专题 6.2 平面向量的基本定理及坐标表示
【考纲解读与核心素养】
1.理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题.
2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3．掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算.
4．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.
5.高考预测：
（1）考查平面向量基本定理、坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；
（2）常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题；也易同三角函数、解析几
何等知识相结合，以工具的形式出现．
6.备考重点：
(1) 理解坐标表示是基础，掌握坐标运算的方法是关键；
(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直
角坐标系，利用坐标运算解题.
【知识清单】
1．平面向量基本定理
平面向量基本定理
如果 是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量 ，有且只有一对实数 ，
使 .其中，不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．平面向量的坐标运算
1. 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2．平面向量的坐标表示
(1)在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 作为基底，对于平面内的一个向
量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x、y，使得 ，这样，平面内的任一向量 都可
由 x、y 唯一确定，因此把 叫做向量 的坐标，记作 ，其中 x 叫做 在 x 轴上的坐标，y 叫
做 在 y 轴上的坐标．
1 2e e， a 1 2
λ λ，
1 1 2 2a e eλ λ= + 1 2e e，
,i j
a a x yi j＝ ＋ a
( , )x y a ( , )a x y= a
a(2)若 ，则 ．
3．平面向量的坐标运算
(1)若 ，则 ；
(2)若 ，则 ．
(3)设 ，则 ， .
3．平面向量共线的坐标表示
向量共线的充要条件的坐标表示
若 ，则 ⇔ .
【典例剖析】
高频考点一 ：平面向量基本定理及其应用
【典例 1】（2020·烟台市教育科学研究院高一期末）在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中
点，则 ( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 ，之后应用向量的加法
运算法则-------三角形法则，得到 ，之后将其合并，得到 ，下一步应用
相反向量，求得 ，从而求得结果.
详解：根据向量的运算法则，可得
1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ， 2 1 2 1( )A x x y yB＝ － ， －
1 1 2 2( ) ( )a x y b x y= =， ， ， 1 2 1 2( )a b x x y y± = ± ±，
( )a x y＝ ， ( )a x yλλ λ＝ ，
1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ， 2 1 2 1( )A x x y yB＝ － ， － 2
2 1 2
2
1| ( )A x x yB y＝ － ( －| )
1 1 2 2( ) ( )a x y b x y= =， ， ， a b∥ 1 2 2 1 0x y x y =-
ABC AD BC E AD
EB =
3 1
4 4AB AC− 1 3
4 4AB AC−
3 1
4 4
+AB AC 1 3
4 4
+AB AC
1 1
2 2BE BA BC= +
BC BA AC= + 3 1
4 4BE BA AC= +
3 1
4 4EB AB AC= − ，
所以 ，故选 A.
【典例 2】（2019·山东高考模拟（文））如图，在 中， ， 是 上一点，若
则实数 的值为________．
【答案】
【解析】
由题意及图， ，
又 ，所以 ，∴ （1﹣m） ，
又 t ，所以 ，解得 m ，t ，
故答案为： ．
【总结提升】
1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平
( )1 1 1 1 1 1
2 2 2 4 2 4BE BA BD BA BC BA BA AC= + = + = + + 1 1 1 3 1
2 4 4 4 4BA BA AC BA AC = + + = +
3 1
4 4EB AB AC= − 行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．
2.特别注意基底的不唯一性：
只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量 都可被这个平
面的一组基底 线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．
【变式探究】
1.（2018 届浙江省教育绿色评价联盟 5 月适应性考试）如图，在△ 中，点 是线段 上两个动点，
且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图可知 x，y 均为正，设 ，
共线， ，
，
则 ，
，
则 的最小值为 ，故选 D.
2.（2019·江西高考模拟（理））如图所示，矩形 的对角线相交于点 ， 为 的中点，若
，则 等于（ ）．
a
1 2e e，
ABCD O E AO
( , )DE AB AD Rλ µ λ µ= + ∈ λ µ+A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由平面向量基本定理，化简
，所以 ，即 ，
故选：A．
【易错提醒】
平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运
算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，
再通过向量的运算来解决．
高频考点二：平面向量的坐标运算
【典例 3】（2020·天津滨海新·高三月考）如图， ，点 由射线 、线段 及 的延长线围
成的阴影区域内（不含边界）.且 ，则实数对 可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
根据平面向量基本定理和平行四边形法则可知：
1
2
− 1
2 1 1−
( )1 1DE DA AE DA AC AD AB AD4 4
= + = + = − + +
1 3AB AD4 4
= − 1 3λ , μ4 4
= = − 1λ μ 2
+ = −
//OM AB P OM OB AB
OP xOA yOB= + ( ),x y
1 3,4 4
−
1 7,5 5
−
1 1,4 2
−
2 2,3 3
− 若取 ，则 ，点 在阴影区域内，A 正确；
若取 ，则 ，点 在直线 的上方，B 错误；
若取 ，则 ，点 在直线 的下方，C 错误；
若取 ，则 ，点 在射线 上，D 错误，
故选：A.
