2020年初三数学上册期末考点练习：一元二次方程及其一般式

一元二次方程及其一般式 知识点 1：一元二次方程定义及一般形式 概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数 式 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 一般形式： 。其中 a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常 数项。 【注意】 1）只含有一个未知数； 2）所含未知数的最高次数是 2； 3）整式方程。 典例 1 下列属于一元二次方程的是（　　）. A． B． C． D．3x＋1＝0 【答案】B A. 不是一元二次方程，有两个未知数，故此选项错误； B. 是一元二次方程，故此选项正确； C. 不是一元二次方程，是分式方程，故此选项错误； D. 不是一元二次方程，是一元一次方程，故此选项错误； 故选：B. 典例 2 是关于 x 的一元二次方程，则（ ） A． B． C． D． 为任意实数 【答案】C 【详解】∵方程 是关于 x 的一元二次方程， 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ 2 2 1 3y x+ − = 2x x= 2 1 1 2 0x x − − = 2 23 0px x p q− + − = 1p = 0p > 0p ≠ p 2 23 0px x p q− + − =∴二次项系数 p≠0， 故选 C. 典例 3 若 是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得：a-1≠0 解得 a≠1 故选 B． 知识点二 一元二次方程的解 概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次 方程的解也叫一元二次方程的根。 典例 1 关于 x 的方程 x2+（m2﹣2）x﹣15＝0 有一个根是 x＝3，则 m 的值是（　　） A.0 B.2 C.2 或﹣2 D.﹣2 【答案】C 【详解】把 x＝3 代入方程 x2+（m2﹣2）x﹣15＝0 得 9+3m2﹣6﹣15＝0， 解得 m＝±2． 故选 C． 典例 2 已知 1 是关于 x 的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0 的一个根，则 m 的 值是（ ） A.1 B.0 C.﹣1 D.无法确定 【答案】C 2 2ax x x− = x a 0a > 1a ≠ 1a ≠ − 0a ≠【详解】解：∵1 是关于 x 的一元二次方程（m-1）x2+x+1=0 的一个根， ∴（m-1）×12+1+1=0，且 m-1≠0， 解得： ． 故选择：C. 典例 3 已知 a 是方程 的一个根，则代数式 的值是（　　） A.6 B.5 C. D. 【答案】B 【详解】解：∵a 是方程 x2-3x-1=0 的一个根， ∴a2-3a-1=0， 整理得，a2-3a=1， ∴2a2-6a+3=2（a2-3a）+3 =2×1+3 =5， 故选：B． 巩固训练 一、选择题（共 10 题） 1． 若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx﹣1＝0（a≠0）有一根为 x＝2019，则一元 二次方程 a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝1 必有一根为（　　）A． B．2020 C．2019 D．2018 【答案】B 【详解】对于一元二次方程 a（x-1）2+b（x-1）-1=0， 设 t=x-1， 所以 at2+bt-1=0， 而关于 x 的一元二次方程 ax2+bx-1=0（a≠0）有一根为 x=2019， 所以 at2+bt-1=0 有一个根为 t=2019， 则 x-1=2019， 解得 x=2020， 所以一元二次方程 a（x-1）2+b（x-1）=1 必有一根为 x=2020． 故选：B． 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的 未知数的值是一元二次方程的解． 2．观察下列表格，一元二次方程 x2-x=1.2 的一个近似解是（　　） A．0.11 B．1.69 C．1.79 D．1.19 【答案】C 【详解】∵x=1.7 时，x2-x=1.19；x=1.8 时，x2-x=1.44， ∴一元二次方程 x2-x=1.2 的一个解为 1.7＜x＜1.8． 故选 C． 1 2019【名师点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方 程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结 果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解． 3．已知 m 是方程好 x2－2x－1＝0 的一个根，则代数式 2m2－4m＋2019 的值为( ) A．2022 B．2021 C．2020 D．2019 【答案】B 【详解】∵m 是方程 x2−2x−1=0 的一个根， ∴m2−2m−1=0， ∴m2−2m=1， ∴2m2−4m+2017=2(m2−2m)+2017=2×1+2019=2021. 故选 B 【名师点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握运算法则 4．方程 x2+2x﹣3＝0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A．1，2，3 B．1，2，﹣3 C．1，﹣2，3 D．﹣1，﹣2，3 【答案】B 【详解】方程 x2+2x﹣3＝0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 1，2， ﹣3， 故选：B． 【名师点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为 ax2+bx+c＝ 0(其中 a，b，c 为常数，且 a≠0)．解题关键在于找出系数及常熟项 5．关于 x 的方程 是一元二次方程，则它的一次项系数是( ) A．－1 B．1 C．3 D．3 或－1 2 2 1( 3) 6 0m mm x mx− −− − + =【答案】B 【详解】解：由题意得：m2-2m-1=2，m-3≠0， 解得 m=-1 或 m=3． m=3 不符合题意，舍去， 所以它的一次项系数-m=1． 故选：B． 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次 数为 2 的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2+bx+c=0（且 a≠0）．