2020年初三数学上册期末考点练习：直线和圆的位置关系

直线和圆的位置关系 知识点一 直线与圆的位置关系 设 ⊙ 푂的半径为푟，圆心푂到直线푙的距离为푑，则直线和圆的位置关系如下表： 位 置 关 系 图形 定义 性质及判定 相 离 直线与圆没有公共点 푑 > 푟⇔直 线 푙与 ⊙ 푂相离 相 切 直线与圆有唯一公共点， 直线叫做圆的切线，公 共点叫做切点 푑 = 푟⇔直线푙与 ⊙ 푂 相切 相 交 直线与圆有两个公共点， 直线叫做圆的割线 푑 < 푟⇔直 线 푙与 ⊙ 푂相交 典例 1 如图,以点 P 为圆心作圆，所得的圆与直线 l 相切的是（ ） A．以 PA 为半径的圆 B．以 PB 为半径的圆 C．以 PC 为半径的圆 D．以 PD 为半径的圆 【答案】B 【详解】∵PB⊥l 于 B， ∴以点 P 为圆心，PB 为半径的圆与直线 l 相切． 故选 B． l O d r l O d r l Od r【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系：设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d．若直线 l 和⊙O 相交⇔d＜r；直线 l 和⊙O 相切⇔d=r；直线 l 和⊙O 相离⇔d＞r． 典例 2 ⊙ 푂的直径为10，圆心푂到直线푙的距离为3，下列位置关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ∵ ⊙푂的直径为10， ∴ ⊙푂的半径为5， 圆心푂到直线푙的距离为3， ∵ 5 > 3，即：푑 < 푟， ∴ 直线푙与⊙푂的位置关系是相交. 故选：B. 【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是能熟练地运用直线与 圆的位置关系的性质进行判断. 典例 3 在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为(3，4)，半径为 5，那么 y 轴与⊙P 的位置关系是( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都不是 【答案】C【详解】解：∵⊙P 的圆心坐标为(3，4)， ∴⊙P 到 y 轴的距离 d 为 3 ∵d＝3＜r＝5 ∴y 轴与⊙P 相交 故选：C． 【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，熟练运用直线 与与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键． 典例 4 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以 C 为圆心，r 为半径作圆， 若圆 C 与直线 AB 相切，则 r 的值为（ ） A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm 【答案】B 【解析】试题分析：Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm； 由勾股定理，得：AB2=32+42=25， ∴AB=5； 又∵AB 是⊙C 的切线， ∴CD⊥AB， ∴CD=R； ∵S△ABC=1 2AC•BC=1 2AB•r； ∴r=2.4cm， 故选 B． 知识点二 切线的性质及判定性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做 这点到圆的切线长． 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的 连线平分两条切线的夹角． 典例 1 如图，CB 为⊙O 的切线，点 B 为切点，CO 的延长线交⊙O 于点 A，若 ∠A=25°，则∠C 的度数是( ) A.25° B.30° C.35° D.40° 【答案】D 【详解】解：如图：连接 OB， ∵OB=OA， ∴∠A=∠OBA， ∵∠A=25°， ∴∠COB=∠A+∠OBA=2∠A=2×25°=50°， ∵AB 与⊙O 相切于点 B， ∴∠OBC=90°，∴∠C=90°-∠BOC=90°-50°=40°． 故选：D． 【名师点睛】本题考查的是切线的性质及三角形内角和定理，先求出∠COB 的度 数，然后在三角形中求出∠C 的度数．正确作出辅助线是解题的关键． 典例 2 如图，PA、PB 是⊙O 切线，A、B 为切点，点 C 在⊙O 上,且∠ACB＝55°， 则∠APB 等于( ) A．55° B．70° C．110° D．125° 【答案】B 【详解】解：连接 OA，OB， ∵PA，PB 是⊙O 的切线， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， ∵∠ACB＝55°， ∴∠AOB＝110°， ∴∠APB＝360°−90°−90°−110°＝70°． 故选：B． 【名师点睛】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB 的度数． 典例 3 如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于 A，B 点，C 为⊙O 上一点，∠P=66°，则 ∠C=（　　） A．57° B．60° C．63° D．