2020年高考数学学霸纠错笔记：立体几何

对空间几何体的结构认识不准确致错 有一种骰子，每一面上都有一个英文字母，如图是从 3 个不同的角度看同一粒骰子的情形，请画出 骰子的一个侧面展开图，并根据展开图说明字母 H 对面的字母是 . 【错解】P 【错因分析】空间想象能力差而乱猜一气，实际上可以动手制作模型，通过折叠得出答案. 【试题解析】将原正方体外面朝上展开，得其表面字母的排列如图所示，易得 H 对面的字母是 O. 【参考答案】O 1．对于平面图形折叠或空间图形展开的问题，空间想象能力是解题的关键，正确识图才能有效折叠平面图 形、展开空间图形.而对于简单几何体的展开图，可以通过制作模型来解答. 2．关于空间几何体的结构特征问题的注意事项： (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情 况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． (2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可. 1．已知某圆柱的底面周长为 12，高为 2，矩形 是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从 到 的路径中，最短路径的长度为 ABCD A CA． B． C．3 D．2 【答案】A 【解析】圆柱的侧面展开图如图， 圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为 12，宽为 2， 则在此圆柱侧面上从 到 的最短路径为线段 ， . 故选：A． 不能正确画出三视图或还原几何体而致错 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 【错解】A 或 B 或 C 【错因分析】选 A，俯视图判断出错，从俯视图看，几何体的上、下部分都是旋转体； 选 B，下部分几何体判断出错，误把旋转体当多面体； 选 C，上部分几何体判断出错，误把旋转体当多面体. 【试题解析】由三视图可知几何体上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选 D. 【参考答案】D 1．当已知三视图去还原成几何体时，要充分关注图形中关键点的投影，先从俯视图来确定是多面体还是旋 转体，再从正视图和侧视图想象出几何体的大致形状，然后通过已知的三视图验证几何体的正确性，最 后检查轮廓线的实虚． 2 10 2 5 A C AC 2 22 6 2 10AC = + =2．三视图问题的常见类型及解题策略： (1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结 合空间想象将三视图还原为实物图． (2)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不 能看到的部分用虚线表示． (3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形 式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部 分三视图是否符合. 2．下列四个几何体的三视图中，只有正视图和侧视图相同的几何体是 A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【解析】分析题中简单几何体可知，②④中几何体的正视图和侧视图相同. 故选 D. 空间几何体的直观图与原图面积之间的关系 如图是水平放置的平面图形的直观图，则原平面图形的面积为 A．3 B． C．6 D． 3 2 2 3 2【错解】B 【错因分析】错解中把直观图认为是原平面图形，则平面图形的面积为 .实际上， 题图为直观图，必须根据直观图还原得到平面图形，再利用三角形的面积公式求解. 【试题解析】原平面图形如图，即 Rt△OAB，其中 OA=O′A′=3，OB=2O′B′=4，故原平面图形的面积为 ，选 C. 【方法点晴】本题主要考查了平面图形的直观图及其原图形与直观图面积之间的关系，属于基础题，解答 关键是牢记原图形与直观图的面积比为 ． 【参考答案】C 1．斜二测画法中的“三变”与“三不变”： “三变” ； “三不变” . 2．原图形与直观图的面积比为 ，即原图面积是直观图面积的 倍，直观图面积是原图面积的 倍. 3．已知梯形 是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图 (如图所示)，其中 ， ， ，则直角梯形 边的长度是 1 3 22 3 sin 45 =2 2 × × ×  1 3 4=62 × × 2 2S S =′ y    坐标轴的夹角改变 与 轴平行的线段的长度变为原来的一半 图形改变 x z    平行性不改变 与 , 轴平行的线段的长度不改变 相对位置不改变 2 2S S =′ 2 2 1 2= 42 2 ABCD A B C D′ ′ ′ ′ 2A D′ ′ = 4B C′ ′ = 1A B′ ′ = DCA． B． C． D． 【答案】B 【解析】由直观图作出梯形 是直角梯形，如图： 按照斜二测画法画，可得出它的直观图 ， ∴直角梯形 中, ， 过 作 ，交 于 , 则 ， 直角梯形 边的长度为 ，故选 B . 【名师点睛】本题主要考查斜二测画法的基本原理与性质，以及由直观图还原平面图形，意在考查对 基础知识掌握的熟练程度，属于中档题. 本题容易忽视了图形中的平行关系，从而得不到原图中边与坐标轴的平行关系，判断不出直角三角形 而导致错误． 空间几何体的表面积或体积计算不全致错 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为 5 2 2 3 2 5 ABCD  , 2, 4, 1A'B'C'D' A'D' B'C' A'B'= = = ABCD , 2, 4, 2 2AB BC AD A'D' BC B'C' AB A'B'⊥ = = = = = = D DE BC⊥ BC E 2, 4 2 2DE AB EC BC AD= = = − = − = ∴ DC 4 4 2 2+ =A．21+ 　　 B．18+ C．21 D．18 【错解】B 或 C 或 D 【错因分析】由三视图可知原几何体应该是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥，B 项计算三角形面积时 出错；截取小正三棱锥，即除去了六个全等的等腰直角三角形，但 C 项忽略了几何体多了两个等边三角形 面；由三视图可知原几何体应该是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥的组合体，D 项计算三角形面积时 出错，且计算时还少加了三棱锥的底面. 【试题解析】由三视图可知原几何体如图所示，是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥.正方体的表面积 为 S=24，两个全等的三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点，侧面是三个全等的直角边长为 1 的等腰直角三 角形，其侧面面积的和为 3，三棱锥的底面是边长为 的正三角形，其底面面积的和为 ，故所求几何体 的表面积为 24−3+ =21+ .故选 A. 【参考答案】A 1．柱体、锥体、台体的表面积 （1）已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数 据与几何体的表面积公式，求其表面积． （2）多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不 遗漏. 3 3 2 3 3 3（3）求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体 展开为平面图形后再求面积. 2．柱体、锥体、台体的体积 空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易 题. 求柱体、锥体、台体体积的一般方法有： （1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． （2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解． （3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解. ①等体积法： 一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采 用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一 种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积. ②割补法： 运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的 线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原 几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则 的几何体的体积之和；如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规 则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积， 就是求体积的“加、减”法． 