2020年高考物理纠错笔记：万有引力与航天

一、开普勒行星运动定律 1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 行星的近日点到太阳的距离 r1=a–c，行星的远日点到太阳的距离 r2=a+c，其中 a 为椭圆轨道的半长轴， c 为半焦距。 2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 由于轨道不是圆，故行星离太阳距离较近时速度较大（势能小而动能大），对近日点和远日点的线速 度大小有 v1r1=v2r2 3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。 若轨道周期为 T，则有 ，比值 k 为对所有行星都相同（与太阳有关）的常量。 若轨道为圆，半径为 r，则有 ，结合万有引力定律可得 （G 为引力常量，M 为中心天 体质量） 二、开普勒行星运动定律的适用范围 开普勒行星运动定律不仅适用于太阳–行星系统，类似的绕中心天体转动的系统一般都适用，如地– 月系统、行星–卫星系统、恒星–彗星系统等。 三、在分析天体运动时易出现以下错误 1．对卫星的速度、角速度和周期随半径变化的情景存在模糊认识，相互推证时出现逻辑错误； 2．对万有引力提供向心力的方向认识不清，地球卫星的轨道平面必过地心，但卫星的轨道可以是绕赤 道的，也可以是绕两极的，还可以是一般的轨道平面； 3．不清楚卫星的速度、角速度周期和半径的关系，误认为同一天体的不同卫星在同一轨道高度上，个 物理量的大小与卫星质量有关。 四、对万有引力定律的应用易出现以下错误 1．易忽视万有引力的适用条件，盲目套用万有引力定律计算物体间的相互作用力； 2．当物体离地面的高度较大时，仍把重力加速度当作地球表面间的相互作用力； 3．常用星体半径与轨道半径、环绕天体质量与中心天体质量、地球附近的重力加速度和另一天体附近 的重力加速度混淆使用； 4．易错误地将地球卫星和地球上的物体混淆，都用万有引力提供向心力或万有引力等于重力解答，易 混淆地球卫星的加速度和地球自转的加速度。 五、公转与自转易错提醒 地球赤道上的物体随地球自转时，受到来个力的作用，一个是是地球的万有引力，另一个是地面的支 持力。这两个力的合力提供物体做圆周运动的向心力（在赤道上，地球的万有引力绝大部分用来提供重 力）；地球的卫星只受到万有引力一个力，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力。 3 2 a kT = 3 2 r kT = 24π GMk =六、卫星变轨中物理量的关系 卫星速度增大后会做离心运动，轨道半径增大，万有引力做负功，卫星动能减小，由于变轨时遵从能 量守恒，稳定时需满足 ，致使卫星在较高轨道上的运行速度小于在较低轨道上的运行速度； 相反，卫星由于速度减小会做向心运动，轨道半径减小，万有引力做正功，卫星动能增大，同样原因致使 卫星在较低轨道上的运行速度大于在较高轨道上的运行速度。可见变轨时的速度与稳定运行的速度不同， 可以概括为： 1．速度增大导致的变轨，稳定后速度反而变小。 2．速度减小导致的变轨，稳定后速度反而增大。 七、双星与多星分析 1．在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相 同的匀速圆周运动的行星称为双星。 2．双星系统的条件： （1）两颗星彼此相距较近； （2）两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动； （3）两颗星绕同一圆心做圆周运动。 3．双星系统的特点：（1）两星的角速度、周期相等；（2）两星的向心力大小相等；（3）两星的轨 道半径之和等于两星之间的距离，即 r1+r2=L，轨道半径与行星的质量成反比。 4．双星问题的处理方法： 双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即 ，由此得出 （1）m1r1=m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比； （2）由于 ω= ，r1+r2=L，所以两恒星的质量之和 。 5．多星问题与双星问题类似，只是在受力方面多了几个施力物体和受力物体。 八、天体质量和密度的计算 1．解决天体（卫星）运动问题的基本思路 （1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 。 （2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即 （g 表示天体表面的重 力加速度）。 （2）利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度： 在行星表面重力加速度： ，所以 ； 2 2 Mm vG mr r = 2 21 2 1 1 2 22 m mG m r m rL ω ω= = 2π T 2 3 1 2 2 4π Lm m GT + = 2 2 2 2 2π( )Mm mvG m r m r mar T r ω= = = = 2R MmGmg = 2R MmGmg = 2R MGg =在离地面高为 h 的轨道处重力加速度： ，得 。 2．天体质量和密度的计算 （1）利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R 由于 ，故天体质量 ； 天体密度： ； （2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T 和轨道半径 r ①由万有引力等于向心力，即 ，得出中心天体质量 ； ②若已知天体半径 R，则天体的平均密度 ； ③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心天体的密度。 3．估算天体问题应注意三点 （1）天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为 24 h，公转周期为 365 天等； （2）注意黄金代换式 GM=gR2 的应用； （3）注意密度公式 的理解和应用。 九、三种宇宙速度与第一宇宙速度求解 宇宙速度 数值（km/s） 意义 第一宇宙速度 7.9 卫星的最小发射速度，若 7.9 km/s≤v＜11.2，物体绕地球运 行 第二宇宙速度 11.2 物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。若 11.2 km/s≤v＜ 16.7 km/s 物体绕太阳运行 第三宇宙速度 16.7 物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若 v≥16.7 km/s，物 体将脱离太阳系在宇宙空间运行 注意： （1）第一宇宙速度的推导有两种方法：①由 得 ；②由 得 。 （2）第一宇宙速度的公式不仅适用于地球，也适用于其他星球，只是 M、R0、g 必须与之相对应，不能 2)( hR MmGgm +=′ 2)( hR MGg +=′ 2R MmGmg = G gRM 2 = 3 4π M g V GR ρ = = 2 2 2πMmG m( ) rr T = 2 3 2 4π rM GT = 3 2 3 3πM r V GT R ρ = = 2 3πM V GT ρ = = 2 3 GT πρ = 2 1 2 0 0 Mm vG mR R = 1 0 GMv R = 2 1 0 vmg m R = 1 0v gR=套用地球的参数。 哈雷彗星是每 76.1 年环绕太阳-周的周期彗星，因英国物理学家爱德蒙•哈雷测定其轨道数据并成功预 言回归时间而得名。地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆，设地球的公转半径 为 R，则下列说法正确的是（　　） A．哈雷彗星靠近近日点的过程中，克服万有引力做功，速度减小 B．