【典例 4】（浙江省 2019 届高考模拟卷（三)）已知直线 与抛物线 交于 两点，点
， ，且 ，则 __________．
【答案】-3
【解析】
设 ， ，则 ， ， ，则有
，代入方程 ，故有 ，同理 ，有，即可视 为方程
的两根，则 .
故答案为-3.
【总结提升】
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，
则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减
去始点的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
【变式探究】
1．（2019·吉林高考模拟（理））已知向量 ，其中 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】A
1 3,4 4
−
1 3 1 3
4 4 4 4OP OA OB AO OB= − + = + P
1 7,5 5
−
1 7 1 7
5 5 5 5OP OA OB AO OB= − + = + P AB
1 1,4 2
−
1 1 1 1
4 2 4 2OP OA OB OA BO= − = + P AO
2 2,3 3
−
2 2 2 2
3 3 3 3OP OA OB AO OB= − + = + P OM【解析】
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，故 的最小值为 .
故选 A
2．（2020·上海高二课时练习）已知 三点共线，则 ，则 ______，
______．
【答案】3
【解析】
由 ，可得 ，
因为 ，即 ，
可得 ，解得 .
故答案为： ， .
高频考点三：平面向量共线的坐标表示
【典例 5】（2020·桂阳县第二中学期中）已知 、 、 ， ， .
（1）求点 、 及向量 的坐标；
（2）求证： .
【答案】（1） ， ， （2）证明见解析
【解析】
（1）设点 ， 即 ，解得： ，故
11( 1, 2), (1,8), , 2A B C x − − AC CBλ= λ =
x =
1
2
11( 1, 2), (1,8), , 2A B C x − −
15 5( 1, ), (1 , )2 2AC x CB x= + = −
AC CBλ= 15 5( 1, ) (1 , )2 2x xλ+ = ⋅ −
1 (1 )
15 5
2 2
x xλ
λ
+ = − = ⋅
13, 2xλ = =
3 1
2
( )1,0A − ( )3, 1B − ( )1,2C 1
3AE AC= 1
3BF BC=
E F EF
EF AB
1 2,3 3E −
7 ,03F
8 2,3 3EF = −
( ),E a b 1
3AE AC= 1( 1, ) (2,2)3a b+ =
1
3
2
3
a
b
= −
=
1 2,3 3E − 设点 ， 即 ，解得 ，故
（2） ， ，故
【典例 6】（浙江省金丽衢十二校 2019 届联考）过点 的直线 与椭圆 交于点 和 ，且
.点 满足 ，若 为坐标原点，则 的最小值为_ ．
【答案】
【解析】
设 ， ， 则 于是 ，同理
，于是我们可以得到
.
即 ，所以 Q 点的轨迹是直线， 即为原点到直线的距离，所以
【规律方法】
平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为
λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于 λ 的方程，求出 λ 的值后代入 λa 即可得到所求的向量．
(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，
y2)，则 a∥b 的充要条件是 x1y2＝x2y1”解题比较方便．
【变式探究】
1．（2020·山东诸城·高一期中）（多选题）已知 ， ，则以下结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D． 的最小值为
( ),F c d 1
3BF BC= 1( 3, 1) ( 2,3)3c d− + = −
7
3
0
c
d
=
=
7 ,03F
8 2,3 3EF = −
(4, 1)AB = − 8 2,3 3EF = −
3
2AB EF EF AB= ∴
1a = ( )3,4b =
//a b 6a b+ =
a b⊥ a b a b+ = −
//a b 3 4,5 5a =
a b− 4【答案】BD
【解析】
，则 .
对于 A 选项，若 ，则 ，所以， 或 ，A 选项错误；
对于 B 选项，若 ，则 ， ，
，则 ， ，
B 选项正确；
对于 C 选项，若 ，且 ，则 ， 或 ，C 选项错误；
对于 D 选项，由向量模的三角不等式可得 ，D 选项正确.
故选：BD.
