2020年高考数学学霸纠错笔记：概率

忽略概率加法公式的应用前提致错 某商店日收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示： 日收入 [1000, 1500) [1500,2000) [2000, 2500) [2500, 3000) 概率 0.12 a b 0.14 已知日收入在[1000,3000)(元)范围内的概率为 0.67,求月收入在[1500,3000)(元)范围内的概率. 【错解】记这个商店日收入在[1000,1500),[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000) (元)范围内的事件分 别为 A,B,C,D,则日收入在[1500,3000)(元)范围内的事件为 B+C+D,所以 P(B+C+D)=1-P(A)=0.88. 【错因分析】误用P(B+C+D)=1-P(A).事实上,本题中 P(A)+P（B）+P（C）+P（D）≠1,故事件 A 与事件 B+C+D 并不是对立事件. 【试题解析】因为事件 A,B,C,D 互斥,且 P(A)+P（B）+P（C）+P（D）=0.67, 所以 P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.55. 在应用概率加法公式时，一定要注意其应用的前提是涉及的事件是互斥事件.对于事件 A，B，有 ，只有当事件 A，B 互斥时，等号才成立. 1．已知射手甲射击一次，命中 9 环（含 9 环）以上的概率为 0.56，命中 8 环的概率为 0.22，命中 7 环的 概率为 0.12． （1）求甲射击一次，命中不足 8 环的概率； （2）求甲射击一次，至少命中 7 环的概率. 【答案】（1）甲射击一次，命中不足 8 环的概率是 0.22． （2）甲射击一次，至少命中 7 环的概率为 0.9 【解析】记“甲射击一次，命中 7 环以下”为事件 A，则 P（A）＝1﹣0.56﹣0.22﹣0.12＝0.1， “甲射击一次，命中 7 环”为事件 B，则 P（B）＝0.12， ( ) ( ) ( )P A B P A P B= +由于在一次射击中，A 与 B 不可能同时发生， 故 A 与 B 是互斥事件， （1）“甲射击一次，命中不足 8 环”的事件为 A+B， 由互斥事件的概率加法公式， P（A+B）＝P（A）+P（B）＝0.1+0.12＝0.22． 答：甲射击一次，命中不足 8 环的概率是 0.22． （2）方法 1：记“甲射击一次，命中 8 环”为事件 C， “甲射击一次，命中 9 环（含 9 环）以上”为事件 D， 则“甲射击一次，至少命中 7 环”的事件为 B+C+D， ∴P（B+C+D）＝P（B）+P（C）+P（D）＝0.12+0.22+0.56＝0.9． 答：甲射击一次，至少命中 7 环的概率为 0.9． 方法 2：∵“甲射击一次，至少命中 7 环”为事件 ， ∴ 1﹣0.1＝0.9． 答：甲射击一次，至少命中 7 环的概率为 0.9． 【名师点睛】本题考查概率的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用对立 事件的概率的求法． 混淆“等可能”与“非等可能” 从 5 名男生和 3 名女生中任选 1 人去参加演讲比赛,求选中女生的概率. 【错解】从 8 人中选出 1 人的结果有“男生”“女生”两种,则选中女生的概率为1 2. 【错因分析】因为男生人数多于女生人数,所以选中男生的机会大于选中女生的机会,它们不是等可能的. 【试题解析】选出 1 人的所有可能的结果有 8 种,即共有 8 个基本事件,其中选中女生的基本事件有 3 个,故 选中女生的概率为3 8.  A ( ) ( )1P A P A= − =利用古典概型的概率公式求解时，注意需满足两个条件：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）试验的 每个基本事件是等可能发生的. 2．2019 年中国北京世界园艺博览会于 4 月 29 日至 10 月 7 日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国 际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】可能出现的选择有 种，满足条件要求的种数为 种，则 ，故选 B. 【名师点睛】本题考查利用古典概型完成随机事件的概率的求解，难度较易.古典概型的概率计算公式： （目标事件的数量） （基本事件的总数）. 几何概型中测度的选取不正确 在等腰直角三角形 ABC 中,直角顶点为 C． （1）在斜边 AB 上任取一点 M,求 AM 푠22，所以乙组成绩比甲组成绩更稳定． （3）由茎叶图知，甲组高于 70 分的同学共 4 名，有 2 名在[70,80），记为푎1，푎2，有 2 名在[80,90） 记为푏1，푏2． 任取两名同学的基本事件有 6 个：（푎1,푎2），（푎1,푏1），（푎1,푏2），（푎2,푏1），（푎2,푏2），（푏1,푏2）． 恰好有一名同学的得分在[80,90）的基本事件数共 4 个： （푎1,푏1），（푎1,푏2），（푎2,푏1），（푎2,푏2）． 所以恰好有一名同学的得分在[80,90）的概率为푝 = 2 3． 【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法： （1）列举法. （2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区 别的题目，常采用树状图法. （3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. 19． 甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下: 甲商场:顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中两个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心 角均为 ，边界忽略不计)即为中奖· 乙商场:从装有 2 个白球、2 个蓝球和 a 个红球的盒子中一次性摸出 1 球（这些球除颜色外完全相同）， 它是红球的概率是 ，若从盒子中一次性摸出 2 球，且摸到的是 2 个相同颜色的球，即为中奖. （1）求实数 的值； （2）试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由. 