66° 【答案】A 【详解】连接 OA，OB． ∵PA，PB 分别与⊙O 相切于 A，B 点，∴∠OAP=90°，∠OBP=90°， ∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣66°=114°，由圆周角定理得：∠C = 1 2∠AOB=57°． 故选 A． 【名师点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧 或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 典例 4 如图，PA，PB 分别切 ⊙ 푂于点 A，B，PA = 12，CD 切 ⊙ 푂于点 E，交 PA， PB 于点 C，D 两点，则 △ PCD的周长是(　　) A．12 B．18 C．24 D．30【答案】C 【详解】解： ∵ PA、PB 分别切 ⊙ 푂于点 A、B，CD 切 ⊙ 푂于点 E， ∴ PA = PB = 12，AC = EC，BD = ED， ∴ PC + CD + PD = PC + CE + DE + PD = PA + AC + PD + BD = PA + PB = 12 + 12 = 24， 即 △ PCD的周长为 24， 故选：C． 【名师点睛】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA = PB、AC = CE 和BD = ED是解题的关键． 典例 5 如图，P 为⊙O 外一点，PA、PB 分别切⊙O 于 A、B，CD 切⊙O 于点 E，分 别交 PA、PB 于点 C、D，若 PA=5，则△PCD 的周长为（　　） A.5 B.7 C.8 D.10 【答案】D 【详解】解: ∵ PA、PB 为圆的两条相交切线, ∴ PA=PB, 同理可得: CA=CE, DE=DB. ∴ △PCD 的周长=PC+CE+ED+PD, ∴ △PCD 的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA,∴ △PCD 的周长=8, 故选 C. 【名师点睛】本题考查了切线的性质以及切线长定理的运用. 知识点三 三角形内切圆 1、概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三 角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2、内心和外心的区别： 外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。 作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。 性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。 内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。 作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。 性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。 3、直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：（具体内容见文件夹中 ppt）典例 1 在푅푡훥퐴퐵퐶中，∠퐶 = 900，퐴퐵 = 6，훥퐴퐵퐶的内切圆半径为 1，则훥퐴퐵퐶的 周长为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【详解】解：根据直角三角形的内切圆的半径公式，得1 2(AC + BC ― AB) = 1， ∴ AC + BC = 8． 则三角形的周长 = 8 + 6 = 14． 故选：B． 【名师点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，熟记直角三角形的内切圆的 半径公式：直角三角形的内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半是 解答此题的关键． 典例 2 如图， ⊙ 푂内切于훥퐴퐵퐶，切点分别为퐷,퐸,퐹。已知∠퐸퐷퐹 = 550,∠퐶 = 600， 连接푂퐸,푂퐹,퐷퐸,퐷퐹，那么∠퐵等于（ ） A．55° B．50° C．60° D．65° 【答案】B 【详解】解：∵E，F 是圆的切点， ∴OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO=∠AFO=90°， ∵∠EOF=2∠EDF=2 × 55° = 110°， ∴∠퐴 = 180° ― 110° = 70°， ∴∠퐵 = 180° ― 70° ― 60° = 50° 故选择：B. 【名师点睛】本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的内角和定理，多 边形的内角和定理，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能求出∠B 的度数是解 此题的关键． 