2020年初三数学上册期末考点练习：点和圆的位置关系

点和圆的位置关系 知识点一 点和圆的位置关系 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 点在圆的外部 푑 > 푟⇔点푃在 ⊙ 푂的外部. 点在圆上 点在圆周上 푑 = 푟⇔点푃在 ⊙ 푂的圆周上. 点在圆内 点在圆的内部 푑 < 푟⇔点푃在 ⊙ 푂的内部. 典例 1（2018·满城县期中）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=4，以 C 点为圆心，2 为半径作⊙C，则 AB 的中点 O 与⊙C 的位置关系是（　　） A.点 O 在⊙C 外 B.点 O 在⊙C 上 C.点 O 在⊙C 内 D.不能确定 【答案】B 【详解】解：连接 OC，由直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，可得： OC=1 2퐴퐵=2=r，故点 O 在⊙C 上, 故选 B. 【名师点睛】要确定点与圆的位置关系, 主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系, 本题可直角三角形 斜边上的中线为斜边的一半算出点与圆心的距离 d, 则 d>r 时, 点在圆外; 当 d=r 时, 点在圆上; 当 d 2， ∴点在圆外. 故选 A. 典例 3（2019·雨花台区期末）已知点 A 在半径为 r 的⊙O 内，点 A 与点 O 的距离为 6，则 r 的取值范围是 （ ） A．r ＜ 6 B．r ＞ 6 C．r ≥ 6 D．r ≤ 6 【答案】B 【详解】 ∵ 点퐴在半径为푟的 ⊙ 푂内， ∴ 푂퐴小于푟， 而푂퐴 = 6， ∴ 푟 > 6. 故选：퐵. 【名师点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已 知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系. 知识点二 三点定圆的方法 1） 经过点퐴的圆：以点퐴以外的任意一点푂为圆心，以푂퐴的长为半径，即可作出过点퐴的圆，这样的圆有无 数个． 2） 经过两点퐴、퐵的圆：以线段푨푩中垂线上任意一点푶作为圆心，以푂퐴的长为半径，即可作出过点퐴、퐵的 圆，这样的圆也有无数个．3）经过三点时： 情况一：过三点的圆：若这三点푨、푩、푪共线时，过三点的圆不存在； 情况二：若퐴、퐵、퐶三点不共线时，圆心是线段푨푩与푩푪的中垂线的交点，而这个交点푂是唯一存在的，这 样的圆有唯一一个． 三点定圆的画法： 1）连接线段 AB,BC。 2）分别作线段 AB,BC 的垂直平分线。两条垂直平分线交点为 O，此时 OA=OB=OC,于是点 O 为圆心，以 OA 为 半径，便可作出经过 A、B、C 的圆，这样的圆只能是一个。 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 典例 1（2017·天桥区期末）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大 小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（　　） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 【答案】B 【详解】由图可得小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第②块，故选 B. 【名师点睛】本题是确定圆的条件的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现， 难度一般.典例 2（2019·慈溪市期末）数学课上，老师让学生尺规作图画 Rt△ABC，使其斜边 AB=c，一条直角边 BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是（ ） A.勾股定理 B.直径所对的圆周角是直角 C.勾股定理的逆定理 D.90°的圆周角所对的弦是直径 【答案】B 【解析】由作图痕迹可以看出 O 为 AB 的中点，以 O 为圆心，AB 为直径作圆，然后以 B 为圆心 BC=a 为半径 花弧与圆 O 交于一点 C，故∠ACB 是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是：直径 所对的圆周角是直角． 故选：B． 【考点】作图—复杂作图；勾股定理的逆定理；圆周角定理． 知识点三 三角形的外接圆 1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做 三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 2）三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无 数个，这些三角形的外心重合. 3）外接圆圆心和三角形位置关系： 1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图 1）； 2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图 2）； 3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图 3）.典例 1（2018·滨河新区期末）边长为1的正三角形的外接圆的半径为（ ） A．1 2 B． 3 2 C． 3 3 D． 