专题 6.5 《平面向量》单元测试卷
一、单选题
1．（2020·四川开学考试（文））已知向量 ，则与 平行的单位向量的坐标为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】D
【解析】
由已知 ，所以与 平行的单位向量为 或 ．
故选：D．
2．（2019·河北廊坊·高二期末（文））在 中， 为 边上的中线， 为 （靠近点 ）的三
等分点，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
根据向量的运算法则，可得：
.
3．（2020·四川成都·石室中学高三开学考试（文））已知向量 ， ，则 是
// 的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件 D．充分不必要条件
【答案】D
【解析】
( )1, 2a = − a
2 5 5,5 5
−
2 5 5,5 5
−
2 5 5,5 5
−
5 2 5,5 5
−
5 2 5,5 5
−
5 2 5,5 5
−
2 21 ( 2) 5a = + − = a a
a
5 2 5( , )5 5
= − 5 2 5( , )5 5
a
a
− = −
ABC AD BC M AD A
BM =
5 1
6 6AC AB− 1 5
6 6AC AB−
5 1
6 6AC AB+ 1 5
6 6AC AB+
1 1 1 5( )3 6 6 6BM AM AB AD AB AB AC AB AC AB= - = - = + - = -
( 1)a m= ， (3 2)b m= − ， 3m = a
b
当 时，
，即 ，
解得： 或 ，
是 的充分不必要条件.
故选：D
4．（2020·四川开学考试（文））已知 ， ，且 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设向量 与 的夹角为 ，则 ，由于 ，所以 .
故选：C
5．（2020·四川省泸县第四中学开学考试（文））已知向量 ， 不共线， , ，
若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
∵ ， 不共线，以及 ∥
∴存在 k，使 ；
即 ；
由向量相等，解得
故选 C.
6．（2020·运城市景胜中学开学考试）已知向量 ， 满足 ， ， ，则
/ /a b
( )2 1 3 0m m − − × = 2 2 3 0m m− − =
1m = − 3m =
3m∴ = / /a b
5a = 4b = 10a b⋅ = − a b
6
π
3
π 2
3
π 5
6
π
a b θ 10 1cos 5 4 2
a b
a b
θ ⋅ −= = = −×⋅
[ ]0,θ π∈ 2
3
πθ =
1e
2e
2 1a e eλ= + 1 22 ( 1)b e eλ= − −
/ /a b
1λ = − 1
2
λ =
1
3
λ = 1
3
λ = −
1e
2e a b
b ka=
1 2 1 22 ( 1)λ λ− − = + e e ke k e
1
3
λ =
ab a b | | 5a = | | 6b = 6a b⋅ = −
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
， ， ， .
，
因此， .
故选：D.
7．（2020·宁夏高一期末）已知向量 ， ，且 ，则
的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】A
【解析】
由已知 ，所以
8．（2020·甘肃省会宁县第二中学期末（文））已知 是非零向量且满足 ， ，则
与 的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设 的夹角为 ；
因为 ， ，
所以 ，
cos , =a a b+
31
35
− 19
35
− 17
35
19
35
5a =
6b = 6a b⋅ = − ( ) 2 25 6 19a a b a a b∴ ⋅ + = + ⋅ = − =
( )2 2 2
2 25 2 6 36 7a b a b a a b b+ = + = + ⋅ + = − × + =
( ) 19 19cos , 5 7 35
a a b
a a b
a a b
⋅ +
< + >= = =×⋅ +
(sin 2)a θ= − ， (1 cos )b θ= ， a b⊥ 2sin 2 cosθ θ+
1
2
sin 2cos 0 tan 2a b θ θ θ⋅ = − = ⇒ = 2 2sin 2 cos 2sin cos cosθ θ θ θ θ+ = +
2
2 2 2
2sin cos cos 2tan 1 4 1 1sin cos 1 tan 1 4
θ θ θ θ
θ θ θ
+ + += = = =+ + +
,a b ( 2 )a b a− ⊥ ( 2 )b a b− ⊥
a b
6
π
3
π 2
3
π 5
6
π
,a b θ
( 2 )a b a− ⊥ ( 2 )b a b− ⊥
22 2a b a b= = ⋅
则 ，
则
故选：B
点睛：向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式 ；二是向量的平方等于向
量模的平方 .