4．如图所示，已知等腰梯形 ABCD 的上底 AD＝2 cm，下底 BC＝10 cm，底角∠ABC＝60°，现绕腰 AB 旋转 一周，则所得的旋转体的体积是 A．246π B．248πC．249π D．250π 【答案】B 【解析】过 D 作 DE⊥AB 于 E，过 C 作 CF⊥AB 于 F，所得旋转体是以 CF 为底面半径的圆锥和圆台，挖去 以 A 为顶点，以 DE 为底面半径的圆锥的组合体． 由于 AD＝2 cm，BC＝10cm，∠ABC＝60°，在 Rt△BCF 中，BF＝5 cm，FC＝5 3 cm. 由 AD∥BC 得，∠DAE＝∠ABC＝60°.在 Rt△ADE 中，DE＝ 3 cm，AE＝1 cm. 又在等腰梯形 ABCD 中可求得 AB＝8 cm，AF＝AB－BF＝8－5＝3(cm)，EF＝AE＋AF＝4 cm. 所以旋转后所得几何体的体积为 V＝ 1 3π·BF·FC2＋ 1 3π·EF·(DE2＋FC2＋DE·FC)－ 1 3π·AE·DE2＝ 1 3 π×5×(5 3)2＋ 1 3π×4×[( 3)2＋(5 3)2＋ 3×5 3]－ 1 3π×1×( 3)2＝248π(cm3)，即所得的旋 转体的体积为 248π cm3. 本题易将所得旋转体漏掉扣除以圆台上底面为底面，高为 1 cm 的圆锥的体积而错选 C. 问题考虑不全面致错 已知半径为 10 的球的两个平行截面圆的周长分别是 12π 和 16π，则这两个截面圆间的距离 为 . 【错解】2 如图，设球的大圆为圆 O，C，D 分别为两截面圆的圆心，AB 为经过点 C，O，D 的直径，由题中条件可得两 截面圆的半径分别为 6 和 8.在 Rt△COE 中， .在 Rt△DOF 中， .所 以 CD=OC−OD=8−6=2，故这两个截面圆间的距离为 2. 2 210 6 8OC = − = 2 210 8 6OD = − =【错因分析】错解中由于对球的结构把握不准，考虑问题不全面而导致错误.事实上，两个平行截面既可以 在球心的同侧，也可以在球心的两侧. 【试题解析】如上图，设球的大圆为圆 O，C，D 为两截面圆的圆心，AB 为经过点 C，O，D 的直径，由题中 条件可得两截面圆的半径分别为 6 和 8. 当两截面在球心同侧时， ； 当两截面在球心两侧时， . 综上可知，两截面圆间的距离为 2 或 14. 【参考答案】2 或 14 1．球的有关问题 （1）确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已 知球的体积或表面积也可以求其半径. （2）球与几种特殊几何体的关系： ①长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长； ②正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为 3∶1； ③直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱 的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点； ④球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径； ⑤球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高． （3）与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系， 正确建立等量关系. （4）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球 心到截面的距离 与球的半径 及截面圆的半径 之间满足关系式： . 2 2 2 210 6 10 8 2CD OC OD= − = − − − = 2 2 2 210 6 10 8 14CD OC OD= + = − + − = d R r 2 2d R r= −2．求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路： 一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有 关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断； 二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法 解决. 5．如图所示，在长方体中， 则在长方体表面上连接 两点的所有 曲线长度的最小值为__________． 【答案】 【解析】将长方体的面分别展开平铺，当四边形 和四边形 在同一平面内时，最小距 离为四边形 的对角线，长度是 ；当四边形 和四边形 在 同一平面内时，最小距离为四边形 的对角线，长度是 ；四边形 和 四 边 形 在 同 一 平 面 内 时 ， 最 小 距 离 为 四 边 形 的 对 角 线 ， 长 度 是 ，所以最小距离是 ． 将空间几何体的表(侧)面展开，化折(曲)为直，使空间图形问题转化为平面图形问题，即空间问题平 面化，是解决立体几何问题最基本的、最常用的方法，将空间图形展开成平面图形后，弄清几何中的有关 点和线在展开图中的相应关系是解题的关键． 该题考查的是几何体的表面距离的最值问题，结合平面内连接两点的直线段是最短的，所以将长方体 的侧面沿着不同的方向展开，使得两个点落在同一平面内，利用勾股定理来求解，选出最小的那个就是， 容易出错的地方在于考虑不全面，沿着一个方向展开求得结果，从而出现错误． 应用公理或其推论时出错 已知 A，B，C，D，E 五点中，A，B，C，D 共面，B，C，D，E 共面，则 A，B，C，D，E 五点一定共 14cm, 2cm, 3cm,AB AD AA= = = 1A C、 41 1 1AA D D 1 1DD C C 1 1AAC C 2 23 (4 2) 45+ + = 1 1AA B B 1 1BB C C 1 1AAC C 2 23 (4 2) 45+ + = ABCD 1 1CDD C 1 1ABC D 2 24 (2 3) 41+ + = 41面吗？ 【错解】A，B，C，D，E 五点一定共面. 因为 A，B，C，D 共面，所以点 A 在 B，C，D 所确定的平面内， 因为 B，C，D，E 共面，所以点 E 也在 B，C，D 所确定的平面内， 所以点 A，E 都在 B，C，D 所确定的平面内，即 A，B，C，D，E 五点一定共面. 【错因分析】错解忽略了公理 2 中“不在一条直线上的三点”这个重要条件.实际上 B，C，D 三点有可能共 线. 【试题解析】（1）如果B，C，D 三点不共线，则它们确定一个平面 α. 因为 A，B，C，D 共面，所以点 A 在平面 α 内， 因为 B，C，D，E 共面，所以点 E 在平面 α 内， 所以点 A，E 都在平面 α 内，即 A，B，C，D，E 五点一定共面. （2）若 B，C，D 三点共线于 l， 若 A l，E l，则 A，B，C，D，E 五点一定共面； 若 A，E 中有且只有一个在 l 上，则 A，B，C，D，E 五点一定共面； 若 A，E 都不在 l 上，则 A，B，C，D，E 五点可能不共面. 【参考答案】见试题解析. 在立体几何中，空间点、线、面之间的位置关系不确定时，要注意分类讨论，避免片面地思考问题.对 于确定平面问题，在应用公理 2 及其三个推论时一定要注意它们成立的前提条件. 1．证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理 3.常用方法有： ①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理 3 知这些点都在这两个平面 的交线上； ②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上. 2．证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点. 常结合公理 3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明 三线共点. 3．证明点或线共面问题，主要有两种方法： ∈ ∈①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内； ②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合. 6．如图，已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别为 D1C1，C1B1 的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求证：（1）D，B，F，E 四点共面； （2）若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线． 