人教版九年级数学上册期末测试题含答案

人教版九年级数学上册期末测试题含答案 期末测试题（一） A 卷 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．（3 分）sin30°的值为（　　） A． B． C． D． 2．（3 分）如图几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 3．（3 分）若 ，则 ＝（　　） A． B． C． D． 4．（3 分）已知关于 x 的方程 x2+3x+a＝0 有一个根为﹣2，则另一个根为（　　） A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5 5．（3 分）将二次函数 y＝x2+4x+3 化成顶点式，变形正确的是（　　） A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x+1）（x+3） C．y＝（x﹣2）2+1 D．y＝（x+2）2﹣1 6．（3 分）下列各命题中，真命题是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．两条对角线相等且相互平分的四边形是矩形 C．三点确定一个圆 D．相等的圆周角所对的弧相等 7．（3 分）如果 C 是线段 AB 一点，并且 AC＞CB，AB＝1，那么 AC 的长度为（　　）时， 点 C 是线段 AB 的黄金分割点． A．0.618 B． C． D． 8．（3 分）已知点 A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（3，c）都在函数 y＝﹣ 的图象上，则 a， b，c 的大小关系是（　　） A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞a＞b 9．（3 分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE 的 是（　　） A． B． C．∠B＝∠D D．∠C＝∠AED 10．（3 分）如图，CD 为⊙O 的直径，弦 AB⊥CD，垂足为 E，CE＝1，AB＝10，则 CD 的长 为（　　） A．20 B．24 C．25 D．26 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分） 11．（4分）已知a、b、c、d是成比例的线段，其中a＝3cm，b＝2cm，d＝4cm，则c＝　 　 cm． 12．（4 分）某超市今年 1 月份的销售额是 2 万元，3 月份的销售额是 2.88 万元，从 1 月份到 3 月份，该超市销售额平均每月的增长率是　 　． 13．（4 分）如图，直线 l1∥l2∥l3，直线 AC 分别交 l1，l2，l3 于点 A，B，C；直线 DF 分别交 l1，l2，l3 于点 D，E，F．AC 与 DF 相交于点 H，且 AH＝2，HB＝1，BC＝5，则 的值 为　 　． 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 54 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤） 14．（12 分）（1）计算： （2）解方程：x2﹣4x﹣5＝0 15．（6 分）若关于 x 的一元二次方程 x2﹣（2a+1）x+a2＝0 没有实数根，求 a 的取值范 围． 16．（8 分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂 AB 长为 40cm，灯罩 BC 长为 30cm，底 座厚度为 2cm．使用时发现：光线最佳时灯罩 BC 与水平线所成的角为 25°，求光线最佳 时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CD 的长．【参考数据：sin25°＝0.42，cos25°＝0.91，tan25°＝ 0.47】． 17．（8 分）有甲乙两个黑色布袋，甲中装有两个完全相同的小球，分别标有数字 1 和 2； 乙中装有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣2，﹣1 和 0．从甲布袋中随机取出一个小 球，记下标有的数字为 b，再从乙布袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为 k． （1）画树状图或列表法写出两次摸球的数字可能出现的所有结果；（2）如果将两次取出的小球上记录的数字 k，b 构造一次函数 y＝kx+b，求两次取出的球 上的编号数字能构造成一次函数的概率． 18．（10 分）如图，四边形 ABCD 为正方形．点 A 的坐标为（0，2），点 B 的坐标为（0，﹣ 3），反比例函数 y＝ 的图象经过点 C，一次函数 y＝ax+b 的图象经过点 A、C， （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求点 P 是反比例函数图象上的一点，△OAP 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积， 求 P 点的坐标． 19．（10 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AD 交 AB 于 E，△ADE 的外接圆⊙O 与边 AC 相交于点 F，过 F 作 AB 的垂线交 AD 于 P，交 AB 于 M，交⊙O 于 G， 连接 GE． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若 tan∠G＝ ，BE＝6，求⊙O 的半径； （3）在（2）的条件下，求 MP 的长．B 卷 一、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分） 20．（4 分）已知 a2﹣2a＝1，则代数式 3a2﹣6a﹣7 的值是　 　． 21．（4 分）从﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2 这 6 个数中任意取出一个数记作 k，则既能使函数 y＝ 的图象经过第一、第三象限，又能使关于 x 的一元二次方程 x2﹣kx+1＝0 有实数根的 概率为　 　． 22．（4 分）对于 x＞0，规定 f（x）＝ ，例如 f（2）＝ ＝ ，f（ ）＝ ＝ ， 那 么 f （ ） +f （ ） +f （ ） … +f （ ） +f （ 1 ） +f （ 2 ） + … +f （ 2019 ） ＝　 　． 23．（4 分）如图，M 为双曲线 y＝ （x＞0）上的一点，过点 M 作 x 轴、y 轴的垂线，分 别交直线 y＝﹣x+m 于点 D、C 两点．若直线 y＝﹣x+m 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B， 则 AD•BC 的值为　 　． 24．（4 分）如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB＝4，BC＝8，点 O、P 分别是边 AB、AD 的中 点，点 H 是边 CD 上的一个动点，连接 OH，将四边形 OBCH 沿 OH 折叠，得到四边形 OFEH，连接 PE，则 PE 长度的最小值是　 　．二、解答题（本大题共 3 个小题，共 30 分） 25．（8 分）某商场试销一种成本为每件 60 元的 T 恤，规定试销期间销售单价不低于成本 单价，且获利不得高于 40%．经试销发现，销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数 图象如图所示： （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围． （2）若商场销售这种 T 恤获得利润为 W（元），求出利润 W（元）与销售单价 x（元）之 间的函数关系式；并求出当销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多 少元？ 26．（10 分）在△ABC 中，P 为边 AB 上一点． （1）如图 1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP•AB； （2）若 M 为 CP 的中点，AC＝4． ①如图 2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝7，求 BP 的长； ②如图 3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，求 BP 的长． 