哈雷彗星靠近远日点的过程中，万有引力做正功，速度增大 C．哈雷彗星的半长轴为 D．哈雷彗星的半长轴为 【错因分析】没有灵活运动开普勒第二定律，不知道椭圆轨道远日点、近日点哪个地方速度大。 【正确解析】由开普勒第二定律知：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相 等的，所以 v 近＞v 远，故 A、B 错误。由开普勒第三定律得 ，其中 T 地=1 年、T 哈=76.1 年，解得： 。故 C 正确，D 错误。 1．“嫦娥五号”月球探测器预计在 2019 年年底发射，采集月球样品并返回地球，全面实现月球探测工程“三 步走”战略目标。若“嫦娥五号”卫星在距月球表面 H 处的环月轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，其运行的周 期为 T；随后“嫦娥五号”在该轨道上某点采取措施，使卫星降至椭圆轨道Ⅱ上，如图所示.若近月点接 近月球表面，而 H 等于月球半径，忽略月球自转及地球对卫星的影响，则“嫦娥五号”在轨道Ⅱ上的运 行周期为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在Ⅰ轨道上，轨道半径 ，在Ⅱ轨道上，半长轴为 ，据开普 勒第三定律知 ，解得 ，故选项 C 正确，A、B、D 错误。 2．国产科幻片《流浪地球》的成功，掀起了天体热。小明同学课外查阅太阳系行星的一些资料。太阳系各 3 2= 76.1a R 2 3= 76.1a R 3 3 2 2 哈 地 =r R T T 3 2= 76.1r R 3 4T 3 8 T 3 3 8 T 3 4 T 1 2r R H R= + = 2 3 2 2 R Ha R += = ( ) 33 2 2 1 3( )2 2R T T = 1 3 3 8T T=行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三 者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。据报道，2014 年各行星冲日时间分别是：1 月 6 日木星冲日；4 月 9 日火星冲日：5 月 11 日土星冲日；8 月 29 日海王星冲日；10 月 8 日天王星冲日。已 知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断中正确的是（　　） 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径（AU） 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A．各地外行星每年都会出现冲日现象 B．在 2015 年内一定会出现木星冲日 C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半 D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最长 【答案】B 【解析】因为冲日现象实质上是角速度大的天体转过的角度比角速度小的天体多出 2π，所以不可能每 年都出现，故 A 错误；由开普勒第三定律有： ，周期的近似比值为 12，故木星的周 期约为 12 年，由曲线运动追击公式 ，将 n＝1 代入可得 年，为木星两次冲日的 时间间隔，所以 2015 年能看到木星冲日现象，故 B 正确；同理可算出天王星相邻两次冲日的时间间隔为 1.01 年，土星两次冲日的时间间隔为 1.03 年，海王星两次冲日的时间间隔为 1.006 年，故 C、D 错误。 “天宫一号”目标飞行器与“神舟十号”飞船自动交会对接前的示意图如图所示，圆形轨道Ⅰ为“天 宫一号”运行轨道，圆形轨道Ⅱ为“神舟十号”运行轨道。此后“神舟十号”要进行多次变轨，才能实现 与“天宫一号”的交会对接，则（　　） A．“天宫一号”的运行速率大于“神舟十号”在轨道Ⅱ上的运行速率 B．“神舟十号“变轨后比变轨前高度增加，机械能减少 C．“天宫一号”和“神舟十号”对接瞬间的向心加速度大小相等 D．“神舟十号”可以通过减速而使轨道半径变大 【错因分析】不同轨道的卫星物理关系公式较多，很容易混淆。 2 3 1 1 2 3 2 2 140.608T r T r = = 1 2 2 2 2t t nT T π π π− = 12 11t =【正确解析】 “天宫一号”的半径大，由 ，可知其速率小，故 A 不符合题意； “神舟十 号” 变轨后比变轨前高度增加，变轨要加速做离心运动，其机械能增加，故 B 不符合题意；人造航天器的 加速度 ，可知对接时在同一位置，万有引力产生加速度相同，故 C 符合题意； “神舟十号”速度 变小，所提供的向心力大于所需要的向心力，会做向心运动，使轨道半径变小，故 D 不符合题意。 1． 2019 年 4 月 20 日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第 44 颗北斗导航卫星， 拉开了今年北斗全球高密度组网的序幕。北斗系统主要由离地面高度约为 （ 为地球半径）同步轨道 卫星和离地面高度约为 的中圆轨道卫星组成，设表面重力加速度为 ，忽略地球自转。则 A．这两种卫星速度都大于 B．中圆轨道卫星的运行周期大于 24 小时 C．中圆轨道卫星的向心加速度约为 D．根据 可知，若卫星从中圆轨道变轨到同步轨道，需向前方喷气减速 【答案】C 【解析】根据万有引力提供向心力： ，解得： ，在地球表面有： ，联立可 得： ，因为同步卫星和中圆轨道卫星的轨道半径 均大于地球半径 ，故这两种卫星速度都小于 ，故 A 错误；根据万有引力提供向心力： ，解得： ；同步卫星的周期为 24h，故中圆轨道卫星的运行周期小于 24 小时，B 错误；由题意可知，中圆轨道卫星的轨道半径约为 4R， 故有： ，结合 解得： ，故 C 正确；卫星从中圆轨道变轨到同步轨道，卫星 做离心运动，此时万有引力不足以提供向心力，故卫星应向后喷气加速，故 D 错误。 2．同步卫星与月球都绕地球做匀速圆周运动，则 A．同步卫星绕地球运动的线速度比月球绕地球运动的线速度小 B．地球对同步卫星的引力比地球对月球的引力大 C．同步卫星绕地球运动的轨道半径比月球绕地球运动的轨道半径小 D．同步卫星绕地球运动的向心加速度比月球绕地球运动的向心加速度小 【答案】C 【解析】同步卫星的周期为 1 天，月球的周期为 27 天，根据开普勒第三定律可得同步卫星绕地球运动的 GMv r = 2 GMa r =轨道半径比月球绕地球运动的轨道半径小，根据 可得 ，所以同步卫星绕地球运 动的线速度比月球绕地球运动的线速度大，故选项 C 正确，A 错误；由于不知同步卫星的质量和月球的 质量及比值关系，根据 可知无法比较地球对同步卫星的引力与地球对月球的引力的大小关系， 故选项 B 错误；根据 可得 ，所以同步卫星绕地球运动的向心加速度比月球绕地球 运动的向心加速度大，故选项 D 错误。 设北斗导航系统的地球同步卫星质量为 m，周期为 。已知地球的半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，万有引力常量为 G。下列说法正确的是（） A．地球的质量为 B．卫星距地面的高度 C．卫星运行时的速度大于第一宇宙速度 D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度 【错因分析】 因分没有注意星球半径和轨道半径的区别。很容易出错。 【正确解析】在地球表面，则有 ，解得地球的质量为 ，或根据 解得 ，故选项 A 错误；根据 可得卫星的轨道 半径为 ，则卫星距离地面的高度为 ，故选项 B 错误；根据 可得 ，知轨道半径越大，线速度越小，第一宇宙速度的轨道半径为地球的半径， 所以卫星的运行速度小于第一宇宙速度，故选项 C 错误；根据 可得 ，根据 可得 ，可知卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故选项 D 正确。 1．