忽略集合中元素的互异性
设集合 ，若 ，则实数 的值为
A． B．
C． D． 或 或
【错解】由 得 或 ，解得 或 或 ，所以选 D．
【错因分析】在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就不算了，根本不考虑求解出来的答案
是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含
条件，加以重视．当 时，A=B={1,1，y}，不满足集合元素的互异性；当 时，A=B={1,1,1}
也不满足元素的互异性；当 时，A=B={1，−1,0}，满足题意．
【试题解析】由 得 或 ，解得 或 或 ，经检验，当取
与 时不满足集合中元素的互异性，所以 .
【参考答案】B
集合中元素的特性：
（1）确定性. 一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，
要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合；
（2）互异性. 集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特
性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素
（3）无序性. 集合与其中元素的排列顺序无关，如 a，b，c 组成的集合与 b，c，a 组成的集合是相同的集
合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系
2{ }, , , 1,{ , }A x x xy B x y= = A B= ,x y
1x
y
=
∈ R
1
0
x
y
= −
=
1
1
x
y
=
=
1x
y
=
∈ R
1
0
x
y
= −
=
1
1
x
y
=
=
A B=
2 1x
xy y
=
=
2
1
x y
xy
=
=
1x
y
=
∈ R
1
0
x
y
= −
=
1
1
x
y
=
=
1x
y
=
∈ R
1
1
x
y
=
=
1
0
x
y
= −
=
A B=
2 1x
xy y
=
=
2
1
x y
xy
=
=
1x
y
=
∈ R
1
0
x
y
= −
=
1
1
x
y
=
=
1x
y
=
∈ R
1
1
x
y
=
=
1
0
x
y
= −
=1．已知集合 A＝{m＋2,2m2＋m}，若 3∈A，则 m 的值为________．
【解析】因为 3∈A，所以 m＋2＝3 或 2m2＋m＝3.
当 m＋2＝3，
即 m＝1 时，2m2＋m＝3，
此时集合 A 中有重复元素 3，
所以 m＝1 不符合题意，舍去；
当 2m2＋m＝3 时，解得 m＝－
3
2或 m＝1(舍去)，
此时当 m＝－
3
2时，m＋2＝
1
2≠3 符合题意．
所以 m＝－
3
2.
【答案】－
3
2
误解集合间的关系致错
已知集合 ，则下列关于集合 A 与 B 的关系正确的是
A． B．
C． D．
【错解】因为 ，所以 ，所以 ，故选 B．
【错因分析】判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察集合中的元素之间的关系．集合
之间一般为包含或相等关系，但有时也可能为从属关系．解题时要思考两个问题：(1)两个集合中的元素
分别是什么；(2)两个集合中元素之间的关系是什么．本题比较特殊，集合B 中的元素就是集合，当集合
A 是集合 B 的元素时，A 与 B 是从属关系．
【试题解析】因为 ，所以 ，则集合 是集合B中的元素，所以 ，
故选 D．
【参考答案】D
（1）元素与集合之间有且仅有“属于（ ）”和“不属于（ ）”两种关系，且两者必居其一.判断一个对
象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征.
（2）包含、真包含关系是集合与集合之间的关系，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集
{ } { |0,1 }A B x x A= = ⊆，
A B⊆ A ⊂≠ B
B ⊂≠ A A B∈
x A⊆ { } { } { }0 1{ 0,1 }B = ∅， ， ， A ⊂≠ B
x A⊆ { } { } { }0 1{ 0,1 }B = ∅， ， ， { }0,1A = A B∈
∈ ∉合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作 （或
）；如果集合 ，但存在元素 ，且 ，我们称集合 是集合 的真子集，记作
（或 ）.
2．已知集合 ，则下列判断正确的是
A． B．
C． D．
【解析】 ，
【答案】C
忽视空集易漏解
已知集合 ， ，若 ，则实数 m 的取值
范围是
A． B．
C． D．
【错解】∵ ，∴ ，∴ .
由 知 ，∴ ，则 .
∴m 的取值范围是 .
【错因分析】空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，
往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解.由并集的概念知，对于任何一个集合 A，都有 ，所
以错解中忽略了 时的情况.
【试题解析】∵ ，∴ . ，
①若 ，则 ，即 ，故 时， ；
②若 ，如图所示，
A B⊆
B A⊇ A B⊆ x B∈ x A∉ A B
A B⊂≠ B A⊃≠
{ }2| 4 5 , { | 2}A x x x B x x= − < = <
1.2 A− ∈ 15 B∉
B A⊆ { | 5 4}A B x x= − < + ba 2,2 >> ba 且【错因分析】充分必要条件的概念混淆不清致错.
