2020年初三数学上册期末考点练习：旋转

旋转 知识点一 旋转的基础 旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点 转动一个角度，叫作 图形的旋转.点 叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.如图形上的点 经过旋转变化点 ，那么这两个点叫作这个旋转的对应点. 如图所示， 是 绕定点 逆时针旋转 得到的，其中点 与 点 叫作对应点，线段 与线段 叫作对应线段， 与 叫作对 应角，点 叫作旋转中心， （或 ）的度数叫作旋转的角度. 【注意】图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定. 典例 1 如图，把△AOB 绕点 O 顺时针旋转得到△COD，则旋转角是（ ） A．∠AOC B．∠AOD C．∠AOB D．∠BOC 【答案】A 【详解】把△AOB 绕点 O 顺时针旋转得到△COD，旋转角是∠AOC 或∠ BOD． 故选 A． O O P P′ A OB′ ′∆ AOB∆ O 45° A A′ OB OB′ OAB∠ OA B′∠ O AOA′∠ BOB′∠ B' A' 45° A BO典例 2 如图,将△ABC 绕着点 C 顺时针旋转 50°后得到△A'B'C'.若∠ A=40°，∠B'=110°，∠BCA'的度数是（　　） A.110° B.80° C.40° D.30° 【答案】B 【详解】根据旋转的性质可得：∠A′=∠A,∠A′CB′=∠ACB， ∵∠A=40°， ∴∠A′=40°， ∵∠B′=110°， ∴∠A′CB′=180°−110°−40°=30°， ∴∠ACB=30°， ∵将△ABC 绕着点 C 顺时针旋转 50°后得到△A′B′C′， ∴∠ACA′=50°， ∴∠BCA′=30°+50°=80°， 故答案是 B. 知识点二 旋转的三要素 【旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角. 典例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点 C 按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，此时点 A'恰好在 AB 边上，则 点 B'与点 B 之间的距离为（　　） A．12 B．6 C．6 D． 【答案】D 【详解】连接 B'B， ∵将△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到△A'B'C， ∴AC=A'C，AB=A'B，∠A=∠CA'B'=60°， ∴△AA'C 是等边三角形， ∴∠AA'C=60°， ∴∠B'A'B=180°-60°-60°=60°， ∵将△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到△A'B'C， ∴∠ACA'=∠BAB'=60°，BC=B'C，∠CB'A'=∠CBA=90°-60°=30°， ∴△BCB'是等边三角形， ∴∠CB'B=60°， ∵∠CB'A'=30°， ∴∠A'B'B=30°， 2 6 3∴∠B'BA'=180°-60°-30°=90°， ∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6， ∴AB=12， ∴A'B=AB-AA'=AB-AC=6， ∴B'B=6 ， 故选 D． 典例 2 如图所示，将一个含 30°角的直角三角板 ABC 绕点 A 旋转，使 得点 B，A，C′在同一直线上，则三角板 ABC 旋转的度数是（ 　） A．60° B．90° C．120° D．150° 【答案】D 【解析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．旋 转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°． 故选：D． 典例 3 如图，将푅푡 △ 퐴퐵퐶绕直角顶点퐶顺时针旋转90°，得到 △ 퐴′퐵′퐶， 连接퐴퐴′若∠1＝20°，则∠퐵的度数是( ) A．70° B．65° C．60° D．55° 3【答案】B 【解析】根据旋转图形可以得到△ACA′为等腰直角三角形，根据∠1 的度数可以求出∠CA′B′=25°，从而得到∠CAB=25°，所以∠B=90° －25°=65° 知识点三：旋转作图 旋转的特征：  对应点到旋转中心的距离相等；  对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；  旋转前、后的图形全等. 旋转作图的步骤：  确定旋转中心、旋转方向、旋转角；  找出图形上的关键点；  连接图形上的关键点与旋转中心，然后按旋转方向分别将它们旋转 一定的角度，得到关键点的对应点；  按原图的顺序连接这些对应点，即得旋转后的图形. 典例 1 （2019 春 厦门市期末）如图，在方格纸中每个小正方形的边 长均为 个单位， 的三个顶点都在小方格的顶点上。1 ABC∆（1）在图中作出将 向下平移 个单位后的图形 ： （2）在图中作出 以 为旋转中心，沿顺时针方向旋转 后的图形 . 【答案】见解析. 【详解】解：（1）如图的 即为所求；（2）如图的 即为所 求. ABC∆ 3 1 1 1A B C∆ ABC∆ C 90° 2 2A B C∆ 1 1 1A B C∆ 2 2A B C∆巩固训练 一、单选题（共 10 小题） 1．如图，在 △ 퐴퐵퐶中，∠퐶퐴퐵 = 65∘，将 △ 퐴퐵퐶在平面内绕点 A 旋转到 △ 퐴퐵′퐶′的位置，使퐶퐶′//퐴퐵，则旋转角的度数为(　　) A．35∘ B．40∘ C．50∘ D．65∘ 【答案】C 【解析】详解：∵CC′∥AB， ∴∠ACC′=∠CAB=65°， ∵△ABC 绕点 A 旋转得到△AB′C′， ∴AC=AC′， ∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×65°=50°， ∴∠CAC′=∠BAB′=50° 故选 C. 2．如图，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 60°得到△ADE，点 C 的对应点 E 恰好落在 BA 的延长线上，DE 与 BC 交于点 F，连接 BD．下列结论不一 定正确的是（　　）A.AD=BD B.AC∥BD C.DF=EF D.