2020年初三数学上册期末考点练习：二次函数和一元二次方程

二次函数和一元二次方程 知识点一 二次函数与一元二次方程之间的联系 已知二次函数 y 的值为 m，求相应自变量 x 的值，就是求相应一元二次方程的解. 例如：已知二次函数 y=-x2+4x 的值为 3,求自变量 x 的值.就是求方程 3=-x2+4x(即 x2-4x+3=0)的解。反过来，解方程 x2-4x+3=0，就是已知二次函数 y=x2-4x+3 的值为 0,求自变 量 x 的值. 典例 1 如图是二次函数y = ax2 +bx + c的部分图象，由图象可知不等式ax2 +bx + c < 0的解 集是（ ） A． ― 1 < x < 5 B．x > 5 C．x < ― 1且x > 5 D．x＜－1 或 x＞5 【答案】D 【解析】由图象得：对称轴是 x=2，其中一个点的坐标为（5，0）， ∴图象与 x 轴的另一个交点坐标为（－1，0）。 由图象可知：ax2 +bx + c < 0的解集即是 y＜0 的解集， ∴x＜－1 或 x＞5。故选 D。 典例 2 关于 x 的方程 x2﹣2mx+4＝0 有两个不同的实根，并且有一个根小于 1，另一个根大于 3，则实数 m 的取值范围为（　　） A．m＞ B．m＜﹣ C．m＜﹣2 或 m＞2 D．m＞ 【答案】A 【详解】∵x2﹣2mx+4=0 有两个不同的实根， ∴△=4m2-16 0,解得：m 或 m -2, ∵二次函数开口向上,有一个根小于 1，另一个根大于 3，即表明当 x=1 和 x=3 是都出现在 x 轴 下方, 5 2 5 2 13 6 > 2> 0⇔抛物线与푥轴相交； ②有一个交点（顶点在푥轴上）⇔훥 = 0⇔抛物线与푥轴相切； ③没有交点⇔훥 < 0⇔抛物线与푥轴相离. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点的横坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根关系： 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 一元二次方程 ax2+bx+c=0 0< 0< 5 2 > 5 2与 x 轴的公共点的个数 (a≠0)的根的情况 b2-4ac>0 有两个 有两个不相等的实数根 b2-4ac=0 有一个 有两个相等的实数根 b2-4ac