2020年初三数学上册期末考点练习：解一元二次方程

解一元二次方程 方法一：配方法（最基础的解法） 配方的过程需注意：若方程二次项系数为 1 时，“方程两边加一次项系数一半的平方” 用配方法解一元二次方程 的一般步骤  移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；  二次项系数化为 1：方程两边都除以二次项系数；  配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 的形式； 【注意】1）当 时，方程无解 2）若方程二次项系数为 1 时，“方程两边加一次项系数一半的平方”  求解：判断右边等式符号，开平方并求解。 典例 1 下列用配方法解方程 的步骤中，开始出现错误的步骤是（ ） ，① ，② ，③ ．④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【详解】步骤③，配方时，方程的左、右两边应同时加上一次项系数一半的平方，即方程的左、 右两边应同时加上 ． 故选 C． 典例 2 用配方法解下列方程，其中应在方程的左、右两边同时加上 1 的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A. ∵ ， ∴ ， ∴ ，故不符合题意； 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ 2( ) ( 0)x m n n+ = ≥ 0n < 22 6 0x x− − = 22 6x x− = 2 1 32x x− = 2 1 1 132 4 4x x− + = + 21 13( )2 4x − = 1 16 22 2 5x x+ = 24 4 5x x+ = 2 4 5x x+ = 22 5x x− = 22 2 5x x+ = 2 5 2x x+ = 2 1 11 4 4x x+ + =B. ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故符合题意； C. ∵ ， ∴ ，故不符合题意； D. ∵ ， ∴ ， ∴ ，故不符合题意. 故选 B. 典例 3 用配方法解方程 ，将其化为 的形式，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， 移项得 ， 配方得 ， 即 ． 故选 D． 方法二：直接开平方法（最基础的解法） 概念：形如 的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得 或者 ，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。 【注意】 1)若 b ≥ 0，方程有两个实数根。 （若 b > 0，方程有两个不相等的实数根；若 b = 0，方程有两个相等的实数根） 2)若 b ⇔ 2 4 2 b b acx a − ± −= 2 4 0b ac− ≥ ⇔ ( )f x x 方程有两个相等的实根 的图像与 轴有一个交点  方程无实根 的图像与 轴没有交点 用公式法解一元二次方程 的一般步骤：  把方程化为一般形式，确定 a、b、c 的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);  求出 b2-4ac 的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;  如果 b2-4ac≥0, 将 a、b、c 的值代入求根公式：  最后求出 x1，x2 典例 1 若关于 x 的方程 x2+4x+a＝0 有两个相等的实数根，则 a 的值为( ) A．﹣4 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】∵关于 x 的方程 x2+4x+a＝0 有两个相等的实数根， ∴△＝42﹣4×1×a＝0， 解得：a＝4， 故选：C． 典例 2 下列方程中，没有实数根的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当 a=2，b=-5，c=2 时，△=b2-4ac=25-16=9＞0，方程有两个不相等的实数根，故选 项 A 不合题意； 当 a=1，b=3，c=4 时，△=b2-4ac=9-16=-7＜0，方程没有实数根，故选项 B 符合题意； 当 a=1，b=-2，c=1 时，△=b2-4ac=4-4=＞0，方程有两个相等的实数根，故选项 C 不合题意； 当 a=1，b=-2，c=-2 时，△=b2-4ac=4+8=12>0，方程有两个不相等的实数根，故选项 D 不合题 意； 故选 B. 典例 3 若关于 x 的一元二次方程 kx2﹣x+1＝0 有实数根，则 k 的取值范围是（　　） 0∆= ⇔ ⇔ ( )f x x 0∆< ⇔ ⇔ ( )f x x 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ 2 4 2 b b acx a − ± −= 22 5 2 0x x− + = 2 3 +4 0x x− = 2 2 1 0x x− + = 2 2 2 0x x− − =A．k＞ 且 k≠0 B．k＜ 且 k≠0 C．k≤ 且 k≠0 D．k＜ 【答案】D 【详解】∵关于 x 的一元二次方程 kx2-x+1=0 有实数根， ∴k≠0 且△=（-1）2-4k≥0， 解得： 且 k≠0． 故选 C． 典例 4 一元二次方程 根的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个正实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个负实数根 【答案】C 【详解】解：∵在方程 x2+2x-1=0 中，△=22-4×1×（-1）=8＞0， ∴方程 x2+2x-1=0 有两个不相等的实数根． 故选：C． 方法四：因式分解法（仔细观察方程，灵活使用） 用因式分解一元二次方程 的一般步骤：  将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为 0；  将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；  令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；  求解 归纳：右化零，左分解，两因式，各求解 典例 1 （2018 春 太原市期末）一元二次方程 的根为（　　） A．0 B．3 C．0 或﹣3 D．0 或 3 【答案】C 【详解】方程 x(x+3)=0， 可得 x=0 或 x+3=0， 解得：x =0,x =−3. 故选 C. 典例 2 方程 的根是（ ） 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4k ≤ 2 2 1 0x x+ − = 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ ( 3) 0x x + = 1 2 2 ( 3) 5( 3)x x x− = −A． B． C． 