27．（12 分）已知点 A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线 y＝ax2+bx 上 （1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，点 F 的坐标为（0，m）（m＞2），直线 AF 交抛物线于另一点 G，过点 G 作 x 轴的垂线，垂足为 H．设抛物线与 x 轴的正半轴交于点 E，连接 FH、AE，求证：FH∥AE； （3）如图 2，直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于 C、D 两点．点 P 从点 C 出发，沿射线 CD 方向 匀速运动，速度为每秒 个单位长度；同时点 Q 从原点 O 出发，沿 x 轴正方向匀速运动， 速度为每秒 1 个单位长度．点 M 是直线 PQ 与抛物线的一个交点，当运动到 t 秒时，QM＝ 2PM，直接写出 t 的值．参考答案与试题解析 A 卷 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案． 【解答】解：sin30°＝ ， 故选：A． 【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 2．【分析】依据从该几何体的正面看到的图形，即可得到主视图． 【解答】解：由图可得，几何体的主视图是： 故选：A． 【点评】本题主要考查了三视图，解题时注意：视图中每一个闭合的线框都表示物体上的 一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． 3．【分析】利用合比性质解答． 【解答】解：由 ，得 ＝ ＝ ． 故选：A． 【点评】考查了比例的性质，合比性质：若 ＝ ，则 ＝ ． 4．【分析】根据关于 x 的方程 x2+3x+a＝0 有一个根为﹣2，可以设出另一个根，然后根据 根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决． 【解答】解：∵关于 x 的方程 x2+3x+a＝0 有一个根为﹣2，设另一个根为 m， ∴﹣2+m＝ ， 解得，m＝﹣1，故选：B． 【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项 系数比值的相反数． 5．【分析】利用配方法把一般式化为顶点式即可． 【解答】解：y＝x2+4x+3 ＝x2+4x+4﹣1 ＝（x+2）2﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题 的关键． 6．【分析】根据菱形的判定方法对 A 进行判断；根据矩形的判定方法对 B 进行判断；根据 确定圆的条件对 C 进行判断；根据圆周角定理对 D 进行判断． 【解答】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以 A 选项为假命题； B、两条对角线相等且相互平分的四边形是矩形，所以 B 选项为真命题； C、不共线的三点确定一个圆，所以 C 选项为假命题； D、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以 D 选项为假命题． 故选：B． 【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设 和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成 “如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 7．【分析】根据黄金比值是 计算即可． 【解答】解：∵C 是线段 AB 的黄金分割点 C，AC＞CB， ∴AC＝ AB＝ ， 故选：C．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，掌握把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC）， 且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项，叫做把线段 AB 黄金分割是解题的关键． 8．【分析】把点 A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（3，c）代入函数 y＝﹣ 上求出 a、b、c 的 值，再进行比较即可． 【解答】解：把点 A（﹣3，a）代入函数 y＝﹣ 可得，a＝1； 把点 B（﹣1，b）代入函数 y＝﹣ 可得，b＝3； 把点 C（3，c）代入函数 y＝﹣ 可得，c＝﹣1． ∵3＞1＞﹣1，即 b＞a＞c． 故选：C． 【点评】本题比较简单，考查了反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上点 的坐标一定适合此函数的解析式． 9．【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答 案． 【解答】解：∵∠1＝∠2 ∴∠DAE＝∠BAC ∴A，C，D 都可判定△ABC∽△ADE 选项 B 中不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：B． 【点评】此题考查了相似三角形的判定： ①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； ②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似； ③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 10．【分析】连接 OA，先根据垂径定理求出 AE 的长，设 OA＝r，则 OE＝r﹣CE＝r﹣1，在Rt△AOE 中，根据勾股定理即可求出 r 的值，进而得出结论． 【解答】解：连接 OA， ∵CD 为⊙O 的直径，AB⊥CD，AB＝10， ∴AE＝ AB＝5， 设 OA＝r，则 OE＝r﹣CE＝r﹣1， 在 Rt△AOE 中， ∵OA2＝AE2+OE2，即 r2＝52+（r﹣1）2，解得 r＝13， ∴CD＝2r＝26． 故选：D． 【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的 关键． 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分） 11．【分析】由 a、b、c、d 四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义，即可得 ＝ ，又由 a＝3cm，b＝2cm，d＝4cm，即可求得 c 的值． 【解答】解：∵a、b、c、d 四条线段是成比例的线段， ∴ ＝ ， 又∵a＝3cm，b＝2cm，d＝4cm， ∴ ＝ ， 解得：d＝6． 故 c＝6cm．故答案为：6． 【点评】此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段 的定义． 12．【分析】设该超市销售额平均每月的增长率为 x，则二月份销售额为 2（1+x）万元，三 月份销售额为 2（1+x）2 万元，由 3 月份的销售额是 2.88 万元，即可得出关于 x 的一元二 次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设该超市销售额平均每月的增长率为 x，则二月份销售额为 2（1+x）万元， 三月份销售额为 2（1+x）2 万元， 根据题意得：2（1+x）2＝2.88， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该超市销售额平均每月的增长率是 20%． 故答案为：20%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题 的关键． 13．【分析】求出 AB＝3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【解答】解：∵AH＝2，HB＝1， ∴AB＝AH+BH＝3， ∵l1∥l2∥l3， ∴ ＝ ； 故答案为： ． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题 的关键． 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 54 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤）14．