2020年初三数学上册期末考点练习：一元二次方程的应用

一元二次方程的应用 知识点一 一元二次方程的解题步骤 列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：  “审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；  “设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；  “列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数 的等式，即方程。  “解”就是求出说列方程的解；  “答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。 注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。 知识点二 传播问题 【解题关键】明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数 典例 1 一次会议上，每两个参加会议的人互相握了一次手，有人统计一共握了 45 次手，如果这次会议到会的人数为 x 人，根据题意可列方程为（ ） A．x（x+1）=45 B．x（x-1）=45 C．2x（x+1）=45 D． 【答案】D 【详解】设这次会议到会的人数为 x 人，则每人将与（x-1）人握手，依题意， 得： x（x-1）=45， 即 x（x-1）=45×2． 故选：D． ( )1 45 2x x − = × 1 2典例 2 在元且庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡 90 张，则参加 活动的有（　　）人． A．9 B．10 C．12 D．15 【答案】B 【详解】解：设参加此次活动的人数有 x 人， 由题意得：x（x﹣1）＝90， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）． 即参加此次活动的人数是 10 人． 故选：B． 典例 3 某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后 第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学， 这样全班共有 36 人会做这个实验；若设 1 人每次都能教会 x 名同学，则可列方 程为( ) A．x+(x+1)x＝36 B．1+x+(1+x)x＝36 C．1+x+x2＝36 D．x+(x+1)2＝36 【答案】B 【详解】设 1 人每次都能教会 x 名同学， 根据题意得：1+x+(x+1)x＝36． 故选：B． 知识点三 增长率问题 【解题关键】用含未知数的数据将题干中每年情况的数据表示出来，列出等量关系。 典例 1 某公司今年销售一种产品，一月份获得利润 10 万元，由于产品畅销，利 润逐月增加，第一季度共获利 42 万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相 同．设二、三月份利润的月增长率 x，那么 x 满足的方程为（　　） A．10（1+x）2＝42 B．10+10（1+x）2＝42 C．10+10（1+x）+10（1+2x）＝42 D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝42 【答案】D 【详解】设二、三月份利润的月增长率 x，则二月份获得利润 10（1+x）万元， 三月份获得利润 10（1+x）2 万元， 依题意，得：10+10（1+x）+10（1+x）2＝42． 故选 D． 典例 2 某县从 2017 年开始大力发展“竹文化”旅游产业。据统计，该县 2017 年 “竹文化”旅游收入约为 2 亿元预计 2019 年“竹文化”旅游收入达到 2.88 亿元， 据此估计该县 2018 年，2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 解：设该市 2018 年、2019 年旅游收入的年平均增长率为 x， 依题意，得：2（1+x）2=2.88， 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 故选 B． 2% 20% 4.4% 44%典例 3 为防治雾霾，保护环境，某市掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿 地面积增加了 21%，设这两年的绿地面积的平均增长率是 ，则列出关于 的一元 二次方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设绿地面积为 a，这两年平均每年绿地面积的增长率是 x，根据题意列 方程得： a（1+x）2=（1+21%）a，即（1+x）2=1+21%． 故选 D． 知识点四 几何问题 【解题关键】根据已知所学内容，将其用含未知数的形式表现出来。 典例 1 如图，某小区有一长为 18 米，宽为 6 米的矩形空地，计划在其中修建两 块相同的矩形绿地，它们面积之和为 60 平方米，两块绿地之间及周边留有宽度 相等的人行通道，则人行道的宽度为（　）米． A．2 B．1 C．8 或 1 D．8 【答案】B 【详解】解：设人行道的宽度为 x 米，则两块矩形绿地可合成长为（18-3x）米、 x x 2 1 21%x = + 2(1 ) 21%x− = 2(1 ) 21%x+ = 2(1 ) 1 21%x+ = +宽为（6-2x）米的矩形， 根据题意得：（18-3x）（6-2x）=60， 整理得：x2-9x+8=0， 解得：x1=1，x2=8． ∵8＞6， ∴x2=8 舍去． 故选：B． 典例 2 在一幅长 、宽 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边制成一幅矩 形挂图，如果要使整个挂图的面积是 ，设金色纸边的宽为 ，那么满足 的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设金色纸边的宽为 ，则矩形挂图的长为（80+2x）cm,宽为（50+2x） cm, 依题意得（80+2x）（50+2x）=5400， 化简为 故选 C. 典例 3 芳芳有一个无盖的收纳箱，该收纳箱展开后的图形（实线部分）如图，将 该图形补充四个边长为 的小正方形后，得到一个矩形，已知矩形的面积为 ，根据图中信息，可得 的值为（ ） 80cm 50cm 25400cm cmx 2 130 1400 0x x+ − = 2 130 1400 0x x− − = 2 65 350 0x x+ − = 2 65 350 0x x− − = cmx 2 65 350 0x x+ − = 10cm 22000cm xA．10 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【详解】依题意得到补全后的矩形长为 x+30，宽为 x+20, 故(x+30)( x+20)=2000, 解得 x1=20,x2=-70(舍去) 故选 B. 巩固训练 一、单选题（共 10 小题） 1．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要 发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢 红包活动，群内所有人共收到 90 个红包，则该群一共有( )A．