（多选）北斗卫星导航系统空间段计划由 35 颗卫星组成，包括 5 颗静止同步轨道卫星和 3 颗倾斜同步 轨道卫星，以及 27 颗相同高度的中轨道卫星。中轨道卫星运行在 3 个轨道面上，轨道面之间相隔 120° 均匀分布，如图所示。已知同步轨道、中轨道、倾斜同步轨道卫星距地面的高度分别约为 6R、4R、6R （R 为地球半径），则 2 2 GMm mv r r = GMv r = 2 GMmF r = 2 GMm mar = 2 GMa r = T 2 3 2 4π R GT 2 2 2 g 4π R T R− 2 GMm mgR = G gRM 2 = 2 2 2 4GMm m r r T π•= 2 3 2 4π rM GT = 2 2 2 4GMm m r r T π•= 2 2 2 4GMm m r r T π•= 2 2 2 3 3 2 24 4 GMT gR Tr π π= = 2 2 3 24 gR Th r R Rπ= − = − 2 2 GMm mv r r = GMv r = 2 GMm mar = 2 GMa r = 2 GMm mgR = 2 GMg R =A．静止同步轨道卫星和倾斜同步轨道卫星的周期不同 B．3 个轨道面上的中轨道卫星角速度的值均相同 C．同步轨道卫星与中轨道卫星周期的比值约为 D．倾斜同步轨道卫星与中轨道卫星角速度的比值约为 【答案】BC 【解析】静止和倾斜卫星都为同步卫星，故周期都与地球自转周期相同均为 T=24 h，故 A 错误；根据公 式 得，则轨道半径相同时，角速度相同，由于 3 个轨道面中轨道卫星的轨道半径均为 4R+R=5R，故角速度相同，选项 B 正确。同步轨道卫星的轨道半径为 r1=7R，中轨道卫星的轨道半径为 r2=5R，由开普勒第三定律 得， ，故 C 正确。根据公式 得 ，同步 轨道卫星与中轨道卫星的比值为 ，故 D 错误。 2．我国“嫦娥探月卫星”成功发射.卫星开始绕地球做椭圆轨道运动，经过 若干次变轨、制动后，最终使 它绕月球在一个圆轨道上运行。设卫星距月球表面的高度为 h，绕月圆周运动的周期为 T。已知月球半径 为 R，引力常量为 G。 （1）求月球的质量 M； （2）若地球质量为月球质量的 k 倍，地球半径为月球半径的 n 倍，求地球与月球的第一宇宙速度之比 v1: v2. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）万有引力提供向心力，有： 解得： ； （2）对近地和近月卫星，分别有： ， 2 3 2 4 ( )R hM GT π += 1 2 v k v n = 2 2 2 4 ( )( ) MmG m R hR h T π= ++ 2 3 2 4 ( )R hM GT π += 2 1 2( ) vkMmG mnR nR = 2 2 2 vMmG mR R =解得： 。 下面是地球、火星的有关情况比较。根据以上信息，关于地球及火星（行星的运动可看做圆周运动）， 下列推测正确的是 A．地球公转的线速度小于火星公转的线速度 B．地球公转的向心加速度大于火星公转的向心加速度 C．地球的自转角速度小于火星的自转角速度 D．地球表面的重力加速度大于火星表面的重力加速度 【错因分析】分不清公转与自转的描述，或者混淆题中所给的公转月自转的相关物理量，导致错误解 题。 【正确解析】设太阳质量为 M，行星质量为 m，行星轨道半径为 r，行星绕太阳做圆周运动，万有引力 提供向心力。由牛顿第二定律得： ，解得行星的线速度： ，由于地球的公转半径小于 火星的公转半径，则地球公转的线速度大于火星公转的线速度，故 A 错误。由牛顿第二定律得： ，解得行星的向心加速度： ，由于地球的公转半径小于火星的公转半径，地球公转的向心 加速度大于火星公转的向心加速度，故 B 正确。自转角速度 ，由于地球自转周期小于火星的自转周期， 地球的自转角速度大于火星的自转角速度，故 C 错误；星球对其表面物体的万有引力等于物体受到的重力， 则 ， ，由于不知道地球与火星的质量 m 间的关系以及它们的半径关系，无法比较重力加 速度的大小，故 D 错误。答案：B。 1．如图所示，地球绕太阳公转，而月球又绕地球转动。它们的运动可近似看成匀速圆周运动。如果要估算 太阳对月球与地球的引力之比，已知地球绕太阳公转的周期和月球绕地球运动周期，还需要测量的物理 1 2 v k v n =量是 A．地球绕太阳公转的半径 B．月球绕地球转动的半径 C．月球绕地球的半径和地球绕太阳公转的半径 D．月球的质量和地球绕太阳公转的半径 【答案】C 【解析】已知地球绕太阳公转的周期和月球绕地球运动周期，如果再已知地球绕太阳公转的半径和月球 绕地球的半径，即可分别求解太阳的质量和地球的质量；因为地球和月球相对太阳的距离基本相等，则 根据 ，可估算太阳对月球以及月球与地球的引力之比，故 C 正确，ABD 错误。 2．“太空电梯”的概念最初出现在 1895 年，由康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基提出。如今，目前世界上已知 的强度最高的材料—石墨烯的发现使“太空电梯”制造成为可能，人类将有望通过“太空电梯”进入太 空。设想在地球赤道平面内有一垂直于地面并延伸到太空的轻质“太空电梯”，如图所示，假设某物体b 乘坐太空电梯到达了图示位置并相对电梯静止，与同高度运行的卫星 a、更高处同步卫星 c 相比较。下 列说法正确的是（ ） A．a 与 b 都是高度相同的人造地球卫星 B．b 的线速度小于 c 的线速度 C．b 的线速度大于 a 的线速度 D．b 的加速度大于 a 的加速度 【答案】B 【解析】a 是人造地球卫星，但 b 不是，故 A 错误；b 与 c 的角速度相同，但 b 运动半径小于 a 运动半径， 由 v= r 知，b 的线速度小于 c 的线速度，故 B 正确；b 角速度小于 a 的角速度，运动半径相同，所以 b 的线速度小于 a 的线速度，故 C 错误；b 角速度小于 a 的角速度，运动半径相同，由 a= 2r 知，b 的加 速度小于 a 的加速度，故 D 错误。 ω ω（多选）如图所示，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在 A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆 轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有（ ） A．在轨道Ⅱ上经过 A 的速度小于经过 B 的速度 B．在轨道Ⅱ上经过 A 的速度大于在轨道Ⅰ上经 过 A 的速度 C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D．在轨道Ⅱ上经过 A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过 A 的加速度 【错因分析】 因为分不清变轨前后速度、加速度等物理量的变化导致错误解题。 【正确解析】轨道Ⅱ上由 A 点运动到 B 点，引力做正功，动能增加，所以经过 A 的速度小于经过 B 的 速度，故 A 项与题意相符； 从轨道Ⅰ的 A 点进入轨道Ⅱ需减速，使万有引力大于所需要的向心力，做近心 运动。所以轨道Ⅱ上经过 A 的速度小于在轨道Ⅰ上经过 A 的速度，故 B 项与题意不相符；根据开普勒第三 定律可知，椭圆轨道的半长轴小于圆轨道的半径，所以在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期， 故 C 项与题意相符； 在轨道Ⅱ上和在轨道Ⅰ通过 A 点时所受的万有引力相等，根据牛顿第二定律，加速度 相等，故 D 项与题意相符。 1．嫦娥三号的飞行轨道示意图如图所示。假设嫦娥三号在环月段圆轨道和椭圆轨道上运动时，只受到月球 的万有引力。则（　　） A．嫦娥三号由环月段圆轨道变轨进入环月段桶圆轨道时，应让发动机点火使其加速 B．嫦娥三号在环月段椭圆轨道上 P 点的速度大于 Q 点的速度 C．嫦娥三号在环月段椭圆轨道上 Q 点的速度大于月段圆轨道的速度 D．