2020年初三数学上册期末考点练习：正多边形和圆及弧长和扇形面积

正多边形和圆及扇形面积 知识点一 正多边形和圆 正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形． 正多边形的相关概念：  正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．  正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．  正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．  正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 半径、边心距，边长之间的关系： 画圆内接正多边形方法（仅保留作图痕迹）： 1） 量角器 （作法操作复杂，但作图较准确） 2） 量角器+圆规 （作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）3） 圆规+直尺 （适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..） 【典型例题】 典例 1 如图，圆푂与正五边形퐴퐵퐶퐷퐸的两边퐴퐸，퐶퐷分别相切于퐴，퐶两点，则 __________度. 【答案】18 【分析】根据∠OCB=∠BCD-∠OCD，求出∠BCD，∠OCD 即可； 【详解】解：∵⊙O 与正五边形 ABCDE 的两边 AE，CD 分别相切于 A，C 两点， ∴OA⊥AE，OC⊥CD， ∴∠OAE=∠OCD=90°， 又∵∠BCD=108°， OCB∠ =∴∠OCB=108°-90°=18° 故答案为 18． 【名师点睛】本题考查正多边形与圆、切线的性质等知识，解题的关键是熟练掌 握基本知识，属于中考常考题型． 典例 2 正三角形퐴퐵퐶内接于⊙푂，⊙푂的半径为6，则这个正三角形的面积为 _________． 【答案】27 3 【分析】利用等边三角形的性质得出点 O 既是三角形内心也是外心，进而求出 ∠OBD=30°，OD、BD、BC 的值，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接 AO 并延长交 BC 与点 D 连接 BO， ∵正三角形 ABC 内接于⊙O， ∴点 O 即是三角形内心也是外心， ∴∠OBD=30°，BD=CD=1 2퐵퐶， ∴OD=1 2OB =3， ∴AD=9，BD= 62 ― 32=3 3， ∴BC=6 3， ∴这个正三角形的面积为：1 2 × 6 3 × 9=27 3. 故答案为：27 3．【名师点睛】此题主要考查了正多边形和圆，含 30°角的直角三角形的性质，勾 股定理，利用正多边形内外心的特殊关系得出∠OBD=30°，BD=CD 是解题关键． 典例 3 如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，若⊙O 的半径为 2，则△ADE 的周长 是________ . 【答案】6+2 3 【分析】首先确定三角形的三个角的度数，从而判断该三角形是特殊的直角三角 形，然后根据半径求得斜边的长，从而求得另外两条直角边的长，进而求得周 长． 【详解】连接 OE， ∵多边形 ABCDEF 是正多边形， ∴∠DOE=360° 6 =60°， ∴∠DAE=1 2∠DOE=1 2×60°=30°，∠AED=90°， ∵⊙O 的半径为 2， ∴AD=2OD=4， ∴DE=1 2AD=1 2×4=2，AE= 3DE=2 3， ∴△ADE 的周长为 4+2+2 3=6+2 3，故答案为：6+2 3． 【名师点睛】考查了正多边形和圆的知识，解答的关键是确定三角形的三个角的 度数，然后确定其三边的长，难度不大． 典例 4 如图，要拧开一个边长为 a=6cm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口 b 至少 为______cm． 【答案】6 3. 【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的 2 倍，构造一个由半径、边长 的一半、边心距组成的直角三角形，再根据锐角三角函数的知识求解即可． 