2020年初三数学上册期末考点练习：中心对称和中心对称图形

中心对称和中心对称图形 知识点一 中心对称与中心对称图形 中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转 ，如图它能够与另一个图形重合， 那么就说这两个 U 形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心（简称中 心）.这两个图形再旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点. 如图， 绕着点 旋转 后，与 完全重合，则称 和 关于点 对称，点 是点 关于点 的对称点. 中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够 与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 区别 （1）是针对两个图形而言的. （2）是指两个图形的（位置） 关系. （3）对称点在两个图形上. （4）对称中心在两个图形之 间. （1）是针对一个图形而言的. （2）是指具有某种性质的一个 图形. （3）对称点在一个图形上. （4）对称中心在图形上. 联系 （1）都是通过把图形旋转 重合来定义的.（2）两者可以相 互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图 形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把 一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两 个图形”中心对称 O DA B C 180° ABO∆ O 180° CDO∆ CDO∆ ABO∆ O C A O 180° 180°典例 1 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选 B. 典例 2 下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B. 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意， 故选：D. 典例 3 如图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C【详解】A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确； D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； 故选：C． 知识点二 作中心对称图形的方法 中心对称图形的性质：  中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所 平分；  中心对称的两个图形是全等图形. 作中心对称图形的一般步骤（重点）：  作出已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于中心的对称点——连 接关键点和中心，并延长一倍确定关键的对称点.  把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知 图形关于对称中心对称的图形. 找对称中心的方法和步骤： 对于中心对称图形和关于某一点对称的两个图形，它们的对称中心非常重要， 找不对称中心是解决先关问题的关键.由中心对称的特征可知，对称中心为对应 点连线的中点或两组相对应点连线的交点，因此找对称中心的步骤如下： 方法 1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心. 方法 2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中 心. 典例 1 如图，在小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位(1)画出三角形 ABC 向右平移 4 个单位所得的三角形 A1B1C1． (2)若连接 AA1、CC1，则这两条线段之间的关系是_______． (3)画出三角形 ABC 绕点 O 逆时针旋转 180°所得的三角形 A2B2C2． 【答案】(1)见解析；(2)平行且相等；(3)见解析. 【详解】(1)见图： (2)平行且相等； (3)见图. 典例 2 如图，在边长为 1 个单位长度的 的小正方形网格中.8 8×（1）将 先向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，作出平移后 的 ； （2）请画出 ，使 和 关于点 成中心对称； （3）直接写出 的面积. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）3. 【详解】（1）如图所示： （2）如图所示： （3） . 知识点三 关于原点对称的点的坐标规律 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（x，y）关于原点 O 的对称点 P’(-x，-y) ABC△ A B C′ ′ ′ A B C′′ ′′ ′△ A B C′′ ′′ ′△ A B C′ ′ ′ C′ A A B′ ′′ ′′△ 1 3 2 32A A BS ′ ′′ ′′ = × × =△典例 1 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（﹣3，4），那么下列说法正确的是 （　　） A．点 A 与点 B（﹣3，﹣4）关于 y 轴对称 B．点 A 与点 C（3，﹣4）关于 x 轴对称 C．