若已知嫦娥三号环月段圆轨道的半径、运动周期和引力常量，则可算出月球的密度 【答案】 C 【解析】嫦娥三号在环月段圆轨道上 P 点减速，使万有引力大于向心力做近心运动，才能进入进入环月 段椭圆轨道，故 A 错误；嫦娥三号在环月段椭圆轨道上 P 点向 Q 点运动中，距离月球越来越近，月球对其 引力做正功，故速度增大，即嫦娥三号在环月段椭圆轨道上 P 点的速度小于 Q 点的速度，故 B 错误；根据 ，且月段椭圆轨道平均半径小于月段圆轨道的半径，可得嫦娥三号在环月段椭圆轨道的平均速GMv r =度大于月段圆轨道的速度，又 Q 点是月段椭圆轨道最大速度，所以嫦娥三号在环月段椭圆轨道上 Q 点的速 度大于月段圆轨道的速度，故 C 正确；要算出月球的密度需要知道嫦娥三号环月段圆轨道的半径、运动周 期、月球半径和引力常量，故 D 错误。 2．“轨道康复者”是“垃圾”卫星的救星，被称为“太空 110”，它可在太空中给“垃圾”卫星补充能源， 延长卫星的使用寿命．假设“轨道康复者”的轨道半径为地球同步卫星轨道半径的 1/5，其运动方向与 地球自转方向一致，轨道平面与地球赤道平面重合，下列说法正确的是（ ） A．站在赤道上的人观察到“轨道康复者”向西运动 B．“轨道康复者”可在高轨道上加速，以对接并拯救低轨道上的卫星 C．“轨道康复者”的加速度是地球同步卫星加速度的 5 倍 D．“轨道康复者”的线速度是地球同步卫星线速度的 倍 【答案】D 【解析】因为“轨道康复者”绕地球做匀速圆周运动的周期小于同步卫星的周期，则小于地球自转的周期， 所以“轨道康复者”的角速度大于地球自转的角速度，站在赤道上的人用仪器观察到“轨道康复者”向东 运动，故选项 A 不符合题意； “轨道康复者”要在原轨道上减速，做近心运动，才能“拯救”更低轨道上 的卫星，故选项 B 不符合题意；根据万有引力提供向心力，则有： 解得： ，因为“轨 道康复者”绕地球做匀速圆周运动时的轨道半径为地球同步卫星轨道半径的五分之一，则“轨道康复者” 的加速度是地球同步卫星加速度的 25 倍，故选项 C 不符合题意；根据万有引力提供向心力，则有： 解得： ，因为“轨道康复者”绕地球做匀速圆周运动时的轨道半径为地球同步卫星 轨道半径的五分之一，则“轨道康复者”的速度是地球同步卫星速度的 倍，故选项 D 符合题意。 如图所示，某双星系统的两星 和 各自绕其连线上的 点做匀速圆周运动，已知 星和 星的质量 分别为 和 ，相距为 .下列说法正确的是（ ） A． 星的轨道半径为 B． 星和 星的线速度之比为 C．若在 点放一个质点，它受到的合力一定为零 5 2 GMm mar = 2 GMa r = 2 2 GMm mv r r = GMv r = 5 A B O A B 1m 2m d A 1 1 2 + m d m m A B 1 2:m m OD．若 星所受 星的引力可等效为位于 点处质量为 的星体对它的引力，则 【错因分析】 不知道双星做圆周运动的向心力由彼此万有引力提供，不清楚双星做圆周运动的周期相同。 【正确解析】双星的角速度相等，是靠它们之间的万有引力来提供向心力， ， 且 ，联立解得 ， ，故选项 A 错误；根据 ，可得 ， 故选项 B 错误；若在 点放一个质点，此质点受到的两颗星对它的作用力大小不等，则受到的合力不为零， 故 选 项 C 错 误 ； 若 星 所 受 星 的 引 力 可 等 效 为 位 于 点 处 质 量 为 的 星 体 对 它 的 引 力 ， 则 ，得 ，故选项 D 正确。 1．2012 年 7 月，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上 的某点 O 做匀速圆周运动，如图所示．此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面 物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程 中（　　） A．它们做圆周运动的万有引力保持不变 B．它们做圆周运动的角速度不断变大 C．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大 D．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小 【答案】 C 【解析】设体积较小的星体质量为 m1，轨道半径为 r1，体积大的星体质量为 m2，轨道半径为 r2．双星间 的距离为 L．转移的质量为△m，则它们之间的万有引力为 F= ，根据数学知识得知，随着 △m 的 增 大 ，F 先 增 大 后 减 小 ， 故 A 错 误 。 对 m1 ： = （m1+△m）ω2r1 ① 对 m2 ： =（m2-△m）ω2r2 ②由①②得：ω= ，总质量 m1+m2 不变，两者距离 L 不变，则 A B O m′ ( ) 3 2 2 1 2 mm m m ′ = + 2 21 2 1 1 2 22 m mG m r m rd ω ω= = 1 2r r d+ = 2 1 1 2 m dr m m = + 1 2 1 2 m dr m m = + v rω= 1 1 2 2 2 1 v r m v r m = = O A B O 1 2 1 2 2 1 m m m mG Gd r ′= 3 2 2 1 2( ) mm m m+ ′ =角速度 ω 不变。故 B 错误。由②得：ω2r2= ，ω、L、m1 均不变，△m 增大，则 r2 增大，即体 积较大星体圆周运动轨迹半径变大。由 v=ωr2 得线速度 v 也增大。故 C 正确。D 错误。 2．（多选）双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由 P、Q 两颗星组成，这两颗 星绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，测得 P 星做匀速圆周运动的周期为 T，P、Q 两颗星的距离为 L，万有引力常量为 G，由以上信息可求出 A．P、Q 的总质量 B．P、Q 之间的万有引力 C．P、Q 做匀速圆周运动的线速度之和 D．P、Q 做匀速圆周运动的半径 【答案】AC 【解析】双星做圆周运动的向心力等于两星之间的万有引力，设 P、Q 两颗星的运转半径分别为 r1 和 r2， 则 ，解得 ，选项 A 正确；两星的质量大小不能确定， 则 不 能 求 解 P 、 Q 之 间 的 万 有 引 力 ， 选 项 B 错 误 ； P 、 Q 做 匀 速 圆 周 运 动 的 线 速 度 之 和 ，选项 C 正确；因 ， ，但因两星的质量关系不确定，则不能 求解 r1 和 r2，选项 D 错误。 （多选）由于月球被地球潮汐锁定，使到面向我们的永远是月球的同一面，嫦娥四号就是在月球的背 面着陆的。已知月球绕地球的公转周期为 T，月球表面重力加速度为 g，月球半径为 R，万有引力常量为 G， 由以上信息可知： A．月球的质量为 B．月球的密度为 C．月球的第一宇宙速度为 D．月球的自转周期为 2T 【错因分析】分不清所给的物理量可以求出中心天体还是物体的质量或密度导致错解。 【正确解析】月球表面的物体受到的月球的吸引力约等于重力，则： ，所以： ， 故 A 正确；月球的密度： ，故 B 正确；在月球附近做匀速圆周运动的物体的 万有引力提供向心力，则： 可得： ，故 C 正确；由题意可知，月球的自转周期等于月 球绕地球的公转周期，大小为 T，故 D 错误。 2 2 1 2 1 1 2 22 2 2 4 4m mG m r m rL T T π π=＝ 2 3 1 2 2 4 Lm m GT π+ = 1 2 2 Lv r r T πω ω= + = 1 1 2 2m r m r= 1 2 =r r L+ 2R g G 3 4 g RGπ Rg 2 GMmmg R = 2gRM G = 2 3 3 4 4 3 M gR g V RGG R ρ ππ⋅ ＝ ＝ ＝ 2mvmg R = v Rg=1．如图所示，2019 年 1 月 3 日，“玉兔二号”巡视器驶抵月球表面开始科学探测。