【详解】解：设正多边形的中心是 O，其一边是 AB，AC 与 BO 相交于点 M， ∴∠AOB=∠BOC=60°， ∴OA=OB=AB=OC=BC， ∴四边形 ABCO 是菱形， ∵OA=AB=6cm，∠AOB=60°， ∴∠OAC=30°，cos∠OAC=퐴푀 퐴푂， ∴AM=6× 3 2 =3 3（cm）， ∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC， ∴AM=MC=1 2AC， ∴AC=2AM=6 3（cm）． 故答案为 6 3．【名师点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边和边心距 组成的直角三角形、熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键. 典例 5 如图，有公共顶点 A、B 的正五边形和正六边形，连接 AC 交正六边形于点 D，则∠ADE 的度数为___． 【答案】84°． 【分析】据正多边形的内角，可得∠ABE、∠E、∠CAB，根据四边形的内角和， 可得答案． 【详解】正五边形的内角是∠ABC＝(5 ― 2) × 180° 5 ＝108°， ∵AB＝BC， ∴∠CAB＝36°， 正六边形的内角是∠ABE＝∠E＝(6 ― 2) × 180° 6 ＝120°， ∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB＝360°， ∴∠ADE＝360°﹣120°﹣120°﹣36°＝84°， 故答案为 84°． 【名师点睛】本题考查了多边形的内角与外角，利用求多边形的内角得出正五边 形的内角、正六边形的内角是解题关键．知识点二 圆锥相关知识 设 ⊙ 푂的半径为푅，푛°圆心角所对弧长为푙， 弧长公式：푙 = 푛휋푅 180 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关） 扇形面积公式：푆扇形 = 푛 360휋푅2 = 1 2푙푅 母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。 圆锥体表面积公式：푆 = 휋푅2 + 휋푅푙（푙为母线） 备注：圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积 典例 1.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度是_______． 【答案】4 2 【分析】先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求 出 OA，最后用勾股定理即可得出结论． 【详解】设圆锥底面圆的半径为 r， ∵AC=6，∠ACB=120°， ∴푙 = 120 × 휋 × 6 180 =2πr， ∴r=2，即：OA=2， 在 Rt△AOC 中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，OC= 퐴퐶2 ― 푂퐴2=4 2， 故答案为：4 2．【名师点睛】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面展开图，勾股定 理，求出 OA 的长是解本题的关键． 典例 2 已知扇形的弧长为 2휋，圆心角为 60°，则它的半径为________． 【答案】6. 【解析】分析: 设扇形的半径为 r，根据扇形的面积公式及扇形的面积列出方程， 求解即可. 详解: 设扇形的半径为 r， 根据题意得：60휋푟 180 = 2휋， 解得 ：r=6 故答案为：6. 典例 3 如图，用一个圆心角为 120°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥 底面圆的半径为 1 cm，则这个扇形的半径是________cm. 【答案】3 【解析】根据题意，由扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设扇形的半径为 r cm，则120 180×πr＝2π×1，解方程可得 r＝3. 故答案为：3. 典例 4 如图，公园内有一个半径为 20 米的圆形草坪，퐴，퐵是圆上的点，푂为圆 心，∠퐴푂퐵 = 120∘，从퐴到퐵只有路퐴퐵，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草， 走出了一条小路퐴퐵.通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了__________步（假设 1 步为 0.5 米，结果保留整数）．