【解析】（1）如图，连接 B1D1. ∵EF 是 D1B1C1 的中位线，∴EF∥B1D1. 在正方体 AC1 中，B1D1∥BD，∴EF∥BD. ∴EF、BD 确定一个平面，即 D，B，F，E 四点共面． （2）正方体 AC1 中，设平面 A1ACC1 确定的平面为 α，又设平面 BDEF 为 β. ∵Q A1C1，∴Q α.又 Q EF，∴Q β. 则 Q 是 α 与 β 的公共点，同理 P 是 α 与 β 的公共点， ∴α∩β＝PQ. 又 A1C∩β＝R，∴R A1C. ∴R α，且 R β，则 R PQ. 故 P，Q，R 三点共线． △ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈忽略空间角的范围或不能正确找出空间角致误 如图，已知空间四边形 ABCD 中，AD=BC，M，N 分别为 AB，CD 的中点，且直线 BC 与 MN 所成的角为 30°，则 BC 与 AD 所成的角为 . 【错解】120° 如图，连接 BD，并取中点 E，连接 EN，EM，则 EN∥BC，ME∥AD，故 为 BC 与 MN 所成的角，∠MEN 为 BC 与 AD 所成的角，∴∠ENM=30°.又由 AD=BC，知 ME=EN，∴∠EMN=∠ENM=30°， ∴ ，即 BC 与 AD 所成的角为 120°. 【错因分析】在未判断出∠MEN 是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，因 为异面直线所成的角 α 的取值范围是 ，如果∠MEN 为钝角，那么它的补角才是异面直线所 成的角. 【试题解析】以上同错解，求得∠MEN=120°，即 BC 与 AD 所成的角为 60°. 【参考答案】60° 求异面直线所成的角的时候，要注意异面直线所成的角 α 的取值范围是 . 1．求异面直线所成的角的常见策略： （1）求异面直线所成的角常用平移法． 平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用 补形平移． （2）求异面直线所成角的步骤 ①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； ②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角； ③三求：解三角形，求出作出的角． 如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. ENM∠ 180 30 30 120MEN∠ = °− °− ° = ° 0 90α< ≤  0 90α< ≤ （3）判定空间两条直线是异面直线的方法 ①判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线． ②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 2．求直线与平面所成的角的方法： （1）求直线和平面所成角的步骤 ①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角； ③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． （2）求线面角的技巧 在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影 的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等． 3．求二面角大小的步骤： 简称为“一作二证三求”． 作平面角时，一定要注意顶点的选择． 7．如图，在长方体 中，若 ， ，则异面直线 和 所成角的 余弦值为 A． B． 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AB BC= = 1 2BB = 1AB 1AD 10 10 3 5C． D． 【答案】D 【解析】连接 ，由题得 ，故四边形 是平行四边形， ，则 的 余弦值即为所求，由 ， 可得 ， ， 故有 ，解得 ， 故选 D. 【名师点睛】本题考查异面直线的夹角的余弦值和余弦定理，常见的方法是平移直线，让两条直线在同 一平面中，再求夹角的余弦值. 对线面位置关系不能正确应用定理作出判断 如果两条平行直线 a，b 中的 a∥α，那么 b∥α.这个命题正确吗？为什么？ 【错解】这个命题正确． ∵a∥α，∴在平面 α 内一定存在一条直线 c，使 a∥c. 又∵a∥b，∴b∥c，∴b∥α. 【错因分析】忽略了 b⊂α 这种情况，从而导致错误，本题条件中的直线 b 与平面 α 有两种位置关系：b∥ α 和 b⊂α. 【试题解析】这个命题不正确． 若 b⊄α，∵a∥α，∴在平面 α 内必存在一条直线 c，使 a∥c. 又∵a∥b，∴b∥c，∴b∥α. 若 b⊂α，则不满足题意． 综上所述，b 与 α 的位置关系是 b∥α 或 b⊂α. 【参考答案】见试题解析. 错误的原因是利用线面平行的判定定理时，忽略了定理使用的前提条件必须是平面外的一条直线与平 面内的一条直线平行． 1．点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的 2 2 4 5 1D C 1 1 / /A D BC 1 1A BCD 1 1/ /A B D C 1AD C∠ 1AB BC= = 1 2BB = 1 1 5AD D C= = 2AC = 2 2 2 1( 2) ( 5) ( 5) 2 5 5 cos AD C= + − × × ∠ 1 4cos 5AD C∠ =位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直． 2．熟练应用线面位置关系中的判定定理与性质定理即可顺利解决此类问题. 8．下列命题中，错误的是 A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 B．平行于同一直线的两个平面一定平行 C．如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D．若直线 不平行于平面 ，且 l 不在平面 ，则在平面 内不存在与 平行的直线 【答案】B 【解析】由直线与平面相交的性质，知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交， 故 A 正确；平行于同一直线的两个平面有两种位置关系，可能平行，也可能相交，B 错误；如果一个平 面 内存在直线垂直于平面 ，则平面 一定垂直于平面 ，故 C 正确．若直线 不平行于平面 ，且 不在 内，则 与 相交，则在平面 内不存在与 平行的直线.故选 B． 证明线面位置关系时不能正确应用定理致错 如图， ，点 P 在 所确定的平面 γ 外， 于点 ， 于点 . 求证： . 【错解】因为 ， ，所以 . 所以 ，所以 . 【错因分析】本题错解的原因在于没有正确使用线面垂直的判定定理，由 得 ，而 忽略了“垂直于平面内两条相交直线”这一条件，即 . 【试题解析】因为 ，所以 . 又 ，所以 平面 . 因为 ，所以 . α β α β l α α内 α l α β α β l α l α l α α l a b∥ ,a b PA a⊥ A AB b⊥ B PB b⊥ PA a⊥ a b∥ PA b⊥ PA γ⊥ PB b⊥ , ,PA a PA b⊥ ⊥ PA γ⊥ a b ≠ ∅ ,PA a a b⊥ ∥ PA b⊥ ,AB b PA AB A⊥ = b ⊥ PAB PB PAB⊂ 平面 PB b⊥【参考答案】见试题解析. 应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键点. 1．判断或证明线面平行的常用方法有： ①利用线面平行的定义(无公共点)； ②利用线面平行的判定定理( )； ③利用面面平行的性质( )； ④利用面面平行的性质( ). 2．判定面面平行的常见策略： ①利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)． ②利用面面平行的判定定理(主要方法)． ③利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)． ④利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用). 3．证明直线和平面垂直的常用方法： ①线面垂直的定义； ②判定定理； ③垂直于平面的传递性( )； ④面面平行的性质( )； ⑤面面垂直的性质． 4．判定面面垂直的常见策略： ①利用定义(直二面角)． ②判定定理：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直． ③在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一 个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直． 