【试题解析】因为 ，所以 ， ， ，显然 中至少有一个大于 1，如果都小
于等于 1，根据不等式的性质可知：乘积也小于等于 1，与乘积大于 1 不符.
由 ，可得 ， 与 1 的关系不确定，显然由“ ”可以推出
，但是由 推不出 ，当然可以举特例：如 ，符合
，但是不符合 ，因此“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选 A.
【参考答案】A
（1）“A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推出 A，且 A 不能推出 B，即 B⇒A 且 A B；
（2）“A 是 B 的充分不必要条件”则是指 A 能推出 B，且 B 不能推出 A，即 A⇒B 且 .
4．已知 ， ，若 的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【解析】由基本不等式得， ，由 ，又因为
的一个充分不必要条件是 ，则 ，故选 A．
【答案】A
命题的否定与否命题的区别
命题“ 且 ”的否定形式是
A． B．
C． D．
【错解】错解 1：“ ”的否定为“ ”，“ 且 ”的否定为“
lg( ) 0ab > 1ab > 0a > 0b > ,a b
lg( ) 0a b+ > 1a b+ > ,a b lg( ) 0ab >
lg( ) 0a b+ > lg( ) 0a b+ > lg( ) 0ab > 2
3a b= =
1a b+ > 1ab > lg( ) 0ab > lg( ) 0a b+ >
/Þ
B /Þ A
a b∈R 2 2 1a b+ ≥ ab m≤ ( 0)m < m
1, 2
−∞ −
( ], 2−∞ −
1 ,02
−
[ )2,0−
2 2 12 1 2a b ab ab+ ≥ ≥ ⇒ ≥ 10 2ab ab< ⇒ ≤ − 2 2 1a b+ ≥
ab m≤ ( 0)m < 1
2m ≤ −
( )* *n f n∀ ∈ ∈N N， ( )f n n≤
( )* * ( )n f n f n n∀ ∈ ∉ >N N， 且 * *( ) ( )n f n f n n∀ ∈ ∉ >N N， 或
* *
0 0 0 0)( ) (n f n f n n∃ ∈ ∉ >N N， 且 * *
0 0 0 0( ) ( )n f n f n n∃ ∈ ∉ >N N， 或
*
0n∀ ∈N *
0n∃ ∈N ( ) *f n ∈N ( )f n n≤ ( ) *
0f n ∉N且 ”，故选 C．
错解 2：“ 且 ”的否定为“ 且 ”，故选 A．
错解 3：“ 且 ”的否定为“ ”，故选 B．
【错因分析】错解 1 对命题的结论否定错误，没有注意逻辑联结词；
对于错解 2，除上述错误外，还没有否定量词；
错解 3 的结论否定正确，但忽略了对量词的否定而造成错选．
【试题解析】全称命题的否定为特称命题，因此命题“ 且 ”的否定形式
是“ ”．故选 D．
【参考答案】D
1．命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否
定其结论；“命题的否定”即“非 p”，只是否定命题p 的结论．
2．命题的否定
（1）对“若 p，则 q”形式命题的否定；
（2）对含有逻辑联结词命题的否定；
（3）对全称命题和特称命题的否定．
（4）全称（或存在性）命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全称（或存在性）命题的否定是将
其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论
即可．从命题形式上看，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．
5．已知 ，则¬p 是¬q
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【解析】∵ ，∴5x−2>3 或 5x−21 或 ，∴¬p： .
0 0( )f n n>
( ) *f n ∈N ( )f n n≤ ( ) *f n ∉N ( )f n n>
( ) *f n ∈N ( )f n n≤ ( ) ( )*f n f n n∉ >N 或
( )* *n f n∀ ∈ ∈N N， ( )f n n≤
( ) ( )* *
0 0 0 0n f n f n n∃ ∈ ∉ >N N， 或
2| | 1: 5 2 3, : 04 5p x q x x
− > >+ −
: 3| 5 |2p x − >
1
5x < − 1 15 x− ≤ ≤∵ ，∴x2＋4x−5>0，
∴x>1 或 x+ − 2
1: 04 5q x x
¬ ≤+ −
a A
a A
∈
∉
属于，记为
不属于，记为
N ∗N +N Z Q R C
A B⊆
B A⊇
A B⊂≠
B A⊃≠相等
集合 A，B 中元素相同或集合
A，B 互为子集
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真
子集
，
（1）若集合 A 中含有 n 个元素，则有 个子集，有 个非空子集，有 个真子集，有 个非
空真子集．
（2）子集关系的传递性，即 .