（参考数据： 3 ≈ 1.732，휋取 3.142） 【答案】15 【分析】过 O 作 OC⊥AB 于 C，分别计算出弦 AB 的长和弧 AB 的长即可求解. 【解答】过 O 作 OC⊥AB 于 C，如图， ∴AC=BC， ∵∠퐴푂퐵 = 120°，푂퐴 = 푂퐵， ∴∠퐴 = 30°， ∴푂퐶 = 1 2푂퐴 = 10， ∴퐴퐶 = 3푂퐶 = 10 3， ∴퐴퐵 = 20 3， 又∵弧 AB 的长=120휋 × 20 180 = 40 3 휋， ∴ 40 3 휋 ― 20 3 ≈ 7.25米 ≈ 15步. 故答案为：15. 【点评】考查了弧长的计算，垂径定理的应用，熟记弧长公式是解题的关键. 典例 5 用半径为10푐푚，圆心角为120∘的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为__________푐푚． 【答案】10 3 【解析】分析：圆锥的底面圆半径为 r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列 方程求解． 详解：设圆锥的底面圆半径为 r，依题意，得 2πr=120휋 × 10 180 ， 解得 r=10 3 cm． 故答案为：10 3 ． 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：（考点） ① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法 典例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将 Rt△ABC 绕点 A 逆时针 旋转 30°后得到 Rt△ADE，点 B 经过的路径为弧 BD，则图中阴影部分的面积为 _____． 【答案】2휋 3 【分析】先根据勾股定理得到 AB=2 2，再根据扇形的面积公式计算出 S 扇形 ABD， 由旋转的性质得到 Rt△ADE≌Rt△ACB，于是 S 阴影部分=S△ADE+S 扇形 ABD﹣S△ABC=S 扇形 ABD． 【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=2，∴AB=2 2， ∴S 扇形 ABD=30휋 × (2 2)2 360 = 2휋 3 ， 又∵Rt△ABC 绕 A 点逆时针旋转 30°后得到 Rt△ADE， ∴Rt△ADE≌Rt△ACB， ∴S 阴影部分=S△ADE+S 扇形 ABD﹣S△ABC=S 扇形 ABD=2휋 3 ， 故答案为：2휋 3 ． 【名师点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算，得到 S 阴影部分 =S 扇形 ABD 是解题的关键. 典例 2 如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 1，以点 A 为圆心，AB 的长为半径，作 扇形 ABF，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留根号和 π）． 【答案】3 3 2 ﹣휋 3 【解析】分析：正六边形的中心为点 O，连接 OD、OE，作 OH⊥DE 于 H，根据正多 边形的中心角公式求出∠DOE，求出 OH，得到正六边形 ABCDEF 的面积，求出∠A， 利用扇形面积公式求出扇形 ABF 的面积，结合图形计算即可． 详解：正六边形的中心为点 O，连接 OD、OE，作 OH⊥DE 于 H， ∠DOE=360° 6 =60°，∴OD=OE=DE=1， ∴OH= 3 2 ， ∴正六边形 ABCDEF 的面积=1 2×1× 3 2 ×6=3 3 2 ， ∠A=(6 ― 2) × 180° 6 =120°， ∴扇形 ABF 的面积=120휋 × 12 360 = 휋 3， ∴图中阴影部分的面积=3 3 2 -휋 3， 故答案为：3 3 2 -휋 3． 典例 3 如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，以点 B 为圆心，以 AB 为半径画弧， 交对角线 BD 于点 E，则图中阴影部分的面积是_____（结果保留 π） 【答案】8﹣2π 【分析】根据 S 阴=S△ABD-S 扇形 BAE 计算即可； 【详解】S 阴=S△ABD-S 扇形 BAE=1 2×4×4-45 × 휋 × 42 360 =8-2π， 故答案为 8-2π． 