二次函数图像和性质
知识点一 二次函数的概念
概念：一般地，形如푦 = 푎푥2 + 푏푥 + 푐（푎 ， 푏 ， 푐是常数，푎 ≠ 0）的函数，叫做二次函数。
注意：二次项系数푎 ≠ 0，而푏 ， 푐可以为零．
二次函数풚 = 풂풙ퟐ + 풃풙 + 풄的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式，x 的最高次数是 2．
⑵ 푎 ， 푏 ， 푐是常数，푎是二次项系数，푏是一次项系数，푐是常数项．
典例 1 下列函数是二次函数的是（ ）
A．y=x（x+1） B．x2y=1
C．y=2x2-2（x-1）2 D．y=x—0.5
【答案】A
【详解】A、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；
B、整理后：y= 1
푥2
，不符合二次函数形式，故本选项错误；
C、整理后，该函数的自变量的最高次数是 1，属于一次函数，故本选项错误；
D、该函数属于一次函数，故本选项错误.
故选 A．
典例 2 二次函数 y=3x﹣5x2+1 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为________．
【答案】﹣5、3、1
【详解】解：二次函数 y=3x-5x2+1 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为-5、3、1．
故答案为：-5、3、1．
典例 3 （2018 春 门头沟区）已知函数 为二次函数，求 m 的值．
【答案】m=﹣1
【分析】根据二次函数的定义，列出一个式子即可解决问题．
【详解】解：由题意：{ 푚 ― 1 ≠ 0
푚2 + 1 = 2，解得푚 = ―1，
∴ 푚 = ―1时，函数 为二次函数．
知识点 2：二次函数的图象和性质（重点）
2 1( 1) 3my m x x+= − +
2 1( 1) 3my m x x+= − +二次函数的基本表现形式：
①푦 = 푎푥2；②푦 = 푎푥2 + 푘；③푦 = 푎(푥 ― ℎ)2；④푦 = 푎(푥 ― ℎ)2 + 푘；⑤푦 = 푎푥2 + 푏푥 + 푐.
第一种：二次函数풚 = 풂풙ퟐ的性质（最基础）
第二种：二次函数풚 = 풂풙ퟐ + 풄的性质
第三种：二次函数풚 = 풂(풙 ― 풉)ퟐ的性质
第四种：二次函数풚 = 풂(풙 ― 풉)ퟐ + 풌的性质
푎的符号
开口方
向
顶点坐标
对称
轴
性质
푎 > 0 向上 (0 ， 0) 푦轴
푥 > 0时，푦随푥的增大而增大；푥 < 0时，푦随푥的增
大而减小；푥 = 0时，푦有最小值0．
푎 < 0 向下 (0 ， 0) 푦轴
푥 > 0时，푦随푥的增大而减小；푥 < 0时，푦随푥的增
大而增大；푥 = 0时，푦有最大值0．
푎的符号
开口方
向
顶点坐
标
对称
轴
性质
푎 > 0 向上 (0 ， 푐) 푦轴
푥 > 0时，푦随푥的增大而增大；푥 < 0时，푦随푥的增
大而减小；푥 = 0时，푦有最小值푐．
푎 < 0 向下 (0 ， 푐) 푦轴
푥 > 0时，푦随푥的增大而减小；푥 < 0时，푦随푥的增
大而增大；푥 = 0时，푦有最大值푐．
푎的符号
开口方
向
顶点坐标
对称
轴
性质
푎 > 0 向上 (ℎ ， 0) X=h
푥 > ℎ时，푦随푥的增大而增大；푥 < ℎ时，푦随푥的增
大而减小；푥 = ℎ时，푦有最小值0．
푎 < 0 向下 (ℎ ， 0) X=h
푥 > ℎ时，푦随푥的增大而减小；푥 < ℎ时，푦随푥的增
大而增大；푥 = ℎ时，푦有最大值0．
푎的符号 开口方 顶点坐标 对称 性质二次函数푦 = 푎푥2 + 푏푥 + 푐用配方法可化成：
푦 = 푎(푥 ― ℎ)2 + 푘的形式，其中ℎ = ― 푏
2푎，푘 = 4푎푐 ― 푏2
4푎 .