（3）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，
否则会造成漏解.
5．集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn 图
交集
由属于集合 A 且属于
集合 B 的所有元素组
成的集合
并集
由所有属于集合 A 或
属于集合 B 的元素组
成的集合
补集
由全集 U 中不属于集
合 A 的所有元素组成
的集合
（1）集合运算的相关结论
交集
并集
补集
（2）
二、命题及其关系、充分条件与必要条件
1．四种命题
A B=
A∅ ⊆
( )B B⊂∅ ≠ ∅≠
2n 2 1n − 2 1n − 2 2n −
,A B B C A C⊆ ⊆ ⇒ ⊆
{ | }A B x x A x B= ∈ ∈ 且
| }{A B x x A x B= ∈ ∈ 或
{ | }U A x x U x A= ∈ ∉且
A B A⊆ A B B⊆ A A A= A ∅ = ∅ A B B A=
A B A⊇ A B B⊇ A A A= A A∅ = A B B A=
( )U U A A= UU = ∅ U U∅ = ( )U A A = ∅ ( )U A A U=
( .)U U UA B A B A A B B A B A B⊆ ⇔ = ⇔ = ⇔ ⊇ =⇔ ∅ 命题 表述形式
原命题 若 p，则 q
逆命题 若 q，则 p
否命题 若 ，则
逆否命
题
若 ，则
2．四种命题间的关系
（1）常见的否定词语
正面词语 = >( − { | 2}B x x= 0，b>0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
∅
( 1,2)A B = −
2{ 1,0,1,2}, { | 1}A B x x= − = ≤ A B =
{ }1,0,1− { }0,1
{ }1,1− { }0,1,2
2 1,x ≤ 1 1x− ≤ ≤ { }1 1B x x= − ≤ ≤
{ 1,0,1,2}A = − { }1,0,1A B = −
x∈R 0 5x< < | 1| 1x − <
| 1| 1x − < 0 2x< <
0 5x< < 0 2x< <
0 2x< < 0 5x< <
0 5x< < 0 2x< <
0 5x< < | 1| 1x − <
xC．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 时， ，则当 时，有 ，解得 ，充
分性成立；
当 时，满足 ，但此时 ，必要性不成立，
综上所述，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选 A.
【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值
法”，通过取 的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
6．设 α，β 为两个平面，则 α∥β 的充要条件是
A．α 内有无数条直线与 β 平行 B．α 内有两条相交直线与 β 平行
C．α，β 平行于同一条直线 D．α，β 垂直于同一平面
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知： 内有两条相交直线都与 平行是 的充分条件；
由面面平行的性质定理知，若 ，则 内任意一条直线都与 平行，所以 内有两条相交直线都与
平行是 的必要条件.
故 α∥β 的充要条件是 α 内有两条相交直线与 β 平行.
故选 B．
【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观
臆断.
7．设函数 f（x）=cosx+bsinx（b 为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当 时， ， 为偶函数；
当 为偶函数时， 对任意的 恒成立，
由 ，得 ，
则 对任意的 恒成立，
从而 .
0, 0a > b > 2a b ab+ ≥ 4a b+ ≤ 2 4ab a b≤ + ≤ 4ab ≤
=1, =4a b 4ab ≤ =5>4a+b
4a b+ ≤ 4ab ≤
,a b
α β α β∥
α β∥ α β α
β α β∥
0b = ( ) cos sin cosf x x b x x= + = ( )f x
( )f x ( ) ( )f x f x− = x
( ) cos( ) sin( ) cos sinf x x b x x b x− = − + − = − cos sin cos sinx b x x b x+ = −
sin 0b x = x
0b =故“ ”是“ 为偶函数”的充分必要条件.
故选 C.
【名师点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
8．若集合퐴 = {푥|3 ― 2푥 < 1}, 퐵 = {푥|3푥 ― 2푥2 ≥ 0}，则퐴 ∩ 퐵 =
A．(1,2] B．(1,9
4]
C．(1,3
2] D．(1, + ∞)
【答案】C
【解析】因为퐴 = {푥|푥 > 1},퐵 = {푥|0 ≤ 푥 ≤ 3
2 }，所以퐴 ∩ 퐵 = {푥|1 < 푥 ≤ 3
2 }．故选 C.