【名师点睛】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是 学会用分割法求阴影部分面积． 典例 4 如图，直角훥퐴퐵퐶中，∠퐴 = 900，∠퐵 = 300，퐴퐶 = 4，以퐴为圆心，퐴퐶长 为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是________.（结果保留휋）【答案】4 3 ― 4 3휋 【解析】分析：连结 AD．根据图中阴影部分的面积=三角形 ABC 的面积-三角形 ACD 的面积-扇形 ADE 的面积，列出算式即可求解． 详解：连结 AD． ∵直角△ABC 中，∠A=90°，∠B=30°，AC=4， ∴∠C=60°，AB=4 3， ∵AD=AC， ∴三角形 ACD 是等边三角形， ∴∠CAD=60°， ∴∠DAE=30°， ∴图中阴影部分的面积=4×4 3÷2﹣4×2 3÷2﹣30 × 휋 × 42 360 =4 3 ― 4 3휋． 故答案为：4 3 ― 4 3휋． 名师点睛：此题主要考查了扇形面积的计算，解题的关键是将不规则图形的面积 计算转化为规则图形的面积计算． 典例 5 如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O 为 AC 上一点，OA=2，以 O 为圆心，以 OA 为半径的圆与 CB 相切于点 E，与 AB 相交于点 F，连接 OE、OF，则图中 阴影部分的面积是_______． 【答案】7 2 3 ― 4 3π 【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案． 【详解】∵∠B=90°，∠C=30°， ∴∠A=60°， ∵OA=OF， ∴△AOF 是等边三角形， ∴∠COF=120°， ∵OA=2， ∴扇形 OGF 的面积为： = ∵OA 为半径的圆与 CB 相切于点 E， ∴∠OEC=90°， ∴OC=2OE=4， ∴AC=OC+OA=6， ∴AB= AC=3， ∴由勾股定理可知：BC=3 ∴△ABC 的面积为： ×3×3 = ∵△OAF 的面积为： ×2× = ，∴阴影部分面积为： ﹣ ﹣ π= ﹣ π 故答案为： ﹣ π. 【名师点睛】本题考查扇形面积公式，涉及含 30 度角的直角三角形的性质，勾 股定理，切线的性质，扇形的面积公式等知识，综合程度较高． 典例 6 如图，四边形 ABCD 是菱形，∠B=60°，AB=1，扇形 AEF 的半径为 1，圆 心角为 60°，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】휋 6 ― 3 4 【分析】根据菱形的性质得出△ADC 和△ABC 是等边三角形，进而利用全等三角 形的判定得出△ADH≌△ACG，得出四边形 AGCH 的面积等于△ADC 的面积，进而求 出即可． 【详解】连接 AC， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠B=∠D=60°，AB=AD=DC=BC=1， ∴∠BCD=∠DAB=120°，∴∠1=∠2=60°， ∴△ABC、△ADC 都是等边三角形， ∴AC=AD=1， ∵AB=1， ∴△ADC 的高为 3 2 ，AC=1， ∵扇形 BEF 的半径为 1，圆心角为 60°， ∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°， ∴∠3=∠4， 设 AF、DC 相交于 HG，设 BC、AE 相交于点 G， 在△ADH 和△ACG 中， { ∠3 = ∠4 퐴퐷 = 퐴퐶 ∠퐷 = ∠1 = 60° ， ∴△ADH≌△ACG(ASA)， ∴四边形 AGCH 的面积等于△ADC 的面积， ∴图中阴影部分的面积是：S 扇形 AEF﹣S△ACD=60 × 휋 × 12 360 ― 1 2 × 1 × 3 2 =휋 6 ― 3 4 ， 故答案为：휋 6 ― 3 4 ． 【名师点睛】本题考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识， 根据已知得出四边形 EBFD 的面积等于△ABD 的面积是解题关键． 典例 7 如图，已知 C，D 是以 AB 为直径的半圆周上的两点，O 是圆心，半径 OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于 ．