忽略了零向量的特殊性
给出下列命题：
①向量 的长度与向量 的长度相等.
②向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反.
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同.
④零向量与任意数的乘积都为零.
其中不正确命题的序号是 .
【错解】④
【错因分析】解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方
向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．
【试题解析】① 与 是相反向量、模相等，正确；②由零向量的方向是任意的且与任意向量平行，不
正确；③相等向量大小相等、方向相同，又起点相同，则终点相同，正确；④零向量与任意数的乘积都为
零向量，不正确，故不正确命题的序号是②④.
【参考答案】②④
解决向量的概念问题应关注六点：
（1）正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.
（2）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
（3）共线向量即平行向量，它们均与起点无关.
相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向
量.
（4）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.
（5）非零向量 a 与 的关系： 是 a 方向上的单位向量.
（6）向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.
1．下列说法正确的是
A．若 与 都是单位向量，则 =
AB BA
AB BA
| |
a
a | |
a
a
a b a bB．若 = ，则| |=| |且 与 的方向相同
C．若 + =0，则| |=| |
D．若 =0，则 与 是相反向量
【答案】C
【解析】因为向量相等必须满足模相等且方向相同，所以 A 不正确;因为 0 的方向是任意的，当
时，B 不正确;因为 ，所以 ，所以 ，故 C 正确;因为 ，所以
， 与 不是相反向量，故 D 不正确.所以选 C.
【名师点睛】本小题主要考查两个向量相等的充要条件，即大小和方向均相同.还考查了零向量的概念，
零向量长度为零，方向任意.属于基础题.
忽视平行四边形的多样性失误
已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），求第四个顶点的坐标.
【错解】设 A（－1，0），B（3，0），C（1，－5），D（x，y），∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴ = ，
又∵ =（4，0）， =（1－x，－5－y），∴ ，解得 x=－3，y=－5，∴第四个顶点的坐标为
（－3，－5）.
【错因分析】此题的错解原因为思维定势，错误的认为平行四边形只有一种情形，在解题思路中出现了漏
解.实际上，题目的条件中只给出了平行四边形的三个顶点，并没有给出相应的顺序，故可能有三种不同的
情形.
【试题解析】如图所示，设 A（－1，0），B（3，0），C（1，－5），D（x，y）.
① 若四边形 ABCD1 为平行四边形，则 = ，而 =（x＋1，y）， =（－2，－5）.
由 = ，得 ，∴ ，∴D1（－3，－5）.
② 若四边形 ACD 2B 为平行四边形，则 = .而 =（4，0）， =（x－1，y＋5）.
∴ ，∴ ，∴D2（5，－5）.
a b a b a b
a b a b
a − b a b
0= =a b
0+ =a b = −a b = − =a b b 0− =a b
=a b a b
AB DC
AB DC 1 4
5 =0
x
y
− =
− −
1AD BC
1AD BC
1AD BC + 2
= 5
1
y
x = −
−
= 5
3x
y
= −
−
AB
2CD AB
2CD
+ =
1+
0
4
5
x
y
− =
= 5
5x
y
=
−
③若四边形 ACBD3 为平行四边形，则 = .而 =（ x＋1， y）， =（2，5），∴ ，∴
，∴D3（1，5）.
综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为（－3，－5）或（5，－5）或（1，5）.
1．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点
是原点时，其终点坐标就是向量坐标．
2．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么
位置，它们的坐标都是相同的．
3．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件不能表示成
x1
x2＝
y1
y2，因为 x2，y2 有可能等于 0，所以
应表示为 x1y2－x2y1＝0.
2．已知 为四边形 所在的平面内的一点，且向量 ， ， ， 满足等式
，若点 为 的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵向量 ， ， ， 满足等式 ，
∴ ，即 ，
则四边形 为平行四边形，∵ 为 的中点，∴ 为对角线 与 的交点，
3AD CB
3AD CB 1+
=5
2
y
x =
=5
1
y
x =
O ABCD OA OB OC OD
OA OC OB OD+ = + E AC EAB
BCD
S
S
=△
△
1
4
1
2
1
3
2
3
OA OB OC OD OA OC OB OD+ = +
OA OB OD OC− = − BA CD=
ABCD E AC E AC BD则 ，则 ，
故选：B．
忽视两向量夹角的范围
已知向量
（1）若 为锐角，求 的取值范围；
（2）当 时，求 的值.