9．（2020·四川邻水实验学校开学考试（文））已知正方形 的边长为 ，以 为圆心的圆与直线
相切.若点 是圆 上的动点，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图，建立平面直角坐标系，则 ， ， ，
圆 的方程为： ,∴ ，
∴ ， ，
∴
∴ 时， 的最大值是 8，
故选：D
2 2| 2 , | 2a a b b a b= ⋅ ⋅=
2
2
12cos , .2 3
a
a b
a b a
πθ θ⋅= = = ∴ =
cosa b a b θ⋅ =
22
a a=
ABCD 2 B AC
P B DB AP⋅
2 2 4 2 4 8
( )0,0B ( )A 0,2 ( )D 2,2
B 2 2 2x y+ = ( )2 2P cos sinθ θ，
( )2 2DB = − − ， ( )2 2 2AP cos sinθ θ= − ，
2 2 2 2 4 4 4 4DB AP cos sin sin
πθ θ θ ⋅ = − − + = − +
14sin
πθ + = − DB AP⋅
10．（2020·四川开学考试（文））已知边长为 2 的菱形 中，点 为 上一动点，点 满
足 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意知： ，设
以 与 交点为原点， 为 轴， 为 轴建立如下图所示的平面直角坐标系：
， ，设
则 ，
ABCD F BD E
2BE EC= 2
3AE BD⋅ = − AF EF⋅
2
3
− 4
3
− 152
75
− 73
36
−
2
3BE BC= DAB θ∠ =
( ) ( ) 2 2 2
3 3AE BD AB BE AD AB AB AD AB BC AD BC AB∴ ⋅ = + ⋅ − = ⋅ − + ⋅ − ⋅
8 8 24cos 4 cos3 3 3
θ θ= − + − = −
1cos 2
θ∴ =
3
πθ⇒ =
AC BD AC x BD y
( )3, 0A∴ − 2 3 1,3 3E
−
( )0,F t
( )3,AF t= 2 3 1,3 3EF t
= − +
当 时，
本题正确选项：
二、多选题
11．（2020·全国高三其他）已知向量 ， ，则（ ）
A．若 与 垂直，则 B．若 ，则 的值为
C．若 ，则 D．若 ，则 与 的夹角为
【答案】BC
【解析】
对于选项 A：由 ，可得 ，解得 ，故 A 错误，
对于选项 B：由 ，可得 ，解得 ，∴ ，
∴ ，故 B 正确；
对于选项 C：若 ，则 ，则 ，故 C 正确：
若 ，对于选项 D： ：设 与 的夹角为 ，
则 ，故 D 错误．
故选:BC．
12．（2020·广东东莞四中月考）下列命题中，结论正确的有（ ）
A．
B．若 ，则
C．若 ，则 A､B､C､D 四点共线；
D．在四边形 中，若 ， ，则四边形 为菱形.
【答案】BD
21 12 23 3AF EF t t t t ∴ ⋅ = − + + = + −
1
6t = − ( )
min
1 1 73236 18 36AF EF⋅ = − − = −
D
( )1, 2a
→
= − ( )1,b m
→
= −
a
→
b
→ 1m = − //a b
→ →
a b
→ →
⋅ 5−
1m = 13a b
→ →
− = 2m = − a
→
b
→ 60°
a b⊥ ( ) ( )1 1 2 0m× − + − ⋅ = 1
2m = −
//a b
→ → ( ) ( )1 2 1 0m× − − × − = 2m = ( )1,2b = −
( ) ( )1 1 2 2 5a b⋅ = × − + − × = −
1m = ( )2, 3a b− = − 13a b
→ →
− =
2m = − ( )1, 2b = − − a b θ
1 4 3cos 55 5
a b
a b
θ ⋅ − += = =
×
0 0a× =
a b⊥ | | | |a b a b+ = −
//AB CD
ABCD 0AB CD+ = 0AC BD⋅ = ABCD
【解析】
对于 A， ，故 A 错误；
对于 B，若 ，则 ，所以 ，
，故 ，即 B 正确；
对于 C， ，则 或 与 共线，故 C 错误；
对于 D，在四边形 中，若 ，即 ，所以四边形 是平行四边形，又
，所以 ，所以四边形 是菱形，故 D 正确；
故选：BD
13．（2020·上海专题练习）若 均为单位向量,且 ,则 的值可能为
( )
A． B．1 C． D．2
