2020-2021学年高三数学一轮复习知识点讲解7-6 数学归纳法

专题 7.6 数学归纳法 【考纲解读与核心素养】 1.了解数学归纳原理，会用数学归纳法证明简单的数学命题. 2.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 3.高考预测： 利用数学归纳法证明数列问题. 4.备考重点: （1）数学归纳法原理； （2）数学归纳法的简单应用. 【知识清单】 知识点 1．数学归纳法 1.证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*) 时命题成立． (2)(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立． 2.数学归纳法的框图表示 【典例剖析】 高频考点一 利用数学归纳法证明等式 【典例 1】已知 a，b，c，使等式 N+都成立， （1）猜测 a，b，c 的值；（2）用数学归纳法证明你的结论. 【答案】（1） ；（2）见解析 【解析】 (1):假设存在符合题意的常数 a，b，c，在等式 1•22+2•32+…+n（n+1）2 = （an2+bn+c）中， 令 n=1，得 4= （a+b+c）① 令 n=2，得 22= （4a+2b+c）② 令 n=3，得 70=9a+3b+c③ 由①②③解得 a=3，b=11，c=10， 于是，对于 n=1，2，3 都有 1•22+2•32+…+n（n+1）2= （3n2+11n+10）（*）成立． (2)下面用数学归纳法证明：对于一切正整数 n，（*）式都成立． （1）当 n=1 时，由上述知，（*）成立． （2）假设 n=k（k≥1）时，（*）成立， 即 1•22+2•32+…+k（k+1）2 = （3k2+11k+10）， 那么当 n=k+1 时， 1•22+2•32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2 = （3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2 = （3k2+5k+12k+24） = [3（k+1）2+11（k+1）+10]， 由此可知，当 n=k+1 时，（*）式也成立． 综上所述，当 a=3，b=11，c=10 时题设的等式对于一切正整数 n 都成立． 【总结提升】 数学归纳法证明等式的思路和注意点 (1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项， 初始值 n0 是多少． (2)注意点：由 n＝k 时等式成立，推出 n＝k＋1 时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目 标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法． 【变式探究】 （2018·江苏高考模拟（理））在正整数集上定义函数 ，满足 ，且 ． （1）求证： ； （2）是否存在实数 a，b，使 ，对任意正整数 n 恒成立，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 （1）因为 ，整理得 ， 由 ，代入得 ， ， 所以 ． （2）由 ， ，可得 ． 以下用数学归纳法证明 存在实数， ，使 成立． ① 当 时，显然成立． ② 当 时，假设存在 ，使得 成立， 那么，当 时， ， 即当 时，存在 ，使得 成立． 由①，②可知，存在实数， ，使 对任意正整数 n 恒成立． 【易错提醒】数学归纳法的注意事项 由 n=k 到 n=k+1 时,除等式两边变化的项外还要利用 n=k 时的式子,即利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从 而使问题得以证明. 高频考点二 利用数学归纳法证明不等式 【典例 2】（2019·浙江高一期中）已知数列 满足 , ． （Ⅰ）求证：数列 是等比数列； （Ⅱ）比较 与 的大小，并用数学归纳法证明； （Ⅲ）设 ，数列 的前 项和为 ，若 对任意 成立，求实数 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）见证明（Ⅱ） （Ⅲ） 【解析】 （Ⅰ） 且 , 是以 3 为首项， 为公比的等比数列， （Ⅱ）由（Ⅰ）知： ,下面用数学归纳法证明 （1）当 时, （2）假设当 时, , 当 时, ,即当 时,结论成立， 由（1）（2）得 , { }na 1 2a = ( )* 1 2 ( 1)n n na a n N+ + = − ∈ { }( 1)n na − − na 3 1 2 n + 1 2n n n n b a a + −= { }nb n nT nT m< *n N∈ m 3 1 2n na +≥ 1 3m ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n a a a a a a + + + − − − + − − − − + −= = = − − − − − − − 1 1 3 0a + = ≠ ( ){ }1 n na∴ − − 2− ( ) ( ) 11 3 2n n na −− − = × − ( ) ( ) ( ) ( )1 1 13 2 + 1 1 3 2 1n n n n na − − −∴ = × − − = − × − 13 2 1n na −∴ = × − 3 1 2n na +≥ 1n = 3 12 2n na += ≥ *,n k k N= ∈ 3 1 2k ka +≥ 1n k= + ( ) ( ) 1 3 1 13 13 2 1 2 1 1 2 1 1 3 22 2 k k k kka a k+ + ++ = × − = + − ≥ + − = + >   1n k= + 3 1 2n na +≥（Ⅲ）因为 【典例 3】（2020 届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中）已知数列 满足 . (1)求 ，并猜想 的通项公式(不需证明)； (2)求证: . 【答案】(1) ;猜想 ;(2)证明见解析 【解析】 (1) 猜想 (2) 所以 (2)方法二用数学归纳法证明: (1)当 时，左边 ，右边 ， 左边 右边，不等式成立； ( ) ( )( ) ( )1 1 1 2 2 1 3 2 1 1 3 2 1 n n n n nn n n n b a a − − + − −= = − × − − × − ( )( ) 11 2 2 1 1 3 3 2 1 3 2 13 2 1 3 2 1 n n nn n −−  = = − × − × −× − × −   0 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 3 3 2 1 3 2 1 3 3 2 1 3 2 1 3 3 2 1 3 2 1 3 2 3 2 1 3n n n nT  −        ∴ = − = − + = − = −