【错解】（1）若 为锐角，则 且 不同向.
，∴ .
（2）由题意，可得 ，
又 ，
，
即 ，
解得 或 .
【错因分析】（1）利用向量夹角公式即可得出，注意去掉同方向情况；
（2）利用向量垂直与数量积的关系即可得出．.
【试题解析】（1）若 为锐角，则 且 不同向.
，∴ .
当 时， 同向, .
x
x
1
2x = 12 2x x∴ > − ≠且
EAB ECD ADE BCES S S S= = =△ △ △ △
1
2
EAB
BCD
S
S
=△
△
(1,2), ( ,1)x= =a b
,< >a b
( 2 ) (2 )+ −⊥a b a b
,< >a b 0⋅ >a b ,a b
2 0x⋅ = + >a b 2x > −
2 (1 2 ,4),(2 ) (2 ,3)x x+ = + − = −a b a b
( 2 ) (2 )+ −⊥a b a b
(2 1)(2 ) 3 4 0x x+ − + × =
22 3 14 0x x− + + =
7
2x = 2x = −
,< >a b 0⋅ >a b ,a b
2 0x⋅ = + >a b 2x > −
,a b即若 为锐角， 的取值范围是{x| 且 }.
（2）由题意，可得 ，
又 ，
，
即 ，
解得 或 .
【参考答案】（1）{x| 且 }；（2） 或 .
1.两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移
动，使其起点相同，再观察夹角．
2.两向量夹角的范围为[0，π]，特别地当两向量共线且同向时，其夹角为 0，共线且反向时，其夹角为
π.
3.在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．
3．已知向量 ， ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】若 ，则 ，解得 .
因为 与 的夹角为锐角，∴ .
又 ，由 与 的夹角为锐角，
∴ ，即 ，解得 .
又∵ ，所以 .
x,< >a b 2x > − 1
2x ≠
2 (1 2 ,4),(2 ) (2 ,3)x x+ = + − = −a b a b
( 2 ) (2 )+ −⊥a b a b
(2 1)(2 ) 3 4 0x x+ − + × =
22 3 14 0x x− + + =
7
2x = 2x = −
2x > − 1
2x ≠ 7
2x = 2x = −
( ,6)x=a (3,4)=b a b x
[ 8, )− +∞ 9 98, ,2 2
− +∞
9 98, ,2 2
− +∞ ( 8, )− +∞
∥a b 4 18x = 9
2x =
a b 9
2x ≠
3 24x⋅ = +a b a b
0⋅ >a b 3 24 0x + > 8x > −
9
2x ≠ 9 98, ,2 2x ∈ − +∞ 故选 B.
【名师点睛】本题主要考查由向量夹角为锐角求参数的问题，熟记向量数量积的运算，以及向量共线的
坐标表示即可，属于常考题型.
三角形的“四心”的概念混淆不清
已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足 ，
λ∈（0，＋∞），则点 P 的轨迹一定通过 的
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
【错解】A
【错因分析】对三角形“四心”的意义不明，向量关系式的变换出错，向量关系式表达的向量之间的相互
位置关系判断错误等.
【试题解析】由原等式，得 = ，即 = ，
根据平行四边形法则，知 是 的中线 AD（D 为 BC 的中点）所对应向量 的 2 倍，
所以点 P 的轨迹必过 的重心，故选 C.
【参考答案】C
三角形的“四心”与平面向量
1. 重心. 若点 G 是 的重心，则 0 或 （其中 P 为平面内任
意一点）.反之，若 0，则点 G 是 的重心.
2. 垂 心 . 若 H 是 的 垂 心 ， 则 或
.反之，若 ，则点 H 是 的垂
心.
+ ( + )OP OA AB ACλ=
ABC△
OP OA− ( + )AB ACλ AP ( + )AB ACλ
+AB AC ABC△ AD
ABC△
ABC△ + =GA GB GC+ 1 ( + )3PG PA PB PC= +
+ =GA GB GC+ ABC△
ABC△ = =HA HB HB HC HA HC⋅ ⋅ ⋅
2 2 2 2 2 2
= =HA BC HB AC HC AB+ + + = =HA HB HB HC HA HC⋅ ⋅ ⋅ ABC△3. 内 心 . 若 点 I 是 的 内 心 ， 则 有 =0. 反 之 ， 若
=0，则点 I 是 的内心.