典例 1 二次函数 y＝﹣2x2﹣1 图象的顶点坐标为（ ）
A.（0，0） B.（0，﹣1） C.（﹣2，﹣1） D.（﹣2，1）
【答案】B
【详解】解：∵푦 = ―2푥2 ― 1 ,
∴其图象关于 y 轴对称，
∴其顶点在 y 轴上，
当푥 = 0时，푦 = ―1，
所以顶点坐标为（0，﹣1），
故选择：B.
典例 2 关于二次函数푦 = (푥 + 2)2的图像，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．最低点是
C．对称轴是直线푥 = 2 D．对称轴的右侧部分是上升的
【答案】D
【详解】对于二次函数푦 = (푥 + 2)2的图像，
∵a=1＞0，所以开口向上，故 A 错误；
最低点是（-2,0），故 B 错误；
对称轴是直线푥 = ― 2，故 C 错误；
对称轴的右侧部分，y 随 x 的增大而增大，∴是上升的，D 正确；
故选 D.
典例 3 抛物线푦 = ― 2(푥 ― 3)2顶点坐标是
( )2,0
向 轴
푎 > 0 向上 (ℎ ， 푘) X=h
푥 > ℎ时，푦随푥的增大而增大；푥 < ℎ时，푦随푥的增大
而减小；푥 = ℎ时，푦有最小值푘．
푎 < 0 向下 (ℎ ， 푘) X=h
푥 > ℎ时，푦随푥的增大而减小；푥 < ℎ时，푦随푥的增大
而增大；푥 = ℎ时，푦有最大值푘．A．(2, ― 3) B．(3,0)
C．( ―2, ― 3) D．( ―3,0)
【答案】B
【详解】 ∵ 푦 = ― 2(푥 ― 3)2为抛物线的顶点式，
∴ 根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为(3,0).
故选：B．
知识点三 二次函数图象的平移
平移步骤：
将抛物线解析式转化成顶点式푦 = 푎(푥 ― ℎ)2 + 푘，确定其顶点坐标(ℎ ， 푘)；
保持抛物线푦 = 푎푥2的形状不变，将其顶点平移到(ℎ ， 푘)处，具体平移方法如下：
平移规律
在原有函数的基础上“ℎ值正右移，负左移；푘值正上移，负下移”．
【概括】左加右减，上加下减
典例 1 （2019 春 沙雅县期中）函数 y=﹣2x2 先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所
得函数解析式是（ ）
A．y=﹣2（x﹣1）2+2 B．y=﹣2（x﹣1）2﹣2
C．y=﹣2（x+1）2+2 D．y=﹣2（x+1）2﹣2
【答案】B
【详解】解：函数 y=﹣2x2 先向右平移 1 个单位可得到：y=﹣2(x-1)2，再向下平移 2 个单位可
得到：y=﹣2(x-1)2-2，故答案选择 B.典例 2 在平面直角坐标系中，将抛物线 y＝﹣2x2+3 向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位
后所得抛物线的表达式为( )
A．푦 = ― 2(푥 +1)2 +2 B．푦 = ― 2(푥 +1)2 ― 2
C．푦 = ― 2(푥 ― 1)2 +2 D． 푦 = ― 2(푥 ― 1)2 ― 2
【答案】A
【详解】将抛物线 y＝﹣2x2+3 向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位后所得抛物线的表达
式为푦 = ― 2(푥 +1)2 +3 ― 1= ― 2(푥 +1)2 +2
故选 A.
知识点四 抛物线풚 = 풂풙ퟐ + 풃풙 + 풄扩展
抛物线풚 = 풂풙ퟐ + 풃풙 + 풄的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
求抛物线的顶点、对称轴的方法（难点）
公式法：푦 = 푎푥2 + 푏푥 + 푐 = 푎(푥 + 푏
2푎)2
+ 4푎푐 ― 푏2
4푎 ，
∴顶点是（ ― 푏
2푎，4푎푐 ― 푏2
4푎 ），对称轴是直线푥 = ― 푏
2푎.