∠CBD=∠E 【答案】C 【详解】由旋转知∠BAD=∠CAE=60°、AB=AD，△ABC≌△ADE， ∴∠C=∠E，△ABD 是等边三角形，∠CAD=60°， ∴∠D=∠CAD=60°、AD=BD， ∴AC∥BD， ∴∠CBD=∠C， ∴∠CBD=∠E， 则 A、B、D 均正确， 故选 C． 【名师点睛】 本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质、等边 三角形的判定与性质及平行线的判定与性质． 3．如图，在△ABC 中，∠CAB=65°，将△ABC 在平面内绕点 A 旋转到 △AB′C′的位置，使 CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．65°【答案】C 【解析】试题解析：∵CC′∥AB， ∴∠ACC′=∠CAB=65°， ∵△ABC 绕点 A 旋转得到△AB′C′， ∴AC=AC′， ∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×75°=30°， ∴∠CAC′=∠BAB′=30° 故选 A． 4．如图，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△EDC．若点 A，D，E 在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC 的度数是(　　) A．55° B．60° C．65° D．70° 【答案】C 【详解】∵将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△EDC． ∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE， ∴∠ACD=90°-20°=70°， ∵点 A，D，E 在同一条直线上， ∴∠ADC+∠EDC=180°， ∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°， ∴∠ADC=∠E+20°，∵∠ACE=90°，AC=CE ∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45° 在△ADC 中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°， 即 45°+70°+∠ADC=180°， 解得：∠ADC=65°， 故选 C． 【名师点睛】 此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答． 5．如图，已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，E 为 AB 的中点，将△ADE 绕点 D 沿逆时针方向旋转后得到△DCF，连接 EF，则 EF 的长为（　　） A．2 3 B．2 5 C．2 6 D．2 10 【答案】D 【详解】∵E 为 AB 的中点，AB=4，∴AE=2， ∴DE= 퐴퐸2 + 퐴퐷2=2 5． ∵四边形 ABCD 为正方形，∴∠A=∠ADC=90°，∴∠ADE+∠ EDC=90°． ∵△ADE 绕点 D 沿逆时针方向旋转后得到△DCF，∴∠ADE=∠CDF， DE=DF，∴∠CDF+∠EDC=90°，∴△DEF 为等腰直角三角形，∴EF= 2DE=2 10．故选 D． 【名师点睛】 本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质一勾股定理的应用，熟练 掌握相关知识是解题的关键． 6．如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置， 旋转角为 α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( ) A．68° B．20° C．28° D．22° 【答案】D 【解析】试题解析：∵四边形 ABCD 为矩形， ∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°， ∵矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为 α， ∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°， ∵∠2=∠1=112°， 而∠ABD=∠D′=90°， ∴∠3=180°-∠2=68°，∴∠BAB′=90°-68°=22°， 即∠α=22°． 故选 D． 7．如图，正方形 OABC 绕着点 O 逆时针旋转 40°得到正方形 ODEF，连 接 AF，则∠OFA 的度数是（ ）. A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】C 【解析】试题分析：先根据正方形的性质和旋转的性质得到∠ AOF=90°+40°=130°，OA=OF，再根据等腰三角形的性质即可求得∠ OFA=÷2=25°． 故选：C． 8．正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是 （　　） A．36° B．54° C．72° D．108° 【答案】C 【解析】正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角 度数是360 5 =72 度， 故选 C． 9．如图，将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 100°，得到△AB1C1，若点 B1 在线段 BC 的延长线上，则∠BB1C1 的大小为（　　） A．70° B．80° C．84° D．86° 【答案】B 【解析】由旋转的性质可知：∠B=∠AB1C1，AB=AB1，∠BAB1=100°， ∵AB=AB1，∠BAB1=100°， ∴∠B=∠BB1A=40°， ∴∠AB1C1=40°， ∴∠BB1C1=∠BB1A+∠AB1C1=40°+40°=80°， 故选 B． 【名师点睛】本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到△ABB1 为等腰三角形是解题的关键． 10．