点 A 与点 E（﹣3，4）关于第二象限的平分线对称 D．点 A 与点 F（3，﹣4）关于原点对称 【答案】D 【详解】解：A、点 A 的坐标为（-3，4），∴则点 A 与点 B（-3，-4）关于 x 轴对 称，故此选项错误； B、点 A 的坐标为（-3，4），∴点 A 与点 C（3，-4）关于原点对称，故此选项错 误； C、点 A 的坐标为（-3，4），∴点 A 与点 E（-3，4）重合，故此选项错误； D、点 A 的坐标为（-3，4），∴点 A 与点 F（3，-4）关于原点对称，故此选项正 确； 故选：D． 典例 2 若点 P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，则 m，n 的值分别为（　　） A． ，2 B．3， C． ， D．3，2 【答案】C 【详解】点 P（m，2）与点 Q（3，n）关于原点对称，得 m=-3，n=-2， 故选：C． 典例 3 若 P(x，3)与点 Q(4，y)关于原点对称，则 xy 的值是(　　) 3− 2− 3− 2−A．12 B．﹣12 C．64 D．﹣64 【答案】A 【详解】∵ 与点 关于原点对称， ∴ ， ， ∴ ． 故选：A． 巩固训练 一、单选题（共 10 小题） 1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：C． 【名师点睛】 ( )P x,3 ( )Q 4, y x 4= − y 3= − xy 12=本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴， 图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部 分重合． 2．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 在第一象限，点 、 的坐标分 别为 、 ， ， ，直线 交 轴于点 ，若 与 关于点 成中心对称，则点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】详解：∵点 B，C 的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴A（4，3）， 设直线 AB 解析式为 y=kx+b， 则 ，解得 ， ∴直线 AB 解析式为 y=x﹣1， 令 x=0，则 y=﹣1， ∴P（0，﹣1）， 又∵点 A 与点 A'关于点 P 成中心对称， ∴点 P 为 AA'的中点， ABC∆ A B C (2,1) ( )6,1 90BAC∠ = ° AB AC= AB y P ABC∆ A B C′ ′ ′∆ P A′ ( 4, 5)− − ( 5, 4)− − ( 3, 4)− − ( 4, 3)− − 4 3 2 1 k b k b + =  + = 1 1 k b =  = −设 A'（m，n），则 =0， =﹣1， ∴m=﹣4，n=﹣5， ∴A'（﹣4，﹣5）， 故选：A． 3．已知点 P（a+1， ）关于原点的对称点在第四象限，则 a 的取值范围在数 轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵P（ ， ）关于原点对称的点在第四象限，∴P 点在第二象限，∴ ， ，解得： ，则 a 的取值范围在数轴上表示正确的是 ．故选 C． 4．正方形 ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示，将正方形 ABCD 绕点 A 按顺时 针方向旋转 180°后，C 点的坐标是( ) A．(2，0) B．(3，0) C．(2，－1) D．(2，1) 【答案】B 【解析】试题解析：AC=2， 则正方形 ABCD 绕点 A 顺时针方向旋转 180°后 C 的对应点设是 C′，则 AC′=AC=2， 4 2 m + 3 2 n+ 12 a− + 1a + 12 a− + 1 0a + < 1 02 a− + > 1a < −则 OC′=3， 故 C′的坐标是（3，0）． 故选 B． 5．国产越野车“BJ40”中，哪个数字或字母既是中心对称图形又是轴对称图形 ( ) A． B． C．4 D．0 【答案】D 【解析】选项 A 是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；选项 B 不是 轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；选项 C 不是轴对称图形，不是 中心对称图形，故此选项错误；选项 D 是轴对称图形，又是中心对称图形，故此 选项正确， 故选 D． 6．已知点 A(a＋b，4)与点 B(－2，a－b)关于原点对称，则 a2－b2 等于( ) A.8 B.－8 C.5 D.－5 【答案】B 【详解】∵点 A（a+b，4）与点 B（-2，a-b）关于原点对称， ， ∴a2-b2=（a+b）（a-b）=2×（-4）=-8． 故选：B． 【名师点睛】 考查了关于原点对称点的性质，正确应用平方差公式是解题关键． B J 2 4 a b a b +  − − ＝ ＝7．如图,在 4×4 的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部 分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形,并涂 上阴影,使这两个格点正方形无重叠,且组成的图形既是轴对称图形,又是中心对 称图形,则这个格点正方形的作法共有 ( ) A．2 种 B．3 种 C．4 种 D．5 种 【答案】C 【解析】解：如图所示：组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形， 则这个格点正方形的作法共有 4 种． 