配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为푦 = 푎(푥 ― ℎ)2 + 푘的形式，得到顶点为
(ℎ,푘)，对称轴是直线푥 = ℎ.
【抛物线的性质】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线
是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
典例 1 关于抛物线 ，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为 B．对称轴是直线
C．若 ，则 随 的增大而增大 D．当 时，
【答案】D
【详解】解：由抛物线 y= -2x-3=（x-1）2-4，可知，
顶点坐标为（1，-4），
对称轴为 x=1，
x＞1 时 y 随 x 增大而增大，
抛物线开口向上，
2 2 3y x x= − −
(1, 4)− 1x =
2x > y x 1 3x- < < 0y >
2x∴A、B、C 判断正确；
y=0 时， （x-1）2-4=0，解得 ，
∴抛物线与 x 轴的交点是（-1,0）和（3,0），
∵抛物线开口向上，
∴当-1 0时， ― 푏
2푎 < 0，即抛物线的对称轴在푦轴左侧（a、b 同号）；
当푏 = 0时， ― 푏
2푎 = 0，即抛物线的对称轴就是푦轴；
当푏 < 0时， ― 푏
2푎 > 0，即抛物线对称轴在푦轴的右侧（a、b 异号）．
⑵ 在푎 < 0的前提下，结论刚好与上述相反，即
当푏 > 0时， ― 푏
2푎 > 0，即抛物线的对称轴在푦轴右侧（a、b 异号）；
当푏 = 0时， ― 푏
2푎 = 0，即抛物线的对称轴就是푦轴；
当푏 < 0时， ― 푏
2푎 < 0，即抛物线对称轴在푦轴的左侧（a、b 同号）．
【总结起来】在풂确定的前提下，풃决定了抛物线对称轴的位置．
常数项풄
⑴ 当푐 > 0时，抛物线与푦轴的交点在푥轴上方，即抛物线与푦轴交点的纵坐标为正；
1 23, 1x x= = −⑵ 当푐 = 0时，抛物线与푦轴的交点为坐标原点，即抛物线与푦轴交点的纵坐标为0；
⑶ 当푐 < 0时，抛物线与푦轴的交点在푥轴下方，即抛物线与푦轴交点的纵坐标为负．
【总结起来】풄决定了抛物线与풚轴交点的位置．
总之，只要풂 ， 풃 ， 풄都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
典例 1 在同一坐标系内，一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax2+8x+b 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：x=0 时，两个函数的函数值 y=b，
所以，两个函数图象与 y 轴相交于同一点，故 B、D 选项错误；
由 A、C 选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，a＞0，则一次函数 y=ax+b 经过第一三象限，
所以，A 选项错误，C 选项正确，
典例 2 在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ax2+bx 与 y＝﹣bx+a 的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】解：A、对于直线 y=-bx+a 来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2+bx
来说，图象应开口向下，故不合题意； B、对于直线 y=-bx+a 来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线 y=ax2+bx 来说，
图象开口向上，对称轴 x=- 푏
2푎
＞0，在 y 轴的右侧，符合题意，图形正确；
C、对于直线 y=-bx+a 来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线 y=ax2+bx 来说，对
称轴 x=- 푏
2푎
＜0，应位于 y 轴的左侧，故不合题意；
D、对于直线 y=-bx+a 来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线 y=ax2+bx 来说，图
象应开口向下，故不合题意．
故选：B．
巩固训练
一、选择题（共 10 小题）
1．如图,函数푦 = 푎푥2 ― 2푥 +1和푦 = 푎푥 ― 푎(푎是常数,且푎 ≠ 0)在同一平面直角坐标系的图象可
能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分析：可先根据一次函数的图象判断 a 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，
判断正误即可．
详解：
A．由一次函数 y=ax﹣a 的图象可得：a＜0，此时二次函数 y=ax2﹣2x+1 的图象应该开口向下．故
选项错误；
B．由一次函数 y=ax﹣a 的图象可得：a＞0，此时二次函数 y=ax2﹣2x+1 的图象应该开口向上，
对称轴 x=﹣ ―2
2푎 ＞0．故选项正确；
C．由一次函数 y=ax﹣a 的图象可得：a＞0，此时二次函数 y=ax2﹣2x+1 的图象应该开口向上，对称轴 x=﹣ ―2
2푎 ＞0，和 x 轴的正半轴相交．故选项错误；
D．由一次函数 y=ax﹣a 的图象可得：a＞0，此时二次函数 y=ax2﹣2x+1 的图象应该开口向上．故