【名师点睛】本题考查了集合的交集运算，A∩B 可理解为：集合 A 和集合 B 中的所有相同的元素的集合.
一般步骤为：先明确集合，即化简集合，然后再根据集合的运算规则求解.
9．已知集合퐴 = {푥|2 < 푥 < 4}，퐵 = {푥|3 ≤ 푥 ≤ 5}，则
A．{푥|2 < 푥 ≤ 5} B．{푥| 푥 < 4或푥 > 5}
C．{푥|2 < 푥 < 3} D．{푥| 푥 < 2或푥 ≥ 5}
【答案】B
【解析】因为퐵 = {푥|3 ≤ 푥 ≤ 5}，
所以 = {푥|푥 < 3或푥 > 5}，
又因为集合퐴 = {푥|2 < 푥 < 4}，
所以 {푥| 푥 < 4或푥 > 5},故选 B.
【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两
集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合퐴或不属于集合퐵的元素的集合.
10．设全集푈 = 퐑,퐴 = {푥| ― 푥2 ― 3푥 > 0 }，퐵 = {푥|푥 < ―1 }，则图中阴影部分表示的集合为
A． {푥|푥 > 0 } B． {푥| ―3 < 푥 < ―1 }
C． {푥| ―3 < 푥 < 0 } D． {푥|푥 < ―1 }
【答案】B
0b = ( )f x
=A BR
BR
=A BR【解析】∵퐴 = {푥| ― 푥2 ― 3푥 > 0 } = {푥| ―3 < 푥 < 0 }，퐵 = {푥|푥 < ―1 }，图中阴影部分表示的集合为
，
∴퐴 ∩ 퐵 = {푥| ―3 < 푥 < ―1 }.
故选 B．
11．已知全集푈 = 퐑，函数푦 = ln(1 ― 푥)的定义域为푀，集合푁 = {푥|푥2 ― 푥 < 0 }，则下列结论正确的是
A．푀 ∩ 푁 = 푁 B．푀 ∩ (∁U푁) = ∅
C．푀 ∪ 푁 = 푈 D．푀 ⊆ (∁U푁)
【答案】A
【解析】函数푦 = ln(1 ― 푥)的定义域为푀 = {푥│푥 < 1},푁 = {푥|푥2 ― 푥 < 0 } = {푥│0 < 푥 < 1},结合选项푀
∩ 푁 = 푁正确，故选 A.
12．命题“∃푥0 ∈ 퐍，使得ln푥0(푥0 + 1) < 1”的否定是
A．∀푥 ∈ 퐍，都有ln푥0(푥0 + 1) < 1
B．∀푥 ∉ 퐍，都有ln푥(푥 + 1) ≥ 1
C．∀푥0 ∈ 퐍，都有ln푥0(푥0 + 1) ≥ 1
D．∀푥 ∈ 퐍，都有ln푥(푥 + 1) ≥ 1
【答案】D
【解析】由于特称命题的否定为全称命题，
所以“∃푥0 ∈ 퐍，使得ln푥0(푥0 + 1) < 1”的否定为“∀푥 ∈ 퐍，都有ln푥(푥 + 1) ≥ 1”．
故选 D．
【名师点睛】对于含有量词的命题的否定要注意两点：一是要改换量词，即把全称（特称）量词改为
特称（全称）量词；二是注意要把命题进行否定．
13．“若 ，则 ，都有 成立”的逆否命题是
A． ，有 成立，则
B． ，有 成立，则
C． ，有 成立，则
D． ，有 成立，则
【答案】D
A B
1
2a ≥ 0x∀ ≥ ( ) 0f x ≥
0x∃ < ( ) 0f x < 1
2a <
0x∃ < ( ) 0f x ≥ 1
2a <
0x∀ ≥ ( ) 0f x < 1
2a <
0x∃ ≥ ( ) 0f x < 1
2a 4 B．푎 ≥ 4
C．푎 ≥ 0 D．푎 > 0
【答案】A
【解析】由题意可知：퐴 = {푥|0 < 푥 ≤ 4}，结合集合 B 和题意可得实数푎的取值范围是푎 > 4.本题选择 A
选项.