4. 外 心 . 若 点 O 是 的 外 心 ， 则 =0 或
.反之，若 ，则点 O 是 的外心.
4．G 是 的重心，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，若 ，则角
A．90° B．60°
C．45° D．30°
【答案】D
【解析】因为 G 是 的重心，所以有 .又 ，所以 a∶
b∶
3
3 c＝1∶1∶1，设 c＝ 3，则有 a＝b＝1，由余弦定理可得，cosA＝
1＋3－1
2 3 ＝
3
2 ，所以 A＝30°，
故选 D.
向量与三角形的交汇是高考常见题型，解题思路是用向量运算进行转化，化归为三角函数问题或三角恒等
变形问题或解三角形问题．
一、平面向量的概念及线性运算
1．向量的有关概念
ABC△ | | + | | + | |BC IA AC IB AB IC⋅ ⋅ ⋅
| | + | | + | |BC IA AC IB AB IC⋅ ⋅ ⋅ ABC△
ABC△ ( ) ( ) ( )OA OB AB OB OC BC OA OC AC+ ⋅ = + ⋅ = + ⋅
| | | | | |OA OB OC= = | | | | | |OA OB OC= = ABC△
ABC△ 3
3aGA bGB cGC+ + = 0 A =
ABC△ GA GB GC+ + = 0 3
3aGA bGB cGC+ + = 0 2．向量的线性运算3．共线向量定理及其应用
向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一的一个实数 λ，使得 b=λa.[提醒]限定 a≠0 的目的是保证实数 λ 的存在性和唯一性．
二、平面向量基本定理及坐标表示
1.平面向量的基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数
λ1，λ2，使 a=λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；把
一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底，对于平面内的一个
向量 a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x、y，使得 a=xi＋yj，这样，平面内的任一向量 a
都可由 x、y 唯一确定，我们把（x，y）叫做向量 a 的坐标，记作 a=（x，y），其中 x 叫做 a 在 x 轴上的
坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标.
3.平面向量的坐标运算
（1）向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 =（x2－x1，y2－y1）.
（2）向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设 a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），
|a|= ，|a＋b|= .
（3）平面向量共线的坐标表示
设 a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 a∥b⇔x1y2－x2y1=0.
（4）向量的夹角
已知两个非零向量 a 和 b，作 =a， =b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量 a 与 b 的夹角.
如果向量 a 与 b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.
三、平面向量的数量积
1.平面向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，则数量|a||b|cos θ 叫作 a 与 b 的数量积（或
内积），记作 a·b，即 a·b=|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a=0.
（2）几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积.
2.平面向量数量积的运算律
AB
2 2
1 1+x y 2 2
1 2 1 2( + ) +( + )x x y y
OA OB（1）a·b=b·a（交换律）.
（2）λa·b=λ（a·b）=a·（λb）（结合律）.
（3）（a＋b）·c=a·c＋b·c（分配律）.
3.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量 a=（x1，y1），b=（x2，y2），θ 为向量 a，b 的夹角.
（1）数量积：a·b=|a||b|cos θ=x1x2＋y1y2.
（2）模：|a|= = .
（3）设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 A，B 两点间的距离|AB|= = .
（4）夹角：cos θ= = .
（5）已知两非零向量 a 与 b，a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2＋y1y2=0，a∥b⇔a·b=±|a||b|.
（6）|a·b|≤|a||b|（当且仅当 a∥b 时等号成立）⇔|x1x2＋y1y2|≤ .
|a|= ，|a＋b|=
四、平面向量的应用
1.向量在平面几何中的应用
若 a=（x1，y1），b=（x2，y2），
（1）a∥b⇔a=λb（b≠0）⇔x1y2－x2y1=0.
（2）a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
（3）cos θ= = .
2.向量在三角函数中的应用
向量与三角的交汇是高考常见题型，解题思路是用向量运算进行转化，化归为三角函数问题或三角恒等
变形问题或解三角形问题.