选项错误．
故选 B．
2．如图是二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）图象的一部分，与 x 轴的交点 A 在
点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是 x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞
0；④a+b≥m（am+b）（m 为实数）；⑤当﹣1＜x＜3 时，y＞0，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
【答案】A
【详解】①∵对称轴在 y 轴右侧，
∴a、b 异号，
∴ab＜0，故正确；
②∵对称轴푥 = ― 푏
2푎 = 1,
∴2a+b=0；故正确；
③∵2a+b=0，
∴b=﹣2a，
∵当 x=﹣1 时，y=a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故错误；
④根据图示知，当 m=1 时，有最大值；
当 m≠1 时，有 am2+bm+c≤a+b+c，
所以 a+b≥m（am+b）（m 为实数）．
故正确．
⑤如图，当﹣1＜x＜3 时，y 不只是大于 0．故错误．
故选：A．
【名师点睛】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握
①二次项系数 a 决定抛物线的开口方向，当 a＞0 时，抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线向
下开口；
②一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称
轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab＜0），对称轴在 y 轴右．（简称：左同右异）③常数项 c
决定抛物线与 y 轴交点，抛物线与 y 轴交于（0，c）．
3．将抛物线 y=x2 向左平移 2 个单位，再向下平移 5 个单位，平移后所得新抛物线的表达式为
（ ）
A．y=（x+2）2﹣5 B．y=（x+2）2+5
C．y=（x﹣2）2﹣5 D．y=（x﹣2）2+5
【答案】A
【详解】抛物线 y=x2 的顶点坐标为（0，0），
先向左平移 2 个单位再向下平移 5 个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），
所以，平移后的抛物线的解析式为 y=（x+2）2﹣5．
故选：A．
【名师点睛】
本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键．
4．若二次函数푦 = 푎푥2 + 푏푥 + 푎2 ― 2（푎，푏为常数）的图象如图，则푎的值为（ ）
A．1 B． 2 C． ― 2 D．-2
【答案】C
【详解】由图可知，函数图象开口向下，
∴a＜0，
又∵函数图象经过坐标原点（0，0），∴a2-2=0，
解得 a1= 2（舍去），a2=- 2，
故选 C．
【名师点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，观察图象判断出 a 是负数且经过坐标原点是解题的
关键．
5．关于二次函数푦 = 2푥2 +4푥 ― 1，下列说法正确的是（ ）
A．图像与푦轴的交点坐标为(0,1) B．图像的对称轴在푦轴的右侧
C．当푥 < 0时，푦的值随푥值的增大而减小 D．푦的最小值为-3
【答案】D
【解析】详解：∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，
∴当 x=0 时，y=-1，故选项 A 错误，
该函数的对称轴是直线 x=-1，故选项 B 错误，
当 x＜-1 时，y 随 x 的增大而减小，故选项 C 错误，
当 x=-1 时，y 取得最小值，此时 y=-3，故选项 D 正确，
故选 D．
6．函数 y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值 y＜0 成立的 x 的取值范围是
（ ）
A．x＜﹣4 或 x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0 或 x＞2 D．0＜x＜2
【答案】A
【详解】抛物线 y=ax2+2ax+m 的对称轴为直线 x=-2푎
2푎=-1，
而抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（-4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当 x＜-4 或 x＞2 时，y＜0．
故选 A．
【名师点睛】
本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
7．如图，已知二次函数푦 = ax2 + bx + 푐(푎 ≠ 0)的图象如图所示，有下列 5 个结论 ①abc
> 0；②푏 ― 푎 > 푐；③4푎 +2푏 + 푐 > 0；④3푎 > ― 푐；⑤푎 + 푏 > 푚(am + 푏)(푚 ≠ 1的实数).其
中正确结论的有
A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤
【答案】B
【详解】① ∵ 对称轴在 y 轴的右侧，
∴ ab < 0，
由图象可知：푐 > 0，