已知月球表面的重力加 速度 g0 为地球表面重力加速度 g 的 ，若月球半径 R0 约为地球半径 R 的 ，则月球密度 与地球密度 的比值约为 A．1 B． C．6 D．2 【答案】B 【解析】对于质量为 m 的物体，根据万有引力定律有 、 ，月球和地球质量 分别为 ，又 、 ，联立解得 ，B 项正确。 2．（多选）在星球 M 上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体 P 轻放在弹簧上端，P 由静止向下运动， 物体的加速度 a 与弹簧的压缩量 x 间的关系如图中实线所示。在另一星球 N 上用完全相同的弹簧，改 用物体 Q 完成同样的过程，其 a–x 关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知 星球 M 的半径是星球 N 的 3 倍，则 A．M 与 N 的密度相等 B．Q 的质量是 P 的 3 倍 C．Q 下落过程中的最大动能是 P 的 4 倍 D．Q 下落过程中弹簧的最大压缩量是 P 的 4 倍 1 6 1 4 0 ρ ρ 2 3 0 02 0 M mG mgR = 2 MmG mgR = 3 3 0 0 0 4 4 3 3M R M Rρ π ρ π= ⋅ = ⋅、 0 1 6g g= 0 1 4R R= 0 2 3 ρ ρ=【答案】AC 【解析】由 a-x 图象可知，加速度沿竖直向下方向为正方向，根据牛顿第二定律有： ，变 形式为： ，该图象的斜率为 ，纵轴截距为重力加速度 。根据图象的纵轴截距可知， 两星球表面的重力加速度之比为： ；又因为在某星球表面上的物体，所受重力和万有引 力相等，即： ，即该星球的质量 。又因为： ，联立得 。 故两星球的密度之比为： ，故 A 正确；当物体在弹簧上运动过程中，加速度为 0 的一瞬间，其所受弹力和重力二力平衡， ，即： ；结合 a-x 图象可知，当物体 P 和物体 Q 分别处于平衡位置时，弹簧的压缩量之比为： ，故物体 P 和物体 Q 的质量之比为： ，故 B 错误；物体 P 和物体 Q 分别处于各自的平衡位置（a=0）时，它们的动能最大； 根据 ，结合 a-x 图象面积的物理意义可知：物体 P 的最大速度满足 ， 物体 Q 的最大速度满足： ，则两物体的最大动能之比： ，C 正 确；物体 P 和物体 Q 分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置（a=0）可知，物体 P 和 Q 振动的振幅 A 分别 为 和 ，即物体 P 所在弹簧最大压缩量为 2 ，物体 Q 所在弹簧最大压缩量为 4 ，则 Q 下落过程 中，弹簧最大压缩量时 P 物体最大压缩量的 2 倍，D 错误。 2009 年 3 月 7 日（北京时间）世界首个用于探测太阳系外类地行星的“开普勒”号太空望远镜发射升 空，在银河僻远处寻找宇宙生命。假设该望远镜沿半径为 R 的圆轨道环绕太阳运行，运行的周期为 T，万有 引力恒量为 G。仅由这些信息可知 A．“开普勒”号太空望远镜的发射速度要大于第三宇宙速度 B．“开普勒”号太空望远镜的发射速度要大于第二宇宙速度 C．太阳的平均密度 D．“开普勒”号太空望远镜的质量 【错因分析】 没有记住三种宇宙速度的定义，导致错解。 mg kx ma− = ka g xm = − k m − g 0 0 3 3 1 M N ag g a = = 2 MmG m gR ′ = ′ 2gRM G = 34 3 RM πρ= 3 4 g RG ρ π= 1:1NM M N N M Rg g R ρ ρ = ⋅ = mg kx= kxm g = 0 0 1 2 2 P Q xx x x = = 1 6 p NP Q Q M x gm m x g = ⋅ = 2 2v ax= 2 0 0 0 0 12 3 32Pv a x a x= ⋅ ⋅ ⋅ = 2 0 02Qv a x= 2 2 2 2 1 2 41 2 Q QkQ Q Q kP P P P P m vE m v E m vm v = = ⋅ = 0x 02x 0x 0x【正确解析】“开普勒”号太空望远镜绕太阳运行，发射的速度需挣脱地球的引力，所以发射的速度 需大于第二宇宙速度，B 正确，A 错误；根据 ，得，太阳的质量 ，由于太阳 的半径未知，无法得出太阳的体积，则无法得出太阳的平均密度，C 错误；根据万有引力提供向心力只能求 出中心天体的质量，无法求出环绕天体的质量，所以不能求出太空望远镜的质量，D 错误。 1．北京时间 2018 年 12 月 8 日凌晨 2 时分 23 分，中国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发 射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”是中国航天向前迈进的一大步，它向着月球背面“进军”、实现了 人类历史上首次在月球背面留下“足迹”，主要任务是更深层次、更加全面地科学探测月球地貌、资源方 面的信息，完善月球档案资料。已知万有引力常量为 、月球的半径为 ，月球表面的重力加速度为 ，“嫦娥四号”离月球中心的距离为 ，绕月周期为 ，根据以上信息判断下列说法正确的是 A．月球质量为 B．月球的第一宇宙速度为 C．“嫦娥四号”绕月运行的速度为 v D．“嫦娥四号”在环绕月球表面的圆轨道运行时，处于完全失重状态，故不受重力 【答案】C 【解析】对于嫦娥四号，由万有引力提供向心力，则有 ，解得： ，故 A 错误；月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，所以由重力提供向心力，得 mg＝m ，得 v ．故 B 错误；根据万有引力提供向心力，得 G m ，得 v ，又因为在月球表 面物体受到的重力等于万有引力，有 G m′g，得 GM＝gR2，所以“嫦娥四号”绕月运行的速度 为 v ，故 C 正确； “嫦娥四号”在环绕月球表面的圆轨道运行时，处于完全失重状态，所 受的重力全部用来提供向心力，使“嫦娥四号”做匀速圆周运动，故 D 错误。 2．理论研究表明，物体在地球附近都受到地球对它的万有引力作用，具有引力势能。设物体在距地球无限 远处的引力势能为零，则引力势能可表示为 Ep=-G ，其中 G 是引力常量，M 是地球的质量（地球的 质量 M 未知），m 是物体的质量，r 是物体距地心的距离。已知地球的半径为 R，地球表面的重力加速度 为 g，求： 2 2 2 4MmG m RR T π= 2 3 2 4 RM GT π= G R g r T 2 3 2 4 RM GT π= v gr= 2gR r = 2 2 2GMm m rr T π =    2 3 2 4 rM GT π= 2v R gR= 2 Mm r = 2v r GM r = 2 'Mm R = 2gR r = Mm r（1）第一宇宙速度； （2）第二宇宙速度。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）第一宇宙速度为绕地球表面做匀速圆周运动的速度，有 ，不考虑地球自 转的影响，地球表面上物体所受的重力近似等于其受到的万有引力， ，得 GM=R2g 联立以上两式得 （2）第二宇宙速度为脱离地球的速度，到无穷远处速度为 0。设第二宇宙速度的值为 v2，由发射点和无限 远机械能相等得， ，故 1．对人造卫星的认识 （1）人造卫星的动力学特征：万有引力提供向心力，即 。 （2）人造卫星的运动学特征：①线速度 v：由 得 ，可见，r 越大，v 越小；r 越 小，v 越大。②角速度 ω：由 得 ，可见，r 越大，ω 越小；r 越小，ω 越大。③ 周期 T：由 得 ，可见，r 越大，T 越大；r 越小，T 越小。④向心加速度 an：由 得 ，可见，r 越大，an 越小；r 越小，an 越大。 2．天体质量和密度的计算方法 （1）利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R。由于 ，故天体的质量 ，天体的平 均密度 。 （ 2 ） 利 用 卫 星 绕 天 体 做 匀 速 圆 周 运 动 的 周 期 T ， 轨 道 半 径 r 。 ① 由 万 有 引 力 等 于 向 心 力 即 ，得出中心天体质量 ；②若还知道天体的半径 R，则天体的平均密度 。 gR 2gR 2 2 Mm vG mR R = 2 Mmm g G R ′′ = v gR= 2 k p 1 0 02 Mmmv G E ER ′ ′− = + = + 2 2v gR= 2 2 2 2 2π( )Mm vG m mr m rr r T ω= = = 2 2 Mm vG mr r = GMv r = 2 2 MmG m rr ω= 3 GM r ω = 2 2 2π( )MmG m rr T = 3 2π rT GM = n2 MmG mar = n 2 GMa r = 2 MmG mgR = 2gRM G = 3 3 4 4ππ3 M M g V GRR ρ = = = 2 2 2 4πMmG m rr T = 3 2 4πrM GT = 3 3 2 3 3π 4π 3 M M r RV GT R ρ = = =（3）利用卫星绕天体做匀速圆周运动的线速度 v 和轨道半径 r。①由万有引力等于向心力即 ， 得 ；②若还知道天体的半径 R，则天体的平均密度 。 （4）若天体的卫星在天体表面的附近环绕天体运行，可认为其轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心天体的密度。 3．卫星稳定运行与变轨运行的分析 （1）卫星稳定运行时，卫星（质量为 m）绕地球（质量为 M）做匀速圆周运动，由相互间的万有引力提供 向心力，即 F 万=F 向，故 ，这是解决卫星稳定运行问题的关键， 解题时根据不同的已知条件，可分别与以上所涉及的向心力表达式联立，从而得出卫星运动过程中的各运 动参量的表达式。 ①向心加速度 a 由 得 ， 。 ②线速度 v 由 得 ， 。 ③角速度 ω 由 得 ， ④周期 T 由 得 ， 。 可见，卫星稳定运行时，线速度 v、角速度 ω、周期 T 与轨道半径 r 一一对应，即每一确定的轨道都有一 确定的 v、T、ω 与之对应，这样卫星才能稳定。 （2）变轨运行分析：当卫星由于某种原因速度突然改变时（开启或关闭发动机或受阻力作用），万有引力 就不再等于向心力，卫星做变轨运行。 ①当卫星的速度 v 突然增大时，所需向心力 增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动， 脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道稳定运行时，由 知，其运行速度要 减小，但重力势能、机械能均增加。 ②当卫星的速度 v 突然减小时，向心力 减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心 运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新的轨道稳定运行时，由 知运行速度将增 2 2 Mm vG mr r = 2v rM G = 2 3 3 3=4 4ππ3 M M v r V GRR ρ = = 2 3π 4T ρ = 2 2 2 2 2π( )GMm vma m mr m rr r T ω= = = =向 2 GMm mar = 向 2 GMa r =向 2 1a r ∝向 2 2 GMm vmr r = Gmv r = 1v r ∝ 2 2 GMm mrr ω= 3 GM r ω = 3 1 r ω = 2 2 2π( )GMm m rr T = 2 34π rT GM = 3T r∝ 2vm r Gmv r = 2vm r Gmv r =大，但重力势能、机械能均减小。 一、单选题 1．如图所示，一颗卫星绕地球做椭圆运动，运动周期为 T，图中虚线为卫星的运行轨迹，A、B、C、D 是轨 迹上的四个位置，其中 A 距离地球最近，C 距离地球最远。B 和 D 点是弧线 ABC 和 ADC 的中点，下列说法 正确的是 A．卫星在 C 点的速度最大 B．卫星在 C 点的加速度最大 C．卫星从 A 经 D 到 C 点的运动时间为 T/2 D．卫星从 B 经 A 到 D 点的运动时间为 T/2 【答案】C 【解析】卫星绕地球做椭圆运动，类似于行星绕太阳运转，根据开普勒第二定律：行星与太阳的连线在 相等时间内扫过的面积相等，则知卫星与地球的连线在相等时间内扫过的面积相等，所以卫星在距离地 球最近的 A 点速度最大，在距离地球最远的 C 点速度最小，卫星在 B、D 两点的速度大小相等，故 A 错误； 在椭圆的各个点上都是引力产生加速度 ，因 A 点的距离最小，则 A 点的加速度最大，故 B 错误； 根据椭圆运动的对称性可知 ，则 ，故 C 正确；椭圆上近地点 A 附近速度较大， 远地点 C 附近速度最小，则 ， ，故 D 错误。 2．“科学真是迷人。”如果我们能测出月球表面的重力加速度 g，月球的半径 R 和月球绕地球的转动周期 T，就能够根据万有引力定律“称量”月球的质量了。已知引力常数为G，用 M 表示月球质量，关于月球 质量，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在月球表面，物体的重力与万有引力相等，则有 ，，可得月球的质量为 ， 故 A 正确，B 错误；月球绕地球做圆周运动时，根据万有引力提供向心力得 ，由于 r 2 GMa r = ADC CBAt t T= = 2ADC Tt = 2BAD Tt < 2DCB Tt > 2gRM G = 2 = gRM T 34π= rM GT 2 3 24π = T rM G 2 MmG mgR = 2gRM G = 2 2 2 4πMmG m rr T =表示轨道半径，而 R 表示月球半径，可得地球质量 ，故 C、D 错误。 3．中国航天部计划 2018 年将利用嫦娥五号进行第一次火星探测，之前美国己经发射了凤凰号着陆器降落 在火星北极进行勘察。如图为凤凰号着陆器经过多次变轨后登陆火星的轨迹图，轨道上的 P、S、 Q 三 点与火星中心在同一直线上，P、Q 两点分别是椭圆轨道的远火星点和近火星点，且 PQ=2QS(已知 I、Ⅲ 为椭圆轨道，Ⅱ为圆轨道)。关于着陆器，下列说法正确的是 A．在 P 点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要点火加速 B．在轨道Ⅱ上 S 点的速度大于在轨道Ⅲ上 Q 点的速度 C．在轨道Ⅱ上 S 点与在轨道Ⅲ上 P 点受到的万有引力大小相同 D．在轨道Ⅱ上由 P 到 S 的时间是其在轨道Ⅲ上由 P 到 Q 的时间的 2 倍 【答案】C 【解析】着陆器由轨道 I 进入轨道Ⅱ做的是由外轨变内轨，需点火减速，故 A 错误；在题图做出过 Q 点 的圆轨道Ⅳ，是火星的近地轨道，根据万有引力提供向心力得： 解得： ，Ⅱ 轨道的半径大于Ⅳ轨道的半径，所以： ，而着陆器由Ⅲ轨道在 Q 点进入Ⅳ轨道时，需要减速，所 以： 联立可得 即在轨道Ⅱ上 S 点的速度小于在轨道Ⅲ上 Q 点的速度，故 B 错误；根据万 有引力定律 ，知在轨道Ⅱ上 S 点与在轨道Ⅲ上 P 点受到的万有引力大小相同，故 C 正确；着 陆器在轨道Ⅱ上由 P 点运动到 S 点的时间和着陆器在轨道Ⅲ上由 P 点运动到 Q 点的时都是各自周期的一 半，根据开普勒第三定律，有： ，解得： ，故 D 错误。 4．某宇航员登陆水星后，测得水星的半径是地球半径的 ，水星的质量是地球质量的 ，已知地球表面的 重力加速度是 g，地球的半径为 R，该宇航员在地球表面能向上竖直跳起的最大高度是 h，忽略自转的影 响，下列说法正确的是 A．水星的平均密度为 3 2 4πrM GT = 2 2 Mm vG mr r = GMv r = 2 4v v＜ 3 4Qv v＞ 2 3Qv v＜ 2 MmF G r = 3 3 3 2 2 2 3 2 2 4 PQ PQ QS PQ T T T +                ′ ′= = 32 2 2 3 T T  =   ′ 1 2 1 9 2 3 g GRπB．