【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值计算； （2）利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）原式＝2 ﹣3+1﹣2× ＝ ﹣2； （2）（x+1）（x﹣5）＝0， x+1＝0 或 x﹣5＝0， 所以 x1＝﹣1，x2＝5． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方 程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运 算． 15．【分析】根据根的判别式即可求出 a 的取值范围． 【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程没有实数根， ∴△＝（2a+1）2﹣4a2＜0， 解得：a＜ ， ∴a＜ 时，原方程没有实数根． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解根的判别式，本题属于基础题 型． 16．【分析】根据 sin25°＝ ＝ ，求出 CF 的长，则 CD＝CF+FD+DE＝CF+AB+DE． 【解答】解：由题意得：AD⊥CE，过点 B 作 BF⊥CE，BG⊥EA， ∵灯罩 BC 长为 30cm，光线最佳时灯罩 BC 与水平线所成的角为 25°， ∵CF⊥FB，即三角形 CFB 为直角三角形， ∴sin25°＝ ＝ ，∴CF＝30×0.42＝12.6（cm）， ∴CD＝CF+FD+DE＝CF+AB+DE＝12.6+40+2＝54.6（cm） 答：光线最佳时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CD 的长 54.6cm． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关 键． 17．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （2）由（1）可求得点 P（x，y）构造一次函数 y＝kx+b 的情况，然后直接利用概率公式 求解即可求得答案． 【解答】解：（1）画树状图得： 则点可能出现的所有坐标：（1，﹣1），（1，0），（1，﹣2），（2，﹣1），（2，0），（2，﹣ 2）； （2）∵如果将两次取出的小球上记录的数字 k，b 构造一次函数 y＝kx+b，则共 6 种可能 情况， 其中两次取出的球上的编号数字能构造成一次函数的有 4 种， ∴两次取出的球上的编号数字能构造成一次函数的概率＝ ＝ ． 【点评】本题考查了列表法和树状图法求概率，一次函数图象上点的坐标特征，正确的画 出树状图是解题的关键． 18．【分析】（1）先根据正方形的性质求出点 C 的坐标为（5，﹣3），再将 C 点坐标代入反比例函数 y＝ 中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理，将点 A，C 的坐标代 入一次函数 y＝ax+b 中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式； （2）设 P 点的坐标为（x，y），先由△OAP 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积，列出关 于 x 的方程，解方程求出 x 的值，再将 x 的值代入 y＝﹣ ，即可求出 P 点的坐标． 【解答】解：（1）∵点 A 的坐标为（0，2），点 B 的坐标为（0，﹣3）， ∴AB＝5， ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴点 C 的坐标为（5，﹣3）． ∵反比例函数 y＝ 的图象经过点 C， ∴﹣3＝ ，解得 k＝﹣15， ∴反比例函数的解析式为 y＝﹣ ； ∵一次函数 y＝ax+b 的图象经过点 A，C， ∴ ， 解得 ， ∴一次函数的解析式为 y＝﹣x+2； （2）设 P 点的坐标为（x，y）． ∵△OAP 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积， ∴ ×OA•|x|＝52， ∴ ×2•|x|＝25， 解得 x＝±25．当 x＝25 时，y＝﹣ ＝﹣ ； 当 x＝﹣25 时，y＝﹣ ＝ ． ∴P 点的坐标为（25，﹣ ）或（﹣25， ）． 【点评】本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法 求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，难度适中．运用方程思想是解题的关 键． 19．【分析】（1）连结 OD，根据 AD 是角平分线，求出∠C＝90°，得到 OD⊥BC，求出 BC 是⊙O 的切线； （2）构造直角三角形，根据勾股定理求出 k 的值即可； （3）设 FG 与 AE 的交点为 M，连结 AG，利用三角函数和相似三角形结合勾股定理解 题． 【解答】（1）证明：如图 1，连结 OD， ∵DE⊥AD， ∴AE 是⊙O 的直径，即 O 在 AE 上，∵AD 是角平分线， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠CAD＝∠ADO， ∴OD∥AC， ∵∠C＝90°， ∴OD⊥BC． ∴BC 是⊙O 的切线； （2）解：∵OD∥AC， ∴∠DOB＝∠EAF， ∵∠G＝∠EAF， ∴∠DOB＝∠G， ∴tan∠4＝tan∠G＝ ， 设 BD＝4k，则 OD＝OE＝3k， 在 Rt△OBD 中，由勾股定理得（3k）2+（4k）2＝（3k+6）2， 解得，k1＝3，k2＝﹣ （舍），（注：也可由 OB＝5k＝3k+6 得 k＝3），∴3k＝9，即⊙O 的半径为 9； （3）解：如图 2，连结 AG，则∠AGE＝90°，∠EGM＝∠MAG． ∴tan∠MAG＝tan∠EGM＝ ， 即 ， 设 GM＝4x，AM＝3x， ∵GM2＝AM•ME， ∴ME＝ x， ∴AE＝3x+ x＝18， ∴x＝ ， ∴AM＝ ， ∵OD∥AC， ∴ ， ， 即 ， ， ∴AC＝ ，CD＝ ， ∵∠CAD＝∠BAD，∠ACD＝∠AMP＝90°， ∴△ACD∽△AMP．∴ ， ∴PM＝ ＝ ． 【点评】本题考查了圆的综合题，涉及切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、 特殊角的三角函数值，正确的作出辅助线是解题的关键． B 卷 一、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分） 20．【分析】原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵a2﹣2a＝1， ∴原式＝3（a2﹣2a）﹣7＝3﹣7＝﹣4， 故答案为：﹣4 【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21．【分析】确定使函数的图象经过第一、三象限的 k 的值，然后确定使方程有实数根的 k 值，找到同时满足两个条件的 k 的值即可． 【解答】解：这 6 个数中能使函数 y＝ 的图象经过第一、第三象限的有 1，2 这 2 个数， ∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣kx+1＝0 有实数根， ∴k2﹣4≥0， 解得 k≤﹣2 或 k≥2， 能满足这一条件的数是：﹣3、﹣2、2 这 3 个数， ∴能同时满足这两个条件的只有 2 这个数， ∴此概率为 ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了反比例函数图象与系数的关系及根的判别式的知识，根据反比例函数 性质与方程的根的判别式得出 k 的值是解答此题的关键．22．【分析】根据 f（x）求出 f（ ），进而得到 f（x）+f（ ）＝1，原式结合后，计算即 可求出值． 【解答】解：∵x＞0，规定 f（x）＝ ， ∴f（ ）＝ ＝ ，即 f（x）+f（ ）＝ + ＝ ＝1，f（1）＝ ， 则原式＝[f（ ）+f（2019）]+[f（ ）+f（2018）]+…+[f（ ）+f（2）]+f（1）＝2018 ， 故答案为：2018 【点评】此题考查了分式的加减法，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解 本题的关键． 23．