3 6 【答案】C 【详解】如图所示，连接 OB，OC，过 O 作 OD⊥BC； ∵BC=1, ∴BD=1 2, ∵△ABC 是正三角形， ∴∠BOC=360° 3 =120°， ∵OB=OC， ∴∠BOD=120° 2 =60°， ∴∠OBD=30°，OB= 퐵퐷 푐표푠30° = 1 2 3 2 = 3 3 ． 故选 C． 【名师点睛】解决本题的关键是构造与外接圆半径相关的直角三角形． 典例 2 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距 离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【答案】B 【解析】解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确； ②当三点共线的时候，不能作圆，故错误； 图3图2图1 O CB A O CB A O CB A③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故 正确； ④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确． 故选 B． 典例 3（2019·重庆市期中）如图，O 是△ABC 的外心，则∠1 + ∠2 + ∠3 = (　　) A.60∘ B.75∘ C.90∘ D.105∘ 【答案】C 【详解】如图， ∵ 푂퐴 = 푂퐵， ∴ ∠3 = ∠4， 同理，∠1 = ∠5，∠2 = ∠6， ∵ ∠3 + ∠4 + ∠1 + ∠5 + ∠2 + ∠6 = 180∘， ∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 = 90∘， 故选 C． 【名师点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外接圆的概念，三角形内角和定理是解 题的关键． 知识点四 反证法 反证法：首先假设某命题结论不成立（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），然后推理出与定 义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。 典例 1（2018·古田县期中）已知：在 △ 퐴퐵퐶中，퐴퐵 ≠ 퐴퐶，求证：∠퐵 ≠ ∠퐶.若用反证法来证明这个结论，可以假设(　　) A．∠퐴 = ∠퐵 B．퐴퐵 = 퐵퐶 C．∠퐵 = ∠퐶 D．∠퐴 = ∠퐶 【答案】C 【详解】已知：在 △ 퐴퐵퐶中，퐴퐵 ≠ 퐴퐶，求证：∠퐵 ≠ ∠퐶.若用反证法来证明这个结论，可以假设∠퐵 = ∠퐶, 由“等角对等边”可得 AB=AC,这与已知矛盾，所以∠퐵 ≠ ∠퐶. 故选：C 【名师点睛】本题考核知识点：反证法. 解题关键点：理解反证法的一般步骤. 典例 2（2019·乳山市期末）用反证法证明“a ≥ b”，对于第一步的假设，下列正确的是（ ） A.a ≤ b B.a ≠ b C.a < b D.a = b 【答案】C 【详解】解：根据题意，判定与a ≥ b相矛盾的判断是a < b，故答案为 C. 【名师点睛】此题主要考查对反证法的概念的理解，熟练掌握内涵，即可解题. 巩固训练 一、单选题（共 10 小题） 1．（2019·临清市期末）⊙O 的半径为 5cm，A 是线段 OP 的中点，当 OP=7cm 时，点 A 与⊙O 的位置关系是 （ ） A．点 A 在⊙O 内 B．点 A 在⊙O 上 C．点 A 在⊙O 外 D．不能确定 【答案】A 【详解】∵OP=7cm，A 是线段 OP 的中点， ∴OA=3.5cm，小于圆的半径 5cm， ∴点 A 在圆内． 故选 A． 【名师点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据 OP 的长和点 A 是 OP 的中点，得到 OA=3.5cm，小于圆 的半径相等，可以确定点 A 的位置． 2．（2019·合肥市期中）如图，王大伯家屋后有一块长 12m，宽 8m 的矩形空地，他在以长边 BC 为直径的半 圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在 A 处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长最长为（　　） A．5m B．4m C．3m D．2m 【答案】B 【详解】解：连接 OA，交半圆 O 于 E 点， 在 Rt△OAB 中，OB=6，AB=8， 所以 OA= 푂퐵2 + 퐴퐵2 =10； 又 OE=OB=6， 所以 AE=OA-OE=4． 因此选用的绳子应该不大于 4m， 故选：B． 【名师点睛】本题考查勾股定理的应用，确定点到半圆的最短距离是难点．熟练运用勾股定理． 3．（2018·海口市期末）设 P 为⊙O 外一点，若点 P 到⊙O 的最短距离为 3，最长距离为 7，则⊙O 的半径为 （　　） A．3 B．2 C．4 或 10 D．2 或 5 【答案】B 【详解】解：∵P 为⊙O 外一点，若点 P 到⊙O 的最短距离为 3，最长距离为 7， ∴⊙O 的直径为：7-3=4， ∴⊙O 的半径为 2， 故选：B． 【名师点睛】本题考查点和圆的位置关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．4．（2019·重庆市期中）已知 ⊙ 푂的直径为 10，点 A 在圆内，若 OA 的长为 a，则 a 应满足(　　) A．0 ≤ 푎 < 5 B．푎 < 5 C．0 ≤ 푎 < 10 D．