2020年高三数学练习题及答案（七）

一、单项选择题： 1．设集合 A= 若 A B,则实数 a,b 必满足 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ，若 A B，则有 或 2．已知向量 ， ，若 ，则 的最小值为（ ） A．12 B． C．15 D． 【答案】B 【解析】∵ （a，﹣1）， （2b﹣1，3）（a＞0，b＞0）， ∥ ， ∴3a+2b﹣1＝0，即 3a+2b＝1， ∴ （ ）（3a+2b） ＝8 ≥8 ＝8 ， { } { }| 1, , 2, .x x a x R B x x b x R− < ∈ = − ∈ ⊆ 3a b+ ≤ 3a b+ ≥ 3a b− ≤ 3a b− ≥ { } { }| 1, | 1 1A x x a x R x a x a= − < ∈ = − < < + { } { }2 2 2B x x b x x b x b= − = + < −或 ⊆ 2 1b a+ ≤ − 2 1b a− ≥ + 3a b∴ − ≥ ( , 1)m a= − (2 1,3)n b= − ( 0, 0)a b> > m n   2 1 a b + 8 4 3+ 10 2 3+ m = n = m n 2 1 a b + = 2 1 a b + 4 3b a a b + + 4 32 b a a b + ⋅ 4 3+当且仅当 ，即 a ，b ，时取等号， ∴ 的最小值为：8 ． 故选：B． 3．在数列 中， ， ，那么 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 ， 可得， ， ， ，故数列是以 周期的数列， 所以 . 故选：A 4．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三 辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ） A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 4 3b a a b = 3 3 6 −= 3 1 4 −= 2 1 a b + 4 3+ { }na 1 1a = 1 2n na a +⋅ = − ( 1 2 3 )n = ， ， ， 8a = 2− 1 2 − 1 2 1 1a = 1 2n na a +⋅ = − 2 2a = − 3 1a = 4 2a = − 2 8 2a = −C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D 【解析】对于 A，由图象可知当速度大于 40km/h 时，乙车的燃油效率大于 5km/L， ∴当速度大于 40km/h 时，消耗 1 升汽油，乙车的行驶距离大于 5km，故 A 错误； 对于 B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗 1 升汽油，甲车的行驶路程最远， ∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故 B 错误； 对于 C，由图象可知当速度为 80km/h 时，甲车的燃油效率为 10km/L， 即甲车行驶 10km 时，耗油 1 升，故行驶 1 小时，路程为 80km，燃油为 8 升，故 C 错误； 对于 D，由图象可知当速度小于 80km/h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故 D 正确 故选 D． 5．方程 的实数根个数为（ ） A．3 个 B．5 个 C．7 个 D．9 个 【答案】A 【解析】解：方程 的实数根个数等价于函数 与函数 的图像的交点个数， 在同一直角坐标系中，函数 与函数 的图像如图所示， 由图可知，函数 与函数 的图像的交点个数为 3 个， sin( ) lg3x x π+ = sin( ) lg3x x π+ = sin( )3y x π= + lgy x= sin( )3y x π= + lgy x= sin( )3y x π= + lgy x=则方程 的实数根个数为 3 个， 故选：A. 6．已知奇函数 满足 ，当 时， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意 ，故函数 是周期为 4 的函数， 由 ，则 ，即 ， 又函数 是定义在 R 上的奇函数， 则 ， 故选：A. 7．在三棱锥 中，平面 平面 ， 是边长为 的等边三角形， ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） sin( ) lg3x x π+ = ( )f x ( ) ( 4)f x f x= + (0,1)x∈ ( ) 2xf x = ( )2log 12f = 4 3 − 23 32 3 4 3 8 − ( ) ( 4)f x f x= + ( )f x 23 log 12 4< < 21 log 12 4 0− < − < 20 4 log 12 1< − < ( )f x ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 log 12 2 2 2 log 12 2 4log 12 log 12 4 4 log 12 2 2 3f f f −= − = − − = − = − = − P ABC− PAB ⊥ ABC ABC∆ 2 3 7PA PB= =A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图所示，取 中点 ，连接 ，三角形的中心 在 上， 过点 作平面 垂线.