AC + BE mAB nAC= ,m n别为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
∵ （ ） -
∴m n
故选：A．
【典例 6】（2020·三亚华侨学校高一开学考试）已知四边形 ABCD 为正方形， ，AP 与 CD 交于
点 E，若 ，则 = .
【答案】 .
【解析】
由题作图如图所示，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
【总结提升】
利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
(3)比较、观察可知所求．
11, 2
− 1 , 12
− 1 ,12
− 11, 2
1BE 2
= BA BC+ BA BA AC
2
+ += =
1AB AC2
+
1,= − 1
2
=
3BP CP=
PE mPC nPD= + m n−
1
3
3BP CP= 3BP CP= 3AB CE CD= =
( )1 1 2 1
3 3 3 3PE PC CE PC CD PC PD PC PC PD= + = + = + − = +
2 1 1
3 3 3m n− = − =
1
3【变式探究】
1.（2019·山东高考模拟（文））在正方形 中， 为 的中点，若 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】
由题得 ,
.
故选：B
2.（2020·全国高一课时练习）已知 x,y 是实数,向量 不共线,若 ,则
________, ________.
【答案】
【解析】
因为向量 不共线，
所以向量 均不为零向量，
解得
故答案为： ；
高频考点四 共线向量及其应用
【典例 7】设两个非零向量 a 与 b 不共线．
(1)若AB
→
＝a＋b，BC
→
＝2a＋8b，CD
→
＝3(a－b)，求证：A，B，D 三点共线；
(2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线．
【答案】（1）见解析；（2）k＝±1.
ABCD E DC AE AB ACλ µ= + λ µ+
1
2
− 1
2 1−
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2AE AD AC BC AC AC AB AC AB AC= + = + = − + = − +
1 1, 1,2 2
λ µ λ µ∴ = − = ∴ + =
,a b ( 1) ( ) 0x y a x y b+ − + − = x =
y =
1
2
1
2
,a b
,a b
( 1) ( ) 0x y a x y b+ − + − =
1 0
0
x y
x y
+ − =∴ − =
1
2
1
2
x
y
=∴
=
1
2
1
2【解析】
(1)证明：∵AB
→
＝a＋b，BC
→
＝2a＋8b，CD
→
＝3(a－b)，
∴BD
→
＝BC
→
＋CD
→
＝2a＋8b＋3(a－b)
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB
→
，
∴AB
→
，BD
→
共线．
又∵它们有公共点 B，∴A，B，D 三点共线．
(2)假设 ka＋b 与 a＋kb 共线，
则存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又 a，b 是两个不共线的非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0.
消去 λ，得 k2－1＝0，∴k＝±1.
【典例 8】已知 A，B，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP→
＝xOA→
＋yOB→
，求 x＋y 的值．
【答案】
【解析】由于 A，B，P 三点共线，所以向量AB→
，AP→
在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数 λ
使AP→
＝λAB→
，即OP→
－OA→
＝λ(OB→
－OA→
)，所以OP→
＝(1－λ)OA→
＋λOB→
，故 x＝1－λ，y＝λ，即 x＋y＝1．
【规律方法】
1.平面向量共线定理的三个应用
2.求解向量共线问题的注意事项
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线
且有公共点时，才能得到三点共线．
(3)直线的向量式参数方程：A，P，B 三点共线⇔OP
→
＝(1－t)·OA
→
＋tOB
→
(O 为平面内任一点，t∈R)．
【变式探究】
1. 设 是不共线的两个向量，已知 ， ，则( )
A． 三点共线 B． 三点共线
C． 三点共线 D． 三点共线
【答案】D
【解析】
由题意 ，
则 ，
即 ，所以 ，所以 三点共线.
2.（2020·上海高三专题练习）设 是不共线的两个向量,已知 ， ，
若 A、B、D 三点共线,求 k 的值.
【答案】 =1，k=－1
【解析】
由 A、B、C 三点共线，存在实数 ，使得
∵
∴
故
又 a,b 不共线
∴ =1，k=－1
【总结提升】
共线向量定理应用时的注意点
(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．
,a b 2AB a kb= + BC a b= +
2CD a b= −
λ
λ AB BDλ=
, 2BC a b CD a b= + = −
2BD BC CD a b= + = −
( )2 2a kb a bλ+ = −
λ(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线
且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不
重合．
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