【答案】2 3휋． 【解析】试题解析：图中阴影部分的面积=1 2π×22-120휋 × 22 360 =2π-4 3π =2 3π． 答：图中阴影部分的面积等于2 3π． 典例 8 如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AC 经过点 O，与⊙O 分别相交于点 D、 C，若∠ACB=30°，AB= 5，则阴部分面积是_____． 【答案】5 3 6 ― 5휋 18 【分析】先求出∠AOB，OB，然后利用푆阴 = 푆△AOB ― 푆扇 OBD 计算即可． 【详解】连接 OB， ∵AB 是⊙O 切线， ∴OB⊥AB， ∵OC=OB，∠C=30°， ∴∠C=∠OBC=30°， ∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°， ∴∠A=30°在 Rt△ABO 中，∵∠ABO=90°，AB= 5，∠A=30°， ∴OB= ， ∴푆阴 = 푆△AOB ― 푆扇 OBD= 1 2 × 5 × 15 3 × 60 × 휋 ⋅ （ 15 3 ）2 360 =5 3 6 ― 5휋 18 故答案为：5 3 6 ― 5휋 18 【名师点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，直角三角形 30 度角性质，学会分割法求面积，掌握常用几何图形的面积公式是解题关键. 典例 9 如图所示，在△ABC 中，BC=4，以点 A 为圆心，2 为半径的⊙A 与 BC 相切 于点 D，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积 是　 　． 【答案】4 ― 8 9휋 【解析】试题分析：连结 AD，根据切线的性质得 AD⊥BC，则 S△ABC= AD•BC，然 后利用 S 阴影部分=S△ABC﹣S 扇形 AEF 和扇形的面积公式计算即可． 解：连结 AD，如图， ∵⊙A 与 BC 相切于点 D， 15 3∴AD⊥BC， ∴S△ABC= AD•BC， ∴S 阴影部分=S△ABC﹣S 扇形 AEF = ×2×4﹣ =4﹣ π． 故答案为 4﹣ π． 典例 10（2018·四平市期末）如图，边长为 6cm 的正三角形内接于⊙O，则阴影 部分的面积为（结果保留 π）_____． 【答案】（4π﹣3 3）cm2 【分析】连接 OB、OC，作 OH⊥BC 于 H，根据圆周角定理可知∠BOC 的度数，根据 等边三角形的性质可求出 OB、OH 的长度，利用阴影面积=S 扇形 OBC-S△OBC 即可得答 案 【详解】：连接 OB、OC，作 OH⊥BC 于 H， 则 BH=HC= BC= 3， ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠A=60°，由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=120°， ∵OB=OC， ∴∠OBC=30°， ∴OB= 퐵퐻 푐표푠∠ OBC=2 3 ，OH= 3， ∴阴影部分的面积= 120휋 × (2 3)2 360 ﹣1 2×6× 3=4π﹣3 3 ， 故答案为：（4π﹣3 3）cm2． 【名师点睛】本题主要考查圆周角定理及等边三角形的性质，在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；熟练掌握圆周角定理是解题关键.巩固训练 一、 单选题（共 10 小题） 1．如图，将△ 퐴퐵퐶 绕点퐶旋转 60°得到正方形△ 퐴′퐵′퐶′,已知퐴퐶 = 6,퐵퐶 = 4, 则线段퐴퐵扫过的图形的面积为（ ） A.2 3휋 B.10 3 휋 C.6휋 D.8 3휋 【答案】B 【解析】线段퐴퐵扫过的图形的面积本来是线段 AB、퐴퐴′、퐴′퐵′ 和퐵퐵′围成的部分 的面积，根据旋转的特征可知△ 퐴퐵퐶≌△퐴′퐵′퐶′ ,可以直接推出퐶퐷′ = 퐶퐷 = 퐶퐵 = 4,퐶퐴′ = 퐶퐴 = 6,∠퐴′퐶퐴 = ∠퐵′퐶퐵 = 60∘,并且可以得出퐴퐵扫过的图形的面积实 际上就是如图所示的阴影部分的面积. ∴푆阴影＝푆扇形퐴푂퐴′－푆扇形퐵푂퐵′=60∘휋 × 62 360∘ ― 60∘휋 × 42 360∘ = 1 6휋(36 ― 16) = 10 3 휋. 故选 B. 2．