9．如图，在四棱锥 中， ，且 ， ， ，点 a b a b aα α α⊄ ⊂ ⇒, , ∥ ∥ a aα β α β⊂ ⇒∥ , ∥ a a a aα β α β α β⊄ ⊄ ⇒∥ , , , ∥ ∥ a b a bα α⊥ ⇒ ⊥∥ , a aα α β β⊥ ⇒ ⊥, ∥ P ABCD− AD BC∥ 2PA PD= = 2 2 2AD BC= = PA CD⊥ E在 上，且 ． （1）求证：平面 ⊥平面 ； （2）求证：直线 ∥平面 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）因为 ， ， 所以 ，所以 ， 又 ，且 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面 ， 所以平面 平面 . （2）连接 交 于点 ，连接 ， 在四边形 中， ， ， ∽ ，所以 ， 又 ，即 ， 所以 ， 又直线 平面 ，直线 平面 ， 所以直线 平面 . 【名师点睛】（1）证明面面垂直：先正线面垂直，线又属于另一个面，即可证明面面垂直；（2）证明 线面平行，在面内找一个线与已知直线平行即可. 一、空间几何体的结构及其三视图与直观图 1．空间几何体的结构 （1）多面体 PC 2PE EC= PAD PCD PA BDE 2PA PD= = 2 2AD = 2 2 2PA PD AD+ = PA PD⊥ PA CD⊥ PD CD D= PD ⊂ PCD CD ⊂ PCD PA ⊥ PCD PA ⊂ PAD PAD ⊥ PCD AC BD F EF ABCD AD BC∥ 2AD BC= ADF△ CBF△ 2AD AF BC FC = = 2PE EC= 2PE AF EC FC = = PA EF∥ EF ⊂ BDE PA ⊄ BDE PA∥ BDE几何 体 结构特征 备注 棱柱 ①底面互相平行. ②侧面都是平行四边形. ③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行. 按侧棱与底面是否垂直分类，可分为斜棱柱 和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜 棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱. 特别地，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱 柱. 棱锥 ①底面是多边形. ②侧面都是三角形. ③侧面有一个公共顶点. 三棱锥的所有面都是三角形，所以四个面都 可以看作底. 三棱锥又称为四面体. 棱台 ①上、下底面互相平行，且是相似图形. ②各侧棱的延长线交于一点. ③各侧面为梯形. 可用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 （2）旋转体 几何体 结构特征 备注 圆柱 ①圆柱有两个大小相同的底面，这两个面互相平行，且底 面是圆面而不是圆. ②圆柱有无数条母线，且任意一条母线都与圆柱的轴平行， 所以圆柱的任意两条母线互相平行且相等. ③平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截 面(轴截面)是全等的矩形. 圆柱可以由矩形绕其任一边所在 直线旋转得到. 圆锥 ①底面是圆面. ②有无数条母线，长度相等且交于顶点. ③平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截 面（轴截面）是全等的等腰三角形. 圆锥可以由直角三角形绕其直角 边所在直线旋转得到.圆台 ①圆台上、下底面是互相平行且不等的圆面. ②有无数条母线，等长且延长线交于一点. ③平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过 轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形. 圆台可以由直角梯形绕直角腰所 在直线或等腰梯形绕上、下底中点 连线所在直线旋转得到，也可由平 行于底面的平面截圆锥得到. 球 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面. ②球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面圆的半径 r 之 间满足关系式： . 球可以由半圆面或圆面绕直径所 在直线旋转得到. 2．空间几何体的三视图 （1）三视图的概念 ①光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图； ②光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图； ③光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图. 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图. （2）三视图的画法规则 ①排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.如下图： 正 侧 俯 ②画法规则 ⅰ)正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”； ⅱ)侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”； 2 2d R r= −ⅲ)俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”. ③线条的规则 ⅰ)能看见的轮廓线用实线表示； ⅱ)不能看见的轮廓线用虚线表示. （3）常见几何体的三视图 常见几何体 正视图 侧视图 俯视图 长方体 矩形 矩形 矩形 正方体 正方形 正方形 正方形 圆柱 矩形 矩形 圆 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 圆 圆台 等腰梯形 等腰梯形 两个同心的圆 球 圆 圆 圆 3．空间几何体的直观图 （1）斜二测画法及其规则 对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画 法规则是： ①在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点 O.画直观图时，把它们画成对应的 x′轴和 y′ 轴，两轴相交于点 O′，且使∠x′O′y′=45°(或 135°)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′轴的线段. ③已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半. （2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 ①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴 Ox，Oy，再作 Oz 轴使∠xOz=90°，且∠ yOz=90°. ②画直观图时，把它们画成对应的轴 O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′=45°(或 135°)，∠ x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面. ③已知图形中，平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴、y′轴或 z′轴的 线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同. ④已知图形中平行于 x 轴或 z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于 y 轴的线段，长度变为原来的一半. ⑤画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为 ，即原图面积是直观图面积的 倍， ②直观图面积是原图面积的 倍. 二、空间几何体的表面积与体积 1．旋转体的表面积 圆柱（底面半径为 r， 母线长为 l） 圆锥（底面半径为 r， 母线长为 l） 圆台（上、下底面半径分别为 r′，r，母线长为 l） 侧面展开图 底面面积 侧面面积 表面积 多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积. 棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系： 2．