【答案】（1） ;（2）顾客在甲商场中奖的可能性大. 【解析】（1）根据随机事件的概率公式， ，解得 . （2）设顾客去甲商场转动圆盘，指针指向阴影部分为事件 ，试验的全部结果构成的区域为圆盘， 面积为 （ 为圆盘的半径），阴影区域的面积为 . 故由几何概型，得 . 设顾客去乙商场一次摸出两个相同颜色的球为事件 ，记 2 个白球为白 1，白 2；2 个红球为红 1、红 4 π 1 3 a 2a = 1 2 2 3 a a =+ + 2a = A 2rπ r 2 2 2 14 2 4S r r π × = π = ππ ( ) 2 2 1 14 4 r P A r π = =π B2；2 个蓝球为蓝 1、蓝 2. 则从盒子中一次性摸出 2 球，一切可能的结果有（白 1、白 2），（白 1、红 1）、（白 1、红 2），（白 1、 蓝 1），（白 1、蓝 2）；（白 2、红 1），（白 2、红 2），（白 2、蓝 1），（白 2、蓝 2）；（红 1、蓝 1），（红 1、蓝 2），（红 2、蓝 1），（红 2、蓝 2）；（蓝 1、蓝 2）等共 15 种； 其中摸到的是 2 个相同颜色的球有（白 1、白 2），（红 1、红 2），（蓝 1、蓝 2）等共 3 种； 故由古典概型，得 . 因为 ， 所以顾客在甲商场中奖的可能性大. 20．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． （1）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （2）随机选取 1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； （3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格 中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 0.1，哪类电影的好评率减少 0.1， 使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论） 【答案】（1） ；（2） ；（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率． 【解析】（1）由题意知，样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2000． 第四类电影中获得好评的电影部数是 200×0.25=50， 故所求概率为 ． （2）方法 1：由题意知，样本中获得好评的电影部数是 140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1 =56+10+45+50+160+51 =372． 故所求概率估计为 ． 方法 2：设“随机选取 1 部电影，这部电影没有获得好评”为事件 B． ( ) 3 1 15 5P B = = ( ) ( )P A P B> 0.025 0.814 50 0.0252000 = 3721 0.8142000 − =没有获得好评的电影共有 140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628 部． 由古典概型概率公式得 ． （3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率． 21． 2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利 息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有 人，现采用 分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 25 人调查专项附加扣除的享受情况． （1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ （2）抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人，分别记为 ．享受 情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访． 员工 项目 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设 M 为事件“抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率． 【答案】（1）应从老、中、青员工中分别抽取 6 人，9 人，10 人；（2）（i）见解析，（ii） ． 【分析】本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公 式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力． 【解析】（1）由已知，老、中、青员工人数之比为 ， 由于采用分层抽样的方法从中抽取 25 位员工， 因此应从老、中、青员工中分别抽取 6 人，9 人，10 人． （2）（i）从已知的 6 人中随机抽取 2 人的所有可能结果为 ，共 15 种． （ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为 1628 0.8142) 00( 0P B = = 72,108,120 , , , , , A B C D E F 11 15 6 : 9 : 10 { , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },A B A C A D A E A F B C { , },{ , },{ , },{ , { , }}, ,B D B E B F C D C E { , },C F { , },{ , },{ , }D E D F E F，共 11 种． 所以，事件 M 发生的概率 ． { , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , { , },{ , },{ , },{ ,}, }A B A D A E A F B D B CE B F E C F D F E F 11( ) 15P M =