忽略了 n 的取值
已知数列 满足 ，求数列 的通项公式 ．
【错解】由 ，可得 两式相除可得 ．
【错因分析】 仅适用于 且 时的情况，故不能就此断定 就是
数列 的通项公式．
【试题解析】当 时， ；当 时，由 ，可得 两式相除可
得 ，故
已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法
(1)形如 an＋1＝anf(n)，常用累乘法，即利用恒等式 an＝a1·a2
a1·a3
a2·…· an
an－1求通项公式．
(2)形如 an＋1＝an＋f(n)，常用累加法．即利用恒等式 an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)求通项
公式．
(3)形如 an＋1＝ban＋d(其中 b，d 为常数，b≠0,1)的数列，常用构造法．其基本思路是：构造 an＋1＋x＝b(an
＋x)(其中 x＝ d
b－1)，则{an＋x}是公比为 b 的等比数列，利用它即可求出 an.
(4)形如 an＋1＝ pan
qan＋r(p，q，r 是常数)的数列，将其变形为 1
an＋1＝r
p· 1
an＋q
p.
若 p＝r，则{ 1
an }是等差数列，且公差为q
p，可用公式求通项；
若 p≠r，则采用(3)的办法来求．
(5)形如 an＋2＝pan＋1＋qan(p，q 是常数，且 p＋q＝1)的数列，构造等比数列．将其变形为 an＋2－an＋
1＝(－ q)·(an＋1－an)，则{an－an－1}(n≥2，n∈N*)是等比数列，且公比为－q，可以求得 an－an－1＝f(n)，
然后用累加法求得通项．
(6)形如 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)的式子，
由 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)，①
得 a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝f(n－1)，②
{ }na 3
1 2 3 = ( )na a a a n n∈ *NL { }na na
3
1 2 3 =na a a a nL 3
1 2 3 1=( 1) ,na a a a n− −L
3
3= ( 1)n
na n −
3
1 2 3 1=( 1)na a a a n− −L n∈ *N 2n >
3
3= ( 1)n
na n −
{ }na
1n = 1 1a = 2n ≥ 3
1 2 3 =na a a a nL 3
1 2 3 1=( 1) ,na a a a n− −L
3
3= ( 1)n
na n −
3
3
1, 1
., 1,( 1)
n
n
a n n nn
=
= > ∈ −
*N再由①－②可得 an.
(7)形如 an＋1＋an＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成 an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相减即得 an＋2－an＝f(n
＋1)－f(n)，然后按奇偶分类讨论即可．
(8)形如 an·an＋1＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成 an＋2·an＋1＝f(n＋1)，两式作商可得
，然后分奇、偶讨论即可．
(9)an＋1－an＝qan＋1an(q≠0)型，将方程的两边同时除以 an＋1an，可构造一个等差数列．
具体步骤：对 an＋1－an＝qan＋1an(q≠0)两边同时除以 an＋1an，得到 1
an－ 1
an＋1＝q，即
1
an＋1－ 1
an＝－q，
令 bn＝ 1
an，则{bn}是首项为 1
a1，公差为－q 的等差数列.
(10)an＝pa rn－1(n≥2，p>0)型，一般利用取对数构造等比数列．
具体步骤：对 an＝pa rn－1两边同取常用对数，得到 lg an＝rlg an－1＋lg p，令 bn＝lg an，则{bn}可归为 an＋
1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)型.
1．已知数列 的前 项和为 ，数列 满足 ，则 _____________.
【答案】
【 解 析 】 当 时 ， ， 因 为 ， 两 式 相 减 得
，
所以当 时， ，又 不符合上式，所以 ，
因为 ，所以 .