柱体、锥体、台体的体积公式 2 2S S =′ 2 2 1 2= 42 2 2π底S r= 2π底S r= 2 2,π π上底 下底S r S r= ′ = 2π侧S rl= π侧S rl= ( )π侧S l r r= ′+ ( )2π表S r r l= + ( )π表S r r l= + ( )2 2π表S r r r l rl= ′ + + ′ +几何体 体积 柱体 (S 为底面面积，h 为高) (r 为底面半径，h 为高) 锥体 (S 为底面面积，h 为高) (r 为底面半径，h 为高) 台体 (S′、S 分别为上、下底面面积，h 为高)， (r′、r 分别为上、下底面半径，h 为高) （1）柱体、锥体、台体体积公式间的关系 （2）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差； （3）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等. 3．球的表面积和体积公式 设球的半径为 R，它的体积与表面积都由半径 R 唯一确定，是以 R 为自变量的函数，其表面积公式为 ，即球的表面积等于它的大圆面积的 4 倍；其体积公式为 . 球的切、接问题（常见结论） （1）若正方体的棱长为 ，则正方体的内切球半径是 ；正方体的外接球半径是 ；与正方体所 有棱相切的球的半径是 ． 柱体V Sh= 2π圆柱V r h= 1 3锥体V Sh= 21 3 π圆锥V r h= (1 3 )台体V S S S S h= ′+ ′ + ( )2 2 3 π1 圆台V h r r r r= ′ + ′ + 24πR 34 π3 R a 1 2 a 3 2 a 2 2 a（2）若长方体的长、宽、高分别为 ， ， ，则长方体的外接球半径是 ． （3）若正四面体的棱长为 ，则正四面体的内切球半径是 ；正四面体的外接球半径是 ；与 正四面体所有棱相切的球的半径是 ． （4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径． （5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高． 三、空间点、直线、平面之间的位置关系 1．平面的基本性质 名称 图形 文字语言 符号语言 公理 1 如果一条直线上的两点在同一个平 面内，那么这条直线在这个平面内 A l，B l，且 A α，B α⇒l⊂α 公理 2 过不在同一条直线上的三点，有且 只有一个平面 A，B，C 三点不共线⇒有且只 有一个平面 α，使 A α，B α，C α 推 论 1 经过一条直线和直线外的一点，有 且只有一个平面 若点 直线 a，则 A 和 a 确 定一个平面 推 论 2 经过两条相交直线，有且只有一个 平面 ⇒有且只有一个平 面 ，使 ， 公 理 2 的 推 论 推 论 3 经过两条平行直线，有且只有一个 平面 ⇒有且只有一个平面 ， 使 ， 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共 点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线 P α，且 P β⇒α∩β=l， P l，且 l 是唯一的 a b h 2 2 21 2 a b h+ + a 6 12 a 6 4 a 2 4 a ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ A∉ α a b P= α a α⊂ b α⊂ ∥a b α a α⊂ b α⊂ ∈ ∈ ∈公理 4 ———l1 ———l2 ———l 平行于同一直线的两条直线平行 l1∥l，l2∥l⇒l1∥l2 2．等角定理 （1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. （2）符号语言： 如 图 （ 1）、（ 2） 所 示 ， 在 ∠ AOB 与 ∠ A′O′B′中 ， ， 则 或 . 图（1） 图（2） 3．空间两直线位置关系的分类 空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类： （2）从是否共面的角度分类： 4．异面直线所成的角 （1）异面直线所成角的定义 如图，已知两异面直线 a，b，经过空间任一点 O，分别作直线 a′∥a，b′∥b，相交直线 a′，b′所成 的锐角（或直角）叫做异面直线 a 与 b 所成的角（或夹角）. （2）异面直线所成角的范围 ,OA O A OB O B′ ′ ′ ′∥ ∥ AOB A O B∠ = ∠ ′ ′ ′ 180AOB A O B∠ + ∠ ′ ′ ′ = °       两条直线有且仅有一个公共点：相交直线 平行直线两条直线无公共点： 异面直线 直线       相交直线共面直线直线 平行直线 不共面直线：异面直线异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是 . （3）两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线 a，b， 记作 a⊥b. 5．直线与平面、平面与平面位置关系的分类 （1）直线和平面位置关系的分类 ①按公共点个数分类： ②按是否平行分类： ③按直线是否在平面内分类： （2）平面和平面位置关系的分类 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种： （1）两个平面平行——没有公共点； （2）两个平面相交——有一条公共直线. （1）唯一性定理 ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． ②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． ③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． （2）异面直线的判定方法 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． π(0, ]2    直线和平面相交— 有且只有一个公共点 直线和平面平行— 没有公共点 直线在平面内— 有无数个公共点      直线与平面平行 直线与平面相交直线与平面不平行 直线在平面内      直线在平面内 直线和平面相交直线不在平面内( 直线在平面外) 直线和平面平行四、直线、平面平行的判定及其性质 1．直线与平面平行的判定定理 文字语言 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 简记为：线线平行⇒线面平行 图形语言 符号语言 a⊄α，b⊂α，且 a∥b⇒a∥α 作用 证明直线与平面平行 2．直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直 线平行. 简记为：线面平行⇒线线平行 图形语言 符号语言 作用 ①作为证明线线平行的依据． ②作为画一条直线与已知直线平行的依据. 3．平面与平面平行的判定定理 文字语言 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 简记为：线面平行⇒面面平行 , ,a a b a bα β α β⊂ = ⇒∥ ∥图形语言 符号语言 a⊂β，b⊂β， ，a∥α，b∥α⇒α∥β 作用 证明两个平面平行 4．平面与平面平行的性质定理 文字语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 简记为：面面平行⇒线线平行 图形语言 符号语言 作用 证明线线平行 1．平行问题的转化关系 2．常用结论 （1）如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． （2）如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线． （3）夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． （4）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． a b P= , ,a b a bα β α γ β γ= = ⇒ ∥ ∥（5）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． （6）如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行． （7）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行． （8）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行． 五、直线、平面垂直的判定及其性质 1．直线与平面垂直的定义 如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面 α 互相垂直.记作：l⊥α.图形 表示如下： 定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语． 2．