3.向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用，主要是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.进而利用直线和圆锥曲线
的位置关系的相关知识来解答.
4.向量在物理中的应用
物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法相似，因此可以用向量的知识
·a a 2 2
1 1+x y
| |AB 2 2
1 2 1 2( ) +( )x x y y− −
| | | |
⋅
⋅
a b
a b
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
+
+ +
x x y y
x y x y⋅
2 2
1 1+x y 2 2
2 2· +x y
2 2
1 1+x y 2 2
1 2 1 2( + ) +( + )x x y y
| | | |
⋅
⋅
a b
a b
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
+
+ +
x x y y
x y x y⋅来解决某些物理问题.
1．设 是非零向量，则 是 成立的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】由 可知： 方向相同， 表示 方向上的单位向量，所以 成立；反之
不成立.
故选 B.
【名师点睛】本题考查了向量相等、单位向量以及充分、必要条件的判断.判断 p 是 q 的什么条件，需要
从两方面分析：一是由条件 p 能否推得条件 q；二是由条件 q 能否推得条件 p．对于带有否定性的命题或
比较难判断的命题，除借助集合思想求解外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，
转化为判断它的等价命题来解决．
2．已知向量 ，且 ，则 等于
A．1 B．3
C．4 D．5
【答案】D
【 解 析 】 由 向 量 ， 且 ， 则 ， 解 得
， 所 以 ， 所 以 ， 所 以
.
故答案为 D.
【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和
分析推理能力.先根据已知求出 x,y 的值，再求出 的坐标和 的值.
3．【2019 年高考全国 I 卷文数】已知非零向量 a，b 满足 ，且 b，则 a 与 b 的夹角为
A． B．
,a b 2=a b =a b
a b
2=a b ,a b ，a b
a b ,a b =a b
a b
( ) ( ), , 1,2x y= = −a b ( )1,3+ =a b 2−a b
( ) ( ), , 1,2x y= = −a b ( )1,3+ =a b ( ) ( )1, 2 1,3x y+ = − + =a b
2, 1x y= = ( ) ( )2,1 , 1,2= = −a b ( ) ( ) ( )2 2,1 2 1,2 4, 3− = − − = −a b
( )222 4 3 5− = + − =a b
2−a b 2−a b
| | 2 | |=a b ( )−a b ⊥
π
6
π
3C． D．
【答案】B
【 解 析 】 因 为 b ， 所 以 =0 ， 所 以 ， 所 以
= ，所以 a 与 b 的夹角为 ，故选 B．
【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹
角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为 ．
4．已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|=
A． B．2
C．5 D．50
【答案】A
【解析】由已知， ，
所以 ，
故选 A.
【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的
考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过
程中出错．
5．设点 A，B，C 不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】 与 的夹角为锐角，所以 ，即
，因为 ，所以| + |>| |；
当| + |>| |成立时，| + |2>| - |2 • >0，又因为点 A，B，C 不共线，
所以 与 的夹角为锐角.故“ 与 的夹角为锐角”是“| + |>| |”的充分必要条
件,故选 C．
2π
3
5π
6
( )−a b ⊥ 2( )− ⋅ = ⋅ −a b b a b b 2⋅ =a b b cosθ
2
2
| | 1
2 | | 2
⋅ = =⋅
a b b
a b b
π
3
[0, ]π
2
2
(2,3) (3,2) ( 1,1)− = − = −a b
2 2| | ( 1) 1 2− = − + =a b
AB AC | | | |AB AC BC+ >
AB AC 2 2 2 2| | | | 2 | | | | 2AB AC AB AC AB AC AB AC+ + ⋅ > + − ⋅
2 2| | | |AB AC AC AB+ > − AC AB BC− = AB AC BC
AB AC BC AB AC AB AC AB⇒ AC
AB AC AB AC AB AC BC【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学
思想.
6．在矩形 中， , ．若点 ， 分别是 ， 的中点，则
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】C
【解析】由题意作出图形，如图所示：
由图及题意，可得：
，
.
∴ .
