2020年高考数学学霸纠错笔记：直线与圆的方程

忽略 90°倾斜角的特殊情形 求经过 A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角 α 的取值范围． 【错解】由斜率公式可得直线 AB 的斜率 k= 3－2 m－1= 1 m－1. ①当 m>1 时，k= 1 m－1>0，所以直线的倾斜角 α 的取值范围是 0° l C A B | | 8AB =（1）求 的方程； （2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程． 【解析】（1）由题意得 F（1，0），l 的方程为 y=k（x–1）（k>0）． 设 A（x1，y1），B（x2，y2）． 由 得 ． ，故 ． 所以 ． 由题设知 ，解得 k=–1（舍去），k=1． 因此 l 的方程为 y=x–1． （2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3，2），所以 AB 的垂直平分线方程为 ，即 ． 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则 解得 或 因此所求圆的方程为 或 ． 【名师点睛】本题主要考查抛物线与直线和圆的综合，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考 查的数学核心素养是直观想象、数学运算. （1）利用点斜式写出直线 l 的方程，代入抛物线方程，得到关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的 关系以及抛物线的定义加以求解; （2）由题意写出线段 AB 的垂直平分线所在直线的方程，设出圆心的坐标，由题意列出方程组，解得 圆心的坐标，即可求解. 20．已知直线 被圆 C： 截得的弦长为 . （1）求圆 C 的标准方程； l A B C 2 ( 1) 4 y k x y x = −  = 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + = 216 16 0k∆ = + = 2 1 2 2 2 4kx x k ++ = 2 1 2 2 4 4( 1) ( 1) kAB AF BF x x k += + = + + + = 2 2 4 4 8k k + = 2 ( 3)y x− = − − 5y x= − + 0 0 2 2 0 0 0 5 ( 1)( 1) 16.2 y x y xx = − + − ++ = + ， 0 0 3 2 x y =  = ， 0 0 11 6. x y =  = − ， 2 2( 3) ( 2) 16x y− + − = 2 2( 11) ( 6) 144x y− + + = 3 4 1 0x y− − = 2 2 2( 3)x y r+ + = 4 3（2）若直线 l： 与圆 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点， ，求|AB|的值. 【解析】（1）由题意知，圆 C 的圆心为 ，又圆心 到直线 的距离为 ， 所以 ， 即圆 C 的标准方程为 . （2）由 消去 ，可得 ， 由条件可得 ，即 ，（*） 设 ，则 ， 则 ， 由条件可得 ，解之得 或 ，符合（*）式. 当 时， ， . 当 时， ， . 综上可知， 时， ； 时， . y x m= + 3OA OB⋅ = −  ( 3,0)C − ( 3,0)C − 3 4 1 0x y− − = 2 2 | 9 0 1| 2 3 4 − − − = + 2 2 24 3 +2 =162r =（ ） 2 2( 3) 16x y+ + = 2 2( 3) 16 y x m x y = +  + + = y 2 22 (2 6) 7 0x m x m+ + + − = 2 2(2 6) 8( 7) 0m m∆ = + − − > 2 6 23 0m m− − < 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 1 2 1 2 73, 2 mx x m x x −+ = − − = 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )y y x m x m x x m x x m= + + = + + + 2 2 27 6 7( 3)2 2 m m mm m m − − −= + − − + = 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 7 6 7( , ) ( , ) 32 2 m m mOA OB x y x y x x y y − − −⋅ = ⋅ = + = + = −  1m = − =4m 1m = − 1 2 1 22, 3x x x x+ = − = − 2 2 1 2 1 2| | 1 1 ( ) 4AB x x x x= + + − 22 ( 2) 4 ( 3) 4 2= × − − × − = =4m 1 2 1 2 97, 2x x x x+ = − = 2 2 1 2 1 2| | 1 1 ( ) 4AB x x x x= + + − 2 92 ( 7) 4 622 = × − − × = 1m = − | | 4 2AB = =4m | | 62AB =