푎 < 10 【答案】A 【详解】 ∵⊙ 푂的直径为 10， ∴ ⊙ 푂的半径长为 5， ∵点 A 在圆内， ∴ 푂퐴的长 a 的取值范围为：0 ≤ 푎 < 5， 故选 A． 【名师点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 5．（2019·连云港市期末）如图，在矩形퐴퐵퐶퐷中，퐴퐵 = 4，퐴퐷 = 3，若以퐴为圆心，4 为半径作⊙퐴.下 列四个点中，在⊙퐴外的是( ) A．点퐴 B．点퐵 C．点퐶 D．点퐷 【答案】C 【详解】解：如下图,连接 AC, ∵圆 A 的半径是 4,AB=4,AD=3, ∴由勾股定理可知对角线 AC=5, ∴D 在圆 A 内,B 在圆上,C 在圆外, 故选 C. 【名师点睛】本题考查了圆的简单性质,属于简单题,利用勾股定理求出 AC 的长是解题关键. 6．（2018·降化县期末）如图，一圆弧过方格的格点 A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点 A 的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（　　） A.（0，0） B.（﹣2，1） C.（﹣2，﹣1） D.（0，﹣1） 【答案】C 【解析】如图：分别作 AC 与 AB 的垂直平分线，相交于点 O， 则点 O 即是该圆弧所在圆的圆心． ∵点 A 的坐标为（﹣3，2）， ∴点 O 的坐标为（﹣2，﹣1）． 故选 C． 7．（2019·湖州市期中）抢凳子是小时候常玩的游戏，人围成圈将凳子放在中间，主持人开始敲鼓，此时 人围着凳子按同一方向转圈.当敲击声停止时，就要抢坐在凳子上，因为凳子数量少于玩游戏的总人数，未 抢坐到凳子上的玩家淘汰下场.现在甲、乙、丙 3 位同学准备玩抢凳子的游戏，谁先抢坐到凳子上谁获胜如 图，三人已站定，主持人要在他们中间放一个凳子，为使游戏公平，凳子应放在图中三角形的( ) A．三条高的交点 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】D 【详解】要使游戏公平，那么凳子应该到三角形三个顶点的距离相等，所以凳子应该放在图中三角形的外 心.故选 D． 【名师点睛】本题考查了三角形外心的意义，三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，三角形的外 心到三角形三个顶点的距离相等. 8．（2018·福州市期中）Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外接圆半径为（　 　） A．5 B．2.5 C．8 D．10 【答案】B 【详解】∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，∴AB = 퐴퐶2 + 퐵퐶2 = 5 cm． ∵△ABC 是直角三角形， ∴△ABC 的斜边为它的外接圆的直径， ∴它的外接圆的半径为 2.5 cm． 故选 B． 【名师点睛】本题考查了直角三角形的外接圆半径，掌握理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心， 斜边长的一半为半径的圆是解题的关键． 9．（2018·福州市期末）若正方形的边长为 a，其内切圆的半径为 r，外接圆的半径为 R，则 r∶R∶a＝… （ ） A．1:1: 2 B．1: 2:2 C．1: 2:1 D． 2:2:4 【答案】B 【详解】 作出正方形的边心距，连接正方形的一个顶点和中心可得到一直角三角形． 在中心的直角三角形的角为360° ÷ 4 ÷ 2 = 45°， ∴内切圆的半径为 푎 2， 外接圆的半径为 ， ∴푟：푅：푎 = 1： 2：2． 故选 B． 【名师点睛】本题考查的知识点是正多边形和圆，解题关键是构造直角三角形，把半径和边心距用边长表 2 2 a示出来． 10．（2018·眉山市期中）如果一个三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【详解】一个三角形三边垂直平分线的交点是这个三角形外接圆的圆心， 如果在外部，则这个三角形是钝角三角形． 故选 C. 【名师点睛】本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且 这一点到三个顶点的距离相等，解题关键是画出图形即可求解． 二、填空题（共 5 小题） 11．（2018·路北区期末）已知平面上点P到圆周上的点的最长距离为8，最短距离为4，则此圆的半径为_____． 【答案】2 或 6 【详解】①当点在圆外时， ∵圆外一点和圆周的最短距离为 4，最长距离为 8， ∴圆的直径为 8﹣4＝4， ∴该圆的半径是 2； ②当点在圆内时， ∵点到圆周的最短距离为 4，最长距离为 8， ∴圆的直径＝8+4＝12， ∴圆的半径为 6， 故答案为 2 或 6． 【名师点睛】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键． 12．（2019·惠山区期末）如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，以顶点 D 为圆心作半径为 r 的圆，若要求 另外三个顶点 A，B，C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则 r 的取值范围是__________． 【答案】3 < 푟 < 5.【解析】根据勾股定理可求得 BD=5，三个顶点 A、B、C 中至少有一个点在圆内,点 A 与点 D 的距离最近， 点 A 应该在圆内，所以 r>3，三个顶点 A、B、C 中至少有一个点在圆外，点 B 与点 D 的距离最远，点 B 应该 在圆外，所以 r