故选：C．
【名师点睛】本题主要考查基底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题．
7 ． 如 图 所 示 ， 点 是 圆 上 的 三 点 ， 线 段 与 线 段 交 于 圆 内 一 点 ， 若
，则 的值为
ABCD 4AB =
2AD = M N CD BC AM MN⋅ =
1
2AM AD DM AD AB= + = +
1 1
2 2MN CN CM CB CD= − = − 1 1 1 1
2 2 2 2BC DC AD AB= − + = − +
1 1 1
2 2 2AM MN AD AB AD AB ⋅ = + ⋅ − +
2 21 1 1 1| | | | 4 16 22 4 2 4AD AB= − ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ =
, ,A B C O OC AB P
, 3AP AB OC OA OBλ µ µ= = + λA． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵ ， 和 共线，
∴存在实数 m，使 ，
∴ = .
∴ ，解得 ．
故选 C．
【名师点睛】本题考查向量的减法运算，共线向量基本定理，共面向量基本定理．根据向量的减法运算
及共线向量基本定理，可以用向量 表示向量 = ，并根据已知条件
，这样即可建立关于 λ 的方程，解方程即可得到 λ．向量的主要应用体现
在以下几方面：
(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识
可以解决某些函数问题；
(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.
通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法；
(3)向量的两个作用：
①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；
②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
8．已知向量 满足 ，若 与 的夹角为 ，则 m 的值为
A．2 B．
C．1 D．
【答案】A
【解析】 ，
5
6
4
5
3
4
2
5
AP OP OA= − OP OC
3OP mOC m OA m OBµ µ= = +
3AP m OA m OB OAµ µ= + − ( )1 3m OA m OB OA OBµ µ λ λ− + = − +
1
3
m
m
µ λ
µ λ
− = −
=
3
4
λ =
OAOB ， AP ( )1 3m OA m OBµ µ− +
AP AB OA OBλ λ λ= = − +
,a b 0, m⋅ = + =a b a b a +a b −a b 2π
3
3
1
2
0, 0m m+ = > ∴ > a b a又 ，
， ，
，
，
即 ，得 或 （舍去），故 的值为 2.
故选 A.
【名师点睛】（1）本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题，由
求得 ， ，结合 与 的夹角为 ，可得 ，
从而可得结果.
（2）平面向量数量积的公式有两种形式：
一是 ；
二是 .
（3）平面向量数量积的公式的主要应用有以下几个方面:
①求向量的夹角， （此时 往往用坐标形式求解）；
②求投影， 在 上的投影是 ；
③若向量 垂直，则 ;
④求向量 的模（平方后需求 ）.
9．已知 P 是 所在平面内一点， ，现将一粒黄豆随机撒在 内，则黄豆落
在 内的概率是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】以 PB、PC 为邻边作平行四边形 PBDC，
0, , m⋅ = ∴ ⊥ − = + =a b a b a b a b a
2 22 22 m∴ + ⋅ + =a a b b a ( )2 22 1m= −b a
( ) ( ) 2cos π3
+ ⋅ − = + − ×a b a b a b a b 2 2 2cos π3
⇒ − = + − ×a b a b a b
1
2m m ⇒ × × − a a ( ) 221 1m = − − a
2 21 22 m m− = − 2 4, 2m m= = 2m = − m
0, m⋅ = + =a b a b a
m− = + =a b a b a ( )2 22 1m= −b a +a b −a b 2π
3
2 21 22 m m− = −
cosθ⋅ =a b a b
1 2 1 2x x y y⋅ = +a b
·cos ·
θ = a b
a b ·a b
a b
⋅a b
b
,a b 0⋅ =a b
m n+a b ⋅a b
ABC△ 2PB PC PA+ + = 0 ABC△
PBC△
2
3
1
2
1
3
1
4则 ∴ ，得： ，
由此可得，P 是△ABC 边 BC 上的中线 AO 的中点，所以点 P 到 BC 的距离等于 A 到 BC 的距离的 ，
∴ ．
将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为 .
故选 B.