花园内有一块边长为 a 的正方形土地，园艺师设计了四种不同的图案，如下 图的 A、B、C、D 所示，其中的阴影部分用于种植花草．种植花草部分面积最大 的图案是（　　）（说明：A、B、C 中圆弧的半径均为푎 2，D 中圆弧的半径为 a） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】将第 2 个图形中的半圆的面积相加为以半径为푎 2的圆；第 3 个图形中 4 个扇形的面积相加为以半径为푎 2的圆；故第 1，2，3 个图形阴影的面积为正方形 的面积减去以푎 2为半径的圆的面积；第 4 个图形的面积为两个扇形的面积减去正 方形的面积，计算后比较即可． 【详解】第 1，2，3 个图形的面积为：a2﹣π（푎 2）2＝（1﹣휋 4）a2； 第 4 个图形的面积为： ×2﹣a2＝（휋 2﹣1）a2； ∵（1﹣휋 4）a2＜（휋 2﹣1）a2， ∴第 4 个阴影部分的面积最大． 故选 D． 【名师点睛】解决本题的关键是将每个图形阴影部分面积求出． 290 a 360 π3．圆心角为 60°的扇形面积为 S，半径为 r，则下列图象能大致描述 S 与 r 的函数关系的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据扇形的面积公式 S ，得出 S 与 r 的函数关系式，进而根据函 数的性质求解即可． 【详解】解：∵圆心角为 60°的扇形面积为 S，半径为 r， ∴S 是 r 的二次函数，且 r＞0， ∴C、D 错误； ∵r=1 时，S=휋 6＜1； r=2 时，S=4휋 6 ≈2.09， 故选：A． 【名师点睛】本题考查二次函数的图象与性质，扇形面积的计算，得出 S 与 r 的 函数关系式是解题的关键． 4．边长为1的正三角形的外接圆的半径为 2 360 n rπ= 2 260 360 6 r rS π π∴ = =A．1 2 B． 3 2 C． 3 3 D． 3 6 【答案】C 【详解】如图所示，连接 OB，OC，过 O 作 OD⊥BC； ∵BC=1, ∴BD=1 2, ∵△ABC 是正三角形， ∴∠BOC=360° 3 =120°， ∵OB=OC， ∴∠BOD=120° 2 =60°， ∴∠OBD=30°，OB= 퐵퐷 푐표푠30° = 1 2 3 2 = 3 3 ． 故选 C． 【名师点睛】解决本题的关键是构造与外接圆半径相关的直角三角形． 5．正六边形的半径与边心距之比为（　　） A.1： 3 B. 3：1 C. 3：2 D.2： 3 【答案】D 【解析】【分析】边心距：是指正多边形的每条边到其外接圆的圆心的距离,正六 边形的边长就等于其外接圆的半径.它的边心距等于边长的 3 2 倍..正多边形的边 心距就是其内切圆的半径.【详解】∵正六边形的半径为 R， ∴边心距 r＝ 3 2 R， ∴R：r＝1： 3 2 ＝2： 3，故选：D． 【名师点睛】本题主要考查了正多边形的半径与边心距之比，解决本题的关键是 掌握边心距的求法. 6．如图，正三角形 ABC 的边长为 4cm，D，E，F 分别为 BC，AC，AB 的中点，以 A，B，C 三点为圆心，2cm 为半径作圆．则图中阴影部分面积为（　　） A．（2 3-π）cm2 B．（π- 3）cm2 C．（4 3-2π）cm2 D．（2π-2 3）cm2 【答案】C 【详解】连接 AD， ∵△ABC 是正三角形， ∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°， ∵BD=CD， ∴AD⊥BC， ∴AD= 퐴퐵2 ― 퐵퐷2= 42 ― 22 = 2 3， ∴S 阴影=S△ABC-3S 扇形 AEF=1 2×4×2 3﹣60휋 × 22 360 × 3=(4 3﹣2π)cm2， 故选 C．【名师点睛】本题考查了有关扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题 的关键． 7．如图，已知⊙O 的半径是 2，点 A、B、C 在⊙O 上，若四边形 OABC 为菱形，则 图中阴影部分面积为（　　） A.2 3π﹣2 3 B.1 3π﹣ 3 C.4 3π﹣2 3 D.4 3π﹣ 3 【答案】C 【解析】分析：连接 OB 和 AC 交于点 D，根据菱形及直角三角形的性质先求出 AC 的长及∠AOC 的度数，然后求出菱形 ABCO 及扇形 AOC 的面积，则由 S 菱形 ABCO﹣S 扇形 AOC 可得答案． 