【名师点睛】本题考查的知识点是数列的通项公式，其中正确理解由数列的前 n 项和 Sn，求通项公式的
2 ( 1)
( )
n
n
a f n
a f n
+ +=
{ }na n 2 1nS n= + { }nb 2
1n
n
b a
= + nb =
2 , 13
1 , 2
n
nn
=
≥
1n = 1 1= =2a S 2 2
11, ( 1) 1( 2)n nS n S n n−= + = − + ≥
1 2 1( 2)n n na S S n n−= − = −
2n ≥ 2 1na n= − 1=2a 2 1
2 1 2n
na n n
== −
，
，
2
1n
n
b a
= +
2 , 13
1 , 2
n
n
b
nn
==
≥方法： 和步骤是解答本题的关键．由已知中 的前 项和 ，
结合 ，分别讨论 时与 时的通项公式，并由 时， 的值不满足
时的通项公式，故要将数列 的通项公式写成分段函数的形式．
忽略数列中为 0 的项
设等差数列 的前 n 项和为 ，公差为 d，且满足 ， ，则当 最大时，
__________．
【错解】由 ，得 ，即 ，由 可知 ，解不等
式组 即 得 ．又 ，故当 时 最大．
【 错 因 分 析 】 由于 ，所以 ，当 或 时 最大，错解中忽略了数列中为 0 的
项．
【试题解析】 【正解 1】由 ，得 ，即 ，由 可知
，解不等式组 即 得 ．故当 或
时 最大．
【正解 2】由 ，可得 ，所以 ，由
并结合 对应的二次函数的图象知，当 或 时 最大．
【正解 3】由 ，得 ，即 ， ，由 可知
，故当 或 时 最大．
数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题
1．等差数列的前 n 项和与函数的关系
等差数列的前 n 项和公式为 可变形为 Sn＝
d
2n2＋(a1－
d
2)n，令 A＝
d
2，B＝a1－
d
2，则 Sn
1
1
1
2n
n n
S na S S n−
=
−
≥
= ，
，
{ }na n 2 3 2nS n n= − +
1
1
1
2n
n n
S na S S n−
=
−
≥
= ，
， 2n ≥ 1n = 1n = 1a
2n ≥ { }na
{ }na nS 1 0a > 11 18S S= nS n =
11 18S S= 1 1
11 10 18 1711 + 182 2a d a d
× ×= + 1= 14a d− 1 0a > 0d <
1
1 1
( 1) 0,0
n
n
a a n d
a a nd+
= + − ≥
= +
0d < 14n = 15n = nS
1
( 1)
2n
n nS na d
−= +＝An2＋Bn.
当 A≠0，即 d≠0 时，Sn 是关于 n 的二次函数，(n，Sn)在二次函数 y＝Ax2＋Bx 的图象上，为抛物线 y＝
Ax2＋Bx 上一群孤立的点．利用此性质可解决前 n 项和 Sn 的最值问题．
2．等差数列前 n 项和的最值
(1)若等差数列的首项 a1>0，公差 d0，d ( )p qS S p q= ≠ p q+ ⇒
2
p qn
+= nS
p q+ ⇒ 1
2
p qn
+ −= 1
2
p q+ +
nS
{ }na 1 2a = 10 15S = 2 4 8 2nnB a a a a= + + + + n = nB
{ }na 1 2a = 10 15S = 10 1
10 910 152S a d
×∴ = + = 20 45 15d+ =
45 5d = − 1
9d∴ = − ( )1 1 192 19 9 9na n n= − − = − + 1 19 09 9na n= − + = 19n =
19 0a = 19n > 0na < 19, 0nn a< > 2 4 8 2, , , na a a a 4n ≤
2 0na > 5n ≥
2 0na < 4n = nB 4
n n
n n nS 2An Bn= +
2
Bn A
= −
2
Bn A
= − n nS 0na ≥
1 0na + ≤ nS n忽视奇数项或偶数项的符号
在等比数列 中， ，求 的值.
【错解】因为 为等比数列，所以 ，由 可得 ，故
.【错因分析】错解中忽略了在等比数列中，奇数项或偶数项的符号相同这一隐含条件．
【试题解析】因为 为等比数列，所以 ，由 可得 ，故
．又在等比数列中，所有的奇数项的符号相同，所以 ，所以 ．
1．特别注意 q＝1 时，Sn＝na1 这一特殊情况．
2．由 an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证 a1≠0.
3．在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q＝1 与 q≠1 分类讨论，防止因忽略 q＝1 这一特殊情
形而导致解题失误．
4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 未必成等比数列(例如：当公比 q＝－1 且 n 为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 不成
等比数列；当 q≠－1 或 q＝－1 且 n 为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 成等比数列)，但等式(S2n－Sn)2＝
Sn·(S3n－S2n)总成立．
3．设数列 的前 n 项和为 .已知 ，且 .
（1）证明： ；
（2）求 .
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】（1）由条件，对任意 ，有 ，
因而对任意 ， ，有 ，.
两式相减，得 ，即 ，
又 ，所以 .
{ }na 2 4 6 8 25a a a a = 1 9a a
{ }na 1 9 2 8 4 6a a a a a a= = 2 4 6 8 25a a a a = 2
1 9( ) 25a a =
1 9 5a a = ±
{ }na 1 9 2 8 4 6a a a a a a= = 2 4 6 8 25a a a a = 2
1 9( ) 25a a = 1 9a a =
5± 1 9 0a a > 1 9 5a a =
{ }na nS 1 2=1, =2a a 1
*
2 ,=3 3nn na S S n+ + +− ∈N
2 3n na a+ =
na
1 12
12
3 ,
2 3
n
n n
na
n
+ −
−
=
× ， 是偶数
是奇数
*n∈N +2 +1=3 +3n n na S S−
*n∈N 2n +1 1=3 3n n na S S− − +
+2 +1 +1=3n n n na a a a− − 2 3 , 2n na a n+ = ≥
1 2=1, =2a a ( )3 1 2 1 1 2 13 3 3 3=3a S S a a a a= − + = − + +故对一切 ， .
