一、单项选择题：
1．设复数 z 满足 ，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
则 ．故选 C．
2．已知 则 是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
由 得 ，因为 是减函数，所以 成立，当
时， 成立，因为正负不确定，不能推出 ，故
是“ ”的充分不必要条件，故选 A.
3．新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理四门学科
中选课，每名同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课
程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙也没有相同课程.则以下说法正确的是（）
A．丙没有选化学 B．丁没有选化学
C．乙丁可以两门课都相同 D．这四个人里恰有 2 个人选化学
=1iz −
2 2+1 1( )x y+ = 2 2( 1) 1x y− + = 2 2( 1) 1x y+ − = 22 ( +1) 1yx + =
, ( 1) ,z x yi z i x y i= + − = + − 2 2( 1) 1,z i x y− = + − = 2 2( 1) 1x y+ − =
, Ra b∈ 3 3log loga b> 1 1
2 2
a b 0a b> > 1( )2
xy = 1 1
2 2
a b 3 3log loga b>
1 1
2 2
a b ( ) ( )f x f x= − − ( )1xe x−= − − + ( )1xe x−= −
( )
( )
( )
1 , 0
0, 0
1 , 0
x
x
e x x
f x x
e x x−
+ <
= =
− >
0x < ( ) ( )1 0xf x e x= + = 1x = −
0x > ( ) ( )1 0xf x e x−= − = 1x =
( )f x 1,0,1−
0x < ( ) ( )1 0xf x e x= + < 1x < −
0x > ( ) ( )1 0xf x e x−= − < 0 1x< <
( ) 0f x < ( ) ( ), 1 0,1−∞ − ∪（4）当 时，由 得 ，
由 得 ，由 得 ，
∴ 函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴函数在 上有最小值 ，且 ，
又∵ 当 时， 时 ，函数在 上只有一个零点，
∴当 时，函数 的值域为 ，
由奇函数的图象关于原点对称得函数 在 的值域为 ，
∴ 对 ，都有 ，D 对；
故选：BCD．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知集合 ， 的文氏图如图所示，图中阴影部分表示
集合 A、B 的某种运算结果（用 P 表示），则集合 ________
【答案】
【解析】集合 {x|1＜x＜3}，
B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}．
由文氏图得到 P＝A∩（∁RB）＝{x|1＜x＜3}∩{x|x≤0 或 x≥2}＝{x|2≤x＜3}．
故答案为：{x|2≤x＜3}．
0x < ( ) ( )1xf x e x= + ( ) ( )' 2xf x e x= +
( ) ( )' 2 0xf x e x= + < 2x < − ( ) ( )' 2 0xf x e x= + ≥ 2 0x− ≤ <
( )f x ( ], 2−∞ − [ )2,0−
( ),0−∞ ( ) 22f e−− = − ( ) ( )1xf x e x= + ( )0 0 1 1e< ⋅ + =
0x < ( ) ( )1 0xf x e x= + = 1x = − ( ),0−∞
0x < ( )f x )2 ,1e−−
( )f x R ( )2 21, ,1e e− − − ∪ − ( )1,1= −
1 2,x x R∀ ∈ ( ) ( )1 2 2f x f x− <
1{ | 0}3
xA x x
−= ′ ( ) ( ) ( )2018 2018 2 2 0x f x f− − − <
( )2018,2020
( ) ( )g x xf x= '( ) ( ) '( )g x f x xf x= + '( ) 0g x x> > ( )g x (0, )+∞
( 2018) ( 2018) 2 (2) 0x f x f− − − < ( 2018) ( 2018) 2 (2)x f x f− − <
0 2018 2x< − < 2018 2020x< <
( ) ( )3 2 0ax bx d af x cx= + + + ≠ ( )f x′′ ( )f x
( )y f x= ( ) 0f x′′ = 0x ( )( )0 0x f x， ( )y f x=
( ) 3 22 233 3x xf xx = − + +
1 2 3 2017
2018 2018 2018 2018f f f f + + + +
1 ,22
4034
2'( ) 2 2 3f x x x= − + "( ) 4 2f x x= − "( ) 0f x = 1
2x = 1( ) 22f =
1( ,2)2
( ) (1 ) 4f x f x+ − =
1 2
2018 2018f f +
3 2017
2018 2018f f + +⋅⋅⋅+ =
1 2017( ( ) ( ))2018 2018f f+
2 2016( ( ) ( ))2018 2018f f+ + 1008 2010( ( ) ( ))2018 2018f f+ + + +
1009( )2018f+ 4 1008 2 4034= × + =故答案为 ，4034．
16．下列命题中，正确的命题有__________．
①回归直线 恒过样本点的中心 ，且至少过一个样本点；
②将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；
③用相关指数 来刻画回归效果， 越接近 ，说明模型的拟合效果越好；
④用系统抽样法从 名学生中抽取容量为 的样本，将 名学生从 编号，按
编号顺序平均分成 组（ 号， 号， 号），若第 组抽出的号码为
，则第一组中用抽签法确定的号码为 号.