详解：连接 OB 和 AC 交于点 D，如图所示： ∵圆的半径为 2， ∴OB=OA=OC=2，又四边形 OABC 是菱形， ∴OB⊥AC，OD=1 2OB=1， 在 Rt△COD 中利用勾股定理可知：CD= 22 ― 12 = 3，AC=2CD=2 3， ∵sin∠COD= 퐶퐷 푂퐶 = 3 2 ， ∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°， ∴S 菱形 ABCO=1 2B×AC=1 2×2×2 3=2 3， S 扇形 AOC=120 × 휋 × 22 360 = 4 3휋， 则图中阴影部分面积为 S 菱形 ABCO﹣S 扇形 AOC=4 3휋 ― 2 3， 故选：C． 【名师点睛】本题考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形 的面积=1 2a•b（a、b 是两条对角线的长度）；扇形的面积=푛휋푟2 360 ，有一定的难度． 8．已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆．若∠ABC＝25°，则劣弧 퐴퐶的长为( ) A.25휋 36 B.125휋 36 C.25휋 18 D.5휋 36 【答案】C 【解析】分析：根据圆周角定理和弧长公式解答即可． 详解：如图：连接 AO，CO， ∵∠ABC=25°， ∴∠AOC=50°， ∴劣弧퐴퐶的长=50휋 × 5 180 = 25휋 18 ，故选 C． 9．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠ABC=45°，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D， 若 BC=4 2，则图中阴影部分的面积为（　　） A.π+1 B.π+2 C.2π+2 D.4π+1 【答案】B 【解析】解：连接 OD、AD．在△ABC 中，∵AB=AC，∠ABC=45°，∴∠C=45°， ∴∠BAC=90°，∴△ABC 是 Rt△BAC．∵BC= ，∴AC=AB=4．∵AB 为直径， ∴∠ADB=90°，BO=DO=2．∵OD=OB，∠B=45°，∴∠B=∠BDO=45°， ∴∠DOA=∠BOD=90°，∴阴影部分的面积 S=S△BOD+S 扇形 DOA=90휋 × 22 360 + 1 2 × 2 × 2 =π+2．故选 B． 10．若圆锥的侧面展开图是个半圆，则该圆锥的侧面积与全面积之比为（　　） A．1 2 B．2 3 C．3 4 D． 3 2 【答案】B 【详解】设这个圆锥的底面半径为푟，母线长为푙， 则2휋푟 = 휋푙， 4 2∴푙 = 2푟， ∴侧面积为1 2휋푙2 = 1 2휋 × (2푟)2 = 2휋푟2， 全面积为： ， ∴该圆锥的侧面积与全面积之比为： ， 故选：B． 【名师点睛】本题考查了圆锥的计算及几何体的展开图的知识，解题的关键是能 够设出圆锥的底面半径、母线并根据侧面展开图是个半圆确定二者之间的关 系． 二、 填空题（共 5 小题） 11．一个扇形的圆心角为 135°，弧长为 3πcm，则此扇形的面积是_____cm2． 【答案】6휋 【解析】详解：设扇形的半径为 Rcm， ∵扇形的圆心角为 135°，弧长为 3πcm， ∴135휋 × 푅 180 =3π， 解得：R=4， 所以此扇形的面积为135휋 × 42 180 =6π（cm2）， 故答案为：6π． 12．（2018·和平区期末）如图，在边长为 2 的正八边形中，把其不相邻的四条 边均向两边延长相交成一个四边形 ABCD，则四边形 ABCD 的周长是_____． 2 2 22 3r r rπ π π+ = 2 2 22 :3 3r rπ π =【答案】8+8 2 【解析】解设直角三角形边是 x,由勾股定理知푥2 + 푥2 = 22,解得 x= 2, 所以周长等于 8+8 2. 13．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC 的内切圆半径 r=____． 【答案】2 【解析】试题解析：如图，O 切 AC 于 E，切 BC 于 F，切 AB 于 G，连 OE，OF， ∴OE⊥AC，OF⊥BC， ∴四边形 CEOF 为正方形， ∵∠C=90∘，AC=6，BC=8， ∴AB=10， 设 O 的半径为 r，则 CE=CF=r， ∴AE=AG=6−r，BF=BG=8−r， ∴AB=AG+BG=AE+BF，即 6−r+8−r=10， ∴r=2.故答案为：2. 14．