在垂线上取一点 ，使得 ， 因为三棱锥底面是一个边长为 的等边三角形， 为三角形的中心， 点即为球心， 因为 为 中点，所以 ， 因为平面 平面 平面 ，则 ， ， ， 设球的半径为 ,则有 ， 作 于 ，则 为矩形， 16π 65 4 π 65 16 π 49 4 π AB D ,PD CD E CD E ABC O PO OC= 2 3 E ,OA OB OC∴ = = O∴ ,PA PB D= AB PD AB⊥ PAB ⊥ ,ABC PD∴ ⊥ ABC / /OE PD 2 2 212 3 3, 2, 13CD CA AD CE CD DE CD CE= − = − = = = = − = 2 2 2PD PB BD= - = r 2, 4PO OC r OE r= = = − OG PD⊥ G OEDG，即 ,解得 ， 故表面积为 ，故选 B . 8．已知双曲线 的左焦点为 ，以 为直径的圆与双曲线 的渐近线交于不同原点 的 两点，若四边形 的面积为 ，则双曲 线 的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意， ，双曲线 的焦点 到 的一条渐近线 的距离为 ，则 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以双曲 线 的渐近线方程为 . 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9．若点 D，E，F 分别为 的边 BC，CA，AB 的中点，且 ， ，则下列结 论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】如图， 2 2 2( )PD DG OG PO− + = ( )2 2 2 22 4 1r r− − + = 2 65 16r = 2 654 4S r ππ= = 2 2 2 2: 1 ( 0, 0)x yC a ba b − = > > F OF C O A B， AOBF ( )2 21 2 a b+ C 2 2y x= ± 2y x= ± y x= ± 2y x= ± OA AF⊥ C F C by xa = ± 2 2 bc b a b = + | |AF b= | |OA a= ( )2 21 2ab a b= + 1b a = C y x= ± ABC∆ BC a=  CA b=  1 2AD a b= − −   1 2 BE a b= +   1 1 2 2 CF a b= − +   1 2EF a= 在 中， ，故 A 正确； ，故 B 正确； ， ，故 C 正确； ，故 D 不正确． 故选：ABC 10．已知定义在 上的函数 满足条件 ，且函数 为 奇函数，则（ ） A．函数 是周期函数 B．函数 的图象关于点 对称 C．函数 为 上的偶函数 D．函数 为 上的单调函数 【答案】ABC 【解析】因为 ，所以 ，即 ，故 A 正确； 因为函数 为奇函数，所以函数 图像关于原点成中心对称，所以 B 正确； 又函数 为奇函数，所以 ，根据 ，令 ABC∆ 1 1 2 2AD AC CD CA CB b a= + = − + = − −       1 2BE BC CE a b= + = +     AB AC CB b a= + = − −     1 1 1 1( )2 2 2 2CF CA AB b b a a b= + = + × − − = − +        1 1 2 2EF CB a= = −   R ( )y f x= ( ) ( )2f x f x+ = − ( )1y f x= − ( )y f x= ( )y f x= ( )1,0− ( )y f x= R ( )y f x= R ( ) ( )2f x f x+ = − ( ) ( ) ( )4 2f x f x f x+ = − + = 4T = ( )1y f x= − ( )1y f x= − ( )1y f x= − ( ) ( )1 1f x f x− − = − − ( ) ( )2f x f x+ = − 1x −代 有 ，所以 ，令 代 有 ，即 函数 为 上的偶函数，C 正确； 因为函数 为奇函数，所以 ，又函数 为 上的偶函数， ， 所以函数不单调，D 不正确. 故选：ABC. 11．已知函数 有两个零点 ， ，且 ，则下列说法正确的是( ) A． B． C． D． 有极小值点 ，且 【答案】ABD 【解析】由题意，函数 ，则 ， 当 时， 在 上恒成立，所以函数 单调递增，不符合题意； 当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 因为函数 有两个零点 且 ， 则 ，且 ， 所以 ，解得 ，所以 A 项正确； 又由 ， 取 ，则 ， x ( ) ( )1 1f x f x+ = − − ( ) ( )1 1f x f x+ = − − 1x − x ( ) ( )f x f x− = ( )f x R ( )1y f x= − ( )1 0f − = ( )f x R ( )1 0f = ( ) xf x e ax= − 1x 2x 1 2x x< a e> 1 2 2x x+ > 1 2 1x x > ( )f x 0x 1 2 02x x x+ < ( ) xf x e ax= − ( ) xf x e a′ = − 0a ≤ ( ) 0xf x e a′ = − > R ( )f x 0a > ( ) 0xf x e a′ = − > lnx a> ( ) 0xf x e a′ = − < lnx a< ( )f x ( ,ln )a−∞ (ln , )a +∞ ( ) xf x e ax= − 1 2,x x 1 2x x< ln(ln ) ln ln (1 ln ) 0af a e a a a a a a a= − = − = − < 0a > 1 ln 0a− < a e> 2 1 2 1 2 1 2 1 2ln( ) 2ln ln( ) 2 ln( )x x a x x a x x x x+ = = + > + 2 2 ea = 2 2(2) 2 0 2, (0) 1 0f e a x f= − = = = >所以 ，所以 ，所以 B 正确； 由 ，则 ，但 不能确定，所以 C 不正确； 由函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以函数的极小值点为 ，且 ，所以 D 正确； 故选 ABD. 12．设非负实数 满足 则 的（ ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 【答案】AC 【解析】令 ， ， ， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， ， 10 1x< < 1 2 2x x+ > (0) 1 0= >f 10 1x< < 1 2 1x x > ( )f x ( ,ln )a−∞ (ln , )a +∞ 0 lnx a= 1 2 02 2lnx x x a+ < = ,x y 2 1,x y+ = 2 2x x y+ + 4 5 2 5 1 1 2 3 + cosx r θ= siny r θ= 0, 0, 2r πθ  > ∈   2 1x y+ = 2 cos sin 1r rθ θ+ = 1 2cos sinr θ θ= + 2 2 2 2 2 2 2 1 tan 2 1 1 tancos 1 2cos 2cos sin 1 tan 2tan2 22 1 tan 1 tan2 2 x x y r r θ θ θθ θ θθ θ θ θ − + +++ + = + = =+ − ⋅ + + + [ ]2 2 1 1 tan 0,121 5tan tan 1 tan2 2 2 2 4 θ θ θ θ  = = ∈   − + + − − +   ( )2 2 2max 1 1 1 5 2 4 x x y+ + = =  − +   ( )2 2 min 2 1 4 5 50 4 x x y+ + = = − +取最大值时 或 1，此时 或 ， 取最小值时 ，此时 . 故选：AC. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13． 是虚数单位，则 的值为__________. 【答案】 【解析】 ． 14．已知直线 与抛物线 交于 两点；若直线过抛物线的焦点， 则抛物线的准线方程为__________，若 ，则 的值为__________． 【答案】 【解析】（1）由于直线过抛物线的焦点，令 y=0 得 x=1,所以抛物线的焦点坐标为(1,0), 所以抛物线的准线方程为 x=-1. （2）联立 得 ， 设 ，所以 ， 因为 ，所以 ， tan 02 θ = 0 1 x y =  = 1 2 0 x y  =  = 1tan 2 2 θ = 3 10 2 5 x y  =  = i 5 1 i i − + 13 5 (5 )(1 ) 2 3 131 (1 )(1 ) i i i ii i i − − −= = − =+ + − 1y x= − ( )2 2 0y px p= > ,A B OA OB⊥ p 1x = − 1 2 2 2 1 y px y x  =  = − 2 (2 2 ) 1 0x p x− + + = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 1 22 2 , 1x x p x x+ = + ⋅ = OA OB⊥ 1 2 1 2 1 2 1 20, ( 1)( 1) 0x x y y x x x x+ = ∴ + − − =所以 ， 所以 . 故答案为：(1). (2). 15．将函数 的图象向左平移 个单位长度，再向上平移 1 个单 位长度，得到函数 的图象，则函数 具有性质__________．（填入所有正确性质 的序号） ①最大值为 ，图象关于直线 对称； ②图象关于 轴对称； ③最小正周期为 ； ④图象关于点 对称； ⑤在 上单调递减 【答案】②③④ 【解析】 将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到 的图象向上平移 个单位 长度，得到函数 的图象，对于函数 ：它的最大值为 ，由于当 时， ，不是最值，故 图象不关于直线 对称，故排除①； 由于该函数为偶函数，故它的图象关于 轴对称，故②正确；它的最小周期为 ， 1 2 1 2( ) 2 1 0x x x x− + + ⋅ + = 12 2 3 0, 2p p− − + = ∴ = 1x = − 1 2 ( ) 3 cos(2 ) 13f x x π= + − 3 π ( )g x ( )g x 3 3x π= − y π ( ,0)4 π (0, )3 π ( ) 3 cos 2 13f x x π = + −   3 π 3 cos 2 13 3y x π π  = + + −     ( )3 cos 2 1 3 cos2 1x xπ= + − = − − 1 ( ) 3 cos2g x x= − ( )g x 3 3x π= − ( ) 3 2g x = ( )g x 3x π= − y 2 2 π π=故③正确；当 时， ，故函数的图象关于点 对称，故正④确；在 上， 不是单调函数，故排除⑤，故答案为②③④. 