2020-2021学年高三数学一轮复习知识点讲解7-5 数列的综合应用

专题 7.5 数列的综合应用 【考纲解读与核心素养】 1.理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用. 2.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 3.会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题. 4.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 5.高考预测： （1）根据数列的递推式或者通项公式确定基本量，选择合适的方法求和，进一步证明不等式 （2）数列与函数、不等式相结合. 6.备考重点: （1）灵活选用数列求和公式的形式，关注应用公式的条件； （2）熟悉分组求和法、裂项相消法及错位相减法； （3)数列求和与不等式证明、不等式恒成立相结合求解参数的范围问题. 【知识清单】 知识点 1．等差数列和等比数列比较 等差数列 等比数列 定义 ＝常数 ＝常数 通项公式 判定方法 (1)定义法； (2)中项公式法： ⇔ 为等差数列； (3)通项公式法： ( 为常数, )⇔ 为等差数 列； (4)前 n 项和公式法： ( 为常数, )⇔ 为等差数列； (1)定义法 (2)中项公式法： ( )⇔ 为等比数列 (3)通项公式法： ( 均是不为 0 的常数， )⇔ 为等比数列 (4) 为等差数列⇔ ( 总有 意义)为等比数列 1n na a+ − 1n n a a + 1 ( 1)na a n d= + − )0( 1 1 1 ≠⋅⋅= − qaqaa n n 212 ++ += nnn aaa ( )n N∈ ∗ { }na na pn q= + ,p q n N∈ ∗ { }na 2 nS An Bn= + ,A B n N∈ ∗ { }na 2 12 ++ = nnn aaa ( )n N∈ ∗ 0na ≠ { }na n na cq= ,c q n N∈ ∗ { }na { }na { }naA naA(5) 为等比数列，且 ，那 么数列 ( ，且 ) 为等差数列 性质 (1)若 ， ， ， ，且 ，则 (2) (3) ，…仍成 等差数列 (1)若 ， ， ， ，且 ，则 (2) (3)等比数列依次每 项和( )，即 ，…仍成等比数 列 前 n 项和 时， ；当 时， 或 . 知识点 2．数列求和 1. 等差数列的前 和的求和公式： . 2．等比数列前 项和公式 一般地，设等比数列 的前 项和是 ，当 时， 或 ；当 时， （错位相减法）. 3. 数列前 项和 ①重要公式：（1） （2） （3） （4） ②等差数列中， ； ③等比数列中， . 【典例剖析】 { }na 0na > {log }a na 0a > 1a ≠ m n p q N+∈ m n p q+ = + m n p qa a a a+ = + ( )n ma a n m d= + − 2 3 2, ,n n n n nS S S S S− − m n p q N+∈ m n p q+ = + m n p qa a a a=  mn mn qaa −= n 0nS ≠ 2 3 2, ,n n n n nS S S S S− − 1 1 ( ) ( 1) 2 2 n n n a a n nS na d + −= = + 1q = 1naSn = 1≠q q qaS n n − −= 1 )1(1 1 1 n n a a qS q −= − n 1 1 ( ) ( 1) 2 2 n n n a a n nS na d + −= = + n 1 2 3, , , , ,na a a a  n =nS 1 2 3 na a a a+ + + + 1≠q q qaS n n − −= 1 )1(1 1 1 n n a a qS q −= − 1q = 1naSn = n 1 n k k = =∑ 1 2 3 n+ + + + = 2 )1( +nn 1 (2 1) n k k = − =∑ ( )1 3 5 2 1n+ + + + − = 2n 3 1 n k k = =∑ 2 333 )1(2 121     +=+++ nnn 2 1 n k k = =∑ )12)(1(6 1321 2222 ++=++++ nnnn m n m nS S S mnd+ = + + n m m n n m m nS S q S S q S+ = + = +高频考点一 等差数列与等比数列的综合问题 【典例 1】（浙江省杭州市第二中学 2020 届高三）已知等比数列 的各项均为正数，且 ， ， 成 等差数列，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 设公比为 .由 ， ， 成等差数列，可得 ， 所以 ，则 ，解 (舍去)或 . 所以 .故选 A. 【典例 2】（2017·全国高考真题（文））已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ， 且 ， ， . （1）若 ，求 的通项公式； （2）若 ，求 . 【答案】（1） ；（2）5 或 . 【解析】 设等差数列 公差为 ，等比数列 公比为 有 ，即 . （1）∵ ，结合 得 ， ∴ . （2）∵ ，解得 或 3， 当 时， ，此时 ； 当 时， ，此时 . 