9 人 B．10 人 C．11 人 D．12 人 【答案】B 【解析】试题解析：设这个 QQ 群共有 x 人， 依题意有 x（x-1）=90， 解得：x=-9（舍去）或 x=10， ∴这个 QQ 群共有 10 人． 故选 B. 2．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，则参加酒会的人 数为（ ） A．9 人 B．10 人 C．11 人 D．12 人 【答案】C 【详解】设参加酒会的人数为 x 人，依题可得： x（x-1）=55， 化简得：x2-x-110=0， 解得：x1=11，x2=-10（舍去）， 故答案为：C. 3．某机械厂七月份生产零件 50 万个，第三季度生产零件 182 万个．若该厂八、 九月份平均每月生产零件的增长率均为 x，则下面所列方程正确的是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）2＝182 C．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 【答案】D 【详解】依题意得五、六月份的产量为 50(1+x)、50(1+x)2， 1 2∴50+50(1+x)+50(1+x)2=182. 故答案选 D. 4．我市某楼盘准备以每平方 6000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的 新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过 连续两次下调后，决定以每平方 4860 元的均价开盘销售，则平均每次下调的百 分率是（ ）. A．8% B．9% C．10% D．11% 【答案】C 【解析】分析：设平均每次下调的百分率为 x，则两次降价后的价格为 6000 （1-x）2，根据降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可． 详解：设平均每次下调的百分率为 x，由题意，得 6000（1-x）2=4860， 解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）． 答：平均每次下调的百分率为 10%． 故选：C． 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用， 一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率问题的数量关系建立方程是关键． 5．祁中初三 66 班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪 念，全班学生共写了 930 份留言．如果全班有 x 名学生，根据题意，列出方程为 （　　） A．푥(푥 ― 1) 2 =930 B．푥(푥 + 1) 2 =930 C．x（x+1）=930 D．x（x﹣1）=930 【答案】D【解析】分析：可设全班有 x 名同学,则每人写(x-1)份留言,共写 x(x-1)份留言, 进而可列出方程即可. 详解：设全班有 x 名同学，则每人写（x﹣1）份留言， 根据题意得：x（x﹣1）=930， 故选：D． 【名师点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,其中 x(x-1)不能 和握手问题那样除以 2,另外这类问题转化为一元二次方程求解时应注意考虑解 的合理性,即考虑解的取舍. 6．微信红包是沟通人们之间感情的一种方式，已知小明在 2016 年“元旦节”收 到微信红包为 300 元，2018 年为 675 元，若这两年小明收到的微信红包的年平均 增长率为 x，根据题意可列方程为(　　) A．300(1+2x)＝675 B．300(1+x2)＝675 C．300(1+x)2＝675 D．300+x2＝675 【答案】C 【详解】这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为 x，由题意得： 300(1+x)2＝675， 故选 C． 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，正确理解题意， 表示出 2017、2018 年微信收到的红包是解题的关键. 7．如图，有一张矩形纸片，长 10cm，宽 6cm，在它的四角各减去一个同样的小 正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面 积是 32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是 xcm，根据题意可列方程为（　　） A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32 C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=32 【答案】B 【解析】分析：设剪去的小正方形边长是 xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm， 宽为（6−2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积 是 32cm2，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解． 详解：设剪去的小正方形边长是 xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6 −2x）cm， 根据题意得：（10−2x）（6−2x）＝32． 故选：B． 【名师点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列 出一元二次方程是解题的关键． 8．从一块正方形的木板上锯掉 2 m 宽的长方形木条，剩下的面积是 48㎡，则原 来这块木板的面积是（ ） A．100㎡ B．64㎡ C．121㎡ D．144㎡ 【答案】B 【解析】设原来正方形木板的边长为 xm，从一块正方形木板上锯掉 2m 宽的长方 形木条，剩下的仍然是一个长方形，此时这个长方形的长等于原来正方形木板的边长，宽等于正方形木板的边长减去 2m，根据剩下的长方形的面积是 48m2，列出 方程： x（x﹣2）=48，解得 x1=8，x2=﹣6（不合题意，舍去）。 ∴原来这块木板的面积是 8×8=64（m2）。 故选 B。 9．某县以“重点整治环境卫生”为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划 从 2017 年起到 2019 年累计投入 4250 万元，已知 2017 年投入 1500 万元，设投 入经费的年平均增长率为 x，根据题意，下列所列方程正确的是（　　） A．1500（1+x）2＝4250 B．1500（1+2x）＝4250 C．1500+1500x+1500x2＝4250 D．1500（1+x）+1500（1+x）2＝4250﹣1500 【答案】D 【解析】解：设2017﹣2019 年投入经费的年平均增长率为 x，则 2018 年投入 1500 （1+x）万元，2019 年投入 1500（1+x）2 万元，根据题意得 1500（1+x）+1500 （1+x）2=4250﹣1500．