（2018 春 衡水市期末）将 △ AOB绕点푂旋转180∘得到 △ DOE，则下 列作图正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解：观察选项中的图形，只有D选项为△ABO绕O点旋转了180°. 【名师点睛】 本题考察了旋转的定义.二、填空题（共 5 小题） 11．如图，在矩形 ABCD 中，AD=3，将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转， 得到矩形 AEFG，点 B 的对应点 E 落在 CD 上，且 DE=EF，则 AB 的长为 _____． 【答案】3 2 【详解】∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠D=90°，BC=AD=3， ∵将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到矩形 AEFG， ∴EF=BC=3，AE=AB， ∵DE=EF， ∴AD=DE=3， ∴AE= 퐴퐷2 + 퐷퐸2=3 2， ∴AB=3 2， 故答案为：3 2. 【名师点睛】本题考查矩形的性质和旋转的性质，熟知旋转前后哪些 线段是相等的是解题的关键. 12．如图，将푅푡 △ 퐴퐵퐶绕直角顶点 C 顺时针旋转90∘，得到 △ 퐷퐸퐶，连 接 AD，若∠퐵퐴퐶 = 25∘，则∠퐵퐴퐷 = ______．【答案】70∘ 【详解】∵Rt△ABC 绕其直角顶点 C 按顺时针方向旋转 90°后得到 Rt△DEC， ∴AC=CD， ∴△ACD 是等腰直角三角形， ∴∠CAD=45°， 则∠BAD=∠BAC+∠CAD=25°+45°=70°， 故答案为：70°∘． 【名师点睛】 本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相 关性质并准确识图是解题的关键. 13．如图，将 Rt△ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90°，得到 △A′B′C，连接 BB'，若∠A′B′B=20°，则∠A 的度数是_____． 【答案】65° 【详解】∵Rt△ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90°得到△A′B′C， ∴BC=B′C，∴△BCB′是等腰直角三角形， ∴∠CBB′=45°， ∴∠B′A′C=∠A′B′B+∠CBB′=20°+45°=65°， 由旋转的性质得∠A=∠B′A′C=65°， 故答案为：65°． 【名师点睛】 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一 个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识 图是解题的关键． 14．如图，△ABC 中，AB=6，DE∥AC，将△BDE 绕点 B 顺时针旋转得到 △BD′E′，点 D 的对应点 D′落在边 BC 上．已知 BE′=5，D′C=4， 则 BC 的长为______． 【答案】2 + 34． 【 解 析 】 解 ： 由 旋 转 可 得 ， BE=BE'=5 ， BD=BD' ， ∵ D'C=4 ， ∴ BD'=BC﹣4，即 BD=BC﹣4，∵DE∥AC，∴ 퐵퐷 퐵퐴 = 퐵퐸 퐵퐶，即퐵퐶 ― 4 6 = 5 퐵퐶，解得 BC=2 + 34（负值已舍去），即 BC 的长为2 + 34．故答案为： 2 + 34．15．如图，将△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45°后得到△COD，若∠ AOB=15°，则∠AOD=_____度． 【答案】30° 【详解】∵将△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45°后，得到△COD， ∴∠BOD=45°， 又∵∠AOB=15°， ∴∠AOD=∠BOD－∠AOB=45°－15°=30°. 故答案为：30°. 三、解答题（共 2 小题） 16．如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4 5，CD=8． （1）求∠ADC 的度数； （2）求四边形 ABCD 的面积． 【答案】(1) 150°；(2)4 3 +16 【解析】试题解析：（1）连接 BD， ∵AB=AD，∠A=60°，∴△ABD 是等边三角形，∴∠ADB=60°，DB=4，∵42+82=（4）2，∴DB2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴∠ ADC=60°+90°=150°； （2）过 B 作 BE⊥AD，∵∠A=60°，AB=4，∴BE=AB•sin60°=4× 3 2 =2 3， ∴四边形 ABCD 的面积为：1 2AD•EB+1 2DB•CD=1 2×4×2 3+1 2×4×8=4 3 +16． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是 A （1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC 向下平移 5 个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°后得到△A2B2C2，请画出 △A2B2C2； （3）判断以 O，A1，B 为顶点的三角形的形状．（无须说明理由） 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）三角形的形状为 等腰直角三角形．【详解】（1）如图所示，△A1B1C1 即为所求； （2）如图所示，△A2B2C2 即为所求； （3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1= 42 + 12 = 17，A1B= 52 + 32= 34， 即 OB2+OA12=A1B2， 所以三角形的形状为等腰直角三角形． 【名师点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对 应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的 角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出 旋转后的图形．