（2）由（1）知， ，所以 ，于是数列 是首项 ，公比为 3 的等比数列；数列
是首项 ，公比为 3 的等比数列.
所以 .
∴ .
应用等比数列性质时的注意点
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则 am·an
＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而
不求思想的运用.
忽视 q=1 致错
在数列 中，若 ，求 的前 n 项和 ．
【错解】
.
【错因分析】错解在进行等比数列求和时忽略了对公比是否等于 1 的讨论；此外，还需讨论相关数列是否
为等比数列.
【试题解析】当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ；
当 时， ．
*n∈N 2 3n na a+ =
0na ≠ 2 3n
n
a
a
+ = { }2 1na − 1 1a =
{ }2na 1 2a =
1 1
2 1 23 , 2 3n n
n na a− −
− = = ×
1 12
12
3 ,
2 3
n
n n
na
n
+ −
−
=
× ， 是偶数
是奇数
{ }na 2 ( 0)n n
na m m m= − ≠ { }na nS
1 2 3n nS a a a a= + + + +
2 4 2 2( ) ( )n na a a a a a= + + + − + + +
2 2
2
(1 ) (1 )
1 1
n na a a a
a a
− −= −− −
1m = 0na = 0nS =
1m = − 2 1m = (1 ) 1 ( 1)
1 2
n n
n
m mS n nm
− − −= − = +−
1m ≠ ±
2 2
2
(1 ) (1 )
1 1
n n
n
m m m mS m m
− −= −− −综上， .
1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为
1 进行讨论．
2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如 an，an＋1 的式子应进行合并．
3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．
4．各项均为正数的数列 的首项 ，前 项和为 ，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）因为 ，①
所以当 时， ，②
得： ，即 ，
因为 的各项均为正数，
所以 ，且 ，
所以 ．
由①知， ，即 ，
又因为 ，
所以 ，
2 2
2
0, 1
1 ( 1) , 12
(1 ) (1 ) , 11 1
n
n
n n
m
S n m
m m m m mm m
=
− −= + = −
− −− ≠ ± − −
{ }na 1
1a λ= n nS 2
1 1n n nS S aλ+ ++ =
{ }na
{ }nb n
n nb aλ= { }nb n nT
n
na λ=
( )
2
2
, 12
1 , 0, 111
n nn
n n
T n
λ
λ λ λ λλλ
+ == − − > ≠− −
2
1 1n n nS S aλ+ ++ =
2n ≥ 2
1n n nS S aλ−+ =
−① ② 2 2
1 1n n n na a a aλ λ+ ++ = − ( )( )1 1 1n n n n n na a a a a aλ+ + ++ = + −
{ }na
1 0n na a+ + > 0λ >
1
1
n na a λ+ − =
2
2 1 2S S aλ+ = 2
1 2 22a a aλ+ =
1
1a λ=
2
2a λ=所以 ．
故 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列．
所以 ．
（2）由（1）得 ，
所以 ，
所以 ，③
，④
，得 ，
当 且 时， ，解得 ；
当 时，由③得 ；
综上，数列 的前 项和 ．
【名师点睛】（1）本题主要考查数列前 n 项和公式，考查等差数列的通项的求法，考查错位相减求和，
意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
（2）数列 ，其中 是等差数列， 是等比数列，则采用错位相减法.