故选 D． 名师点睛：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若 设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量 关系为 a（1±x）2=b． 10．如图，某小区有一块长为 18 米，宽为 6 米的矩形空地，计划在其中修建两 块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 60 平方米，两块绿地之间及周边留有宽 度相等的人行通道．若设人行道的宽度为 x 米，则可以列出关于 x 的方程是(　　)A．x2＋9x－8＝0 B．x2－9x－8＝0 C．x2－9x＋8＝0 D．2x2－9x＋8＝0 【答案】C 【解析】【详解】解：设人行道的宽度为 x 米，根据题意得， （18﹣3x）（6﹣2x）=60， 化简整理得，x2﹣9x+8=0． 故选 C． 二、填空题（共 5 小题） 11．一个三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边长是方程 x2-10x+21=0 的根，则 三角形的周长为______________. 【答案】16 【解析】分析：首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的 长，进而求其周长． 详解：解方程 x2-10x+21=0 得 x1=3、x2=7， ∵3＜第三边的边长＜9， ∴第三边的边长为 7． ∴这个三角形的周长是 3+6+7=16． 故答案为：16． 【名师点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 12．某商品的原价为 120 元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是 m， 那么该商品现在的价格是_____元（结果用含 m 的代数式表示）． 【答案】100（1﹣m）2 【解析】分析：现在的价格=第一次降价后的价格×（1-降价的百分率）． 详解：第一次降价后价格为 100（1-m）元，第二次降价是在第一次降价后完成的， 所以应为 100（1-m）（1-m）元， 即 100（1-m）2 元． 故答案为：100（1-m）2． 【名师点睛】本题难度中等，考查根据实际问题情景列代数式．根据降低率问题 的一般公式可得：某商品的原价为 100 元，如果经过两次降价，且每次降价的百 分率都是 m，那么该商品现在的价格是 100（1-m）2． 13．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，则参加酒会的 人数为________. 【答案】11 【详解】解：设参加酒会的人数为 x 人， 根据题意得： x（x-1）=55， 整理，得：x2-x-110=0， 解得：x1=11，x2=-10（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为 11 人． 故答案为：11. 【名师点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次 1 2方程是解题的关键． 14．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 人患了流感，那么每轮传染中平均 一个人传染给__________个人. 【答案】7 【解析】试题分析：设每轮传染中平均一个人传染给 x 个人，则根据题意可知： ，解得：x=7 或 x=-9(舍去)，故每轮传染中平均一个人传染给 7 个 人． 15．为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块 面积为 1200 平方米的矩形绿地，并且长比宽多 40 米．设绿地宽为 x 米，根据题 意，可列方程为_____． 【答案】x（x+40）=1200． 【详解】由题意可得， x（x+40）=1200， 故答案是：x（x+40）=1200． 【名师点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列 出相应的方程． 三、解答题（共 2 小题） 16．如图，A、B、C、D 为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点 P、Q 分别从 点 A、C 同时出发，点 P 以 3cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达 B 为止，点 Q 以 2cm/s 的速度向 D 移动． （1）P、Q 两点从出发开始到几秒时，四边形 PBCQ 的面积为 33cm2； 64 ( )2x 1 64+ =（2）P、Q 两点从出发开始到几秒时，点 P 和点 Q 的距离是 10cm． 【答案】（1）x=5；（2）t=4.8 或 1.6． 【解析】解：（1）设 P、Q 两点从出发开始到 x 秒时四边形 PBCQ 的面积为 33cm2， 则 PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm， 根据梯形的面积公式得 （16﹣3x+2x）×6=33， 解之得 x=5， （2）设 P，Q 两点从出发经过 t 秒时，点 P，Q 间的距离是 10cm， 作 QE⊥AB，垂足为 E， 则 QE=AD=6，PQ=10， ∵PA=3t，CQ=BE=2t， ∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|， 由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102， 解得 t1=4.8，t2=1.6． 答：（1）P、Q 两点从出发开始到 5 秒时四边形 PBCQ 的面积为 33cm2； （2）从出发到 1.6 秒或 4.8 秒时，点 P 和点 Q 的距离是 10cm． 【名师点睛】（1）根据梯形的面积公式可列方程：1 2(16 ― 3푥 ― 2푥) × 6 = 33 求 解；（2）作 QE⊥AB，垂足为 E，在 RtPEQ 中，用勾股定理列方程求解． 17．某公司今年 1 月份的生产成本是 400 万元，由于改进技术，生产成本逐月下 降，3 月份的生产成本是 361 万元．假设该公司 2、3、4 月每个月生产成本的下 降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测 4 月份该公司的生产成本． 【答案】（1）每个月生产成本的下降率为 5%；（2）预测 4 月份该公司的生产成 本为 342.95 万元． 【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为 x， 根据题意得：400（1﹣x）2=361， 解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）． 答：每个月生产成本的下降率为 5%； （2）361×（1﹣5%）=342.95（万元）， 答：预测 4 月份该公司的生产成本为 342.95 万元． 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量 关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．