故选：C． 8．已知点 和 关于原点对称，则 的值为（ ） A．1 B．0 C．-1 D． 【答案】A 【解析】试题解析：根据题意得：a-1=-2，b-1=-1， 解得：a=-1 b=0． 则（a+b）2008=1． 故选 A． ( )1 1,1p a − ( )2 2, 1p b − ( )2008a b+ ( )20053−9．如图，已知长方形的长为 10cm，宽为 4cm，则图中阴影部分的面积为（　　） A．20cm2 B．15cm2 C．10cm2 D．25cm2 【答案】A 【解析】由图形可知，长方形的面积=10×4=40cm2，再根据中心对称的性质得， 图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，则图中阴影部分的面积=1 2 ×40=20cm2，故选 A． 10．将点 P（-2，3）向右平移 3 个单位得到点 P1，点 P2 与点 P1 关于原点对称， 则 P2 的坐标是（ ） A．（-5，-3） B．（1，-3） C．（-1，-3） D．（5，-3） 【答案】C 【解析】点 P（－2，3）向右平移 3 个单位得到点 P1，则푃1(1,3)，点푃2与点푃1关 于原点对称，则푃2( ― 1, ― 3).故选 C． 二、填空题（共 5 小题） 11．在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（a，3），点 B 的坐标是（4，b），若点 A 与点 B 关于原点 O 对称，则 ab=_____． 【答案】12 【详解】∵点 A 的坐标为（a，3），点 B 的坐标是（4，b），点 A 与点 B 关于原点 O 对称， ∴a=﹣4，b=﹣3，则 ab=12， 故答案为：12． 【名师点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的两点的 横、纵坐标互为相反数是解题的关键. 12．若点（푎，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则푎푏=_______． 【答案】1 2． 【解析】试题分析：∵点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，∴b=﹣1，a=2，∴ 푎푏=2―1=1 2．故答案为：1 2． 13．已知 M（a，﹣3）和 N（4，b）关于原点对称，则（a+b）2002=_____． 【答案】1 【解析】∵M（a，﹣3）和 N（4，b）关于原点对称， ∴a=-4，b=3， ∴ . 14．点 关于 轴对称的点 的坐标是________，点 关于 轴对称的 的 坐标是________，点 关于原点对称的点 的坐标是________． 【答案】(-2,-3), (2,3), (2,-3) 【详解】点 A（-2，3）关于 x 轴对称的点的坐标是（-2，-3），关于 y 轴对称的 点的坐标是（2，3），关于原点对称的点是（2，-3）． 故答案为（-2，-3），（2，3），（2，-3）． 【名师点睛】 本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标规律：（1）关于 x 轴对称的点，横坐标 2002 2002 2002( ) ( 4 3) ( 1) 1a b+ = − + = − = ( )2,3M − x A M y C M B相同，纵坐标互为相反数；（2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为 相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都为互为相反数． 15．抛物线 y＝2x2－4x＋5 绕它的坐标原点 O 旋转 180°后的二次函数表达式为 ________． 【答案】푦 = - 2（푥 +1）2 - 3 【解析】详解：y＝2x2－4x＋5＝2(x－1)2＋3，顶点坐标是(1，3)，二次项系数 是 2，绕原点旋转 180°后的二次函数的顶点是(－1，－3)，二次项系数是－2， 所以表示式为 y＝－2(x＋1)2－3. 故答案为 y＝－2(x＋1)2－3. 三、解答题（共 2 小题） 16．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是 、 、 . (1)画出 关于点 成中心对称的△ ；平移 ，若点 的对应点 的坐 标为 ，画出平移后对应的△ ； (2)△ 和△ 关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为　 　． 【答案】(1)画图见解析；（2）（2，-1）. 【解析】试题解析：(1)、△A1B1C 如图所示， △A2B2C2 如图所示； (2)、如图， Rt ABC∆ ( 4,2)A − (0,4)B (0,2)C ABC∆ C 1 1A B C ABC∆ A 2A (0, 4)− 2 2 2A B C 1 1A B C 2 2 2A B C对称中心为（2，﹣1）． 17．在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角 坐标系△ABC 是格点三角形（顶点在网格线的交点上） （1）先作△ABC 关于原点 O 成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1 向上平移 4 个 单位长度得到△A2B2C2； （2）△A2B2C2 与△ABC 是否关于某点成中心对称？若是，直接写出对称中心的坐 标；若不是，请说明理由. 【答案】（1）画图见解析；（2）（0，2）. 【解析】详解：（1）如图所示，△A1B1C1 和△A2B2C2 即为所求；（2）由图可知，△A2B2C2 与△ABC 关于点（0，2）成中心对称．