【分析】如图，过点 M 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 G、H，作 DE⊥y 轴于 E，CF⊥ x 轴于 F，先证明△OAB 为等腰直角三角形，则判断△AED 和△BCF 都为等腰直角三角形， 所以 AD＝ DE，BC＝ CF，则 AD•BC＝2DE•CF，设 M（x，y），利用反比例函数图象上 点的坐标特征得到 xy＝ ，从而得到 AD•BC 的值． 【解答】解：如图，过点 M 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 G、H，作 DE⊥y 轴于 E，CF ⊥x 轴于 F， 当 x＝0 时，y＝﹣x+m＝m，则 A（0，m）， 当 y＝0 时，﹣x+m＝0，解得 x＝m，则 B（m，0）， ∵OA＝OB＝m， ∴△OAB 为等腰直角三角形， 易得△AED 和△BCF 都为等腰直角三角形， ∴AD＝ DE，BC＝ CF， ∴AD•BC＝2DE•CF，设 M（x，y）， ∴DE＝MH＝x，CF＝MG＝y， ∴AD•BC＝2xy＝2× ＝ ． 故答案为 ． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y＝ （k 为常数，k≠ 0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy＝k． 24．【分析】如图，连接 EO、PO、OC．根据三边关系，PE≥OE﹣OP，求出 OE，OP 即可解 决问题． 【解答】解：如图，连接 EO、PO、OC． ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B＝∠OAP＝90°， 在 Rt△OBC 中，BC＝8，OB＝2， ∴OC＝ ＝2 ， 在 Rt△AOP 中，OA＝2，PA＝4，∴OP＝ ＝2 ， ∵OE＝OC＝2 ，PE≥OE﹣OP， ∴PE 的最小值为 2 ﹣2 ． 故答案为 2 ﹣2 ． 【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、三角形的三边关系、勾股定理等知识，解题的 关键是学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题． 二、解答题（本大题共 3 个小题，共 30 分） 25．【分析】（1）可用待定系数法来确定 y 与 x 之间的函数关系式，再利用试销期间销售单 价不低于成本单价，且获利不得高于 40%得出 x 的取值范围即可； （2）根据利润＝销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销 售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润． 【解答】解：（1）由题意得： ， 解得： ， 故 y 与 x 之间的函数关系式为：y＝﹣x+120， ∵成本为每件 60 元的 T 恤，销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 40%， ∴60≤x≤84； （2）w＝（x﹣60）（﹣x+120）＝﹣x2+180x﹣7200＝﹣（x﹣90）2+900， ∵抛物线开口向下， ∴当 x＜90 时，w 随 x 的增大而增大， 而 60≤x≤84，故当 x＝84 时，w＝（84﹣60）×（120﹣84）＝864． 答：当销售价定为 84 元/件时，商场可以获得最大利润，最大利润是 864 元． 【点评】本题考查了一次函数的应用以及用待定系数法求一次函数的综合应用和主要结合 一次函数的性质，求出二次函数的最值问题；在本题中，还需注意的是自变量的取值范围， 否则容易按照“顶点式”的做法，求出误解． 26．【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）①取 AP 在中点 G，连接 MG，设 AG＝x，则 PG＝x，BG＝7﹣x，根据三角形的中位 线的性质得到 MG∥AC，由平行线的性质得到∠BGM＝∠A，根据相似三角形的性质得到即 ，即可得到结论； ②过 C 作 CH⊥AB 于 H，延长 AB 到 E，使 BE＝BP，解直角三角形得到 CH＝2 ，HE＝2 +x，根据勾股定理得出 CE2＝（2 ）2+（2 +x）2，相似三角形的性质得到 CE2＝EP•EA 列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ACP∽△ABC， ∴ ， ∴AC2＝AP•AB； （2）①如图 2，取 AP 在中点 G，连接 MG，设 AG＝x，则 PG＝x，BG＝7﹣x， ∵M 是 PC 的中点， ∴MG∥AC， ∴∠BGM＝∠A， ∵∠ACP＝∠PBM， ∴△APC∽△GMB，∴ ， 即 ， ∴x＝ ， ∵AB＝7， ∴AP＝7﹣ ， ∴PB＝ ； ②如图 3，过 C 作 CH⊥AB 于 H，延长 AB 到 E，使 BE＝BP， 设 BP＝x． ∵∠ABC＝45°，∠A＝60°， ∴CH＝2 ，HE＝2 +x， ∵CE2＝（2 ）2+（2 +x）2， ∵PB＝BE，PM＝CM， ∴BM∥CE， ∴∠PMB＝∠PCE＝60°＝∠A， ∵∠E＝∠E， ∴△ECP∽△EAC， ∴ ， ∴CE2＝EP•EA， ∴12+12+x2+4 x＝2x（x+2 +2）， ∴x＝2 ﹣2，∴PB＝2 ﹣2． 【点评】本题属于三角形综合题，需要掌握相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三 角形的中位线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 27．【分析】（1）根据点 A、B 的坐标利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式； （2）（方法一）根据点 A、F 的坐标利用待定系数法，可求出直线 AF 的解析式，联立直线 AF 和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点 G 的坐标，进而可得出点 H 的坐 标，利用分解因式法将抛物线解析式变形为交点式，由此可得出点 E 的坐标，再根据点 A、E （F、H）的坐标利用待定系数法，可求出直线 AE（FH）的解析式，由此可证出 FH∥AE； （方法二）根据点 A、F 的坐标利用待定系数法，可求出直线 AF 的解析式，联立直线 AF 和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点 G 的坐标，进而可得出点 H 的坐标， 利用分解因式法将抛物线解析式变形为交点式，由此可得出点 E 的坐标，过点 A 作 AA′⊥ x 轴，垂足为点 A′，利用相似三角形的判定定理可得出△AA′E∽△FOH，利用相似三角 形的性质可得出∠AEA′＝∠FHO，进而可证出 FH∥AE； （3）根据点 A、B 的坐标利用待定系数法，可求出直线 AB 的解析式，进而可找出点 P、Q 的坐标，分点 M 在线段 PQ 上以及点 M 在线段 QP 的延长线上两种情况考虑，借助相似三 角形的性质可得出点 M 的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于 t 的一元 二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）将点 A（﹣1，1）、B（4，6）代入 y＝ax2+bx 中， ，解得： ， ∴抛物线的解析式为 y＝ x2﹣ x． （2）证明：（方法一）设直线 AF 的解析式为 y＝kx+m， 将点 A（﹣1，1）代入 y＝kx+m 中，即﹣k+m＝1， ∴k＝m﹣1， ∴直线 AF 的解析式为 y＝（m﹣1）x+m． 联立直线 AF 和抛物线解析式成方程组， ，解得： ， ， ∴点 G 的坐标为（2m，2m2﹣m）． ∵GH⊥x 轴， ∴点 H 的坐标为（2m，0）． ∵抛物线的解析式为 y＝ x2﹣ x＝ x（x﹣1）， ∴点 E 的坐标为（1，0）． 设直线 AE 的解析式为 y＝k1x+b1， 将 A（﹣1，1）、E（1，0）代入 y＝k1x+b1 中， ，解得： ， ∴直线 AE 的解析式为 y＝﹣ x+ ． 设直线 FH 的解析式为 y＝k2x+b2，将 F（0，m）、H（2m，0）代入 y＝k2x+b2 中， ，解得： ， ∴直线 FH 的解析式为 y＝﹣ x+m． ∴FH∥AE． （方法二）设直线 AF 的解析式为 y＝kx+m， 将点 A（﹣1，1）代入 y＝kx+m 中，即﹣k+m＝1， ∴k＝m﹣1， ∴直线 AF 的解析式为 y＝（m﹣1）x+m． 联立直线 AF 和抛物线解析式成方程组， ，解得： ， ， ∴点 G 的坐标为（2m，2m2﹣m）． ∵GH⊥x 轴， ∴点 H 的坐标为（2m，0）． ∵抛物线的解析式为 y＝ x2﹣ x＝ x（x﹣1）， ∴点 E 的坐标为（1，0）． 