1.数列求和，一般应从通项入手，若通项未知，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关
或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
2.解决非等差、非等比数列的求和，主要有两种思路
(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减
来完成；
(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
2 1
1a a λ− =
( )*
1
1
n na a nλ+ − = ∈N
{ }na 1
λ
1
λ
( )1 11n
na nλ λ λ= + − =
n
na λ=
1n
nb n λ −= ⋅
( )2 2 11 2 3 1 n n
nT n nλ λ λ λ− −= + + + + − +
( )2 3 12 3 1 n n
nT n nλ λ λ λ λ λ−= + + + + − +
−③ ④ ( ) 2 11 1 n n
nT nλ λ λ λ λ−− = + + + + −
0λ > 1λ ≠ ( ) 11 1
n
n
nT n
λλ λλ
−− = −− ( )2
1
11
n n
n
nT
λ λ
λλ
−= − −−
1λ = ( ) ( ) 211 2 3 1 2 2n
n n n nT n n
+ += + + + + − + = =
{ }nb n
( )
2
2
, 12
1 , 0, 111
n nn
n n
T n
λ
λ λ λ λλλ
+ == − − > ≠− −
{ }·n nb c { }nb { }nc1．数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项，通常也叫做首项，排在第
二位的数称为这个数列的第 2 项……排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项．所以，数列的一般形式可
以写成 简记为 ．
2．数列的分类
分类标准 名称 含义
有穷数列 项数有限的数列，如数列 1，2，3，4，5，7，8，9，10按项的个
数 无穷数列 项数无限的数列，如数列 1，2，3，4，…
递增数列 从第 2 项起，每一项都大于它的前一项，如数列 1，3，5，7，9，…
递减数列 从第 2 项起，每一项都小于它的前一项，如数列 10，9，8，7，6，5，…
常数列 各项都相等的数列，如数列 2，2，2，2，…
按项的变
化趋势
摆动数列 从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，如 1，2，1，2
有界数列 任一项的绝对值都小于某一正数，如－1，1，－1，1，－1，1，…按项的有
界性 无界数列 不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它，如 2，4，6，8，10，…
3．数列的表示方法
（1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况．
（2）解析法：主要有两种表示方法，
①通项公式：如果数列 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做
这个数列的通项公式，即 ．
②递推公式：如果已知数列 的第一项(或前几项)，且任一项 与它的前一项 (或前几项)间
的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
（3）图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示．数列用图象表示时，可以以序号为横坐标，
相应的项为纵坐标描点画图．由此可知，数列的图象是无限个或有限个孤立的点．
4．数列的前 n 项和与通项的关系
数列的前 n 项和通常用 表示，记作 ，则通项 ．
若当 时求出的 也适合 时的情形，则用一个式子表示 ，否则分段表示．
5．等差数列与一次函数的关系
1 2 3, , , , , ,na a a aL L { }na
{ }na
( )na f n=
{ }na na 1na −
nS 1 2n nS a a a= + + +
1
1, 2n
n n
Sa S S n−
= − ≥
2n ≥ na 1n = na由等差数列的通项公式 ，可得 ．
令 ， ，则 ，其中 ， 为常数．
（1）当 时， 在一次函数 的图象上，数列 的图象是直线 上均匀
分布的一群孤立的点，且当 时数列 为递增数列，当 时数列 为递减数列．
（2）当 时， ，等差数列为常数列，数列 的图象是平行于 x 轴的直线（或 x 轴）上均
匀分布的一群孤立的点．
6．等差数列的前 n 项和
首 项 为 ， 末 项 为 ， 项 数 为 n 的 等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式 ：
．
令 ， ，可得 ，则
当 ，即 时， 是关于 n 的二次函数，点 是函数 的图象上一系列孤立
的点；
当 ，即 时， 是关于 n 的一次函数 ，即 或常函数 ，即 ，
点 是直线 图象上一系列孤立的点．
我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前 n 项和的相关问题．
7．用前 n 项和公式法判定等差数列
等差数列的前 n 项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列 的前 n
项和 ，那么当且仅当 时，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列；
当 时，数列 不是等差数列．
8．等差数列的常用性质
由等差数列的定义可得公差为 的等差数列 具有如下性质：
（1）通项公式的推广： ， ．
（2）若 ，则 ．
特别地，①若 ，则 ；
②若 ，则 ．
③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即
1 ( 1)na a n d= + − 1( )na dn a d= + −
p d= 1q a d= − na pn q= + p q
0p ≠ ( , )nn a y px q= + { }na y px q= +
0d > { }na 0d < { }na
0p = na q= { }na
1a na { }na
1
1
( ) ( 1)= =2 2
n
n
n a a n nS na d
+ −+
2
dp = 1 2