直线与平面垂直的判定定理 文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 简记为：线线垂直⇒线面垂直 图形语言 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α， ⇒l⊥α 作用 判断直线与平面垂直 在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直， 而不是任意的两条直线. a b P=3．直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行. 简记为：线面垂直⇒线线平行 图形语言 符号语言 ⇒ 作用 ①证明两直线平行； ②构造平行线. 4．平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面 α 与平面 β 垂直， 记作 .图形表示如下： 5．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 简记为：线面垂直⇒面面垂直 图形语言 符号语言 l⊥α， ⇒α⊥β 作用 判断两平面垂直 a b α α ⊥  ⊥  a b∥ α β⊥ l β⊂6．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 简记为：面面垂直⇒线线平行 图形语言 符号语言 作用 证明直线与平面垂直 7．直线与平面所成的角 （1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平 面的交点叫做斜足． 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影． 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． （2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于 ；一条直线和平面平行，或在平面内， 我们说它们所成的角等于 .因此，直线与平面所成的角 α 的范围是 . 8．二面角 （1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发 的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. （2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于 棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角. （3）二面角的范围： . 1．垂直问题的转化关系 =l aa a l α β α β βα   ⇒⊂  ⊥   ⊥ ⊥ 90 0 π[0, ]2 [0,π]2．常用结论 （1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线． （3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直． （4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直． （5）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直． （6）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． （7）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面 内． 1．设 α，β 为两个平面，则 α∥β 的充要条件是 A．α 内有无数条直线与 β 平行 B．α 内有两条相交直线与 β 平行 C．α，β 平行于同一条直线 D．α，β 垂直于同一平面 【答案】B 【解析】由面面平行的判定定理知： 内两条相交直线都与 平行是 的充分条件，由面面平行性 质定理知，若 ，则 内任意一条直线都与 平行，所以 内两条相交直线都与 平行是 的 必要条件，故选 B． 【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用 面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易 犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若 ，则 ”此类的错误． 2．已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为 的中点，则异面直 线 与 所成的角的余弦值为 α β α β∥ α β∥ α β α β α β∥ , ,a b a bα β⊂ ⊂ ∥ α β∥ 1 1 1ABC A B C− 1A ABC BC AB 1CCA． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设 的中点为 ，连接 、 、 ， 易知 即为异面直线 与 所成的角（或其补角）. 设三棱柱 的侧棱与底面边长均为 1， 则 ， ， ， 由余弦定理，得 . 故应选 B. 【名师点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，通过平移找到所成角是解这类问题的关键，若 平移不好作，可采用建系，利用空间向量的运算求解，属于基础题.解答本题时，易知 即为异 面直线 与 所成的角（或其补角），进而通过计算 的各边长，利用余弦定理求解即可. 3．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理 可以得到柱体的体积公式 V 柱体=Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示 （单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是 3 4 3 4 5 4 5 4 BC D 1A D AD 1A B 1A AB∠ AB 1CC 1 1 1ABC A B C− 3 2AD = 1 1 2A D = 1 2 2A B = 2 2 2 1 1 1 1 cos 2 A A AB A BA AB A A AB + −∠ = ⋅ 11 1 32 2 1 1 4 + − = =× × 1A AB∠ AB 1CC 1ABA△A．158 B．162 C．182 D．324 【答案】B 【解析】由三视图得该棱柱的高为 6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为 4， 下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为 . 故选 B. 【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体 积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不 能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 4．已知三棱锥 P−ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，∠CEF=90°，则球 O 的体积为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解法一： 为边长为 2 的等边三角形， 为正三棱锥， ，又 ， 分别为 ， 的中点， ， ，又 ， 平 面 ， ∴ 平 面 ， ， 为正方体的一部分， ，即 ，故选 D． 2 6 4 63 3 6 1622 2 + + × + × × =   68 π 64 π 62 π 6π ,PA PB PC ABC= = △ P ABC∴ − PB AC∴ ⊥ E F PA AB EF PB∴ ∥ EF AC∴ ⊥ EF CE⊥ ,CE AC C EF= ∴ ⊥ PAC PB ⊥ PAC 2APB PA PB PC∴∠ = 90°,∴ = = = P ABC∴ − 2 2 2 2 6R = + + = 36 4 4 6 6, π 62 3 3 8R V R= ∴ = π = × = π解法二：设 ， 分别为 的中点， ，且 ， 为边长为 2 的等边三角形， ， 又 ， ， 中，由余弦定理可得 ， 作 于 ， ， 为 的中点， ， ， ， ， 又 ， 两两垂直， ， ， ，故选 D. 2PA PB PC x= = = ,E F ,PA AB EF PB∴ ∥ 1 2EF PB x= = ABC△ 3CF∴ = 90CEF∠ = ° 2 13 , 2CE x AE PA x∴ = − = = AEC△ ( )2 24 3 cos 2 2 x x EAC x + − − ∠ = × × PD AC⊥ D PA PC= D\ AC 1cos 2 ADEAC PA x ∠ = = 2 24 3 1 4 2 x x x x + − +∴ = 2 2 1 22 1 2 2 2x x x∴ + = ∴ = =， ， 2PA PB PC∴ = = = = = =2AB BC AC , ,PA PB PC∴ 2 2 2 2 6R∴ = + + = 6 2R∴ = 34 4 6 6 63 3 8V R∴ = π = π× = π【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到 三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 5．