过点 A 作 AA′⊥x 轴，垂足为点 A′，如图 1 所示． ∵点 A（﹣1，1）， ∴A′（﹣1，0）， ∴AE＝2，AA′＝1． ∵∠AA′E＝∠FOH， ＝ ＝ ，∴△AA′E∽△FOH， ∴∠AEA′＝∠FHO， ∴FH∥AE． （3）设直线 AB 的解析式为 y＝k0x+b0， 将 A（﹣1，1）、B（4，6）代入 y＝k0x+b0 中， ，解得： ， ∴直线 AB 的解析式为 y＝x+2． 当运动时间为 t 秒时，点 P 的坐标为（t﹣2，t），点 Q 的坐标为（t，0）． 当点 M 在线段 PQ 上时，过点 P 作 PP′⊥x 轴于点 P′，过点 M 作 MM′⊥x 轴于点 M′， 则△PQP′∽△MQM′，如图 2 所示． ∵QM＝2PM， ∴ ＝ ＝ ， ∴QM′＝ ，MM′＝ t， ∴点 M 的坐标为（t﹣ ， t）． 又∵点 M 在抛物线 y＝ x2﹣ x 上， ∴ t＝ ×（t﹣ ）2﹣ （t﹣ ）， 解得：t＝ ； 当点 M 在线段 QP 的延长线上时， 同理可得出点 M 的坐标为（t﹣4，2t）， ∵点 M 在抛物线 y＝ x2﹣ x 上， ∴2t＝ ×（t﹣4）2﹣ （t﹣4），解得：t＝ ． 综上所述：当运动时间为 秒、 秒、 秒或 秒时，QM＝2PM． 【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特 征、二次函数的三种形式、相似三角形的性质以及两条直线相交或平行，解题的关键是： （1）根据点 A、B 的坐标利用待定系数法，求出抛物线的解析式；（2）（方法一）根据点 A、E（F、H）的坐标利用待定系数法，求出直线 AE（FH）的解析式；（方法二）利用相似三角形的性质找出∠AEA′＝∠FHO；（3）分点 M 在线段 PQ 上以及点 M 在线段 QP 的 延长线上两种情况，借助相似三角形的性质找出点 M 的坐标． 期末测试题（二） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．下列四个图形中，不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．平面直角坐标系内一点 P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（3，﹣2） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3） 3．在单词“APPLE”中随机选择一个字母，选择到的字母是“P”的概率是（　　） A． B． C． D． 4．抛物线 y=（x﹣1）2+2 的顶点坐标是（　　） A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 5．若正六边形外接圆的半径为 4，则它的边长为（　　） A．2 B． C．4 D． 6．下列事件中，必然事件是（　　） A．掷一枚硬币，正面朝上B．任意三条线段可以组成一个三角形 C．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数 D．抛出的篮球会下落 7．若关于 x 的一元二次方程 x2+x﹣m=0 有实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m≥ B．m≥﹣ C．m≤ D．m≤﹣ 8．用一条长 40cm 的绳子怎样围成一个面积为 75cm2 的矩形？设矩形的一边为 x 米，根据 题意，可列方程为（　　） A．x（40﹣x）=75 B．x（20﹣x）=75 C．x（x+40）=75 D．x（x+20）=75 9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E．若 AB=8，AE=1，则弦 CD 的长是（　　） A． B．2 C．6 D．8 10．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：：①a＜0；②b＞0；③ b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；其中结论正确的个数有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 　 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11．方程（x﹣1）（x+2）=0 的解是　 　． 12．在半径为 6cm 的圆中，120°的圆心角所对的弧长为　 　cm．13 ． 将 抛 物 线 y=5x2 向 左 平 移 2 个 单 位 得 到 新 的 抛 物 线 ， 则 新 抛 物 线 的 解 析 式 是　 　． 14．在一个不透明的盒子中装有 2 个白球，n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若 从中随机摸出一个球，它是黄球的概率为 ，则 n=　 　． 15．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°， 则∠A=　 　． 16．如图，五边形 ABCD 内接于⊙O，若 AC=AD，∠B+∠E=230°，则∠ACD 的度数 是　 　． 　 三、解答题（一）（每小题 6 分，共 18 分） 17．解方程：3x2﹣6x+1=2． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（﹣3，5）、B （﹣2，1）、C（﹣1，3）． （1）画出将△ABC 绕点 O 顺时针旋转 90°后所得到的图形△A1B1C1； （2）写出点 A1、B1、C1 的坐标．19．某电脑公司现有 A、B、C 三种型号的甲品牌电脑和 D、E 两种型号的乙品牌电脑．某 中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑． （1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）； （2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，求 A 型号电脑被选中的概率． 　 四、解答题（二）（每小题 7 分，共 21 分） 20．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 81 人患了流感． （1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）按照这样的速度传染，第三轮将又有多少人被传染？ 21．如图，四边形 ABCD 是正方形，△ADF 旋转一定角度后得到△ABE，且点 E 在线段 AD 上，若 AF=4，∠F=60°． （1）指出旋转中心和旋转角度； （2）求 DE 的长度和∠EBD 的度数． 22．如图，点 E 是△ABC 的内心，AE 的延长线与△ABC 的外接圆相交于点 D．（1）若∠BAC=70°，求∠CBD 的度数； （2）求证：DE=DB． 　 五、解答题（三）（每小题 9 分，共 27 分） 23．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50 元，为了合理定价，投放市场进行试销．据 市场调查，销售单价是 100 元时，每天的销售量是 50 件，而销售单价每降低 1 元，每天 就可多售出 5 件，但要求销售单价不得低于成本． （1）求出每天的销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000 元，那么销售单价应控制在什么范围内？ 24．如图，以△ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆，经过 A、B 两点，且与 BC 边交于点 E，D 为 BE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于 F，若 AC=FC． （1）求证：AC 是⊙O 的切线： （2）若 BF=8，DF= ，求⊙O 的半径； （3）若∠ADB=60°，BD=1，求阴影部分的面积．（结果保留根号） 25．如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠C=90°，AB=12，四边形 EFPQ 是矩形，点 P 与点 C 重 合，点 Q、E、F 分别在 BC、AB、AC 上（点 E 与点 A、点 B 均不重合）．（1）当 AE=8 时，求 EF 的长； （2）设 AE=x，矩形 EFPQ 的面积为 y． ①求 y 与 x 的函数关系式； ②当 x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？ （3）当矩形 EFPQ 的面积最大时，将矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 CB 匀速向右 运动（当点 P 到达点 B 时停止运动），设运动时间为 t 秒，矩形 EFPQ 与△ABC 重叠部分的 面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围． 　参考答案 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．下列四个图形中，不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是中心对称图形．故错误； B、是中心对称图形．故错误； C、不是中心对称图形．故正确； D、是中心对称图形．故错误． 故选：C． 【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度 后与原图重合． 2．平面直角坐标系内一点 P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（3，﹣2） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3） 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数解答． 【解答】解：点 P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特征，熟记特征是解题的关键． 3．在单词“APPLE”中随机选择一个字母，选择到的字母是“P”的概率是（　　） A． B． C． D．【分析】由单词“APPLE”中有 2 个 p，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：∵单词“APPLE”中有 2 个 p， ∴从单词“APPLE”中随机抽取一个字母为 p 的概率为： ． 故选：C． 【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之 比． 4．抛物线 y=（x﹣1）2+2 的顶点坐标是（　　） A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 【分析】由抛物线解析式即可求得答案． 【解答】解： ∵y=（x﹣1）2+2， ∴抛物线顶点坐标为（1，2）， 故选：A． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 y=a （x﹣h）2+k 中，顶点坐标为（h，k），对称轴为 x=h． 5．若正六边形外接圆的半径为 4，则它的边长为（　　） A．2 B． C．4 D． 【分析】根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求 解． 【解答】解：正六边形的中心角为 360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组 成一个等边三角形， 故正六边形的外接圆半径等于 4，则正六边形的边长是 4． 故选：C． 【点评】此题主要考查了正多边形和圆，利用正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形得出是解题关键． 6．下列事件中，必然事件是（　　） A．掷一枚硬币，正面朝上 B．任意三条线段可以组成一个三角形 C．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数 D．抛出的篮球会下落 【分析】必然事件是指一定会发生的事件． 【解答】解：A、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故 A 错误； B、在同一条直线上的三条线段不能组成三角形，故 B 错误； C、投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，是随机事件，故 C 错误； D、抛出的篮球会下落是必然事件． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是必然事件和随机事件，掌握随机事件和必然事件的概念是解题 的关键． 7．若关于 x 的一元二次方程 x2+x﹣m=0 有实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m≥ B．m≥﹣ C．m≤ D．m≤﹣ 【分析】根据方程有实数根得出不等式，求出不等式的解集即可． 【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2+x﹣m=0 有实数根， ∴△=12﹣4×1×（﹣m）=1+4m≥0， 解得：m≥﹣ ， 故选：B． 【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能根据根的判别式和已知得出不等 式是解此题的关键．8．用一条长 40cm 的绳子怎样围成一个面积为 75cm2 的矩形？设矩形的一边为 x 米，根据 题意，可列方程为（　　） A．x（40﹣x）=75 B．x（20﹣x）=75 C．x（x+40）=75 D．x（x+20）=75 【分析】根据长方形的周长可以用 x 表示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程． 【解答】解：设长为 xcm， ∵长方形的周长为 40cm， ∴宽为=（20﹣x）（cm）， 得 x（20﹣x）=75． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的运用，要掌握运用长方形的面积计算公式 S=ab 来解题 的方法． 9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E．若 AB=8，AE=1，则弦 CD 的长是（　　） A． B．2 C．6 D．8 【分析】根据垂径定理，可得答案． 【解答】解：连接 OC， 由题意，得 OE=OA﹣AE=4﹣1=3， CE=ED= = ，CD=2CE=2 ， 故选：B． 【点评】本题考查了垂径定理，利用勾股定理，垂径定理是解题关键． 10．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：：①a＜0；②b＞0；③ b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；其中结论正确的个数有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【分析】①根据抛物线开口向下可得出 a＜0，结论①正确；②由抛物线对称轴为直线 x=﹣1 可得出 b=2a＜0，结论②错误；③由抛物线与 x 轴有两个交点，可得出∴△=b2﹣4ac＞0， 结论③正确；④由当 x=1 时 y＜0，可得出 a+b+c＜0，结论④正确．综上即可得出结论． 【解答】解：①∵抛物线开口向下， ∴a＜0，结论①正确； ②∵抛物线对称轴为直线 x=﹣1， ∴﹣ =﹣1， ∴b=2a＜0，结论②错误； ③∵抛物线与 x 轴有两个交点， ∴△=b2﹣4ac＞0，结论③正确； ④∵当 x=1 时，y＜0， ∴a+b+c＜0，结论④正确． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 　 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11．方程（x﹣1）（x+2）=0 的解是　x1=1、x2=﹣2　． 【分析】由题已知的方程已经因式分解，将原式化为两式相乘的形式，再根据两式相乘值 为 0，这两式中至少有一式值为 0，求出方程的解． 【解答】解：∵（x﹣1）（x+2）=0 ∴x﹣1=0 或 x+2=0 ∴x1=1，x2=﹣2， 故答案为 x1=1、x2=﹣2． 【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，因式分解法解一元二次方程 时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为 0，再分别使各一次因式等于 0 即可求 解． 12．在半径为 6cm 的圆中，120°的圆心角所对的弧长为　4π　cm． 【分析】直接利用弧长公式求出即可． 【解答】解：半径为 6cm 的圆中，120°的圆心角所对的弧长为： =4π（cm）． 