dq a= − 2
nS pn qn= +
① 0p ≠ 0d ≠ nS ( , )nn S 2=y px qx+
② 0p = 0d = nS ( 0q ≠ 1 0)a ≠ ( 0q = 1 0)a =
( , )nn S y qx=
{ }na
2
nS an bn c= + + 0c = { }na a b+ 2a
0c ≠ { }na
d { }na
( )n ma a n m d= + − ,m n∈ *N
m n p q+ = + qpnm aaaa +=+ ( , )m n, p,q∈ *N
2m n p+ = 2m n pa a a+ = ( , )m n, p∈ *N
m n t p q r+ + = + + m n t p q ra a a a a a+ + = + + ( , )m n, p,q,t,r ∈ *N
（3）下标成等差数列的项 组成以 md 为公差的等差数列．
（4）数列 是常数 是公差为 td 的等差数列．
（5）若数列 为等差数列，则数列 是常数 仍为等差数列．
（6）若 ，则 ．
9．与等差数列各项的和有关的性质
利用等差数列的通项公式及前 n 项和公式易得等差数列的前 n 项和具有如下性质：
设等差数列 （公差为 d）和 的前 n 项和分别为 ，
（1）数列 是等差数列，首项为 ，公差为 ．
（2） 构成公差为 的等差数列．
（3）若数列 共有 项，则 ， ．
（4）若数列 共有 项，则 ， ．
（5） ， ．
10．等比数列的性质
若数列 是公比为 的等比数列，前 n 项和为 ，则有如下性质：
（1）若 ，则 ；若 ，则 ．
推广： 若 ，则 ．
（2）若 成等差数列，则 成等比数列．
（3）数列 仍是公比为 的等比数列；
数列 是公比为 的等比数列；
数列 是公比为 的等比数列；
1 2 1 1 .n n i n ia a a a a a− + −+ = + = = + =L L
2, , ,k k m k ma a a+ + L
{ }( ,nta tλ λ+ )
{ }nb { }n nta bλ± ( ,t λ )
,p qa q a p= = 0p qa + =
{ }na { }nb ,n nS T
{ }nS
n 1a 1
2 d
2 3 2 ( 1), , , , ,k k k k k mk m kS S S S S S S −− − −L L 2k d
{ }na 2n S S nd− =奇偶
1
n
n
S a
S a +
=奇
偶
{ }na 2 1n − S S− =奇 偶 na ( ,1 n
S n S naS n
= =−
奇
奇
偶
( 1) )nS n a= −偶
2 1
2 1
n n
n n
S a
T b
−
−
= 2 1
2 1
2 1
2 1
m m
n n
S am
T n b
−
−
−= ⋅−
{ }na q nS
m n p q+ = + m n p qa a a a= 2m n r+ = 2 ( , )m n ra a a m n, p,q,r= ∈ *N
1 2 1 1 ;n n i n ia a a a a a− + −= = =① L L ② m n t p q r+ + = + + m n t p q ra a a a a a=
, ,m n p , ,m n pa a a
{ }( 0)na ≠λ λ q
1{ }
na
1
q
{ }| |na | |q若数列 是公比为 的等比数列，则数列 是公比为 的等比数列．
（4） 成等比数列，公比为 ．
（5）连续相邻 项的和（或积）构成公比为 或 的等比数列．
（6）当 时， ；当 时， ．
（7） ．
（8）若项数为 ，则 ，若项数为 ，则 ．
（9）当 时，连续 项的和（如 ）仍组成等比数列（公比为 ，
）．注意：这里连续 m 项的和均非零．
11．求和常用方法
方法 1→错位相减法求和的注意点
在运用错位相减法求数列前 n 项和时要注意四点：
①乘数（式）的选择；
②对公比 q 的讨论（是否为 1）；
③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律；
④相消项中构成数列的项数．
方法 2→裂项相消法求和的注意点
在应用裂项相消法求和时应注意：
（1）把通项裂项后，是否恰好等于相应的两项之差；
（2）在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，是否还有其他项．
方法 3→求和方法——分组求和法的解题步骤
利用分组求和法解题的步骤：
①根据通项公式的特征准确拆分，将其分解为可以直接求和的一些数列的和；
②分组求和，分别求出各个数列的和；
③得出结论，对拆分后每个数列的和进行组合，解决原数列的求和问题．
1．已知各项均为正数的等比数列 的前 4 项和为 15，且 ，则
A．16 B．8
{ }nb q' { }n na b qq'
2 3, , , ,k k m k m k ma a a a+ + + L mq
k (kq 2
)kq
1q = n
m
S n
S m
= 1q ≠ ± 1
1
n
n
m
m
S q
S q
−= −
m n
n m m n n mS S q S S q S+ = + = +
2n
S qS
=偶
奇
2 1n + 1S a qS
− =奇
偶
1q ≠ − m 2 3 2, , ,m m m m mS S S S S− − mq
2m ≥
{ }na 5 3 13 4a a a= + 3a =C．4 D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列{an}的公比为 ，则 ，
解得 ， ，故选 C．
【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.
2．记 为等差数列 的前 n 项和．已知 ，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题知， ，解得 ，∴ ， ,故选 A．
【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前 n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用
等差数列通项公式与前 n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做
了判断．
3．已知数列 满足 ，则
A．10 B．20
C．100 D．200
【答案】C
【解析】因为 ，所以数列 是以 为首相， 为公差的等差数列，
，所以 ，则 .
【名师点睛】本题考查由递推公式证明数列是等差数列以及等差数列的通项公式，属于一般题.