【答案】②④
【解析】回归直线 恒过样本点的中心 ，不须过样本点；①错误；将一组
数据的每个数据都加一个相同的常数后，数据的波动性不变，故方差不变；②正确；
用相关指数 来刻画回归效果， 越接近 ，说明模型的拟合效果越好；③错误；④
中系统抽样方法是正确的．故本题应选②④．
四、解答题。
17．（本小题满分 10 分）已知等比数列 满足 ， ，数列 是首项
为 公差为 的等差数列.
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 n 项和 .
【答案】（1） ， （2）
【解析】（1）因为数列 是等比数列，故设首项为 ，公比
因为 ， 所以 ，
1( ,2)2
ˆˆ ˆy bx a= + ( , )x y
2R 2R 0
160 20 160 1 160
20 1 8 9 16 ,153 160 16
126 6
ˆˆ ˆy bx a= + ( ),x y
2R 2R 1
{ }na 2 4a = 3 4 128a a = { }n na b
1 1
{ }na { }nb
{ }nb nS
2n
na =
2n n
nb = 22 2n n
nS
+= −
{ }na 1a q
2 4a = 3 4 128a a = 2
2 2 128a q a q =所以 ，解得 ，所以
所以数列 的通项公式为
因为 是首项为 公差为 的等差数列
所以
因为 ，所以
（2）由（1）知
同乘 得：
作差得：
即
所以
18．（本小题满分 12 分）如图, 中,角 的对边分别为 ,已知 .
(1)求角 的大小;
(2)点 为边 上的一点,记 ,若 ,求 与
3 8q = 2q = 1 2a =
{ }na 2n
na =
{ }n na b 1 1
1 ( 1)n nb na n= + − =
2n
na =
2n n
nb =
2 31 1 1 11 2 ( ) 3 ( ) ( )2 2 2 2
n
nS n= + + + +
1
2
2 3 4 +11 1 1 1 11 ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( )2 2 2 2 2
n
nS n= + + + +
2 3 +11 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
n n
nS n= + + + + −
+1 +11 1 1 11 ( ) ( ) 1 ( 1)( )2 2 2 2 2
n n n
n
nS n= − − = − +
22 2n n
nS
+= −
ABC△ , ,A B C , ,a b c 3sin
cos
C c
B b
=
B
D AB BDC θ∠ = π 8 5π, 2, 5,2 5CD AD aθ< < = = = sinθ的值.
【答案】(1) ；(2) ， .
【解析】(1)由已知 ,得 ,
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 .
(2)在 中,因为 ,所以 ,所以 ,
因为 为钝角,所以 为锐角,所以 ,
在 中,由余弦定理,得
,
所以 .