在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则 ，连接 ，易求 得 ， ，则 是异面直线 与 所成的角， 由余弦定理可得 .故选 C. 6．已知 ， 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题正确的是 A．若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行 B．若 ， 平行于同一平面，则 与 平行 C．若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线 D．若 ， 不平行，则 与 不可能垂直于同一平面 【答案】D 【解析】由 A，若 ， 垂直于同一平面，则 ， 可以相交、平行，故 A 不正确； 由 B，若 ， 平行于同一平面，则 ， 可以平行、重合、相交、异面，故 B 不正确； 由 C，若 ， 不平行，但 平面内会存在平行于 的直线，如 平面中平行于 ， 交线的直线， 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AB BC= = 1 3AA = 1AD 1DB 1 5 5 6 5 5 2 2 1 1B P AD∥ DP 1 = 5DB DP= 1 2B P = 1DB P∠ 1AD 1DB 2 2 2 1 1 1 1 1 5 4 5 5cos 2 54 5 DB B P DPDB P DB PB + − + −∠ = = =⋅ m n α β α β α β m n m n α β α β m n m n α β α β m n m n α β α β α α β故 C 不正确； 由 D，其逆否命题为“若 与 垂直于同一平面，则 ， 平行”是真命题，故 D 项正确. 所以选 D. 7．如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为 2，BC 的中点为 M，一只蚂蚁从盒外的 B 点沿正方形的表面爬到 盒内的 M 点，则蚂蚁爬行的最短距离是 A． 13 B．1 C． 17 D．2＋ 5 【答案】C 【解析】∵蚂蚁从盒外的 B 点沿正方形的表面爬到盒内的 M 点， ∴蚂蚁爬行的最短距离是如图 BM 的长度， ∵无盖的正方体盒子的棱长为 2，BC 的中点为 M， ∴A1B＝2＋2＝4，A1M＝1， ∴BM＝ 42 + 12＝ 17. 故选 C． 8．如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面 ECD⊥平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则 m n m nA．BM=EN，且直线 BM，EN 是相交直线 B．BM≠EN，且直线 BM，EN 是相交直线 C．BM=EN，且直线 BM，EN 是异面直线 D．BM≠EN，且直线 BM，EN 是异面直线 【答案】B 【解析】如图所示，作 于 ，连接 ，BD，易得直线 BM，EN 是三角形 EBD 的中线，是相交 直线. 过 作 于 ，连接 ， 平 面 平 面 ， 平 面 ， 平 面 ， 平 面 ， 与 均为直角三角形．设正方形边长为 2，易知 ， ， ，故选 B． 【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利 用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题． 9．已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与 所 成角的余弦值为 EO CD⊥ O ON M MF OD⊥ F BF  CDE ⊥ ABCD ,EO CD EO⊥ ⊂ CDE EO∴ ⊥ ABCD MF ⊥ ABCD MFB∴△ EON△ 3, 1 2EO ON EN= = =, 3 5, , 72 2MF BF BM= = ∴ = BM EN∴ ≠ 1 1 1ABC A B C− 120ABC∠ = ° 2AB = 1 1BC CC= = 1AB 1BCA． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，补成直四棱柱 ， 则所求角为 ， 易得 ，因此 ，故选 C． 【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为 共面问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面 直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 10．如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方 体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是 A． B． 3 2 15 5 10 5 3 3 1 1 1 1ABCD A B C D− 2 2 1 1 1 1, 2, 2 1 2 2 1 cos60 3, 5BC D BC BD C D AB∠ = = + − × × × ° = = = 2 2 2 1 1C D BD BC= + 1 1 1 2 10cos 55 BCBC D C D ∠ = = = (0, ]2 πC． D． 【答案】A 【解析】对于 B，易知 AB∥MQ，则直线 AB∥平面 MNQ； 对于 C，易知 AB∥MQ，则直线 AB∥平面 MNQ； 对于 D，易知 AB∥NQ，则直线 AB∥平面 MNQ． 故排除 B，C，D，选 A． 【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题．证明线面平行的常用 方法有： ①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线， 可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明 两直线平行． ②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面． 11．现有 2 个正方体，3 个三棱柱，4 个球和 1 个圆台，从中任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率 为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】本题主要考查空间几何体的结构、古典概型.因为共有 10 个几何体，其中旋转体为 5 个，所 以从中任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率为 . 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中面积最大的侧面的面积为 1 10 2 5 1 2 7 10 5 1 10 2 =A． B． C． D． 【答案】B 【解析】本题主要考查三视图.由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，其中底面是边长为 1 的正方形， 高为 1，直观图如下图所示，其中平面퐴퐷퐸⊥平面퐵퐶퐷퐸，四个侧面面积分别为 ，最大 面积是 ，故本题选 B. 13．设푚,푛是两条不同的直线，훼,훽是两个不同的平面，则下列说法正确的是 A．若훼//훽,푚 ⊂ 훼,푛 ⊂ 훽，则푚//푛 B．若훼//훽,푚//훼,푛//훽，则푚//푛 C．若푚 ⊥ 훼,푛//훽,푚 ⊥ 푛，则훼//훽 D．若훼 ⊥ 훽,푃 ∈ 훼,푃 ∈ 푎,푎 ⊥ 훽，则푎 ⊂ 훼 【答案】D 【解析】A.由于 α∥β，m⊂α，则 m∥β，又 n⊂β，可得 m∥n 或 m，n 异面，故 A 错； B.由于훼//훽,푚//훼,푛//훽，可得 m∥n 或 m，n 异面或 m，n 相交，故 B 错； C.由于푚 ⊥ 훼,푛//훽,푚 ⊥ 푛，则훼//훽或훼,훽相交，故 C 错； D.由于훼 ⊥ 훽,푃 ∈ 훼,푃 ∈ 푎,푎 ⊥ 훽，结合面面垂直性质定理可知푎 ⊂ 훼，故 D 正确． 故选 D． 14．已知三棱锥푆 ― 퐴퐵퐶的底面是以퐴퐵为斜边的等腰直角三角形， 퐴퐵 = 2，푆퐴 = 푆퐵 = 푆퐶 = 2，则三棱锥的 外接球的球心到平面퐴퐵퐶的距离是 A． B．1 2 2 5 2 6 2 3 1 2 2 5, , ,2 2 2 2 5 2 3 3C． D． 【答案】A 【解析】因为三棱锥 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形， ， ∴ 푆在平面 ABC 上的射影为 AB 中点 H， ∴ 푆퐻 ⊥ 平面퐴퐵퐶. ∴ 푆퐻上任意一点到퐴、퐵、퐶的距离相等. ∵ 푆퐻 = 3，퐶퐻 = 1，在平面푆퐻퐶内作 SC 的垂直平分线푀푂与푆퐻交于푂，则푂为三棱锥푆 ― 퐴퐵퐶的外接球球心. ∵ 푆퐶 = 2， ∴ 푆푀 = 1，∠푂푆푀 = 30°， ，即为푂与平面퐴퐵퐶的距离.