或 D．以上答案都不正确 【答案】C 【详解】移项得： 解:移项得: , , 解得 或 , ， 故选 C. 典例 3 已知 是一元二次方程 的一个根，则 m 的值是（ ） A． 或 B． C． 或 1 D． 【答案】B 【详解】解：把 x=1 代入方程（m 2 -1）x 2 -mx+m 2 =0 得：（m 2 -1）-m+m 2 =0， 即 2m 2 -m-1=0， （2m+1）（m-1）=0， 解得：m=- 或 1， 当 m=1 时，原方程不是二次方程，所以舍去． 故选 B． 方法五：韦达定理（根与系数关系） 我们将一元二次方程化成一般式 ax2+bx+c＝0（a ≠ 0，Δ ≥ ퟎ）之后，设它的两个根是 和 ， 则 和 与方程的系数 a，b，c 之间有如下关系： + ＝ ； ＝ 典例 1 关于 x 的一元二次方程 的两根为 x1，x2，则 的值为（ ） A．-5 B．-1 C．1 D．5 【答案】D 【详解】∵一元二次方程 的两根为 x1，x2， ∴ ， 2.5x = 3x = 2.5x = 3x = 2 ( 3) 5( 3) 0x x x− − − = ( 3)(2 5) 0x x∴ − − = 3 0x − = 2 5 0x − = 1 3x∴ = 2 2.5x = 1 2 1− 1 2 − 1 2 1 2 1 2 1x 2x 1x 2x 1x 2x b a − 1x • 2x c a 2 3 2 0x x− − = 1 2 1 2x x x x+ −  2 3 2 0x x− − = 1 2 -3=- =- =31 bx x a + 1 2 -2= = =-21 cx x a∴ =3-（-2）=5， 故选：D. 典例 2 若푥1 + 푥2 = 3，푥21 + 푥22 = 5，则以푥1，푥2为根的一元二次方程是（　　） A．푥2 ― 3푥 +2 = 0 B．푥2 +3푥 ― 2 = 0 C．푥2 +3푥 +2 = 0 D．푥2 ― 3푥 ― 2 = 0 【答案】A 【详解】∵푥21 + 푥22 = 5， ∴(푥1 + 푥2)2 ― 2푥1푥2 = 5， 而푥1 + 푥2 = 3， ∴9 ― 2푥1푥2 = 5， ∴푥1푥2 = 2， ∴以푥1，푥2为根的一元二次方程为푥2 ― 3푥 +2 = 0． 故选：A． 典例 3 若 是方程 的两个实数根，则 ( ) A．2018 B．2017 C．2016 D．2015 【答案】B 【详解】∵ 是方程 的根， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵ 是方程 的两个实数根， ∴ ， ∴ 故选 B. 1 2 1 2x x x x+ −  a b， 2 2018 0x x =＋ － 2 2a a b+ + = a 2 2018 0x x =＋ － 2 2018 0a a − =＋ 2 2018a a= − ＋ 2 2 2018 2 2018a a b a a b a b+ + = − + + + = + + a b， 2 2018 0x x＋ － ＝ 1a b+ = − 2 2 2018 1 2017.a a b+ = − =＋巩固训练 一、单选题（共 10 小题） 1．若 α、β 为方程 2x2-5x-1=0 的两个实数根，则2훼2 +3훼훽 +5훽的值为（ ） A．-13 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，可知 2α2﹣5α﹣1=0，α+β=-푏 푎 = 5 2，α·β= 푐 푎 = ― 1 2，因此可得 2α2=5α+1，代入 2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β） +3αβ+1=5×5 2+3×（-1 2）+1=12. 故选：B. 【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是利用一元二次方程的一 般式，得到根与系数的关系 x1+x2=-푏 푎，x1·x2=푐 푎，然后变形代入即可. 2．关于 x 的一元二次方程 有实数根，则 a 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】试题分析：根据一元二次方程的意义，可知 a≠0，然后根据一元二次方程根的判别 式，可由有实数根得△=b2-4ac=1-4a≥0，解得 a≤ ，因此可知 a 的取值范围为 a≤ 且 a≠0. 【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是根据一元二次方程根的个 数判断△=b2-4ac 的值即可. 注意：当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当△=0 时，方程有两个相等的十数根； 当△＜0 时，方程没有实数根. 3．已知 α，β 是一元二次方程 x2+x﹣2=0 的两个实数根，则 α+β﹣αβ 的值是（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 2ax x 1 0− + = 1a a 04 ≤ ≠且 1a 4 ≤ 1a a 04 ≥ ≠－ 且 1a 4 ≥－ 1 4 1 4【答案】B 【详解】∵α，β 是方程 x2+x﹣2=0 的两个实数根， ∴α+β=﹣1，αβ=﹣2， ∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1， 故选 B ． 【名师点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣푏 푎、两根之积等 于푐 푎是解题的关键． 4．已知实数 满足 ，则代数式 的值是( ) A．7 B．-1 C．7 或-1 D．-5 或 3 【答案】A 【详解】∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12＝0， ∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)＝0， ∴x2﹣x+2＝0 或 x2﹣x﹣6＝0， ∴x2﹣x＝﹣2 或 x2﹣x＝6； 当 x2﹣x＝﹣2 时，x2﹣x+2＝0， ∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴此方程无实数解； 当 x2﹣x＝6 时，x2﹣x+1＝7， 故选 A． 【名师点睛】 本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解本题的关键是把 x2-x 看成一个整体． 5．关于 x 的一元二次方程 x2+8x+q=0 有两个不相等的实数根，则 q 的取值范围是( ) A．q16 C．q≤4 D．q≥4 【答案】A 【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2+8x+q=0 有两个不相等的实数根， ∴△>0，即 82-4q>0， ∴q