【总结提升】 等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求 { }na 13 2 a 3 4 a 2a 20 19 18 17 a a a a + =+ 9 6 3 1 q 13 2 a 3 4 a 2a 31 2 3 2 2 aa a+ = 2 1 1 1 3 2 2 a a qa q+ = 2 2 3 0q q− − = 1q = − 3q = 2 220 19 18 17 18 17 18 1 2 7 9a a a q a qa a a a q+ += = =+ +出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序． (2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于 1 的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨 大的． 【变式探究】 1.（2019 年 9 月浙江省嘉兴市高三测试）已知 是公差为 的等差数列， 为其前 项和，若 ， ， 成等比数列，则 _____，当 _______时， 取得最大值． 【答案】19. 10. 【解析】 因为 ， ， 成等比数列， 所以 ， 又 是公差为 的等差数列， 所以 ， 即 ，解得 ， 所以 ， 因此，当 时， 取得最大值． 故答案为(1). 19. (2). 10. 2.（2019·天津高考模拟（理））已知数列 满足 （ 为实数，且 ）， ， ， ，且 ， ， 成等差数列． （Ⅰ）求 的值和 的通项公式； （Ⅱ）设 ， ，求数列 的前 项和． 【答案】（Ⅰ） ， ;（Ⅱ） . { }na 2− nS n 2 1a + 5 1a + 7 1a + 1a = n = nS 2 1a + 5 1a + 7 1a + ( ) 75 2 21 ( 1)( 1)+ = + +a a a { }na 2− ( )2 1 1 18 21 ( 1)( 112 )+ =− − −+ +a a a ( )2 1 1 1( )7 ( 111)− −= −a a a 1 19a = 2 219 ( 1) 20 ( 10) 100= − − = − + = − − +n n n n nS n n 10n = nS { }na 2n na qa+ = q 1q ≠ n ∗∈N 1 1a = 2 2a = 2 3a a+ 3 4a a+ 4 5a a+ q { }na 2 2 1 2 log n n n ab a −= n ∗∈N { }nb n 2q = 1 2 2 2 , 2 , n n n na n − =   为奇数 为偶数 11 2n n +−【解析】 （Ⅰ）由已知，有 ，即 所以 ． 又因为 ，故 ，由 ，得 ． 当 时， ； 当 时， ． 所以， 的通项公式为 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ．设 的前 项和为 ，则 ， ， 上述两式相减，得 整理得， ， ， 所以 ． 所以，数列 的前 项和为 ， ． 【易错提醒】 1.利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面： (1)裂项过程中易忽视常数，如 容易误裂为 ，漏掉前面的系数 ； (2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误． 2.应用错位相减法求和时需注意： （1）给数列和 Sn 的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论； （2）在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为 n. 高频考点二 数列与函数的综合 【典例 3】（2020 届浙江省名校新高考研究联盟(Z20 联盟)高三上学期第一次联考）已知数列 满足： ( ) ( ) ( ) ( )3 4 2 3 4 5 3 4a a a a a a a a+ − + = + − + 4 2 5 3a a a a− = − ( ) ( )2 31 1a q a q− = − 1q ≠ 3 2 2a a= = 3 1a a q= ⋅ 2q = ( )2 1n k k ∗= − ∈N 1 21 2 1 2 2 nk n ka a −− −= = = ( )2n k k ∗= ∈N 2 2 2 2 nk n ka a= = = { }na 1 2 2 2 , 2 , n n n na n − =   为奇数 为偶数 1 2n n nb −= { }nb n nT 1 2 3 0 1 2 1 2 2 2 2n n nT −= + + + + 2 3 1 1 0 1 2 1 2 2 2 2 2n n n n nT + − −= + + + + 1 2 3 1 1 1 111 1 1 1 1 14 2 12 2 2 2 2 21 2 n n n n n n nT − + +  − − − = + + + − = − − 1 1 1 1 1 2 2 2 2n n n nT + −= − − 1 1 1 1 2 2 2n n nT + += − 11 2n n nT += − { }nb n 11 2n n nT += − n ∗∈N )2 11(2 1 )2( 1 +−=+ nnnn 1 1 2n n − + 1 2 { }na， ．