典例 3 如图，△ABC 的内切圆⊙O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB＝ 5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形 AEOF)的面积是( ) A.4 B.6.25 C.7.5 D.9 【答案】A 【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12， ∴AB2+AC2=BC2， ∴△ABC 为直角三角形，且∠BAC=90°， ∵⊙O 为△ABC 内切圆， ∴∠AFO=∠AEO=90°，且 AE=AF， ∴四边形 AEOF 为正方形， 设⊙O 的半径为 r， ∴OE=OF=r，∴S 四边形 AEOF=r²， 连接 AO，BO，CO， ∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC， ∴1 2(퐴퐵 + 퐴퐶 + 퐵퐶)푟 = 1 2퐴퐵 ⋅ 퐴퐶， ∴r=2， ∴S 四边形 AEOF=r²=4， 故选 A. 【名师点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性 质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.巩固训练 一、单选题（共 10 小题） 1．如图，△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，D、E 分别是 AC、AB 的中点，则以 DE 为直径的圆与 BC 的位置关系是（　　） A.相切 B.相交 C.相离 D.无法确定 【答案】B 【详解】过点 A 作 AM⊥BC 于点 M，交 DE 于点 N，∴AM×BC=AC×AB，∴AM=3 × 4 5 =12 5 =2.4． ∵D、E 分别是 AC、AB 的中点，∴DE∥BC，DE=1 2BC=2.5，∴AN=MN=1 2AM， ∴MN=1.2． ∵以 DE 为直径的圆半径为 1.25，∴r=1.25＞1.2，∴以 DE 为直径的圆与 BC 的位 置关系是：相交． 故选 B． 【名师点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，利用中位线定理得出 BC 到圆心 的距离与半径的大小关系是解题的关键． 2．在△ABC 中，AB=13cm，AC=12cm，BC=5cm，以点 B 为圆心，5cm 为半径作⊙B，则边 AC 所在的直线和⊙B 的位置关系（ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．都有可能 【答案】A 【详解】解：∵AB=13cm，BC=5cm，AC=12cm， ∴BC2+AC2=AB2， ∴△ABC 为直角三角形，∠ACB=90°， ∴点 B 到直线 AC 的距离等于 5cm， 而⊙B 的半径为 5cm， ∴边 AC 所在的直线与⊙B 相切． 故答案为 A． 【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直 线 l 的距离为 d．则直线 l 和⊙O 相交⇔d＜r；直线 l 和⊙O 相切⇔d=r；直线 l 和⊙O 相离⇔d＞r． 3．如图所示，AB 是⊙O 的直径，点 C 为⊙O 外一点，CA，CD 是⊙O 的切线，A，D 为切点，连接 BD，AD．若∠ACD=30°，则∠DBA 的大小是（ ） A．15° B．30° C．60° D．75° 【答案】D 【解析】连接 OD，∵CA，CD 是⊙O 的切线，∴OA⊥AC，OD⊥CD， ∴∠OAC=∠ODC=90°，∵∠ACD=30°，∴∠AOD=360°﹣∠C﹣∠OAC﹣∠ODC=150°，∵OB=OD，∴∠DBA=∠ODB= ∠AOD=75°．故选 D． 4．如图，在平面直角坐标系中，半径为 2 的圆 P 的圆心 P 的坐标为（﹣3，0）， 将圆 P 沿 x 轴的正方向平移，使得圆 P 与 y 轴相切，则平移的距离为（　　） A.1 B.3 C.5 D.1 或 5 【答案】D 【详解】当圆 P 在 y 轴的左侧与 y 轴相切时，平移的距离为 3-2=1， 当圆 P 在 y 轴的右侧与 y 轴相切时，平移的距离为 3+2=5， 故选 D． 【名师点睛】本题考查的是切线的判定、坐标与图形的变化-平移问题，掌握切 线的判定定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的应用． 5．如图，点 I 为△ABC 的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB 平移使其顶点与 I 重合，则图中阴影部分的周长为（　　）A.4.5 B.4 C.3 D.2 【答案】B 【详解】连接 AI、BI， ∵点 I 为△ABC 的内心， ∴AI 平分∠CAB， ∴∠CAI=∠BAI， 由平移得：AC∥DI， ∴∠CAI=∠AID， ∴∠BAI=∠AID， ∴AD=DI， 同理可得：BE=EI， ∴△DIE 的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4， 即图中阴影部分的周长为 4， 故选 B． 【名师点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知 识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键． 6．