【名师点睛】本题给出点 P 满足的条件，求 P 点落在△PBC 内的概率，着重考查了平面向量加法法则、
向量共线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题．根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量
充要条件，得点 P 是△ABC 边 BC 上的中线 AO 的中点．再根据几何概型公式，将△PBC 的面积与△ABC 的
面积相除可得本题的答案．
10．在 中，∠퐴퐵퐶 = 120°，퐵퐴 = 2，퐵퐶 = 3，퐷，퐸是线段퐴퐶的三等分点，则퐵퐷 ⋅ 퐵퐸的值为
A．65
9 B．11
9
C．41
9 D． ― 13
9
【答案】B
【解析】因为퐷，퐸是线段퐴퐶的三等分点，所以퐵퐷 = 2
3퐵퐴 + 1
3퐵퐶, 퐵퐸 = 1
3퐵퐴 + 2
3퐵퐶;所以퐵퐷 ⋅ 퐵퐸=(2
3퐵퐴 +
1
3퐵퐶) ⋅ (1
3퐵퐴 + 2
3퐵퐶)=2
9퐵퐴2 + 2
9퐵퐶2 + 5
9퐵퐴 ⋅ 퐵퐶=8
9 + 2 + 5
9 × 2 × 3cos120°=8
9 + 2 ― 15
9 =11
9 .
故选 B.
11．如图，在 中，点퐷在퐵퐶边上，且퐶퐷 = 2퐷퐵，点퐸在퐴퐷边上，且퐴퐷 = 3퐴퐸，则用向量퐴퐵,퐴퐶表
示퐶퐸为
2PB PC PD PB PC PA+ + + 0
＝ ， ＝ ， 2PB PC PA+ − ＝ 2PD PA− ＝
1
2
1
2PBC ABCS S=△ △
1
2
PBC
ABC
SP S
= =△
△
ABC△
ABC△A．퐶퐸 = 2
9퐴퐵 + 8
9퐴퐶 B． 퐶퐸 = 2
9퐴퐵 ― 8
9퐴퐶
C． 퐶퐸 = 2
9퐴퐵 + 7
9퐴퐶 D． 퐶퐸 = 2
9퐴퐵 ― 7
9퐴퐶
【答案】B
【解析】由题意可得，퐶퐸 = 퐶퐴 + 퐴퐸 = ― 퐴퐶 + 1
3퐴퐷 = ― 퐴퐶 + 1
3(퐴퐵 + 퐵퐷) = ― 퐴퐶 + 1
3퐴퐵 + 1
3퐵퐷 = ― 퐴퐶
+ 1
3퐴퐵 + 1
9퐵퐶 = ― 퐴퐶 + 1
3퐴퐵 + 1
9퐴퐶 ― 1
9퐴퐵 = 2
9퐴퐵 ― 8
9퐴퐶．故选 B．
12．如图，已知平面四边形 ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC 与 BD 交于点 O，记 ，
， ，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【 解 析 】 因 为 ， ， ， 所 以
，
故选 C．
【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的
坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用
向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向
量 的 数 量 积 来 解 决 ． 列 出 方 程 组 求 解 未 知 数 ． 本 题 通 过 所 给 条 件 结 合 数 量 积 运 算 ， 易 得
1 ·I OAOB=
2 ·I OB OC=
3 ·I OC OD=
1 2 3I I I< < 1 3 2I I I< <
3 1 2I I I< < 2 1 3I I I< <
90AOB COD∠ = ∠ > OA OC< OB OD<
0OB OC OA OB OC OD⋅ > > ⋅ > ⋅ ，由AB=BC=AD=2 ，CD=3 ，可求得 ， ，进而得到 ．
13．已知 是边长为 2 的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图，以 为 轴， 的垂直平分线 为 轴， 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 ， ， ， 设 ， 所 以 ， ，
，所以 ，
，当 时，所求的最小值为 ，故选 B．
【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意
义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，
即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问
题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
14．在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若 ，则
的最大值为
A．3 B．2
C． D．2
【答案】A
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.
90AOB COD∠ = ∠ > OA OC< OB OD< 3 1 2I I I< <
ABC△ P ABC ( )PA PB PC⋅ +
2− 3
2
−
4
3
− 1−
BC x BC DA y D
(0, 3)A ( 1,0)B − (1,0)C ( , )P x y ( , 3 )PA x y= − − ( 1 , )PB x y= − − −
(1 , )PC x y= − − ( 2 , 2 )PB PC x y+ = − − 2 2( ) 2 2 ( 3 ) 2 2(PA PB PC x y y x y⋅ + = − − = + −
23 3 3)2 2 2
− ≥ − 3(0, )2P 3
2
−
AP AB ADλ µ= + λ µ+
2
5设 ,
易得圆的半径 ，即圆 C 的方程是 ，
，若满足 ，
则 ， ，所以 ，
设 ，即 ，点 在圆 上，
所以圆心 到直线 的距离 ，即 ，解得 ，
所以 的最大值是 3，即 的最大值是 3，故选 A.