2．（2019·陕西高考模拟（文））已知平面向量 ， ，若向量 与向
量 共线，则 x=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由 ， ，得
因为 ∥
所以 ，解得
故选：B
高频考点四：平面向量共线坐标表示的应用
【典例 7】（2019·江苏高考模拟）如图，在平面四边形 中， ， ，
，点 为线段 的中点．若 ( )，则 的值为_______．
( )3,4b =
2 23 4 5b = + =
//a b a b a b+ = ± 6a b+ = 4a b+ =
a b⊥ 0a b⋅ = ( )22 2 2 2 2
2a b a b a a b b a b∴ + = + = + ⋅ + = +
( )22 2 2 2 2
2a b a b a a b b a b− = − = − ⋅ + = + 2 2
a b a b+ = − a b a b∴ + = −
//a b 1a = ba
b
= ±
3 4,5 5a ∴ =
3 4,5 5a = − −
4a b a b− ≥ − =
(1, )a x= (4,2)b = 2a b+
b
1
3
1
2
2
5
2
7
( )1,a x= ( )4,2b = ( )2 6,2 2a b x+ = +
( )2a b+ b
( )6 2 2 2 4 0x× − + × = 1
2x =
ABCD 90CBA CAD∠ = ∠ = ° 30ACD∠ = °
AB BC= E BC AC AD AEλ µ= + , Rλ µ ∈ λ µ【答案】
【解析】
以 A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设 AB＝BC＝2，
则有 A（0,0），B（2,0），C（2,2），E（2,1），AC＝2 ，
AD＝2 ×tan30°＝ ，过 D 作 DF⊥x 轴于 F，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°，
DF＝ sin45°＝ ，所以 D（ ， ），
＝（2,2）， ＝（ ， ）， ＝（2,1），因为 ，
所以，（2,2）＝ （ ， ）+ （2,1），
所以， ，解得： 的值为
故答案为：
4 3
9
2
2 2 6
3
2 6
3
2 6 2 2 3
3 2 3
× = 2 3
3
− 2 3
3
AC AD 2 3
3
− 2 3
3 AE AC AD AEλ µ= +
λ 2 3
3
− 2 3
3
µ
2 3 2 23
2 3 23
λ µ
λ µ
− + =
+ =
3
3
4
3
λ
µ
=
=
λ µ 4 3
9
4 3
9【典例 8】（2020·辽宁沈阳·高一期末）在平行四边形 中， ，
（1）若 为 上一点，且 ，用基底 表示 ；
（2）若 ， ，且 与 平行，求实数 的值.
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
（1）
（2）因为 ，
所以
由于
则
所以 .
【总结提升】
利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则 a∥b 的充要条件是 x1y2＝x2y1”解题比较方便．
【变式探究】
1.（2019·四川高考模拟（理））已知向量 =（sin2α，1）， =（cosα，1），若 ∥ ， ，则
______．
【答案】
【解析】
向量 =（sin2α，1）， =（cosα，1），
ABCD AB a
→
= AD b
→
=
E DC 2DE EC
→ →
= { },a b
→ →
AE
( )1,2a
→
= ( )3,2b
→
= − 2k a b
→ →
+ 2 4a b
→ →
− k
2
3AE a b= + 1k = −
2 2 2
3 3 3AE AD DE AD DC b a a b= + = + = + = +
( )1,2a = ( )3,2b = −
( ) ( ) ( )2 ,2 6,4 6,2 4ka b k k k k+ = + − = − +
( ) ( ) ( )2 4 2,4 12,8 14, 4a b− = − − = −
( ) ( )2 // 2 4ka b a b+ −
( ) ( )-4 6 14 2 4k k− = +
1k = −
a b a b π0 2α< < =α
6
π
a b若 ∥ ，则 sin2α cosα=0，
即 2sinαcosα=cosα；
又 ，∴cosα≠0，∴sinα= ，∴ ．
故答案为： ．
2.（2020·上海高二课时练习）已知平面上三点 ，求点 D 的坐标，使这四个点构成
平行四边形的四个顶点.
【答案】 或 或
【解析】
解法一：设 ，当平行四边形为 时， ，即有 ，
解得 ，即 ；
当平行四边形为 时，同理可得 ；
当平行四边形为 时，同理可得 .
综上可得 或 或 .
解法二：当平行四边形为 时，对角线 与 的中点为 M.由中点坐标公式，得 ，再由
中点坐标公式，得 ， ，即 .
当平行四边形为 时，同理可得 ；
当平行四边形为 时，同理可得 .
综上可得 或 或 .
a b −
π0 2α< < 1
2 6
πα =
6
π
( 1,2), (3,4), (2,1)A B C−
( 2, 1)D − − (6,3)D (0,5)D
( , )D x y ABCD AB DC= (4,2) (2 ,1 )x y= − −
2, 1x y= − = − ( 2, 1)D − −
ACDB (6,3)D
ACBD (0,5)D
( 2, 1)D − − (6,3)D (0,5)D
ABCD AC BD 1 3,2 2M
12 3 22Dx = × − = − 32 4 12Dy = × − = − ( 2, 1)D − −
ACDB (6,3)D
ACBD (0,5)D
( 2, 1)D − − (6,3)D (0,5)D
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