【答案】AB
【解析】
因为 均为单位向量,且 ，
所以 ，
所以 ，
而
，
所以选项 不正确，
故选：AB
14．（2020·沈阳市第一七〇中学高一期末）设向量 ， ，则下列叙述错误的是( )
A．若 时，则 与 的夹角为钝角
B． 的最小值为
0 0a× =
a b⊥ 0a b⋅ = 2 2 2 2
| | 2a b a b a b a b+ = + + ⋅ = +
2 2 2 2
| | 2a b a b a b a b− = + − ⋅ = + | | | |a b a b+ = −
//AB CD //AB CD AB CD
ABCD 0AB CD+ = AB DC= ABCD
0AC BD⋅ = AC BD⊥ ABCD
, ,a b c 0,( ) ( ) 0a b a c b c⋅ = − ⋅ − ≤ a b c+ −
2 1− 2
, ,a b c 0,( ) ( ) 0a b a c b c⋅ = − ⋅ − ≤
2( ) 0a b c a b c⋅ − ⋅ + + ≤
( ) 1c a b⋅ + ≥
2 2 2 2| | ( ) 2 2 2a b c a b c a b c a b a c b c+ − = + − = + + + ⋅ − ⋅ − ⋅
3 2 ( )c a b= − ⋅ + 3 2 1≤ − =
,C D
( ),2a k= ( )1, 1b = −
2k < − a b a 2
C．与 共线的单位向量只有一个为
D．若 ，则 或
【答案】CD
【解析】
对于 A 选项，若 与 的夹角为钝角，则 且 与 不共线，则 ，
解得 且 ，A 选项中的命题正确；
对于 B 选项， ，当且仅当 时，等号成立，B 选项中的命题正确；
对于 C 选项， ，与 共线的单位向量为 ，即与 共线的单位向量为 或
，C 选项中的命题错误；
对于 D 选项， ，即 ，解得 ，D 选项中的命题错误.
故选：CD.
三、填空题
15．（2020·浙江开学考试）已知单位向量 ，若向量 满足 ，则 ______.
【答案】
【解析】
由题意知： ，
又由 ，有 ，可得
∴ ，即
故答案为：
16．（2020·广东濠江·金山中学高一月考） 中， ，且对于 ，
最小值为 ，则 _____.
b 2 2,2 2
−
2a b= 2 2k = 2 2−
a b 0a b⋅ = =
a b 60°
2OA a= 2OB b= − OC c=
2OA = 2OB = 120AOB∠ = ° 30A B= = °∠ ∠
4 4 2 2 2 0cos12 2 3AB = + − × × =°
2 2 2 2 2 3a c b c a c b c CA CB− + + = − + − − = + =
CA + CB AB=
A B C C AB
a c− OA AB
OA D D DE AB⊥ E 1sin 2DE AD A= =
3cos 2AE AD A= = 3 3
2BE AB AE= − =
2 2 1 27 74 4BD DE BE= + = + =
DE a c BD≤ − ≤
a c− 1 , 72
故答案为： .
四、双空题
18．（2020·浙江其他）已知两个单位向量 ， ，若 ， ______； 的
最小值是______.
【答案】1
【解析】
由数量积的定义得 ， ，
如下图所示，得到一个正三角形， 就是 ，故 ，
故答题空 1 答案为 1；
平移 ，可得 ，且 ， ，所以 ，故
1 , 72
1e
2e
1 2
1
2e e⋅ =
21e e− =
1 2 1 2e e e eλ+ + −
3 3
2
1 2
1cos 2e e θ⋅ = 60θ = °
1 2e e− BA 1 2 1e e− =
1e
1 2CB e e= + 60BOA A∠ = ∠ = ° 30BCA∠ = ° 90CBA∠ = °
，由上图可知，设 ，则 ，易知当 时，有 的最小值
为 ，故 的最小值是 .
19．（2019·浙江高三月考）在 中， ，点 分别在线段 上,
， ，则 ________， ________.
【答案】
【解析】
如图 中，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
解得： ，
在 中，由余弦定理，可得：
，
所以 ，所以 ，
，
所以 ，故答案为 ； .
20．（2020·浙江省兰溪市第三中学高三开学考试）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .
已知 ， ， ，则 ________， ________.