∴ abc < 0，故①不正确；
②当푥 = ― 1时，푦 = 푎 ― 푏 + 푐 < 0，
∴ 푏 ― 푎 > 푐，故②正确；
③由对称知，当푥 = 2时，函数值大于 0，即푦 = 4푎 +2푏 + 푐 > 0，故③正确；
④ ∵ 푥 = ― 푏
2푎 = 1，
∴ 푏 = ― 2푎，
∵ 푎 ― 푏 + 푐 < 0，
∴ 푎 +2푎 + 푐 < 0，
3푎 < ― 푐，故④不正确；
⑤当푥 = 1时，y 的值最大.此时，푦 = 푎 + 푏 + 푐，
而当푥 = 푚时，푦 = am2 + bm + 푐，
所以푎 + 푏 + 푐 > am2 + bm + 푐(푚 ≠ 1)，
故푎 + 푏 > am2 + bm，即푎 + 푏 > 푚(am + 푏)，故⑤正确，
故②③⑤正确，
故选 B．
( )【名师点睛】
本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数푦 = ax2 + bx + 푐系数符号由抛物线开口
方向、对称轴和抛物线与 y 轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性
质是关键．
8．抛物线 y=（x﹣2）2﹣1 可以由抛物线 y=x2 平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移 2 个单位长度，然后向上平移 1 个单位长度
B．先向左平移 2 个单位长度，然后向下平移 1 个单位长度
C．先向右平移 2 个单位长度，然后向上平移 1 个单位长度
D．先向右平移 2 个单位长度，然后向下平移 1 个单位长度
【答案】D
【解析】分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．
详解：抛物线 y=x2 顶点为（0，0），抛物线 y=（x﹣2）2﹣1 的顶点为（2，﹣1），则抛物线 y=x2
向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位得到抛物线 y=（x﹣2）2﹣1 的图象．
故选：D．
9．下列对二次函数 y=x2﹣x 的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是 y 轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的
【答案】C
【详解】A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项 A 不正确；
B、∵﹣ 푏
2푎 = 1
2，∴抛物线的对称轴为直线 x=1
2，选项 B 不正确；
C、当 x=0 时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项 C 正确；
D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线 x=1
2，
∴当 x＞1
2时，y 随 x 值的增大而增大，选项 D 不正确，
故选 C．
【名师点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴直线 x=- 푏
2푎，
当 a＞0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当 a＜0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）
的开口向下，c=0 时抛物线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关键.
10．当 ab＞0 时，y＝ax2 与 y＝ax+b 的图象大致是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵ab＞0，∴a、b 同号．当 a＞0，b＞0 时，抛物线开口向上，顶点在原点，一次函
数过一、二、三象限，没有图象符合要求；
当 a＜0，b＜0 时，抛物线开口向下，顶点在原点，一次函数过二、三、四象限，B 图象符合
要求．
故选 B．
二、填空题（共 5 小题）
11．抛物线 y=﹣x2+bx+c 的部分图象如图所示，若 y＞0，则 x 的取值范围是_____．
【答案】－3＜x＜1
【解析】试题分析：根据抛物线的对称轴为 x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为
（﹣3，0），结合图象求出 y＞0 时，x 的范围．
解：根据抛物线的图象可知：
抛物线的对称轴为 x=﹣1，已知一个交点为（1，0），
根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），
所以 y＞0 时，x 的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
12．已知关于 x 的二次函数푦 = (푥 ― ℎ)2 +3，当 1≤x≤3 时，函数有最小值 2h，则 h 的值为
___________．
【答案】3
2
或 6
【详解】∵푦 = (푥 ― ℎ)2 +3中 a=1>0，
∴当 xh 时，y 随 x 的增大而增大；①若 1≤h≤3，
则当 x=h 时，函数取得最小值 3，
即 2h=3，
解得：h=3
2
；
②若 h3，则在 1≤x≤3 范围内，x=3 时，函数取得最小值 2h，
即(3 ― ℎ)2 +3 = 2ℎ，
解得：h=6,h=2(舍去)；
故答案为: 3
2
或 6.