4．等比数列 的各项均为正数，且 ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
q
2 3
1 1 1 1
4 2
1 1 1
15
3 4
a a q a q a q
a q a q a
+ + + =
= +
1 1,
2
a
q
=
=
2
3 1 4a a q∴ = =
nS { }na 4 50 5S a= =，
2 5na n= − 3 10na n= −
22 8nS n n= − 21 22nS n n= −
4 1
5 1
4 4 3 02
4 5
dS a
a a d
= + × × =
= + =
1 3
2
a
d
= −
= 2 5na n= − 2 4nS n n= −
}{ na 1 11, 1n na a a+= − = 10a =
1 11, 1n na a a+= − = { }na 1 1
( )1 1 1na n n= + − × = 10 10a = 10 100a =
{ }na 54 4a a = 2 1 2 82 2log log loga a a+ +…+ =
7 8
9 10【解析】根据题意，等比数列 的各项均为正数，且 ，
则有 ，
则 ，
故选 B．
5．已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则
A．200 B．210
C．400 D．410
【答案】B
【解析】由题 ， ，又因为 ，
所以当 时，可解的 ，
当 时， ，与 相减得 ，
当 为奇数时，数列 是以 为首相， 为公差的等差数列， ，
当 为偶数时，数列 是以 为首相， 为公差的等差数列， ，
所以当 为正整数时， ，
则 ，
故选 B.
【名师点睛】本题考查的知识点主要是数列通项公式的求法及应用，等差数列的前 项和公式的应用，
主要考查学生的运算能力和转化能力，属于一般题.
6．在数列{ }中，已知 ， ，则 等于
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】将等式 两边取倒数得到 ， 是公差为 的等差
{ }na 54 4a a =
1 8 2 7 3 6 4 5 4a a a a a a a a= = = =
4
2 1 2 2 2 8 2 1 2 3 4 5 6 7 8 2log log log log ( ) log 4a a a a a a a a a a a+ + + = = 8=
}{ na n nS 1 1a = 12 n n nS a a+= 20S =
1 1a = 12 n n nS a a+= 1 1a S=
1n = 2 2a =
2n ≥ 1 12 n n nS a a− −= 12 n n nS a a+= 11 2n na a −+ − =
n }{ na 1 2 2 1na n= −
n }{ na 2 2 2na n=
n na n=
20 1 2 3 20 210S = + + + + =
n
na 1 2a = 1
1
2
2
n
n
n
aa a
−
−
= + ( )2n ≥ na
2
1n +
2
n
3
n
3
1n +
1
1
2
2
n
n
n
aa a
−
−
= + 1
1 1 1
2n na a −
= +
1
1 1 1 1= ,2n n na a a−
−
1
2数列， = ，根据等差数列的通项公式的求法得到 ，故 = .
故答案为 B.
【名师点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法，数列通项的求法中有常见的已知 和 的关系，
求 表达式，一般是写出 再作差得通项，但是这种方法需要检验 n=1 时通项公式是否适用；还有构
造新数列的方法，取倒数，取对数的方法等.
7．已知数列 是递增数列，且对 ，都有 ，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵{an}是递增数列，∴an+1＞an 恒成立，
∵an=n2+λn，∴（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn 恒成立，∴λ＞﹣2n﹣1 对于 n∈N*恒成立．
而﹣2n﹣1 在 n=1 时取得最大值﹣3，∴λ＞﹣3.
故选 D．
【名师点睛】本题主要考查由数列的单调性来构造不等式，解决恒成立问题．研究数列单调性的方法有：
比较相邻两项间的关系，将 an+1 和 an 作差与 0 比较，即可得到数列的单调性；研究数列通项即数列表达
式的单调性.
8．已知数列 满足 （ ），将数列 中的整数项按原来的顺序组成新数列 ，
则 的末位数字为
A． B．
C． D．
【答案】C
【 解 析 】 由 （ ） ， 可 得 此 数 列 为 ：
， 的 整 数 项 为
,∴数列 的各项依次为： ，末位数字分
1
1
a
1
2
( )1 1 112 2 2n
nna
= + − × = na 2
n
nS na
na 1nS −
{ }na *n∈N 2
na n nλ= + λ
7 ,2
− +∞
( )1,− +∞
( )2,− +∞ ( )3,− +∞
{ }na 5 1na n= − *n∈N { }na { }nb
2018b
8 2
3 7
5 1na n= − *n∈N
4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54, 59, 64, na
4, 9, 49, 64, 144, 169, { }nb 2,3,7,8,12,13,17,18别是 ，∵ ，故 的末位数字为 3，故选 C．
9．【2019 年高考浙江卷】设 a，b∈R，数列{an}满足 a1=a，an+1=an2+b， ，则
A． 当 B． 当
C． 当 D． 当
【答案】A
【解析】①当 b=0 时，取 a=0，则 .
②当 时，令 ，即 .
则该方程 ，即必存在 ，使得 ，
则一定存在 ，使得 对任意 成立，
解方程 ，得 ，
当 时，即 时，总存在 ，使得 ，
故 C、D 两项均不正确.