水星表面的重力加速度是 g C．水星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度相等 D．该宇航员以与在地球上相同的初速度在水星上起跳后，能达到的最大高度是 h 【答案】A 【解析】由水星、地球表面物体重力等于万有引力可得： ， ，解得： ， ，故 B 错误；由 B 项分析可得： 则水星的平 均密度 ，故 A 正确；根据万有引力做向心力可得： 解得 则地球第一宇宙速度 水星第一宇宙速度 ，故 C 错 误；该宇航员以与地球上相同的初速度在水星上起跳后，则初速度的竖直方向分速度 vy 相同；又有宇航 员在竖直方向做匀变速运动，故有： 在水星上能达到的最大高度 ，故 D 错误。 5．2019 年“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面，为了给“嫦娥四号”探测器登陆月球背面提供通信支 持，“鹊桥号”卫星绕地月拉格朗日L2 点做圆周运动，已知在地月拉格朗日点 L1 或 L2，卫星受地球和月 球引力的合力作用，能随月球同步绕地球做圆周运动，则（　　） A．卫星在 L1 点的角速度比在 L2 点的大 B．卫星在 L1 点的线速度比在 L2 点的大 C．卫星在 L1 点的向心加速度比在 L2 点的小 D．同一卫星在 L1、L2 点受地球和月球引力的合力相等 【答案】C 【解析】地月拉格朗日点属于同轴转动的模型，故卫星在 L1 点的角速度和在 L2 点的角速度相等，故 A 错 误；由 v＝rω，因 ω 相同，则轨道半径大的线速度大，卫星在 L2 点的线速度大，故 B 错误；由 a＝rω2 可知，卫星在 L2 点的向心加速度大，故 C 正确；在拉格朗日点，地球和月球的合力提供卫星的向心力， 2 3 4 9 2 GM m mgR =地 地 GM m m gR ′ ′=水 水 水 2 GMg R = 地 地 22 1 49 91 2 GMGMg gR R = = =     地水 水 水 地 24 9 gRM G = 水 水 3 2 4 3 3 3 M g g GR GRR ρ π ππ = = =水 水 水 2 2Mm r rG vm= GMv r = 1 GMv R = 地 1 1 2 9 GM GMv vR R ′ = = ≠水 地 水 2 2 yvh g = 2 29 9 2 4 2 4 y yv vh hg g ′ = = ⋅ = 水则卫星在 L2 点的向心力大，合力大，故 D 错误。 6．6 月 5 日 12 时 6 分，长征十一号海射型固体运载火箭（又名 CZ-11WEY 号）在我国黄海海域实施发射， 将捕风一号系列的 7 颗卫星送入约 600 公里高度的圆轨道，宣告我国运载火箭首次海上发射技术试验圆 满成功，下列说法中正确的是 A．捕风一号系列卫星的运行周期约为 24 小时 B．七颗卫星中，处于高轨道的卫星具有较大的速度 C．七颗卫星中，处于高轨道的卫星具有较大的能量 D．如果在赤道附近的海上发射卫星，可利用地球自转，从而节省能源 【答案】D 【解析】地球同步卫星到地面的距离大于是 6 倍的地球半径，根据 可知捕风一号系 列卫星的运行周期小于 24 小时，故 A 不符合题意；根据 可知，半径越大则运行的速度越 小，所以七颗卫星中，处于高轨道的卫星具有较小的速度，故 B 不符合题意；由于七颗卫星的质量大小 关系不知，所以七颗卫星中能量大小也无法比较，故 C 不符合题意；在地球上发射卫星，自转的线速度 根据 可知，半径越大，则线速度越大，而自转半径最大处在赤道的地方，所以赤道附近的海上发 射卫星，可利用地球自转，从而节省能源，故 D 符合题意。 7．均匀分布在地球赤道平面上空的三颗同步通信卫星能够实现除地球南北极等少数地区外的“全球通信”。 已知地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 ，同步卫星所在轨道处的重力加速度为 ，则三颗卫星 中任意两颗卫星间距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据万有引力提供向心力得 ，r 为轨道半径，有： ，根据地球 2 2 2GMm m rr T π =    2 2 GMm vmr r = v rw= g g′ 3gR g′ 3 2 gR g′ 2 3 R g g π ′ 4 3 R g g π ′ 2 2 2 4GMm m rr T π= 2 24 GMTr π=表面处万有引力等于重力得 ，得 ，根据题意画出俯视三颗同步通信卫星的几何 位置图象： 根据几何关系得 ，根据同步卫星处万有引力等于重力得 ，得 ，因 ，故 ，则 ，故选 B． 8．为探测引力波，中山大学领衔的“天琴计划”将向太空发射三颗完全相同的卫星（SC1、SC2、SC3）构 成一个等边三角形阵列，地球恰处于三角形的中心，卫星将在以地球为中心、高度约 10 万公里的轨道上 运行，针对确定的引力波源进行引力波探测。如图所示，这三颗卫星在太空中的分列图类似乐器竖琴， 故命名为“天琴计划”。已知地球同步卫星距离地面的高度约为 3.6 万公里，以下说法错误的是 A．若知道引力常量 G 及三颗卫星绕地球的运动周期 T，则可估算出地球的密度 B．三颗卫星绕地球运动的周期一定大于地球的自转周期 C．三颗卫星具有相同大小的加速度 D．从每颗卫星可以观察到地球上大于 的表面 【答案】A 【 解 析 】 若 知 道 引 力 常 量 G 及 三 颗 卫 星 绕 地 球 的 运 动 周 期 T 根 据 万 有 引 力 提 供 向 心 力 ： 得到： ，因地球的半径未知，也不能计算出轨道半径 r，不能计算出地 球体积，故不能估算出地球的密度，故 A 错误；根据万有引力等于向心力， 解得： ，由于三颗卫星的轨道半径大于地球同步卫星的轨道半径，故三颗卫星绕地球运动的周期 2 GMm mgR = 2GM gR= 3L r= 2 GMm mgr ′= GMr g = ′ 2GM gR= gr R g = ′ 33 gL r R g = = ′ 1 3 2 2 2 4MmG m rr T π= 2 324 GT rM π= 2 2 2 4MmG m rr T π= 3 2 rT GM π=大于地球同步卫星绕地球运动的周期，即大于地球的自转周期，故 B 正确；根据 ，由于三 颗卫星到地球的距离相等，则绕地球运动的轨道半径 r 相等，则它们的加速度大小相等，故 C 正确；当 等边三角形边与地球表面相切的时候，恰好看到地球表面的 ，所以本题中，从每颗卫星可以观察到地 球上大于 的表面，故 D 正确。 二、多选题 9．太阳系中某行星运行的轨道半径为 ，周期为 ，但天文学家在长期观测中发现，其实际运行的轨道 总是存在一些偏离，且周期性地每隔 时间发生一次最大的偏离（行星仍然近似做匀速圆周运动）.天文 学家认为形成这种现象的原因可能是该行星外侧还存在着一颗未知行星.假设两行星的运行轨道在同一 平面内，且绕行方向相同，则这颗未知行星运行轨道的半径 和周期 是（认为未知行星近似做匀速圆 周运动）（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】行星的运行轨道发生最大偏离时，两行星与太阳在同一直线上且位于太阳同一侧，则有 ，解得未知行星的运行周期 ，故选项 B 正确，A 错误；由开普勒第三定 律有 ，解得 ，故选项 C 正确，D 错误。 10．已知地球半径为 R，质量为 M，自转角速度为 ω，万有引力恒量为 G，地球同步卫星距地面高度为 h， 则（　　） A．地面赤道上物体随地球自转运动的线速度为 ωR B．地球同步卫星的运行速度为 ωh C．地球近地卫星做匀速圆周运动的线速度为 D．