【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、
减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向
量的形式，再通过向量的运算来解决.
15．已知向量 ，则 ___________.
【答案】
【解析】 ．
【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．
16．在四边形 中， ，点 在线段 的延长线上，
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,1 , 0,0 , 2,0 , 2,1 , ,A B C D P x y
2
5
r = ( )2 2 42 5x y− + =
( ) ( ) ( ), 1 , 0, 1 , 2,0AP x y AB AD= − = − = AP AB ADλ µ= +
2
1
x
y
µ
λ
=
− = − , 12
x yµ λ= = − 12
x yλ µ+ = − +
12
xz y= − + 1 02
x y z− + − = ( ),P x y ( )2 2 42 5x y− + =
(2 0), 1 02
x y z− + − = d r≤ 2 2
1 514
z− ≤
+
1 3z≤ ≤
z λ µ+
(2,2), ( 8,6)= = −a b cos , =a b
2
10
−
( )
2 2 2 2
2 8 2 6 2cos , | || | 102 2 ( 8) 6
× − + ×⋅= = = −⋅ + × − +
a ba b a b
ABCD , 2 3, 5, 30AD BC AB AD A= = ∠ = °∥ E CB且 ，则 ___________．
【答案】
【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°， 则 ， .
因为 ∥ ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以直线 的斜率为 ，其方程为 ，
直线 的斜率为 ，其方程为 .
由 得 ， ，
所以 .
所以 .
【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标
方法更为方便.
17．已知向量풂 = (cos(π
3 + 훼),1)，풃 = (1,4)，如果 ，那么cos(π
3 ― 2훼)的值为___________．
【答案】7
8
AE BE= BD AE⋅ =
1−
2 3, 5,AB AD= = (2 3,0)B 5 3 5( , )2 2D
AD BC 30BAD∠ = ° 30ABE∠ = °
AE BE= 30BAE∠ = °
BE 3
3
3 ( 2 3)3y x= −
AE 3
3
− 3
3y x= −
3 ( 2 3),3
3
3
y x
y x
= −
= −
3x = 1y = −
( 3, 1)E −
3 5( , ) ( 3, 1) 12 2BD AE = − = −
∥a b【解析】由 ，得4cos(π
3 + 훼) ― 1 = 0，cos(π
3 + 훼) = 1
4，故cos(π
3 ― 2훼) = cos(2훼 ― π
3) = cos[2(훼 + π
3
) ― π] = ― cos2(훼 + π
3) = ―[2cos2(훼 + π
3) ― 1] = ―[2 × (1
4)
2
― 1] = 7
8，故填7
8.
18．已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2b |=___________．
【答案】
【解析】方法一： ，
所以 .
方法二：利用如下图形，可以判断出 的模长是以 2 为边长，一夹角为 60°的菱形的对角线的长
度，则为 .
【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积
的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做
这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.
19．如图，在 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 CE 交于点 .若
，则 的值是___________．
【答案】 .
【解析】如图，过点 D 作 DF//CE，交 AB 于点 F，由 BE=2EA，D 为 BC 的中点，知 BF=FE=EA,AO=OD．
∥a b
2 3
2 2 2| 2 | | | 4 4 | | 4 4 2 1 cos60 4 12+ = + ⋅ + = + × × × + =a b a a b b
| 2 | 12 2 3+ = =a b
2+a b
2 3
ABC△ O
6AB AC AO EC⋅ = ⋅ AB
AC
3，
，
得 即 故
【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素
养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.