③当 时， ，
则 ，
.
（ⅰ）当 时， ，
则 ，
，
，
则 ，
2,3,7,8,2,3,7,8 2018 4 504 2= × + 2018b
n ∗∈N
10
1 , 102b a= > 10
1 , 104b a= >
102, 10b a= − > 104, 10b a= − >
0,na n ∗= ∈N
0x 2
0 0 0x x b− + =
1 0 = =a a x 2
1n n na a b a+ = + = n ∗∈N
2 0a a b− + = 1 1 4
2
ba
± −=
1 1 4 102
b+ − ≤ 90b −
1 1 4
2
ba
+ −= 1 2 10 10a a a= =…= ≤
0b > 2
2 1a a b b= + ≥
2 2
3 2a a b b b= + ≥ +
( )22 2
4 3a a b b b b= + + +
1
2b =
22
4 5
1 1 1 17 11, 12 2 2 16 2a a
+ + = > > +
≥
2
6
1 1 111 22 2 4a > + + = >
2
7
1 92 2 2a > + =
2
8
9 1 83 102 2 4a > + = >
2
9 8
1 102a a= + > ，
故 A 项正确.
（ⅱ）当 时，令 ，则 ，
所以 ，以此类推，
所以 ，
故 B 项不正确.
故本题正确答案为 A.
【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步
讨论 的可能取值，利用“排除法”求解.
10．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展
做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每
一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频
率为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为每一个单音的频率与前一个单音的频率的比都为 ，所以 ，
又 ，则 ，故选 D.
【名师点睛】此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的
判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若 （ ）或
（ ），数列 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列 中， 且
（ ），则数列 是等比数列.
11．记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和.若 ，则 S4=___________．
2
10 9
1 102a a= + >
1
4b = 1= =0a a
2
2 3
1 1 1 1,4 4 4 2a a = = + 0，q≠1.
∵ ，
则 ，
∴
当且仅当 q3=2,即 时取等号.
∴S9−S6 的最小值为 20.
15．在数列 中，且 ， ，则 的通项公式为__________．
【答案】
【解析】在数列 中， ， ，
，
，
，
上式相加： .
.
16．已知等差数列 ，若 ， ，且 ，则公差
__________．
1
4
nS { }na 0na > 6 32 5S S− = 9 6S S−
2 3
6 3 6 5 4 3 2 1 12 (1 )( 1) 5S S a a a a a a a q q q− = + + − − − = + + − =
2
1 3
5(1 ) 1a q q q
+ + = −
3 2 3
2 6 6
9 8 7 1 39 6 3
5 ( 1) 2( 1) 1= (1 ) =51 1
q qa a a a q q q qqS S q
− + − ++ + = + + = ×− −−
3
3
1=5 ( 1 2) 5 (2 2) 20,1q q
× − + + ≥ × + =−
3 2q =
{ }na 1 1a = 1 2 1n na a n+ − = − { }na
2 2 2na n n= − +
{ }na 1 1a = 1 2 1n na a n+ − = −
2 1 2 1 1 1a a− = × − =
3 2 2 2 1 3a a− = × − =
⋅⋅⋅
( )1 2 1 1 2 3n na a n n−− = × − − = −
( )1
1 2 3 12n
na a n
+ −− = × −
( )2 21 1 2 2na n n n∴ = − + = − +
{ }na 2 4 2 3 6na a a a a+ + + = 1 3 2 1 3 5na a a a a−+ + + = 2 200nS = d =【答案】 或
【解析】若 ①， ②，
②-①得 .
（1）若 ，显然 ，则 又 ，所以 ，解得 ，
满足题意．
（2）若 ，则
又 ，
，得 ， ．
故答案为 0 或 6．
17．已知 是各项均为正数的等比数列， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 n 项和．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）设 的公比为q，由题设得
，即 ．
解得 （舍去）或q=4．
因此 的通项公式为 ．
（2）由（1）得 ，因此数列 的前n项和为 ．
【名师点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等
差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题.
18．已知等差数列 中， ，数列 满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的通项公式.
0 6
2 4 2 3 6na a a a a+ + + = 1 3 2 1 3 5na a a a a−+ + + =
3nd a d=
0d = 0na > 2
3 6 1 1a a a na⋅ = = ， 2 200nS = 12 200na = 10n =
0d ≠ 3n a= ， 5 6 200n a a∴ ⋅ + =（ ） ，
2 1 2200n nS n a a= = ⋅ +（ ） 5 6 1 2 2 10 5na a a a n n∴ + = + ∴ = =， ， ，
3 10 3 85 5 200a S a a∴ = = + =， （ ） 8 35a = 6d∴ =
{ }na 1 3 22, 2 16a a a= = +
{ }na
2logn nb a= { }nb
2 12 n
na −= 2n
{ }na
22 4 16q q= + 2 2 8 0q q− − =
2q = −
{ }na 1 2 12 4 2n n
na − −= × =
2(2 1)log 2 2 1nb n n= − = − { }nb 21 3 2 1n n+ + + − =
{ }na 1 5 422, 15a +a = a = { }nb 24log 3,n nb a n ∗= − ∈N
{ }nb
1 2( 1)n nT nb n b b= + − + + { }nT【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
由已知可得 ，解得 ，
，
又 ，
.