地球近地卫星做匀速圆周运动的周期大于 【答案】AC 【解析】地面赤道上物体随地球自转运动的角速度为 ω，半径为 R，故线速度为 v=ωR，所以 A 正确； 2 MmG mar = 1 3 1 3 0R 0T 0t R T 2 0 0 0 tT t T = − 2 0 0 0 0 tT Tt T = − 2 030 0 0 tR R t T  =  −  2 0 030 0 t TR R t  −=     0 0 0 2 2 2t tT T π π π− = 0 0 0 0 tT Tt T = − 3 3 0 2 0 2 R R T T = 2 030 0 0 tR R t T  =  −  GM R 2π ω地球同步卫星的运行角速度为 ω，半径为 h+R，故线速度为 ，所以 B 错误；由万有引力提 供向心力可得： 又： 计算得出： 所以 C 选项正确；地球自转的周 期为 ，所以地球近地卫星做匀速圆周运动的周期小于 ，故 D 错误。 11．如图所示，a、b、c 是地球大气层外圆轨道上运动的三颗卫星，a 和 b 质量相等且小于 c 的质量，则 A．b 所需向心力最小 B．b、c 的周期相同，且小于 a 的周期 C．b、c 的向心加速度大小相等，且大于 a 的向心加速度 D．b、c 的线速度大小相等，且小于 a 的线速度 【答案】AD 【解析】根据万有引力提供向心力得 可得 a 和 b 质量相等 且小于 c 的质量，可知 b 所需向心力最小，故 A 正确；周期 T=2π ，所以 b、c 的周期相同，大 于 a 的周期，故 B 错误；加速度 ，b、c 的向心加速度相等，小于 a 的向心加速度，故 C 错误； 线速度 ，b、c 的线速度大小相等，小于 a 的线速度，故 D 正确。 12．如图所一颗人造卫星原来在椭圆轨道绕地球 E 运行，在 P 点变轨后进入轨道 2 做匀速圆周运动。下列 说法正确的是 A．不论在轨道 1 还是轨道 2 运行，卫星在 P 点的动能都相同 B．不论在轨道 1 还是轨道 2 运行，卫星在 P 点的引力都相同 C．卫星按轨道 1 运行时的任何位置都具有相同机械能 D．卫星按轨道 2 运行时的任何位置都具有相同动量 ( )v h Rω= + 2 2 Mm vG mR R = 2GM gR= GMv R = 2T π ω ′ = 2π ω 2 2 2 2 4 =mM vG m r m mar T r π =＝ 2 mMF G r = 3r GM 2 GMa r = GMv r =【答案】 BC 【解析】在 P 点从轨道 1 变轨到轨道 2 要加速，所以在轨道 2 上的动能大于轨道 1 上的动能，故 A 不 符合题意；根据 可知在 P 点的引力相等，故 B 符合题意；在轨道 1 上运动时，只有万有 引力做功，所以机械能守恒，所以卫星按轨道 1 运行时的任何位置都具有相同机械能，故 C 符合题意； 动量是矢量，由于速度的方向在变化，所以轨道 2 上动量不相等，故 D 不符合题意。 三、非选择题 13．已知绕中心天体做匀速圆周运动的近地卫星的轨道半径为 r，运动周期为 T。则中心天体的平均密度 ρ =_________。 【答案】 【解析】根据万有引力提供圆周运动向心力有 可得中心天体的质量 根据密度公式可知，中心天体的平均密度 解得： 。 14．发射宇宙飞船的过程要克服引力做功，已知将质量为 m 的飞船在距地球中心无限远处移到距地球中心 为 处的过程中，引力做功为 ，式中 为引力常量， 为地球质量，已知地球半径为 。 若在地球的表面发射一颗人造地球卫星，如果发射的速度很大，此卫星可以上升到离地心无穷远处（即 地球引力作用范围之外），这个速度称为第二宇宙速度（也称逃逸速度），则逃逸速度的表达式_____； 已知逃逸速度大于真空中光速的天体叫黑洞，设某黑洞的质量等于 ，已知光速为 ，则它的可能最 大半径是______。 【答案】 【解析】根据动能定理有 ，解得逃逸速度为 ， (其中 G、M、R 分别表 示万有引力常量、天体质量和半径)，于黑洞模型来说，其逃逸速度大于真空中的光速，即 ，代入 解得 ，所以它的可能最大半径为 。 15．木星的卫星之—叫艾奥。艾奥上面的珞珈火山在一次火山喷发中，喷出的一块岩块初速度为 19m/s，上 升高度可达 100m，到最高点时速度方向变为水平方向，大小为 1m/s。已知艾奥的半径为 R=1800km，引 力常量 G=6.67x10-11 N.m2 /kg2，忽略艾奥的自转及岩块运动过程中受到稀薄气体的阻力作用，求(结果 保留两位有效数字)。 2 GMmF r = 2 3π GT 2 2 2 4mMG mrr T π= 2 3 2 4 rM GT π= 2 3 2 3 4π 4 π3 r M GT V r ρ = = 2 3π GT ρ = r GMmW r = G M R M′ c 2GMv R = 2 2GM c 210 2 GMm mvR − = − 2GMv R = v c> 2 2GMR c < 2 2GM c（1）艾奥表面附近的重力加速度大小； （2）艾奥的质量； （3）艾奥的第一宇宙速度。 【答案】（1）1.8m/s2 （2） kg （3） m/s 【解析】（1）岩块做斜上抛运动，由动能定理得： 解得：g=1.8m/s2 （2）忽略艾奥的自转则有： 解得： kg （3）某卫星在艾奥表面绕其做圆周运动时： 代入解得：v= m/s 16．人民网北京 7 月 6 日电 据中国航天科技集团公司官网消息，6 月 19 日，长征三号乙遥二十八火箭发射 中星 9A 卫星过程中运载火箭出现异常，未能将卫星送入预定轨道。中航科技集团公司在西安卫星测控 中心的密切配合下，通过准确实施 10 次轨道调整，卫星于 7 月 5 日成功定点于东经 101.4°赤道上空 的预定轨道。目前，卫星各系统工作正常，转发器已开通，后续将按计划开展在轨测试工作。 如图所示，卫星圆轨道Ⅰ通过椭圆轨道Ⅱ调整至圆轨道Ⅲ，P 点是圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ的切点，Q 点 椭圆轨道Ⅱ调和圆轨道Ⅲ的切点。已知中星 9A 卫星的质量为 m=700kg，地球质量为 M=5.98×1024kg， 地球表面重力加速度 g=9.80m/s2，地球半径为 R0=6400km，圆轨道Ⅰ的轨道半径为 1.5R0，圆轨道Ⅰ的 轨道半径为 2.5R0，地面附近物体所受重力等于万有引力， =1.41， =1.73， =2.34，地球同 步卫星的轨道半径为 6.6R0、环绕周期为 T0=8.64×104s。 求： （1）卫星在圆轨道 I、Ⅲ上运行的速度 v1、v4 各是多大？ （2）将卫星从圆轨道 I 送到圆轨道Ⅲ，至少要对卫星做多少功？ （3）以距离地球无限远处为势能零点，质量为 m 卫星距离地心为 R 时，其引力势能为 ，且卫 星在 P 点和 Q 点时， ，则卫星在椭圆轨道 P 点、Q 点的速度各是多大？ 228.7 10× 31.8 10× 2 2 1 0 1 1 2 2mgh mv mv− = − 2 MmG mgR = 228.7 10M = × 2 2 Mm vG mR R = 31.8 10× 2 3 5 - GMm R 2 0 3 01.5 2.5v R v R× = ×【答案】（1 ） ， （2 ） ∆E=5.85×109 J （3 ） ， 【解析】（1）卫星在圆轨道上最匀速圆周运动的过程中，万有引力提供向心力，所以在圆轨道 I 上： r1=1.5R0， ，又 ，所以： ，代入数据得：v1＝6.45km/s 同理在圆轨道Ⅲ上：r0=2.5R0，所以： ，代入数据得：v4=5.00km/s。 （2）要把卫星从圆轨道 I 送到圆轨道Ⅲ，外力做的功等于卫星增加的机械能，由功能关系得： ，代入数据，联立得：W=5.85×109J。 （3）卫星在椭圆轨道从 P 点到 Q 点的过程中机械能守恒，得： 又知道卫星在 P 点和 Q 点时，v2×1.5R0=v3×2.5R0，所以： v2=7.21km/s；v3=4.33km/s 1 6.45km / sv = 4 5.00km / sv = 2 7.21km / sv = 3 4.33km / sv = 2 1 2 1 1 vMmG mr r = 2 0 GMmmg R = 0 1 1 1.5 gRGMv r = = 0 4 2.5 gRv = 2 2 1 4 1 2 1 1 2 2 GMm GMmmv W mvr r − + = − 2 2 2 3 1 2 1 1 2 2 GMm GMmmv mvr r − = −