故答案为：4π． 【点评】此题主要考查了弧长公式的应用，正确记忆弧长公式是解题关键． 13．将抛物线 y=5x2 向左平移 2 个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是　y=5 （x+2）2　． 【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可． 【解答】解：抛物线 y=5x2 的顶点坐标为（0，0）， 向左平移 2 个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，0）， 所以，平移后的抛物线的解析式为 y=5（x+2）2．故答案为：y=5（x+2）2 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上 加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式． 14．在一个不透明的盒子中装有 2 个白球，n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若 从中随机摸出一个球，它是黄球的概率为 ，则 n=　4　． 【分析】根据黄球的概率公式列出关于 n 的方程，求出 n 的值即可． 【解答】解：由题意知： = ， 解得 n=4． 故答案为 4． 【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°， 则∠A=　55°　． 【分析】根据题意得出∠ACA′=35°，则∠A′=90°﹣35°=55°，即可得出∠A 的度数． 【解答】解：∵把△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 35°，得到△A′B′C，A′B′交 AC 于点 D，∠ A′DC=90°， ∴∠ACA′=35°，则∠A′=90°﹣35°=55°， 则∠A=∠A′=55°． 故答案为：55°． 【点评】此题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理等知识，得出∠A′的度数是解 题关键．16 ．如图，五边形 ABCD 内接于⊙O ，若 AC=AD ，∠B+ ∠E=230° ，则∠ACD 的度数是　 65°　． 【分析】依据圆周角定理，依据圆内接四边形的对角互补即可求解． 【解答】解：连接 OC，OD，CE，DB． 在圆内接四边形 ABCE 中，有∠ABC+∠AEC=180°； 由圆周角定理知，∠AOC=2∠AEC， ∴∠ABC+ ∠AOC=180°， 同理∠AED+ ∠AOD=180° 两式相加有：230°+ ∠AOC+ ∠AOD=360°，即∠AOC+∠AOD=260°， ∴∠COD=360°﹣（∠AOC+∠AOD）=100°=2∠CAD， ∴∠CAD=50°． ∵AC=AD， ∴∠ACD= ， 故答案为：65° 【点评】本题考查圆内接四边形问题，关键是利用了圆内接四边形的性质：对角互补，圆 周角定理求解．　 三、解答题（一）（每小题 6 分，共 18 分） 17．解方程：3x2﹣6x+1=2． 【分析】方程整理成一般式后，利用公式法求解可得． 【解答】解：方程整理为一般式为 3x2﹣6x﹣1=0， ∵a=3，b=﹣6，c=﹣1， ∴△=36﹣4×3×（﹣1）=48＞0， 则 x= = ， 即 x1= ，x2= ． 【点评】此题考查了一元二次方程的解法．此题难度不大，注意选择适宜的解题方法是解 此题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（﹣3，5）、B （﹣2，1）、C（﹣1，3）． （1）画出将△ABC 绕点 O 顺时针旋转 90°后所得到的图形△A1B1C1； （2）写出点 A1、B1、C1 的坐标． 【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用（1）中所求进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：A1（5，3）、B1（1，2）、C1（3，1）． 【点评】此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 19．某电脑公司现有 A、B、C 三种型号的甲品牌电脑和 D、E 两种型号的乙品牌电脑．某 中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑． （1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）； （2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，求 A 型号电脑被选中的概率． 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （2）由（1）可求得 A 型号电脑被选中的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：（1）画树状图得： ∴有 6 种选择方案：AD、AE、BD、BE、CD、CE； （2）∵（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，且 A 型号电脑被选中的有 2 种情况， ∴A 型号电脑被选中的概率= = ．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重 复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两 步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 　 四、解答题（二）（每小题 7 分，共 21 分） 20．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 81 人患了流感． （1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）按照这样的速度传染，第三轮将又有多少人被传染？ 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，根据有一个人患了流感，经过两轮 传染后共有 81 人患了流感，列方程求解． （2）根据（1）中所求数据，进而表示出第三轮将又被传染的人数． 【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，依题意有 x+1+（x+1）x=81， 解得 x1=8，x2=﹣10（不符合题意舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了 8 个人． （2）8×81=648（人）． 答：第三轮将又有 648 人被传染人． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解． 21．如图，四边形 ABCD 是正方形，△ADF 旋转一定角度后得到△ABE，且点 E 在线段 AD 上，若 AF=4，∠F=60°． （1）指出旋转中心和旋转角度； （2）求 DE 的长度和∠EBD 的度数．【分析】（1）由于△ADF 旋转一定角度后得到△ABE，根据旋转的性质得到旋转中心为点 A，∠DAB 等于旋转角，于是得到旋转角为 90°； （2）根据旋转的性质得到 AE=AF=4，∠AEB=∠F=60°，则∠ABE=90°﹣60°=30°，运用勾股定 理得到 AB=AD=4 ，∠ABD=45°，所以 DE=4 ﹣4，然后利用∠EBD=∠ABD﹣∠ABE 计算 即可． 【解答】解：（1）∵△ADF 旋转一定角度后得到△ABE， ∴旋转中心为点 A，∠DAB 等于旋转角， ∴旋转角为 90°； （2）∵△ADF 以点 A 为旋转轴心，顺时针旋转 90°后得到△ABE， ∴AE=AF=4，∠AEB=∠F=60°， ∴∠ABE=90°﹣60°=30°， ∴BE=2AE=8， ∴AB= =4 ， ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AD=AB=4 ，∠ABD=45°， ∴DE=4 ﹣4， ∠EBD=∠ABD﹣∠ABE=15°．【点评】本题考查了旋转的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：对应点到旋转中心的 距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 22．