16．下列命题正确的是
A．∃푥0 ∈ 퐑,푥20 +2푥0 +3 = 0 B．푥 > 1是푥2 > 1的充分不必要条件
C．∀푥 ∈ 퐍,푥3 > 푥2 D．若푎 > 푏，则푎2 > 푏2
【答案】B
【解析】x2+2x+3=0 的 =﹣8＜0，故方程无实根，即∃x0∈R，x02+2x0+3=0 错误，即 A 错误；
x2＞1⇔x＜﹣1，或 x＞1，故 x＞1 是 x2＞1 的充分不必要条件，故 B 正确；
当 x≤1 时，x3≤x2，故∀x∈N，x3＞x2 错误，即 C 错误；
若 a=1，b=﹣1，则 a＞b，但 a2=b2，故 D 错误；
故选：B．
17．已知命题 p：∃푥0∈R，2푥0＜푥0－1；命题 q：在 ABC 中，“BC2＋AC2＜AB2”是“ ABC 为钝角三角形”
的充分不必要条件．则下列命题中的真命题是
A．¬푞 B．p∧q
C．p∨（¬푞） D．（¬푝）∧q
1
2a ≥ 0x∀ ≥ ( ) 0f x ≥
0x∃ ≥ ( ) 0f x < 1
2a <
( ){ , | 1,0 1}A x y y x x= = + ≤ ≤ ( ){ , | 2 ,0 10}B x y y x x= = ≤ ≤ A B =
{ }1,2 { }1, 2x y= =
( ){ }1,2 { }1, 2x x= =
1
2
y x
y x
= +
=
1
2
x
y
=
= 0 1x≤ ≤ A B ( ){ }1,2 ，
∆
△ △【答案】D
【解析】因为∀푥 ∈ R,2푥 > 푥 ― 1，故命题 p 为假命题；因为퐵퐶2 + 퐴퐶2 < 퐴퐵2，故cos퐶 < 0，
故“퐵퐶2 + 퐴퐶2 < 퐴퐵2”是“훥퐴퐵퐶为钝角三角形”的充分不必要条件，命题q 为真，故（¬푝） ∧ 푞为真，
故选 D.
【名师点睛】本小题主要考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，考查一次函数以及指数函数的图像
与性质，还考查了三角形为钝角三角形的判断方法以及充要条件等知识，综合性较强，属于中档题.解
题过程中主要用分层推进，一步一步来完成，分别求得푝,푞的真假性，然后结合逻辑联结词判断真假性.
18．下列有关命题的说法正确的是
A． 若"푝 ∧ 푞"为假命题，则푝,푞均为假命题
B． "푥 = ―1"是"푥2 ― 5푥 ― 6 = 0"的必要不充分条件
C． 命题"若푥 > 1,则1
푥 < 1 "的逆否命题为真命题
D． 命题"∃푥0 ∈ 퐑,使得푥20 + 푥0 +1 < 0"的否定是："∃푥 ∈ 퐑,均有푥2 + 푥 +1 ≥ 0 "
【答案】C
【解析】A. 若"푝 ∧ 푞"为假命题，则푝,푞中至少有一个假命题，所以该选项是错误的；B. "푥 = ―1"是"푥2 ―
5푥 ― 6 = 0"的充分不必要条件，因为由"푥2 ― 5푥 ― 6 = 0"得到“x=−1 或 x=6”，所以该选项是错误的；
C. 命题"若푥 > 1,则1
푥 < 1 "的逆否命题为真命题，因为原命题是真命题，而原命题的真假性和其逆否命
题的真假是一致的，所以该选项是正确的；D. 命题"∃푥0 ∈ 퐑,使得푥20 + 푥0 +1 < 0"的否定是："푥 ∈ 퐑,均
有푥2 + 푥 +1 ≥ 0 "，所以该选项是错误的.
故选 C.
19．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题 是“第一次射击击中目标”，命题 是“第二次射击击中
目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是
A． 为真命题 B． 为真命题
C． 为真命题 D． 为真命题
【答案】A
【解析】 命题 是“第一次射击击中目标”，命题 是“第二次射击击中目标”，则命题 是“第
一次射击没击中目标”，命题 是“第二次射击没击中目标”， 命题 “两次射击中至少有一次没有
击中目标”是 ，故选 A．
p q
( ) ( )p q¬ ∨ ¬ ( )p q∨ ¬
( ) ( )p q¬ ∧ ¬ p q∨
p q p¬
q¬ ∴
( ) ( )p q¬ ∨ ¬20．能说明“若 f（x）>f（0）对任意的 x∈（0，2］都成立，则 f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题
的一个函数是__________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】对于 ，其图象的对称轴为 ，则 f（x）>f（0）对任意的 x∈（0，2］
都成立，但 f（x）在［0，2］上不是单调函数.