16．已知函数 ，其中 e 是自然数对数的底数，若 ， 则实数 a 的取值范围是_________。 【答案】 【解析】 因为 ，所以函数 是奇函数， 因为 ，所以数 在 上单调递增， 又 ，即 ，所以 ，即 ， 解得 ，故实数 的取值范围为 ． 四、解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 10 分）设数列 的前 项和为 ，且 。 （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 。 【答案】（1） ；（2） 【解析】(1)由 ，且 ，可得 当 4x π= ( ) 0g x = ,04 π     0, 3 π     ( )22 0, ,3x g x π ∈   ( ) 3 x x 1f x =x 2x+e - e − ( ) ( )2f a-1 +f 2a 0≤ 1[ 1, ]2 − 3 1( ) 2 ( )x xf x x x e f xe − = − + + − = − ( )f x 2 2'( ) 3 2 3 2 2 0x x x xf x x e e x e e− −= − + + ≥ − + ⋅ ≥ ( )f x R 2( 1) (2 ) 0f a f a− + ≤ 2(2 ) (1 )f a f a≤ − 22 1a a≤ − 22 1 0a a+ − ≤ 11 2a− ≤ ≤ a 1[ 1, ]2 − { }na n 2 nS an bn= + 1 21, 3a a= = { }na 1 1 n n n b a a + = { }nb n nT 2 1na n= − 2 1n nT n = + 2 nS an bn= + 1 2a 1,a 3= = 1 0a b= =， 2 n nn a S= −时，(2)∵ 18．（本小题满分 12 分）已知函数 ， （1）当 时，求 的单调区间； （2）当 ，讨论 的零点个数； 【答案】（1） 单调递减区间为： ， ；单调递增区间为： ， ；（2）当 时， 在 上有 2 个零点，当 时， 在 上无零点. 【解析】∵ ∴ 为偶函数， 只需先研究 当 ， ，当 ， ， 所以 在 单调递增，在 ，单调递减 所以根据偶函数图像关于 轴对称， 2 2 1 1 1( 1) 2 1 1 1nS n n n n S a，当 时， ；− = − − = − = = = 1 2 3 1 1 1 1 1 1 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n n n n n b T b b b ba a n n n n+  = = = − ∴ = + + +…+ = − + − +  1 1 1 1 1 1(1 )2 3 3 5 2 1 2 1 2 1 n n n n     − + − +…+ − =    − + +     21( ) sin cos 2f x x x x ax= + + [ , ]x π π∈ − 0a = ( )f x 0a > ( )f x ( )f x ,02 π −   ,2 π π     , 2 ππ − −   0, 2 π     2 20 a π< ≤ ( )f x [ , ]−π π 2 2a π> ( )f x [ , ]−π π ( ) ( )f x f x− = ( )f x [0, ]x π∈ ( ) sin cosf x x x x= + ( ) sin cos sin cosf x x x x x x x′ = + − = 0, 2x π ∈   ( ) 0f x′ ≥ ,2x π π ∈   ( ) 0f x′ ≤ ( )f x 0, 2x π ∈   ,2x π π ∈   y得 在 单调递增，在 单调递减， .故 单调递减区间为： ， ；单调递增区间为： ， （2） ① 时， 在 恒成立 ∴ 在 单调递增 又 ，所以 在 上无零点 ② 时， ， 使得 ，即 . 又 在 单调递减， 所以 ， ， ， 所以 ， 单调递增， ， 单调递减， 又 ， （i） ，即 时 在 上无零点， 又 为偶函数，所以 在 上无零点 （ii） ，即 ( )f x , 2x ππ ∈ − −   ,02x  ∈ −   π ( )f x ,02 π −   ,2 π π     , 2 ππ − −   0, 2 π     ( ) cos (cos )f x x x ax x x a′ = + = + 1a ≥ ( ) (cos ) 0f x x x a′ = + ≥ [0, ]x π∈ ( )f x [0, ]x π∈ (0) 1f = ( )f x [ , ]x π π∈ − 0 1a< < 0 (0, )x π∃ ∈ ( )0 0cos 0x x a+ = 0cos x a= − cos x (0, )π ( )00,x x∈ ( ) 0f x′ > ( )0 ,x x π∈ ( ) 0f x′ < ( )00,x x∈ ( )f x ( )0 ,x x π∈ ( )f x (0) 1f = 21( ) 12f aπ π= − 21 1 02 aπ − > 2 2 1aπ < < ( )f x [0, ]π ( )f x ( )f x [ , ]−π π 21 1 02 aπ − ≤ 2 20 a π< ≤在 上有 1 个零点， 又 为偶函数，所以 在 上有 2 个零点 综上所述，当 时， 在 上有 2 个零点，当 时， 在 上无零点. 19．