故选 A. 15．已知 l，m 是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥ ；③l⊥ ． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 【答案】如果 l⊥α，m∥α，则 l⊥m. 【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果 l⊥α，m∥α，则 l⊥m，正确； （2）如果 l⊥α，l⊥m，则 m∥α，不正确，有可能 m 在平面 α 内； （3）如果 l⊥m，m∥α，则 l⊥α，不正确，有可能 l 与 α 斜交、l∥α. 故答案为：如果 l⊥α，m∥α，则 l⊥m. 【名师点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.将所给论断，分 别作为条件、结论加以分析即可. 16．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于__________ . 3 3 3 2 S ABC− SA SB SC= = 2 3 3,3 3SO OH∴ = ∴ = α α α 3cm【答案】6 + 1.5π 【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、体积，考查了空间想象能力.由三视图可知，该几何体是一 个组合体，左边是一个底面直角边长为 2 的等腰直角三角形、高是 3 的直三棱柱，右边是一个底面半径 为 1、高是 3 的圆柱的一半，所以该几何体的体积 V= . 17．学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体 挖去四棱 锥 O—EFGH 后 所 得 的 几 何 体 ， 其 中 O 为 长 方 体 的 中 心 ，E，F，G，H 分 别 为 所 在 棱 的 中 点 ， ，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所 需原料的质量为___________g. 【答案】118.8 【解析】由题意得， ， ∵四棱锥 O−EFGH 的高为 3cm， ∴ ． 又长方体 的体积为 ， 所以该模型体积为 ， 其质量为 ． 【名师点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式 求解．根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质 量即可. 18．如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC． 求证：（1）A1B1∥平面 DEC1； （2）BE⊥C1E． 21 12 2 3 π 1 3 6 1.5π2 2 × × × + × × × = + 1 1 1 1ABCD ABCD− 16cm 4cmAB=BC= , AA = 214 6 4 2 3 12cm2EFGHS = × − × × × =四边形 31 12 3 12cm3O EFGHV − = × × = 1 1 1 1ABCD ABCD− 3 2 4 6 6 144cmV = × × = 3 2 144 12 132cmO EFGHV V V −= − = − = 0.9 132 118.8g× =【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】（1）因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点， 所以 ED∥AB. 在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中，AB∥A1B1， 所以 A1B1∥ED. 又因为 ED⊂平面 DEC1，A1B1 平面 DEC1， 所以 A1B1∥平面 DEC1. （2）因为 AB=BC，E 为 AC 的中点， 所以 BE⊥AC. 因为三棱柱 ABC−A1B1C1 是直棱柱， 所以 CC1⊥平面 ABC. 又因为 BE⊂平面 ABC，所以 CC1⊥BE. 因为 C1C⊂平面 A1ACC1，AC⊂平面 A1ACC1，C1C∩AC=C， 所以 BE⊥平面 A1ACC1. 因为 C1E⊂平面 A1ACC1，所以 BE⊥C1E. 【名师点睛】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空 间想象能力和推理论证能力. 19．如图，长方体 ABCD–A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1． ⊄（1）证明：BE⊥平面 EB1C1； （2）若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥 的体积． 【答案】（1）见详解；（2）18. 【解析】（1）由已知得 B1C1⊥平面 ABB1A1，BE 平面 ABB1A1， 故 ． 又 ，所以 BE⊥平面 ． （2）由（1）知∠BEB1=90°. 由题设知 Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以 ， 故 AE=AB=3， . 作 ，垂足为 F，则 EF⊥平面 ，且 ． 所以，四棱锥 的体积 ． 【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定，以及四棱锥的体积的求解，熟记线面垂直的判定定理， 以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型. 20．图 1 是由矩形 ADEB， ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1，BE=BF=2， 1 1E BBCC− ⊂ 1 1BC BE⊥ 1BE EC⊥ 1 1EBC 1 1 45AEB AEB °∠ =∠ = 1 2 6AA AE= = 1EF BB⊥ 1 1BBCC 3EF AB= = 1 1E BBCC− 1 3 6 3 183V = × × × = Rt△∠FBC=60°．将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2． （1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC⊥平面 BCGE； （2）求图 2 中的四边形 ACGD 的面积. 【答案】（1）见解析；（2）4. 【解析】（1）由已知得AD BE，CG BE，所以AD CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共 面． 由已知得AB BE，AB BC，故AB 平面BCGE． 又因为AB 平面ABC，所以平面ABC 平面BCGE． （2）取CG的中点M，连结EM，DM. 因为AB∥DE，AB 平面BCGE，所以DE 平面BCGE，故DE CG. 由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC=60°得EM CG，故CG 平面DEM． 因此DM CG． 在 DEM中，DE=1，EM= ，故DM=2． 所以四边形ACGD的面积为4． 【名师点睛】本题是很新颖的立体几何考题，首先是多面体折叠问题，考查考生在折叠过程中哪些量 是不变的，再者折叠后的多面体不是直棱柱，突出考查考生的空间想象能力. 21．如图，四棱锥 P–ABCD 中，PA=AB=AD=5，PB=PD= ，AC⊥BD，且 BD=4，AC=5．    ⊥ ⊥ ⊥ ⊂ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ Rt△ 3 5 2（1）求证：平面 PAC⊥平面 PBD； （2）若点 M 在线段 PC 上，且 ，试求三棱锥 M–ACD 的体积． 【答案】（1）见解析；（2） . 【解析】（1）∵PA=AB=AD=5，PB=PD= ， ∴ ， ，∴ ， ， 又 ，且 平面 ，∴PA⊥平面 ABCD， 又 ，∴ ， 又 AC⊥BD， 平面 PAC， ，∴BD⊥平面 PAC， 又 平面 PBD，∴平面 PAC⊥平面 PBD． （2）由题意可得 AC 是 BD 的垂直平分线， ∴△ACD 的面积为 ， 由 可得 M 到平面 ACD 的距离为 ， ∴三棱锥 M–ACD 的体积为 ． 3 5PM PC= 10 3 5 2 2 2 2PA AB PB+ = 2 2 2PA AD PD+ = PA AB⊥ PA AD⊥ AB AD A= ,AB AD ⊂ ABCD BD ABCD⊂ 平面 PA BD⊥ ,PA AC ⊂ PA AC A= BD⊂ 1 1 1( ) 4 5 52 2 4ACDS BD AC= × ⋅ = × × =△ 3 5PM PC= 2 25h PA= = 1 1 105 23 3 3M ACD ACDV S h− = ⋅ ⋅ = × × =△