21．设푎 > 0且푎 ≠ 1，푏 ∈ R，集合 A＝{1
4，log푎2}，B＝{﹣1，0，2푏}．若 A ⊆ B，则푎 + 푏 ＝__________．
【答案】 ― 3
2
【解析】因为 A ⊆ B，所以2푏=1
4，log푎2=−1，所以 b=−2,a=1
2, ∴ 푎 + 푏 = ―2 + 1
2 = ― 3
2.
故答案为 ― 3
2.
【名师点睛】本题主要考查集合的关系，考查对数指数方程的解法，意在考查学生对这些知识的掌握
水平和分析推理能力.
22．若命题“ ”是假命题，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为命题“ ”是假命题，所以 为真命题，
即 ，故答案为 .
23．已知条件 ，条件 ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是
__________．
【答案】
【解析】条件 p:log2(1−x) 0，若푝 ∨ 푞为真命题，则实数푚的取值范
围为__________．
【答案】푚 < 2
【解析】由题意可得¬푝：∀푥 ∈ 퐑, 푚푥2 +1 > 0，,若¬푝为真，则 푚 ≥ 0，
푞:∀푥 ∈ 퐑, 푥2 + 푚푥 +1 > 0，则푚2 ― 4 < 0, ∴ ―2 < 푚 < 2.
则¬푞：푚 ≤ ―2或푚 ≥ 2.
则¬푝且¬푞为真，有푚 ≥ 2.
푝 ∨ 푞为真命题，则¬푝且¬푞为假，故푚 < 2.
26．已知 ，则“ ”是“直线 和直线 平行”的__________．（填充
要条件、充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件）
【答案】必要不充分条件
【解析】由题意可知，充分性：若 ，则直线 可变形为 ，即
，当 时，两直线重合，所以充分性不成立；
必要性：若两直线平行，则 ，所以必要性成立.
故填必要不充分条件．
27．设 p：函数푓(푥) = 푎푥2 ― 푥 + 1
4푎的定义域为 R，푞: ∃푥 ∈ (0,1)，使得不等式3푥 ― 9푥 ― 푎 < 0成立，如果“p
x∀ ∈R sin 1x ≥ 0x∃ ∈R 0sin 1x ≤
∥a b λ λ=a b
( )f x R ( )0 0f x′ = 0x
p q∨ ( )p q∧ ¬
x∀ ∈R sin 1x ≥ 0x∃ ∈R 0sin 1x <
∥a b λ λ=a b = 0b λ
p q∨ ( )p q∧ ¬
,a b∈R 1ab = 1 0ax y+ − = 1 0x by+ − =
11ab b a
= ⇒ = 1 0x by+ − = 1 1 0x ya
+ − =
0ax y a+ − = 1a b= =
1 1 1a b ab× = × ⇒ =或 q”为真命题，“p 且 q”为假，求实数 a 的取值范围．
【答案】( ―6,1)
【解析】若命题 p 为真，即푎푥2 ― 푥 + 1
4푎 ≥ 0恒成立，
则有{ 푎 > 0
훥 = 1 ― 푎2 ≤ 0 ，解得푎 ≥ 1．
令푡 = 3푥，且푔(푡) = ― 푡2 + 푡，푡 ∈ (1,3)，
所以函数푔(푡)在(1,3)上单调递减，
所以푔(3) < 푔(푡) < 푔(1)，即 ― 6 < 푔(푡) < 0，
所以푦 = 3푥 ― 9푥的值域为( ―6,0)，
若命题 q 为真，即∃푥 ∈ (0,1)，使得푎 > 3푥 ― 9푥成立，
则푎 > ―6．
由命题“p 或 q”为真命题，“p 且 q”为假命题，可知 p，q 一真一假，
①当 p 为真命题，q 为假命题时，
则有{ 푎 ≥ 1
푎 ≤ ―6 ，不等式组无解．
②当 p 为假命题 q 为真命题时，
则有{ 푎 < 1
푎 > ―6 ，解得 ― 6 < 푎 < 1．
综上可得 ― 6 < 푎 < 1．
所以实数푎的取值范围是( ―6,1)．
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