1 2 3e e+ =
2OD eλ=
1 2DA e eλ= − AD OD⊥ 1 2e eλ−
3
2 1 2 1 2e e e eλ+ + − 3 3 33 2 2
+ =
ABC∆ 90ACB∠ = ° ,D E ,BC AB
3 6AC BC BD= = = 60EDC∠ = ° BE = cos CED∠ =
3 2 6+ 2
2
ABC∆ 60EDC∠ = ° 120EDB∠ = °
sin sin
BE BD
EDB BED
=∠ ∠
2
sin120 sin15
BE =
3 3 3 2 6sin15 2 3 2 1
2 2 2 2
BE = = = +
⋅ − ⋅
CEB∆
2 2 2 2 cosCE BE CB BE CB B= + − ⋅ 224 6 2 (4 2 2)= − = −
4 2 2CE = −
2 2 2 1cos 2 2
CE BE CBCEB CE BE
+ −∠ = =⋅
CEB 60 ,°∠ = CED CEB BED 45∠ = ∠ − ∠ =
2cos 2CED∠ = 3 2 6+ 2
2
ABC∆ A B C a b c
2 3b = 3c = 3A C π+ = cosC = ABCS∆ =
【答案】
【解析】
由于 ，
则 ，解得 ，
由于 ， ，利用正弦定理 ，
则 ，整理得 ，
解得 ，∴ ，
由 ，所以
所以
则 .
故答案为： ； .
21．（2020·北京东城·高三二模）从下列四个条件① ；② ；③ ；④ 中
选出三个条件，能使满足所选条件的 存在且唯一，你选择的三个条件是____（填写相应的序号），
所选三个条件下的 的值为_____.
【答案】①③④或②③④ 或
【解析】
由①②结合正弦定理可得， ，
∴ ，此时 不唯一，故所选条件中不能同时有①②，
故只能是①③④或②③④，
3
3 2
3A C π+ =
3A C A B C+ = + + 2B C=
2 3b = 3c =
sin sin
b c
B C
=
sin 2 sin
b c
C C
= 2 3 3
2sin cos sinC C C
=
3cos 3C = 2 6sin 1 cos 3C C= − =
3A C π+ = 3A Cπ= −
( ) 3
3
9sin sin 3 sin3 3sin 4sin 6 6 643 33A C C C Cπ= = − × =
− = − = ×
1 1 6sin 2 3 3 22 2 9ABCS b c A∆ = ⋅ ⋅ = × × × =
3
3 2
2a c=
6C
π= 2cos 4B = − 7b =
ABC
c
7
2 2
sin sin
a c
A C
=
2sin 2 sin 2A C= = A
若选①③④， ， ， ，
由余弦定理可得， ，化简得， ，
解得， ，或 （舍去）；
若选②③④， ， ， ，
∴ ，且 为钝角，
由正弦定理可得， ，
解得， ；
故答案为：①③④， ；②③④， ．
五、解答题
22.（2019·河北廊坊·高一期末）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足
.
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的面积.
【答案】（1） （2）
【解析】
（1）在 中，由条件及正弦定理得
∴
∵ ，∴
∵ ，∴ .
2a c= 2cos 4B = − 7b =
2 22 2 7
4 2 2
c c
c c
+ −− =
⋅
24 7 0c − =
7
2c = 7
2c = −
6C
π= 2cos 4B = − 7b =
14sin 4B = B
7
114
24
c=
2c =
7
2 2
ABC A B C a b c
( )2 cos cosb c A a C− =
A
13a = 5b c+ = ABC
3A
π= 3
ABC (2sin sin )cos sin cosB C A A C− =
2sin cos sin cos sin cos sinB A C A A C B= + =
sin 0B ≠ 2cos 1A =
( )0,A π∈
3A
π=
（2）∵ ，
由余弦定理得
∴ .
∴ .
23．（2020·黑龙江鹤岗·高三月考（理））在 中，内角 所对的边分别为 ，且满足
.
（1）求出角 的大小；
（2）若 的面积为 ，求 的周长的最小值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
（1）由 可得 ，
∴ ，
解得 或 ，
∵ ，∴ .
（2）∵ ，∴ .
根据余弦定理可得
，
∴ ，当且仅当 时取等号，
，当且仅当 时取等号，
∴ 的周长 ，故周长的最小值为 .
24.（2020·海南枫叶国际学校高一期中）△ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知
a=bcosC+csinB．
（Ⅰ）求 B；
（Ⅱ）若 b=2，求△ABC 面积的最大值.