如图，△ABC 中，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，MN 经过点 O，与 AB、AC 相交于点 M、N，且 MN∥BC，那么下列说法中：①∠MOB＝∠MBO②△AMN 的周 长等于 AB+AC；③∠A＝2∠BOC﹣180°；④连接 AO，则푆△퐴푂퐵：푆△퐴푂퐶：푆△퐵푂퐶＝AB：AC：BC；正确的有（ ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解： ∵ BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB， ∴ ∠ABO=∠CBO ∵ MN∥BC， ∴ ∠CBO=∠BOM， ∴ ∠MOB＝∠MBO，故①正确； ∴ BM=OM，同理 CN=ON， ∴ △AMN 的周长等于 AB+AC，故②正确； ∵ 由 ΔABC、ΔBOC 内角和为 180표 ∴ ∠A+∠ABC+∠ACB=180표,即：∠A+2(∠OBC+∠OCB)=180표, ∴ ∠OBC+∠OCB+∠BOC=180표,即∠OBC+∠OCB=180표 -∠BOC, 可得：∠A＝2∠BOC﹣180°，故③正确； 由题意得：点 O 为 ΔABC 的内心，设内切圆半径为 r，可得푆△퐴푂퐵：푆△퐴푂퐶：푆△퐵푂퐶 ＝1 2 × 푟 × AB：1 2 × 푟 × AC：1 2 × 푟 × BC= AB：AC：BC，故④正确 故选 D. 【名师点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的 定义、等腰三角形的判定与性质,三角形内角和定理及三角形的内心，综合性大. 7．如图，AB、AC 是⊙O 的两条切线，B、C 是切点，若∠A=70°，则∠BOC 的度 数为（ ）A．130° B．120° C．110° D．100° 【答案】C 【解析】∵AB、AC 是⊙O 的两条切线，B、C 是切点， ∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°-∠A=110°． 故选 C． 8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有下列问题“今有勾 八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形(如图)，勾 (短直角边)长为 8 步，股(长直角边)长为 15 步，问该直角三角形能容纳的圆形(内 切圆)直径是多少？”(　　) A．3 步 B．5 步 C．6 步 D．8 步 【答案】C 【解析】根据勾股定理得：斜边为 82 + 152 = 17， 则该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半径푟 = 8 + 15 ― 17 2 = 3 (步)，即直径为 6 步， 故选 C 9．下列说法正确的是( ) A.三点确定一个圆 B.一个三角形只有一个外接圆 C.和半径垂直的直线是圆的切线 D.三角形的内心到三角形三个顶点距离相等【答案】B 【详解】解：A、不共线的三点确定一个圆，所以 A 选项错误； B、一个三角形只有一个外接圆，所以 B 选项正确； C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以 C 选项错误； D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以 D 选项错误． 故选：B． 【名师点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、 半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了确定圆的条件和切线的判定． 10．已知，푅푡 △ 퐴퐵퐶中，∠퐶 = 90∘，斜边퐴퐵上的高为5푐푚，以点퐶为圆心，4.8为 半径的圆与该直线퐴퐵的交点个数为（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】A 【详解】解：∵5cm＞4.8cm， ∴d> r. ∴圆与该直线 AB 的位置关系是相离，交点个数为 0， 故选：A． 【名师点睛】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，关键是掌握 d 与 r 的大小关系所决定的直线与圆的位置关系． 二、填空题（共 5 小题） 11．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，O 是△ABC 的内心，以 O 为 圆心，r 为半径的圆与线段 AB 有公共点，则 r 的取值范围是_____．【答案】1≤r≤ 10 【解析】作 OD⊥AB 于 D，OE⊥BC 于 E，OF⊥AC 于 F，连接 OA、OB，如图所示 则四边形 OECF 是正方形，∴OF=CF=OE=CE． ∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB= 퐴퐶2 + 퐵퐶2=5． ∵O 是△ABC 的内心，∴CE=CF=OF=OE=1 2（AC+BC﹣AB）=1，∴AF=AC﹣CF=3， BE=BC﹣CE=2 ， ∴OA= 퐴퐹2 + 0퐹2= 32 + 12= 10， OB= 퐵퐸2 + 푂퐸2= 22 + 12= 5， 当 r=1 时，以 O 为圆心，r 为半径的圆与线段 AB 有唯一交点； 当 1＜r≤ 5时，以 O 为圆心，r 为半径的圆与线段 AB 有两个交点； 当 5＜r≤ 10时，以 O 为圆心，r 为半径的圆与线段 AB 有 1 个交点； ∴以 O 为圆心，r 为半径的圆与线段 AB 有交点，则 r 的取值范围是 1≤r≤ 10； 故答案为：1≤r≤ 10． 