（本小题满分 12 分）已知四棱柱 的底面为菱形， ， ， ， 平面 ， . （1）证明： 平面 ； （2）求钝二面角 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：连接 交 于点 ，易知 为 中点， ∵ 为 中点，∴在 中， ， ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . （2）∵ 平面 ，∴ ， ∵ 且 为 的中点， ( )f x [0, ]π ( )f x ( )f x [ , ]−π π 2 20 a π< ≤ ( )f x [ , ]−π π 2 2a π> ( )f x [ , ]−π π 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 2AB AA= = 3BAD π∠ = AC BD O= AO ⊥ 1A BD 1 1A B A D= 1 / /B C 1A BD 1B AA D− − 1 7 − 1AB 1A B Q Q 1AB O AC 1AB C∆ 1 1/ / 2OQ B C OQ ⊂ 1A BD 1B C ⊄ 1A BD 1 / /B C 1A BD AO ⊥ 1A BD 1AO AO⊥ 1 1A B A D= O BD∴ ， ∵ 平面 且 ， ∴ 平面 ，如图，建立空间直角坐标系 . 易得： ， ， ， ， ∴ ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，∴ ， 令 ，得 ， ∴ . 同理可得平面 的一个法向量为 ， ∴ ， ∴钝二面角 的余弦值为 . 20．（本小题满分 12 分）根据国家《环境空气质量标准》规定:居民区中的 PM2.5 （PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓 1AO BD⊥ AO BD ⊂、 ABCD AO BD O= 1AO ⊥ ABCD O xyz− ( )3,0,0A ( )0,1,0B ( )0, 1,0D − ( )1 0,0,1A ( )1 3,0,1AA = − ( )3,1,0AB = − 1A AB ( ), ,n x y z= 1n AA n AB  ⊥  ⊥   3 0 3 0 x z x y − + = − + = 1x = 3y z= = ( )1, 3, 3n = 1A AD ( )1, 3, 3m = − 1cos , 7 m nm n m n ⋅< >= =      1B AA D− − 1 7 −度不得超过 35 微克/立方米，PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克/立方米. 某城 市环保部门随机抽取了一居民区去年 40 天的 PM2.5 的 24 小时平均浓度的监测数据，数 据统计如下： （1）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）； （2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从 PM2.5 的年平均浓度考虑， 判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由； （3）将频率视为概率，对于去年的某 2 天，记这 2 天中该居民区 PM2.5 的 24 小时平均 浓度符合环境空气质量标准的天数为 ，求 的分布列及数学期望 和方差 . 【答案】（1）众数为 22.5 微克/立方米, 中位数为 37.5 微克/立方米． （2） ，该居 民区的环境需要改进． （3）变量 的分布列为 （天）,或 （天） ； 【解析】（1）众数为 22.5 微克/立方米, 中位数为 37.5 微克/立方米． （2）去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为 （微克/立方米）．因 为 ，所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准， X X )(XE )(XD 40.5 ξ 1 18 810 1 2 1.8100 100 100Eξ = × + × + × = 92 1.810E nPξ = = × = 18.0=ξD 7.5 0.1 22.5 0.3 37.5 0.2 52.5 0.2 67.5 0.1 82.5 0.1 40.5× + × + × + × + × + × = 40.5 35>故该居民区的环境需要改进． （3）记事件 表示“一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准”， 则 . 随机变量 的可能取值为 0,1,2.且 . 所以 ， 所以变量 的分布列为 （天）,或 （天） 21．（本小题满分 12 分）如图，直线 ，点 是 之间的一个定点，过点 的直线 垂直于直线 ， （ 为常数），点 分别为 上的动点，已知 .