13a = 5b c+ =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2( ) 2 2 cos 3b c bc b
π= + − − 25 3 13bc= − =
25 13 43bc
−= =
1 1sin 4 sin 32 2 3ABCS bc A
π= = ⋅ ⋅ =△
ABC , ,A B C , ,a b c
22sin 1 cos22
A B C
+ = −
C
ABC 3 ABC
3
π
6
22sin 1 cos22
A B C
+ = − 2cos2 1 2sin cos( ) cos2
A BC A B C
+= − = + = −
22cos cos 1 0 (2cos 1)(cos 1) 0C C C C+ − = ⇒ − + =
1cos 2C = cos 1C = −
0 C π< < 1cos ,2 3C C π= = 1 1sin sin 32 2 3ABCS ab C ab π ∆ = = = 4ab = 2 2 2 2 22 cos 2 4c a b ab C a b ab ab ab ab= + − = + − − = = 2c 2a b= = 2 2 4 4a b ab+ = = 2a b= = ABC 6a b c+ + 6
【答案】（Ⅰ）B= （Ⅱ）
【解析】
(1)∵a=bcosC+csinB
∴由正弦定理知 sinA=sinBcosC+sinCsinB ①
在三角形 ABC 中，A= －(B+C)
∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC ②
由①和②得 sinBsinC=cosBsinC
而 C∈(0， )，∴sinC≠0，∴sinB=cosB
又 B(0， )，∴B=
(2) S△ABC acsinB ac，
由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2accos 2ac﹣2ac ，
整理得：ac ，当且仅当 a＝c 时，等号成立，
则△ABC 面积的最大值为 （2 ） 1．
25．（2020·山东高考真题）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问
题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】详见解析
【解析】
解法一：
由 可得： ，
不妨设 ，
4
π
2 1+
1
2
= 2
4
=
4
π ≥ 2
2
×
4
2 2
≤
−
1 2 4 1 22 2 22 2
× × = × ×
− 2+ 2= +
3ac = sin 3c A = 3=c b
c
ABC , ,A B C , ,a b c sin 3sinA B= 6C
π=
sin 3sinA B= 3a
b
=
( )3 , 0a m b m m= = >
则： ，即 .
选择条件①的解析：
据此可得： ， ，此时 .
选择条件②的解析：
据此可得： ，
则： ，此时： ，则： .
选择条件③的解析：
可得 ， ，
与条件 矛盾，则问题中的三角形不存在.
解法二：∵ ,
∴ ,
，
∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,
若选①， ,∵ ,∴ ,∴c=1;
若选②， ,则 , ;
若选③,与条件 矛盾.
26．（2020·嘉祥县第一中学三模）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，满足
.有三个条件：① ；② ；③ .其中三个条件中仅有两个正确，
请选出正确的条件完成下面两个问题：
（1）求 ；
2 2 2 2 2 232 cos 3 2 3 2c a b ab C m m m m m= + − = + − × × × = c m=
23 3 3ac m m m= × = = 1m∴ = 1c m= =
2 2 2 2 2 2
2
3 1cos 2 2 2
b c a m m mA bc m
+ − + −= = = −
21 3sin 1 2 2A = − − =
3sin 32c A m= × = 2 3c m= =
1c m
b m
= = c b=
3=c b
( )3 , ,6sinA sinB C B A C
π π= = = − +
( )3sin 3sin 6sinA A C A
π = + = +
( ) 3 13sin 3 · 3 ·2 2sinA A C sinA cosA= + = +
3sinA cosA= − 3tanA = − 2
3A
π=
6B C
π= =
3ac = 3 3a b c= = 23 3c =
3csinA = 3 32
c = 2 3c =
3=c b
ABC∆ A B C a b c
3sin cos 0A A+ = 1a = 3b = 3
4ABCS∆ =
c
（2）设 为 边上一点，且 ，求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）因为 ，所以 ，得 ，
， ，
为钝角，与 矛盾，故①②中仅有一个正确，③正确.
显然 ，得 .
当①③正确时，
由 ，得 （无解）；
当②③正确时，由于 ， ，得 ；
（2）如图，因为 ， ，则 ，
则 ， .
27．（2020·山东新校高三月考）在① ；② ，这两
个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
在 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 的面积为 S，已知________．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 b 的值．
【答案】（1） ；（2） ；
D BC AD AC⊥ ABD∆
1 3
12
3sin cos 0A A+ = 3 tan 1 0A+ = 3tan 3A = −
0 A π< cos 0B > sin 3tan cos 4
BB B
= =
5 cos 4 5b C c a+ =
5sin cos 4sin 5sinB C C A+ =
5sin cos 4sin 5sin( )B C C B C+ = +
sin (4 5cos ) 0C B− =
ABC sin 0C ≠
cos 4
5B = 2 3sin 1 cos 5B B= − = 3tan 4B =
3tan 4B = 3sin 5B = 42,S = 10a =
1 1 3acsin 10 422 2 5S B c= = × × = 14c =
42,S = 10,a = 14c = ( )2 2 2 26 16 3c S b c a= + + −
( )2 2 2 26 14 16 42 3 14 10b× = × + + − 6 2b =
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