（2）令数列 的前 项和为 .
，
.
【名师点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和
公式即可，属于常考题型.
19．设 ， ，数列 满足： 且 .
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）求数列 的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）由题意知： ，
又 ，∴ ，
∴ 是以 4 为首项， 2 为公比的等比数列.
（2）由（1）可得 ，故 .
，
12n
nb −= nT = 12 2n n+ − −
{ }na d
1 1
1
4 22
3 15
a a d
a d
+ + =
+ =
1 3
4
a
d
=
=
4 1na n∴ = −
24log 3 4( 1)n nb a n= − = −
12n
nb −∴ =
{ }nb n nS
1 2 1( 1) 2 nn nT nb n b b b−= + − + + +
( ) ( )1 1 2 1 2 nb b b b b b= + + + + + + + = ( ) ( )2
1 2 (2 1) 2 1 2 1n
nS S S+ + + = − + − + + −
( ) ( )2 12 1 2
2 2 2 2 21 2
n
nn n n n+
−
= + +…+ − = − = − −−
1 2a = 2 4a = { }nb 1 2 2n nb b+ = + 1n n na a b+ − =
{ }2nb +
{ }na
1 *2 2 ( )n
na n n+= − ∈N
1 2 2 2 2 22 2
n n
n n
b b
b b
+ + + += =+ +
1 2 1 4 2 2b a a= − = − = 1 2 4b + =
{ }2nb +
12 4 2n
nb −+ = ⋅ 12 2n
nb += −
1n n na a b+ − =∴ ，
，
，
……
.
累加得： ，
，
即 .
而 ，∴ .
20．设 是等差数列， 是等比数列，公比大于 0，已知 .
（1）求 和 的通项公式；
（2）设数列 满足 求 .
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .依题意，得 解
得 故 .
所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 .
（2）
2 1 1a a b− =
3 2 2a a b− =
4 3 3a a b− =
1 1n n na a b− −− =
1 1 2 3 1n na a b b b b −− = + + + +
( ) ( ) ( ) ( )2 3 42 2 2 2 2 2 2 2 2n
na = + − + − + − + + −
( ) ( )
2 12 1 2
=2+ 2 11 2
n
n
−−
− −−
12 2n n+= −
( )12 2 2n
na n n+= − ≥
1 1
1 2 2 2 1a += = − × 1 *2 2 ( )n
na n n+= − ∈N
{ }na { }nb 1 1 2 3 3 23, , 4 3a b b a b a= = = = +
{ }na { }nb
{ }nc
2
1
n n
n
c b n
=
， 为奇数,
， 为偶数. *
1 1 2 2 2 2 ( )n na c a c a c n+ + + ∈N
3na n= 3n
nb = 2 2(2 1)3 6 9 ( )2
nn n n
+
∗− + + ∈N
{ }na d { }nb q 2
3 3 2 ,
3 15 4 ,
q d
q d
= +
= +
3,
3,
d
q
=
=
13 3( 1) 3 , 3 3 3n n
n na n n b −= + − = = × =
{ }na 3na n= { }nb 3n
nb =
1 1 2 2 2 2n na c a c a c+ + +
( ) ( )1 3 5 2 1 2 1 4 2 6 3 2n n na a a a a b a b a b a b−= + + + + + + + + +
.
记
则
②−①得， .
所以，
.
【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 项和公式等基础知识，考查数列
求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.
1 2 3( 1)3 6 (6 3 12 3 18 3 6 3 )2
nn nn n
− = × + × + × + × + × + + ×
( )2 1 23 6 1 3 2 3 3nn n= + × + × + + ×
1 21 3 2 3 3n
nT n= × + × + + × , ①
2 3 13 1 3 2 3 3n
nT n += × + × + + × , ②
( ) 1
2 3 1 13 1 3 (2 1)3 32 3 3 3 3 313 3 2
n n
n nn
n
nT n n
+
+ +
− − += − − − × = − + × =− − + −
1
2 2
1 1 2 2 2 2
(2 1)3 33 6 3 3 2
n
n n n
na c a c a c n T n
+− ++ + + = + = + ×
( )2 2(2 1)3 6 9
2
nn n n
+
∗− + += ∈N
n
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