19．（本小题满分 12 分）如图,在四棱锥 中, 平面
, 为线段 上一点不在端点.
b
π
6B = 2 5sin 5
θ = 5b =
3sin
cos
C c
B b
= 3sin sin
cos sin
C C
B B
=
sin 0C > sin 3tancos 3
B BB
= =
0 πB< < π
6B =
BCD sin sin sin
CD BC a
B BDC θ= =∠
8 5
2 5
sin sinB BDC
= ∠
2 5sin 5
θ =
θ ADC∠ ( ) 2 5cos cos π 1 sin 5ADC θ θ∠ = − = − =
ADC
( )2 2 2 52 cos π 5 4 2 5 2 55b AD CD AD CD θ= + − × − = + − × × =
5b =
P ABCD− PA ⊥ ,ABCD
90 ,ABC BAD∠ = ∠ = ° 4, 2AD AP AB BC= = = = ,M N ,PC AD(1)当 为中点时， ，求证： 面
(2)当 为 中点时，是否存在 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
若存在求出 M 的坐标，若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析（2）存在，
【解析】(1)方法一：证明：因为 平面 ， ， 平面 .
所以 .
又 ，所以 ， ， 两两垂直.
分别以 、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 .
则 ， .
显然平面 的法向量为 ，则
M 1
4AN AD= MN∥ PBA
N AD M MN PBC 2 5
5
4 4 4( , , )3 3 3M
PA ⊥ ABCD AB AD ⊂ ABCD
,PA AB PA AD⊥ ⊥
90BAD∠ = ° AP AB AD
AB AD AP x y z A xyz−
(0,0,0), (0,4,0), (0,1,0)A D N (0,0,4), (2,2,0), (1,1,2), ( 1,0, 2)P C M MN = − −
PAB (0,1,0)m = 0MN m⋅ = 又 不在平面 内，所以 平面 .
方法二：取 的中点 ，连接 ，
由 为 的中点，可知
在平面四边形 中，
即 ，所以 ，即
由已知得
所以 ，四边形 是平行四边形，所以
因为 平面 ， 平面
所以 平面
(2)假设存在点 M 使得 与平面 所成角的正弦值为
则 ，所以
为 中点，则 ，即
设平面 的法向量为
∴ ，不妨设 ，则
MN PAB MN∥ PAB
BP E ME EA
M PC 1M , 12E BC ME BC= =
ABCD 90ABC BAD∠ = ∠ = °
,CB AB DA AB⊥ ⊥ AD BC∥ AN BC
1 14AN AD= =
AN ME AEMN MN AE
AE ⊂ PAB MN ⊄ PAB
MN∥ PAB
MN PBC 2 5
5
(0 (2,2, 4), (2 ,2 , 4 )λ λ λ λ λ= = − = − PM PC PC PM＜ ＜1), (2 ,2 ,4 4 )λ λ λ−M
N AD (0,2,0)N ( 2 ,2 2 ,4 4)MN λ λ λ= − − −
PBC ( , , ), (0,2,0), (2,2, 4)n x y z BC PC= = = −
· 2 0
· 2 2 4 0
n BC y
n PC x y z
= =
= + − =
1z = (2,0,1)n =∴
设线面角为 ，则
解得 或 1（舍去）
∴ 时，直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
20．（本小题满分 12 分）已知椭圆的中心为原点 ，长轴在 轴上，上顶点为 ，左、
右焦点分别为 ，线段 的中点分别为 ，且△ 是面积为 4 的直角
三角形．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过 作直线 交椭圆于 ， ，求直线 的方程
【答案】（Ⅰ） + =1
（Ⅱ） 和
【解析】（Ⅰ）设椭圆的方程为 ，F2（c，0）
∵△AB1B2 是的直角三角形，|AB1|=AB2|，∴∠B1AB2 为直角，从而|OA|=|OB2|，即
∵c2=a2﹣b2，∴a2=5b2，c2=4b2，∴
2
4cos ,
| | | | 5 24 40 20
MN nMN n
MN n λ λ
−= =
⋅ − +
θ
2
4 2 5sin cos , 55 24 40 20
MN nθ
λ λ
= = =
⋅ − +
2
3
λ =
4 4 4( , , )3 3 3M MN PBC 2 5
5
O x A
1 2,F F 1 2,OF OF 1 2,B B 1 2AB B
1B ,P Q 2 2PB QB⊥
2
20
x 2
4
y
2 2 0x y+ + = 2 2 0x y− + =在△AB1B2 中，OA⊥B1B2，∴S= |B1B2||OA|=
∵S=4，∴b2=4，∴a2=5b2=20