如图，点 E 是△ABC 的内心，AE 的延长线与△ABC 的外接圆相交于点 D． （1）若∠BAC=70°，求∠CBD 的度数； （2）求证：DE=DB． 【分析】（1）根据圆周角与圆心角的关系解答即可； （2）根据等边对等角可以证得∠CAB=∠CBA，然后根据内心的定义即可证得∠ABE=∠ BAE，从而依据等角对等边即可证得． 【解答】解：（1）∵点 E 是△ABC 的内心，∠BAC=70°， ∴∠CAD= ， ∵ ， ∴∠CBD=∠CAD=35°； （2）∵E 是内心， ∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD． ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠CBD=∠BAD， ∵∠BAD+∠ABE=∠BED，∠CBE+∠CBD=∠DBE，∴∠DBE=∠BED， ∴DE=DB； 【点评】本题考查了三角形的内心以及圆周角定理，根据内心的定义证得∠ABE=∠BAE 是 本题的关键． 　 五、解答题（三）（每小题 9 分，共 27 分） 23．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50 元，为了合理定价，投放市场进行试销．据 市场调查，销售单价是 100 元时，每天的销售量是 50 件，而销售单价每降低 1 元，每天 就可多售出 5 件，但要求销售单价不得低于成本． （1）求出每天的销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000 元，那么销售单价应控制在什么范围内？ 【分析】（1）根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出方程； （2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答； （3）把 y=4000 代入函数解析式，求得相应的 x 值，即可确定销售单价应控制在什么范围 内． 【解答】解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）] =（x﹣50）（﹣5x+550） =﹣5x2+800x﹣27500， ∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）； （2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500， ∵a=﹣5＜0， ∴抛物线开口向下． ∵50≤x≤100，对称轴是直线 x=80，∴当 x=80 时，y 最大值=4500； （3）当 y=4000 时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000， 解得 x1=70，x2=90． ∴当 70≤x≤90 时，每天的销售利润不低于 4000 元． 【点评】本题考查二次函数的实际应用．建立数学建模题，借助二次函数解决实际问题， 解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数关 系式和方程，再求解． 24．如图，以△ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆，经过 A、B 两点，且与 BC 边交于点 E，D 为 BE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于 F，若 AC=FC． （1）求证：AC 是⊙O 的切线： （2）若 BF=8，DF= ，求⊙O 的半径； （3）若∠ADB=60°，BD=1，求阴影部分的面积．（结果保留根号） 【分析】（1）连接 OA、OD，如图，利用垂径定理的推论得到 OD⊥BE，再利用 CA=CF 得到∠ CAF=∠CFA，然后利用角度的代换可证明∠OAD+∠CAF=90°，则 OA⊥AC，从而根据切线的 判定定理得到结论； （2）设⊙O 的半径为 r，则 OF=8﹣r，在 Rt△ODF 中利用勾股定理得到（8﹣r）2+r2= （ ）2，然后解方程即可； （3）先证明△BOD 为等腰直角三角形得到 OB= ，则 OA= ，再利用圆周角定理得到∠ AOB=2∠ADB=120°，则∠AOE=60°，接着在 Rt△OAC 中计算出 AC，然后用一个直角三角形 的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：连接 OA、OD，如图，∵D 为 BE 的下半圆弧的中点， ∴OD⊥BE， ∴∠ODF+∠OFD=90°， ∵CA=CF， ∴∠CAF=∠CFA， 而∠CFA=∠OFD， ∴∠ODF+∠CAF=90°， ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD， ∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°， ∴OA⊥AC， ∴AC 是⊙O 的切线； （2）解：设⊙O 的半径为 r，则 OF=8﹣r， 在 Rt△ODF 中，（8﹣r）2+r2=（ ）2，解得 r1=6，r2=2（舍去）， 即⊙O 的半径为 6； （3）解：∵∠BOD=90°，OB=OD， ∴△BOD 为等腰直角三角形， ∴OB= BD= ， ∴OA= ， ∵∠AOB=2∠ADB=120°， ∴∠AOE=60°， 在 Rt△OAC 中，AC= OA= ，∴阴影部分的面积= • • ﹣ = ． 【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆 心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 25．如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠C=90°，AB=12，四边形 EFPQ 是矩形，点 P 与点 C 重 合，点 Q、E、F 分别在 BC、AB、AC 上（点 E 与点 A、点 B 均不重合）． （1）当 AE=8 时，求 EF 的长； （2）设 AE=x，矩形 EFPQ 的面积为 y． ①求 y 与 x 的函数关系式； ②当 x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？ （3）当矩形 EFPQ 的面积最大时，将矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 CB 匀速向右 运动（当点 P 到达点 B 时停止运动），设运动时间为 t 秒，矩形 EFPQ 与△ABC 重叠部分的 面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围． 【分析】（1）由 EF∥BC，可得 = ，由此即可解决问题； （2）①先根据点 E 为 AB 上一点得出自变量 x 的取值范围，根据 30°的直角三角形的性质 求出 EF 和 AF 的长，在在 Rt△ACB 中，根据三角函数求出 AC 的长，计算 FC 的长，利用矩形的面积公式可求得 S 的函数关系式； ②把二次函数的关系式配方可以得结论； （3）分两种情形分别求解即可解决问题． 【解答】解：（1）在 Rt△ABC 中，∵AB=12，∠A=30°， ∴BC= AB=6，AC= BC=6 ， ∵四边形 EFPQ 是矩形， ∴EF∥BC， ∴ = ， ∴ = ， ∴EF=4． （2）①∵AB=12，AE=x，点 E 与点 A、点 B 均不重合， ∴0＜x＜12， ∵四边形 CDEF 是矩形， ∴EF∥BC，∠CFE=90°， ∴∠AFE=90°， 在 Rt△AFE 中，∠A=30°， ∴EF= x， AF=cos30°•AE= x， 在 Rt△ACB 中，AB=12， ∴cos30°= ，∴AC=12× =6 ， ∴FC=AC﹣AF=6 ﹣ x， ∴S=FC•EF= x（6 ﹣ x）=﹣ x2+3 x（0＜x＜12）； ②S= x（12﹣x）=﹣ （x﹣6）2+9 ， 当 x=6 时，S 有最大值为 9 ； （3）①当 0≤t＜3 时，如图 1 中，重叠部分是五边形 MFPQN， S=S 矩形 EFPQ﹣S△EMN=9 ﹣ t2=﹣ t2+9 ． ②当 3≤t≤6 时，重叠部分是△PBN，S= （6﹣t）2， 综上所述，S= ． 【点评】本题考查了矩形的性质、特殊的三角函数、30°的直角三角形的性质、二次函数的 最值、正方形的判定等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类 讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．