设 （ ）. （1）求 面积 关于角 的函数解析式 ； （2）求 的最小值. A 9( ) 10P A = ξ 9(2, )10Bξ  2 2 9 9( ) ( ) (1 ) ( 0,1,2)10 10 k k kP k C kξ −= = − = ξ 1 18 810 1 2 1.8100 100 100Eξ = × + × + × = 92 1.810E nPξ = = × = 18.0=ξD 1 2l l// A 1 2,l l A EF 1l ,AE m AF n= = ,m n ,B C 1 2,l l 60BAC∠ = ° ACF α∠ = 0 60α° < < ° ABC∆ S α ( )S α ( )S α【答案】（1） （2） 【解析】（1）由题意 , ,∴ , 在 中, , , , 在 中, . ∴ 的面积 , ∴ 的面积 , ∴梯形 的面积 . ∴ . （2）令 1 1( ) tan( 30 )2 tanS mnα α α ° = + +   3mn 1EF l⊥ 1 2l l// 2EF l⊥ Rt ACF∆ tan nCF α= 0 60α° < < ° 180 60 (90 ) 30EAB α α° ° ° °∠ = − − − = + Rt ABE∆ tan( 30 ) tan( 30 )EB AE mα α° °= + = + ACF∆ 2 1 1 1 1 2 2 tanS AF CF n α= ⋅ = ⋅ ABE∆ 2 2 1 1 tan( 30 )2 2S AE EB m α °= ⋅ = + EFCB 1 1( ) ( ) tan( 30 )2 2 tan nS EB CF EF m n m α α ° = + ⋅ = + + +   1 2( )S S S Sα = − − 2 21 1 1 1( ) tan( 30 ) tan( 30 )2 tan 2 tan 2 nm n m n mα αα α ° ° = + + + − ⋅ − +   1 1tan( 30 )2 tanmn α α ° = + +   1 sin( 30 ) costan( 30 ) tan cos( 30 ) siny α αα α α α ° ° ° += + + = ++ sin( 30 )sin cos( 30 )sin sin cos( 30 ) α α α α α α ° ° ° + + += + cos[( 30) ] 3 1sin cos sin2 2 α α α α α + −=  −   . ∴当 时,即 时, 取得最小值 , 此时 取得最小值 . 22．（本小题满分 12 分）椭圆 ： （ ）的离心率为 ，其左焦点 到点 的距离是 ． （1）求椭圆 的方程； （2）若直线 ： 被圆 ： 截得的弦长为 3，且 与椭圆 交于 ， 两点，求△ 面积 的最大值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 试题分析：（1）借助条件布列 的方程组；（2）联立方程组，借助维达定理构建面 积函数，转求最值. 试题解析：（1）由题意可得 ， ， 2 cos30 3 1sin cos sin2 2 α α α ° = − 3 3 1 cos2sin 22 2 αα = −− 3 1sin(2 30 ) 2 α ° = + − 2 30 90α ° °+ = 30°=α y 2 3 ( )S α 3mn E 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 2 2 1F (2,1)P 10 E l y kx m= + O 2 2 3x y+ = l E A B AOB S 2 2 12 x y+ = max 2 2S = ba、 2 2 ce a = = 2(2 ) 1 10c+ + =解得 ， ， ， 即有椭圆的方程为 ； （2）∵ 到 的距离 ， ∴ ，∴ ． 设 ， ，把 代入得 ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴当 ，即 时， ． 1c = 2a = 2 2 1b a c= − = 2 2 12 x y+ = O l 2 23 9 3( ) 32 4 2d r= − = − = 2 | | 3 21 md k = = + 2 23 ( 1)4m k= + 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y y kx m= + 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x kmx m+ + + − = 1 2 2 4 1 2 kmx x k −+ = + 2 1 2 2 2 2 1 2 mx x k −= + 2 1 2| | 1 | |AB k x x= + − 2 2 1 2 1 21 ( ) 4k x x x x= + ⋅ + − 2 2 2 2 2 2 2 16 8( 1)1 (1 2 ) 1 2 k m mk k k −= + −+ + 2 2 2 2(1 5 )1 1 2 kk k += + ⋅ + 2 2 2 ( 1)(5 1)2 1 2 k k k + += ⋅ + 1 3| | | |2 4S AB d AB= ⋅ = 2 2 2 (3 3)(5 1)2= 4 1 2 k k k + +⋅ + 2 2 2 1 (3 3 5 1)2 22 4 1 2 2 k k k + + + ≤ ⋅ =+ 2 23 3 5 1k k+ = + 1k = ± max 2 2S =