12．已知 ⊙ 푂的直径为13푐푚，如果圆心푂到直线푙的距离为5.5푐푚，那么直线푙与 ⊙ 푂有________个公共点． 【答案】2 【详解】已知圆的直径为 13cm，则半径为 6.5cm，又圆心距为 5.5cm，小于半径， 所以，直线与圆相交，有两个交点． 故答案为：2． 【名师点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心 到直线距离 d 与圆半径大小关系完成判定． 13．如图，在 △ ABC中，∠퐶 = 90∘，AC = 3，BC = 4，若以퐶为圆心，푅为半径的圆 与斜边AB只有一个公共点，则푅的值是________． 【答案】3 < 푟 ≤ 4或푟 = 2.4 【解析】如图： ∵퐵퐶 > 퐴퐶， ∴以퐶为圆心，푟为半径所作圆与斜边퐴퐵只有一个公共点， 由勾股定理，得퐴퐵 = 5． 分两种情况： ①圆与퐴퐵相切时， 푟 = 퐶퐷 = 3 × 4 ÷ 5 = 2.4． ②点퐴在圆内时，点퐵在圆上或圆外时， 퐴퐶 < 푟 ≤ 퐵퐶．即3 < 푟 ≤ 4． 综上所述3 < 푟 ≤ 4或푟 = 2.4，满足条件． 14．如图，已知 ⊙ 푂的半径为 2，훥퐴퐵퐶内接于 ⊙ 푂，∠퐴퐶퐵 = 135∘，则퐴퐵 = __________． 【答案】2 2 【解析】详解：连接 AD、AE、OA、OB， ∵⊙O 的半径为 2，△ABC 内接于⊙O，∠ACB=135°， ∴∠ADB=45°， ∴∠AOB=90°， ∵OA=OB=2， ∴AB=2 2， 故答案为：2 2． 15．在푅푡 △ 퐴퐵퐶中，∠퐶 = 90∘，퐴퐶 = 3，퐵퐶 = 4，以퐶为圆心，2.4为半径作 ⊙ 퐶，则 ⊙ 퐶和퐴퐵的位置关系是________． 【答案】相切 【详解】过 C 作 CD⊥AB 于 D，在 Rt△ACB 中，由勾股定理得：퐴퐵 = 32 + 42 = 5， 由三角形面积公式得：1 2 × 3 × 4 = 1 2 × 5 × 퐶퐷， CD=2.4， 即 C 到 AB 的距离等于⊙C 的半径长， ∴⊙C 和 AB 的位置关系是相切， 故答案为：相切. 【名师点睛】本题考查了直线和园的位置关系,解决的根据是直线和圆相离⇔圆 心到直线的距离大于圆的半径. 三、解答题（共 3 小题） 16．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在 AB 的延长线上，且∠BCD＝∠ A. (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若⊙O 的半径为 3，CD＝4，求 BD 的长． 【答案】（1）证明见解析（2）2 【解析】（1）如图，连接 OC． ∵AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点， ∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°． ∵OA=OC，∠BCD=∠A，∴∠ACO=∠A=∠BCD， ∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°， ∴CD 是⊙O 的切线． （2）在 Rt△OCD 中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4， ∴OD= =5， ∴BD=OD﹣OB=5﹣3=2． 17．已知△ABC 中 （1）求作：△ABC 的内切圆⊙O（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法） （2）综合应用：在你所作的圆中，若∠AOB=140°，求∠C 的度数． 【答案】（1）图形见解析（2）100° 【解析】（1）如图所示，⊙O 即为所求； （2）由（1）知，OA、OB 分别为∠CAB、∠CBA 的平分线， ∴∠CAB=2∠OAB、∠CBA=2∠OBA，∵∠AOB=140°， ∴∠OAB+∠OBA=40°， ∴∠CAB+∠CBA=2（∠OAB+∠OBA）=80°， ∴∠C=100°． 18．如图，BE 是 O 的直径，点 A 和点 D 是⊙O 上的两点，过点 A 作⊙O 的切线交 BE 延长线于点． （1）若∠ADE=25°，求∠C 的度数； （2）若 AB=AC，CE=2，求⊙O 半径的长． 【答案】（1）∠C=40°；（2）⊙O 的半径为 2． 【详解】（1）如图，连接 OA， ∵AC 是⊙O 的切线，OA 是⊙O 的半径， ∴OA⊥AC， ∴∠OAC=90°， ∵퐴퐸 = 퐴퐸,∠ADE=25°， ∴∠AOE=2∠ADE=50°，∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°； （2）∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵퐴퐸 = 퐴퐸， ∴∠AOC=2∠B， ∴∠AOC=2∠C， ∵∠OAC=90°， ∴∠AOC+∠C=90°， ∴3∠C=90°， ∴∠C=30°， ∴OA=1 2OC， 设⊙O 的半径为 r， ∵CE=2， ∴r=1 2 (r+2)， 解得：r=2， ∴⊙O 的半径为 2． 【名师点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、含 30 度角的直角三角形的 性质等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.