（2018·句容市期末）如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O．若直线 PA 与⊙ O 相切于点 A，则∠PAB＝ ． 【答案】30° 【详解】连接 OB，AD，BD， ∵多边形 ABCDEF 是正多边形， ∴AD 为外接圆的直径， ∠AOB＝360∘ 6 ＝60°， ∴∠ADB＝1 2∠AOB＝1 2×60°＝30°． ∵直线 PA 与⊙O 相切于点 A， ∴∠PAB＝∠ADB＝30°． 故答案为：30°． 【名师点睛】本题考查正多边形和圆，切线的性质，作出适当的辅助线，利用弦 切角定理是解答此题的关键．15．如图所示，在△ABC 中，BC=4，以点 A 为圆心，2 为半径的⊙A 与 BC 相切于 点 D，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积 是　 　． 【答案】4 ― 8 9휋 【解析】试题分析：连结 AD，根据切线的性质得 AD⊥BC，则 S△ABC= AD•BC，然 后利用 S 阴影部分=S△ABC﹣S 扇形 AEF 和扇形的面积公式计算即可． 解：连结 AD，如图， ∵⊙A 与 BC 相切于点 D， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC= AD•BC， ∴S 阴影部分=S△ABC﹣S 扇形 AEF = ×2×4﹣ =4﹣ π． 故答案为 4﹣ π． 三、 解答题（共 2 小题）16．如图，AB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，点 A 为切点，BP 与⊙O 交于点 C， 点 D 是 AP 的中点，连结 CD． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若 AB=2，∠P=30°，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【分析】（1）连结 OC，AC，由圆周角定理和切线的性质得出∠ABP=90°，∠ ACP=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出 DC=1 2AP=DA，由等腰三角形的性 质得出∠DAC=∠DCA，∠OAC=∠OCA，证出∠OCD=90°，即可得出结论； （2）由含 30°角的直角三角形的性质得出 BP=2AB=4，由勾股定理求出 AP，再由 直角三角形斜边上的中线性质得出 CD 的长即可． 【详解】（1）连结 OC，AC，如图所示： ∵AB 是⊙O 的直径，AP 是切线， ∴∠BAP=90°，∠ACP=90°， ∵点 D 是 AP 的中点， 3 3 π−∴DC═1 2AP=DA， ∴∠DAC=∠DCA， 又∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=90°， 即 OC⊥CD， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）∵在 Rt△ABP 中，∠P=30°， ∴∠B=60°， ∴∠AOC=120°， ∴OA=1，BP=2AB=4， ， ∴푆阴影 = 푆四边形푂퐴퐷퐶 - 푆扇形퐴푂퐶 = 1 × 3 - 120휋 × 12 360 = 3 - 휋 3． 【名师点睛】本题综合考查了圆周角定理、切线的判定与性质、等腰三角形的性 质、直角三角形斜边上的中线性质、含 30°角的直角三角形的性质；熟练掌握切 线的判定与性质是解决问题的关键． 17．如图，AB 为⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上，且 BC＝6 cm，AC＝8 cm，∠ABD ＝45°. (1)求 BD 的长； (2)求图中阴影部分的面积． 2 21AD BP AB 32 = − =【答案】 (1) BD＝5 2cm;(2)S 阴影 ＝25휋 - 50 4 cm2. 【解析】试题解析：（1）∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∵BC=6cm，AC=8cm， ∴AB=10cm． ∴OB=5cm． 连 OD， ∵OD=OB， ∴∠ODB=∠ABD=45°． ∴∠BOD=90°． ∴BD= = cm． （2）S 阴影=S 扇形﹣S△OBD= π•52﹣ ×5×5= cm2．