∴椭圆标准方程为 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线 PQ 的倾斜角不为 0，故可
设直线 PQ 的方程为 x=my﹣2
代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16=0①
设 P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴ ，
∵ ，
∴ =
∵PB2⊥QB2，∴
∴ ，∴m=±2
当 m=±2 时，①可化为 9y2±8y﹣16﹣0，
∴|y1﹣y2|= =
∴△PB2Q 的面积 S= |B1B2||y1﹣y2|= ×4× = ．
21．（本小题满分 12 分）学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表
现为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹
不清、得分要点缺失等，记此类解答为“ 类解答”.为评估此类解答导致的失分情况，某B市教研室做了一项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“ 类解答”的题目，
扫描后由近百名数学老师集体评阅，统计发现，满分 12 分的题，阅卷老师所评分数及
各分数所占比例大约如下表：
教师评分（满分 12
分）
11 10 9
各分数所占比例
某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为
一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于 1 分时，取两者平均分为该题得分；
当两者所评分数之差的绝对值大于 1 分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁
分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差
值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.（假设本次
考试阅卷老师对满分为 12 分的题目中的“ 类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例
视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响）.
（1）本次数学考试中甲同学某题（满分 12 分）的解答属于“ 类解答”，求甲同学此题
得分 的分布列及数学期望 ；
（2）本次数学考试有 6 个解答题，每题满分均为 12 分，同学乙 6 个题的解答均为“
类解答”，记该同学 6 个题中得分为 的题目个数为 ，
， ，计算事件“ ”的概率.
【答案】(1)分布列见解析， 分； (2) .
B
1
4
1
2
1
4
B
B
X ( )E X
B
( )1 2 3 4 5ix x x x x x< < < < ia
( )1,2,3,4,5ia N i= = 5
1
6i
i
a
=
=∑ 1 4 5 4a a a+ + =
( ) 321
32E X = 15
64【解析】（1）随机变量 的可能取值为 9、9.5、10、10.5、11，
设一评、二评、仲裁所打分数分别为 ， ， ，
，
，
，
，
.
所以 分布列如下表：
可能取值 9 9.5 10 10.5 11
概率
数学期望 （分）.
X
x y z
( ) ( ) ( )9 9, 9 9, 11, 9P X P x y P x y z= = = = + = = = ( )11, 9, 9P x y z+ = = =
1 1 1 1 1 324 4 4 4 4 32
= × + × × × =
( ) ( ) ( )9.5 9, 10 10, 9P X P x y P x y= = = = + = = 1 1 124 2 4
= × × =
( ) ( ) 1 1 110 10, 10 2 2 4P X P x y= = = = = × =
( ) ( ) ( )10.5 10, 11 11, 10P X P x y P x y= = = = + = =
( ) ( )9, 11, 10 11, 9, 10P x y z P x y z+ = = = + = = =
1 1 1 1 1 52 22 4 4 4 2 16
= × × + × × × =
( ) ( )11 11, 11P X P x y= = = = ( ) ( )11, 9, 11 9, 11, 11P x y z P x y z+ = = = + = = =
1 1 1 1 1 324 4 4 4 4 32
= × + × × × =
X
X
3
32
1
4
1
4
5
16
3
32
( ) 3 1 1 5 39 9.5 10 10.5 1132 4 4 16 32E X × + × + × + × + ×= 321
32
=（2）∵ ，∴ ，
∵ ，
，
，
，
，
∴ .