特别 要注意 a≠0 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 6．一元二次方程(a-3)x2-2x+a2-9=0 的一个根是 0, 则 a 的值是( ) A．2 B．3 C．3 或-3 D．-3 【答案】D 【详解】把 x=0 代入方程（a-3）x2-2x+a2-9=0，得：a2﹣9=0，解得：a=±3． ∵a－3≠0，∴a=－3． 故选 D． 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的根即方程的解的定义，是一个基础题， 解题时候注意二次项系数不能为 0，难度不大． 7．若关于 x 的方程（a+1）x2-3x-2=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，得 a+1≠0， 0a ≠ 1a ≠ − 1a > − 1a < −解得，a≠-1． 故选：B． 【名师点睛】本题考查一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是 2； （2）二次项系数不为 0；（3）是整式方程； （4）含有一个未知数． 8．将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x 化成一般形式 ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次 项和常数项分别是（ ） A．﹣4，2 B．﹣4x，2 C．4x，﹣2 D．3x2，2 【答案】B 【详解】解：把一元二次方程-3x2-2=-4x 化成一般形式 ax2+bx+c=0 得： -3x2+4x-2=0， ∵a＞0， ∴3x2-4x+2=0， ∴一次项和常数项分别是：-4x，2， 故选：B． 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常 数且 a≠0）特别要注意 a≠0 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在 一般形式中 ax2 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中 a，b，c 分别叫二次 项系数，一次项系数，常数项． 9．若 是关于 x 的一元二次方程，则 a 的取值范围是 　　 A． B． C． D． 【答案】C ( ) 2a 1 x x 1 0− + − = ( ) a 0≠ a 0≥ a 1≠ a 1≥【详解】根据题意得： ， 解得： ， 故选 C． 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是 解题的关键． 10．已知 2 是关于 x 的方程 3x2﹣2a＝0 的一个解，则 a 的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：把 x＝2 代入方程 3x2﹣2a＝0 得 3×4﹣2a＝0，解得 a＝6． 故选：D． 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的 未知数的值是一元二次方程的解． 二、填空题（共 5 题） 11．如果 a 是一元二次方程 的一个根，那么代数式 =__________. 【答案】3 【详解】解：把 x=a 代入 x2-3x-5=0 得 a2-3a-5=0， 所以 a2-3a=5， 所以 8-a2+3a=8-（a2-3a）=8-5=3． 1 0a − ≠ 1a ≠ 2 3 5 0x x− − = 28 3a a− +故答案为：3． 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的 未知数的值是一元二次方程的解． 12．方程 中，二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是____. 【答案】6 -7 -4 【详解】方程整理得：6x −7x−4=0，其中二次项系数是 6，一次项系数为−7， 常数项为−4， 故答案为： 6，−7，−4 【名师点睛】此题考查一元二次方程的性质，解题关键在于将方程整理为一般形 式 13．已知关于 的一元二次方程 的一根为 ，则 的值为 __________． 【答案】 【详解】把 x=0 代入方程得 m2-4=0 ∴m1=2，m2=-2， ∵一元二次方程的二次项系数不为 0， ∴m+2≠0，即 m≠-2， ∴m=2． 故答案为：2． 【名师点睛】本题考查的是一元二次方程的根，把方程的根代入方程求出字母系 数的值，对不合题意的值要舍去． (3 1)(2 3) 1x x+ − = 2 x ( ) 2 22 3 4 0m x x m+ − + − = 0 m 214．如果 是一元二次方程 的一个根,则常数 的值为______. 【答案】-10. 【详解】把 代入 可得 解得：x=-10 故答案为：-10 【名师点睛】考核知识点：一元二次方程的根.理解方程的根的意义. 15．若 是一元二次方程 的解，则代数式 的值是_______ 【答案】-3 【详解】解： 是一元二次方程 的一个根， ， ． 故答案为： ． 【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的解（根 的意义：能使一元二次方 程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的 方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的 根． 三、解答题（共 2 题） 16．关于 x 的方程 x2+mx﹣1＝0 的一个根是 x＝2，求 m 的值． 【答案】m＝﹣ ． 【详解】解：把 x＝2 代入方程 x2+mx﹣1＝0 得 4+2m﹣1＝0， 5x = 2 3 0x x n− + = n 5x = 2 3 0x x n− + = 25 3 5 0n− × + = 3x = 2 3 0x ax b+ + = +a b 3x = 2 3 0x ax b+ + = 23 3 3 0a b∴ + + = 3a b∴ + = − 3− ) 3 2解得 m＝﹣ ． 【名师点睛】本题考核一元二次方程的根的意义. 17．（2018 春 北京市期末）已知 x＝n 是关于 x 的一元二次方程 mx2﹣4x﹣5＝0 的一个根，若 mn2﹣4n+m＝6，求 m 的值． 【答案】1 【详解】依题意，得 ． ∴ ． ∵ ， ∴ ．∴ ． 【名师点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌 握运算法则是解本题的关键． 2 4 5 0mn n− − = 2 4 5mn n− = 2 4 6mn n m− + = 5 6m+ = 1m =