【名师点睛】
本题考查二次函数的图像和性质，因为对称轴的位置不确定，所以分类讨论.
13．如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴相交于点 A，B(m＋2，0)，与 y 轴相交于点 C，点 D
在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点 A 的坐标是________．
【答案】(－2，0)
【解析】由 C(0,c),D(m,c),得函数图象的对称轴是푥 = 푚
2 ，
设 A 点坐标为(x,0),由 A. B 关于对称轴푥 = 푚
2对称得푥 + 푚 + 2
2 = 푚
2 ，
解得 x=−2，
即 A 点坐标为(−2,0)，
故答案为：(−2,0).
14．点 A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线 y=2x2﹣4x+c 上，则 y1，y2，y3 的大小
关系是_____．【答案】y2＜y3＜y1
【详解】∵y=2x2-4x+c，
∴当 x=-3 时，y1=2×（-3）2-4×（-3）+c=30+c，
当 x=2 时，y2=2×22-4×2+c=c，
当 x=3 时，y3=2×32-4×3+c=6+c，
∵c＜6+c＜30+c，
∴y2＜y3＜y1，
故答案为：y2＜y3＜y1．
【名师点睛】
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题
的关键．
15．已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列 6 个结论：
①abc＜0；
②b＜a﹣c；
③4a+2b+c＞0；
④2c＜3b；
⑤a+b＜m（am+b），（m≠1 的实数）
⑥2a+b+c＞0，其中正确的结论的有_____．
【答案】①③④⑥
【详解】解：①∵该抛物线开口方向向下，∴a0；
∵抛物线与 y 轴交于正半轴，∴c>0，
∴abca−c，
故②错误；
③根据抛物线的对称性知，当 x=2 时，y>0，即 4a+2b+c>0；故③正确；
④∵对称轴方程 x=− 푏
2푎
=1，∴b=−2a，∴a=−1
2
b，
∵当 x=−1 时，y=a−b+c0，
∴2a+b+c>0，
故⑥正确.
综上所述，其中正确的结论的有：①③④⑥.
故答案为：①③④⑥.
【名师点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系.
三、解答题（共 2 小题）
16．已知二次函数 y=ax2＋bx 的图象经过点(2，0)和(－1，6).
（1）求二次函数的解析式；
（2）求它的对称轴和顶点坐标.
【答案】（1）푦 = 2푥2 ― 4푥（2）对称轴为 x＝1，顶点坐标为（1，－2）.
【详解】（1）∵二次函数 y=ax2＋bx 的图象经过点(2，0)和(－1，6)，得：{4푎 + 2푏 = 0
푎 ― 푏 = 6 ，
解得：{ 푎 = 2
푏 = ―4.
∴二次函数的解析式为：푦 = 2푥2 ― 4푥．
（2）原函数可化为：y=2(x﹣1)2﹣2，
则对称轴为直线 x＝1，顶点坐标为（1，－2）.
17．已知푦 = (푘 + 2)푥푘2+푘―4 是二次函数，且函数图象有最高点．
（1）求 k 的值；
（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减少．
【答案】（1）k=﹣3；（2）当 k=﹣3 时，y=﹣x2 顶点坐标（0，0），对称轴为 y 轴，当 x＞0 时，
y 随 x 的增大而减少．
【解析】解：（1）∵푦 = (푘 + 2)푥푘2+푘―4是二次函数，∴k2+k﹣4=2 且 k+2≠0，解得 k=﹣3 或
k=2．∵函数有最高点，∴抛物线的开口向下，∴k+2＜0，解得 k＜﹣2，∴k=﹣3；
（2）当 k=﹣3 时，二次函数为 y=﹣x2，顶点坐标为（0，0），对称轴为 y 轴，当 x＞0 时，y
随 x 的增大而减少．
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