则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 考察函数 ， 由 可得 在 单调递增， 由 可得 在 单调递减 且 ，可得 ，数列 为单调递增数列， 如图所示： 且 ， ， 图象可得 ， 所以 ，故选 B. 【典例 4】（2014·四川高考真题（理））设等差数列 的公差为 ，点 在函数 的图象上 （ ）. （1）若 ，点 在函数 的图象上，求数列 的前 项和 ； （2）若 ，函数 的图象在点 处的切线在 轴上的截距为 ，求数列 的前 项和 . 1 10 2a< < ( )1 ln 2n n na a a+ = + − 2019 10 2a< < 2019 1 12 a< < 2019 31 2a< < 2019 3 22 a< < ( ) ln(2 )(0 2)f x x x x= + − < < ' 1 1( ) 1 02 2 xf x x x −= − = >− − ( )f x ( )0,1 ' ( ) 0f x < ( )f x ( )1,2 ( )( ) 1 1f x f≤ = 1na < { }na 1(0) ln 2 ln 4 ln 2f e= = > = 2 1 1( ) (0) 2a f a f= > > 1 2 3 10 12 na a a a< < < < < < < + 1 12nT < ( ) 1 44 3 4 4 3 n nT n n = =+  +   1n = nT 1 28 1 1 28 12nT≤ < 1 147 3nT≤ < { }na n nS 1 0a > 99 0S > { }na q 1q = 1 99 10 99 0a S a> ⇔ = > 1q ≠ 99 99 99 1 1 1, 01 1 q qS a q q − −= ⋅ >− −， 所以“ ”是“ ”的充要条件. 故选:C. 【典例 8】（2020·浙江高三）等差数列{an}的公差为 d，a1≠0，Sn 为数列{an}的前 n 项和，则“d＝0”是 “ Z”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 等差数列{an}的公差为 d，a1≠0，Sn 为数列{an}的前 n 项和， 若 d＝0，则{an}为常数列，故 an= ， 即 ⇒“ Z”， 当 Z 时，d 不一定为 0， 例如，数列 1，3，5，7，9，11 中， 4，d＝2， 故 d＝0 是 Z 的充分不必要条件． 故选：A． 【规律方法】 充要关系的几种判断方法 (1)定义法：若 ，则 是 的充分而不必要条件；若 ，则 是 的必要 而不充分条件；若 ，则 是 的充要条件； 若 ，则 是 的既不充分也不 必要条件. (2)等价法：即利用 与 ； 与 ； 与 的等价关系，对于条 件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法． 1 990 0a S> ⇔ >∴ 1 0a > 99 0S > 2n n S S ∈ 1a 2 1 12 ,n nS na S na= = 2n n S S ∈ 2n n S S ∈ 6 3 1 3 5 7 9 11 1 3 5 S S + + + + += =+ + 2n n S S ∈ ,p q q p⇒ ≠> p q ,p q q p≠> ⇒ p q ,p q q p⇒ ⇒ p q ,p q q p≠> ≠> p q p q⇒ q p¬ ¬⇒ q p⇒ p q¬ ¬⇒ p q⇔ q p¬ ¬⇔(3) 集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题 p 的集合为 M，满足命题 q 的集合为 N，则 M 是 N 的 真子集等价于 p 是 q 的充分不必要条件，N 是 M 的真子集等价于 p 是 q 的必要不充分条件，M＝N 等价于 p 和 q 互为充要条件，M，N 不存在相互包含关系等价于 p 既不是 q 的充分条件也不是 q 的必要条件 【变式探究】 1.（2020 届浙江宁波市高三上期末）已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，则“ ” 是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 由 ，得 ，即 ， 所以“ ”是“ ”的充分条件， 由 ， ， ， 所以， ， 所以“ ”是“ ”的必要条件， 综上，“ ”是“ ”的充要条件. 故选：C. 2.（2019·浙江高三期中）设 ，则“数列 为等比数列”是“数列 为等比数列”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 若数列 是等比数列 ， ， { }na d n nS 1 5 32S S S+ < 0d < 1 5 32S S S+ < ( )1 1 15 10 2 3 3a a d a d+ + < + 0d < 1 5 32S S S+ < 0d < 0d < ( )1 5 1 5 1 1 5 6 102 a aS S a a d ++ = + = + ( )1 3 3 1 32 2 6 62 a aS a d += × = + 1 5 1 3 16 10 2 6 6S S a d S a d+ = + < = + 1 5 32S S S+ < 0d < 1 5 32S S S+ < 0d