22．（本小题满分 12 分）已知函数 ．
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）函数 在区间 上有零点，求 的值；
（3）若不等式 对任意正实数 恒成立，求正整数 的取值集合．
【答案】(1) ；(2) 的值为 0 或 3 ；(3) .
【解析】（1） ，所以切线斜率为 ，
又 ，切点为 ，所以切线方程为 ．
5
1
6i
i
a
=
=∑ ( ) ( )1 4 5 2 34" " 2" "P a a a P a a+ + = = + =
( ) ( )2 3 2 3" 2" " 0, 2"P a a P a a+ = = = = ( ) ( )2 3 2 3" 2, 0" " 1, 1"P a a P a a+ = = + = =
( )3
4
62
2
2 1 1
4" , 2" 20P a a C
=
= =
( )3
4
62
2
2 1 1
4" , 0" 22P a a C
=
= =
( ) 4
1 1
2 3 6 5
1 1 1
4 2" 41, 1"P a Ca C ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
=
=
( )2 3" 2"P a a+ =
2 4 2 4 4
2 2 1 1
6 6 6 5
1 1 1 1 1 1 1
4 2 4 2 4 4 2C C C C = + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
15 15 30 15
256 256 256 64
= + + =
( )1 4 5
154" " 64P a a a+ + = =
( ) ln 2f x x x= − −
( )y f x= 1x =
( )f x ( , 1)( )k k k N+ ∈ k
( )( 1) ( )x m x f xx
− − > x m
1y = − k { }1,2,3
1( ) 1f x x
′ = − ( ) 01f ′ =
(1) 1f = − (1, 1)− 1y = −（2）令 ，得 ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增，
所以 的极小值为 ，又 ，
所以 在区间 上存在一个零点 ，此时 ；
因为 ， ，
所以 在区间 上存在一个零点 ，此时 ．综上， 的值为 0 或 3．
（3）当 时，不等式为 ．显然恒成立，此时 ；
当 时，不等式 可化为 ，
令 ，则 ，
由（2）可知，函数 在 上单调递减，且存在一个零点 ，
此时 ，即
所以当 时， ，即 ，函数 单调递增；
当 时， ，即 ，函数 单调递减．
所以 有极大值即最大值 ，于是 ．
当 时，不等式 可化为 ，
1( ) 1f x x
′ = − 1x =
0 1x< < ( ) 0f x′ < ( )f x
1x > ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x (1) 1 0f = − <
2 2 2 2
1 1 1 1( ) ln 2 0e e e ef = − − = >
( )f x (0,1) 1x 0k =
(3) 3 ln3 2 1 ln3 0f = − − = − < (4) 4 ln 4 2 2 2ln 2 2(1 ln 2) 0f = − − = − = − >
( )f x (3,4) 2x 3k = k
1x = (1) 1 0g = > m R∈
0 1x< < ( )( 1) ( )x m x f xx
− − > ln
1
x x xm x
+> −
ln( ) 1
x x xg x x
+= − 2 2
ln 2 ( )( ) ( 1) ( 1)
x x f xg x x x
− −′ = =− −
( )f x (0,1) 1x
1 1 1( ) ln 2 0f x x x= − − = 1 1ln 2x x= −
10 x x< < ( ) 0f x > ( ) 0g x′ > ( )g x
1 1x x< < ( ) 0f x < ( ) 0g x′ < ( )g x
( )g x 1 1 1 1 1 1
1 1
1 1
ln ( 2)( ) 1 1
x x x x x xg x xx x
+ − += = =− − 1m x>
1x > ( )( 1) ( )x m x f xx
− − > ln
1
x x xm x
+< −由（2）可知，函数 在 上单调递增，且存在一个零点 ，同理可得 ．
综上可知 ．
又因为 ，所以正整数 的取值集合为 ．
( )f x (3,4) 2x 2m x<
1 2x m x< <
1 2(0,1), (3,4)x x∈ ∈ m { }1,2,3
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