20 ． 在 中 ， ， ， ． 若 ， ， 且
，则 的值为___________．
【答案】
【解析】由题可得 ，则
．
【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利
用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中 已知模和夹角，作为基底易于计算数
量积．
21．在 中，∠퐴 = π
2，퐴퐵 = 1，퐴퐶 = 2，푀是 内一点，且퐴푀 = 1
2，若퐴푀 = 휆퐴퐵 + 휇퐴퐶，则
휆 +2휇的最大值为___________．
【答案】 2
2
【解析】由题意，得(휆퐴퐵 + 휇퐴퐶)2 = 퐴푀2 = 1
4，即휆2 +4휇2 = 1
4，且휆 > 0,휇 > 0，则휆 +2휇 = (휆 + 2휇)2 =
( ) ( ) ( )36 3 2AO EC AD AC AE AB AC AC AE= − = + −
( ) 2 23 1 3 1 1
2 3 2 3 3AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC = + − = − + −
2 2 2 23 2 1 1 3
2 3 3 2 2AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC = − + = − + =
2 21 3 ,2 2AB AC= 3 ,AB AC= 3AB
AC
=
ABC△ 60A = °∠ 3AB = 2AC = 2BD DC= AE ACλ= − ( )AB λ ∈R
4AD AE⋅ = − λ
3
11
1 23 2 cos60 3, 3 3AB AC AD AB AC⋅ = × × ° = = + 1 2( )3 3AD AE AB AC⋅ = +
2 1 2 3( ) 3 4 9 3 43 3 3 3 11AC AB
λ λλ λ− = × + × − × − × = − ⇒ =
,AB AC
Rt ABC△ ABC△휆2 + 4휇2 + 4휆휇 ≤ 2(휆2 + 4휇2) = 2
2 （当且仅当 时取等号）；故填 2
2 .
22．已知 是互相垂直的单位向量，若 与 的夹角为 ，则实数 的值是
___________．
【答案】
【解析】∵ ，
，
，
，解得 ．
【名师点睛】（1）平面向量 与 的数量积为 ，其中 是 与 的夹角，要注意夹
角的定义和它的取值范围： .
（2）由向量的数量积的性质有 ， ， ，因此，利用平面向
量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．
（3）本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立关于 的方程求
解.
23．已知正方形 的边长为 1，当每个 取遍 时，
的最小值是___________；最大值是___________．
【答案】0； .
【解析】以 分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图.
1 23 −e e 1 2
λ+e e λ
∴
θ
0 180θ° ≤ ≤ °
λ
2=2 = 2
λ µ
1 2,e e 60°
3
3
2 2
1 2 1 2 1 1 2 1 2 2( 3 ) ( ) 3 3 3λ λ λ λ− ⋅ + = + ⋅ − ⋅ − = −e e e e e e e e e e
2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2| 3 | ( 3 ) 3 2 3 2− = − = − ⋅ + =e e e e e e e e
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2| | ( ) 2 1λ λ λ λ λ+ = + = + ⋅ + = +e e e e e e e e
2 23 2 1 cos60 1λ λ λ− = + × ° = + 3
3
λ =
a b | || | cosθ⋅ =a b a b a b
| |= ⋅a a a cos | || |
θ ⋅= a b
a b 0⋅ = ⇔ ⊥a b a b
ABCD ( 1,2,3,4,5,6)i iλ = ±1
1 2 3 4 5 6| |AB BC CD DA AC BDλ λ λ λ λ λ+ + + + +
2 5
, AB AD则 ,
令
0.
又因为 可取遍 ，
所以当 时，有最小值 .
因为 和 的取值不相关， 或 ，
所以当 和 分别取得最大值时，y 有最大值，
所以当 时，有最大值 .
故答案为 0； .
【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道
向量和不等式的综合题.
(1,0), (0,1), ( 1,0), (0, 1), (1,1), ( 1,1)AB BC CD DA AC BD= = = − = − = = −
( ) ( )2 2
1 2 3 4 5 6 1 3 5 6 2 4 5 6y AB BC CD DA AC BDλ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ= + + + + + = − + − + − + + ≥ 0
( 1,2,3,4,5,6)i iλ = 1±
1 3 4 5 6 21, 1λ λ λ λ λ λ= = = = = = − min 0y =
( )1 3 5
λ λ λ− + ( )2 4 5
λ λ λ− + 6 1λ = 6 1λ = −
( )1 3 5
λ λ λ− + ( )2 4 5
λ λ λ− +
1 2 5 6 3 41, 1λ λ λ λ λ λ= = = = = = − 2 2
max 2 4 20 2 5y = + = =
2 5
微信/支付宝扫码支付