2020年高三数学练习题及答案（一)

一、单项选择题： 1．已知集合 , 那么集合 为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解方程组 得 ,故选 D 2．某校高一年级从 815 名学生中选取 30 名学生参加庆祝建党 98 周年的大合唱节目， 若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 815 人中剔除 5 人，剩下的 810 人再按系 统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ） A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且为 D．都相等，且为 【答案】C 【解析】抽样要保证机会均等，故从 名学生中抽取 名，概率为 ，故选 C. 3．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中 有 2 位优秀，2 位良好，我现在给丁看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给甲看丁的成 绩．看后丁对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（　　） A．甲、乙可以知道对方的成绩 B．甲、乙可以知道自己的成绩 {( , ) | 2}, {( , ) | 4}M x y x y N x y x y= + = = − = M N∩ 3, 1x y= = − { }( , ) | 3 1x y x y= = −或 (3, 1)− { }(3, 1)− 2( , ) |{ ,4 x yM N x y x y + = ∩ =  − =  2{ 4 x y x y + = − = 3, 1.x y= = − M N = { }(3, 1)− 6 163 1 27 815 30 30 6 815 163 =C．乙可以知道四人的成绩 D．甲可以知道四人的成绩 【答案】B 【解析】由丁不知道自己的成绩可知：乙和丙只能一个是优秀，一个是良好； 当乙知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是乙不知道甲和丁的成绩； 由于丁和甲也是一个优秀，一个良好， 所以甲知道丁的成绩后，能够知道自己的成绩，但是甲不知道乙和丙的成绩． 综上所述，甲，乙可以知道自己的成绩． 故选 B． 4．已知 ,设函数 ( )的最大值为 M , 最小值为 N ,那么 =( ) A．2025 B．2022 C．2020 D．2019 【答案】B 【解析】由题可知 ， ， 在 为增函数， 故选：B 5．已知向量 =(2，3)， =(−1，2)，若(m ＋n )∥( −2 )，则 等于 A．−2 B．2 0a > 12019 3( ) 2019 1 x xf x + += + [ , ]x a a∈ − M N+ 12019 3 2016( ) 20192019 1 2019 1 x x xf x + += = −+ + 2016 2019( ) 2019 2019 1 x xf x ⋅− = − + ( ) ( ) 2016 2016 210 24038 40389 2019 2016 21 02 x xf x f x − + ⋅+ − = − =+ = 2016( ) 2019 2019 1xf x = − + [ , ]x a a∈ − ( ) ( )+ + 2022M N f a f a∴ = − = a b a b a b m nC．− D． 【答案】C 【解析】由题意得 m ＋n =(2m−n，3m＋2n)， −2 =(4，−1)，∵(m ＋n )∥( −2 )，∴−(2m−n)−4(3m＋2n)=0，∴ ，故选 C． 6．如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图，在 平面直角坐标系中，下列给定的一系列直线中（其中 为参数， ），能形成这种效 果的只可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图形分析知转化为：原点到各圆周切线的距离为定值． 对 A： ，此时 不是固定值，故舍去； 对 B： ，此时 不是固定值，故舍去； 对 C： ，正确； 1 2 1 2 a b a b a b a b 1 2 m n = − θ Rθ ∈ sin 1y x θ= + cosy x θ= + cos sin 1 0x yθ θ+ + = cos siny x θ θ= + 2 1 1 sin d θ = + d cos 2 d θ= d 1d =对 D： ，此时 不是固定值，故舍去； 故选：C. 7．已知复数 ，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵复数 ，且 ， ∴ ， ∴ ． 设圆的切线 ，则 ， 化为 ，解得 ． ∴ 的最大值为 ． 故选：C． 8．椭圆 的左右焦点分别是 、 ，以 为圆心的圆过椭圆的中心， 且与椭圆交于点 P，若直线 恰好与圆 相切于点 P，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2 sin 1 cos d θ θ = + d ( , )z x yi x y R= + ∈ | 2 | 3z − = 1y x + 3 6 2 6+ 2 6− ( , )z x yi x y R= + ∈ 2 3z − = 2 2( 2) 3x y− + = ( )2 22 3x y− + = : 1l y kx= − 2 | 2 1| 3 1 k k − = + 2 4 2 0k k− − = 2 6k = ± 1y x + 2 6+ 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1F 2F 2F 1PF 2F 3 1 2 + 3 1− 2 2 5 1 2 −【解析】由 恰好与圆 相切于点 P，可知 ，且 ， 又 ，可知 ， 在 中， ， 即 所以 ， 解得 ， 故选：B 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9．某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过 0.1％，而这种溶液最初的杂质 含量为 2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少 ，则使产品达到市场要求的 过滤次数可以为（参考数据： ， ）（ ） A．6 B．9 C．8 D．7 【答案】BC 【解析】设经过 次过滤，产品达到市场要求，则 ，即 ， 由 ，即 ，得 ， 故选:BC． 10．设离散型随机变量 的分布列为 1PF 2F 2| |PF c= 1 2PF PF⊥ 1 2| || | 2PF PF a+ = 1| | 2PF a c= − 1 2Rt PF F∆ 2 2 2(2 ) 4a c c c− + = 2 22 2a ac c− = 2 2 2 0, (0,1)e e e+ − = ∈ 2 12 3 12e − += = − 1 3 lg 2 0.301≈ lg3 0.477≈ n 2 2 1 100 3 1000  ×   n  2 1 3 20      n  2lg lg 203 −n  (lg 2 lg3) (1 lg 2)− − +n  1 lg 2 7.4lg3 lg 2 + ≈−n X0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量 满足 ，则下列结果正确的有（） A． B． ， C． ， D． ， 【答案】ACD 【解析】因为 ，所以 ，故 A 正确； 又 ， ，故 C 正确； 因为 ，所以 ， ，故 D 正确. 故选：ACD. 11．如图，正方体 的棱长为 1，线段 上有两个动点 ，且 ，则下列结论中错误的是（　　） X P q Y 2 1Y X= + 0.1q = 2EX = 1.4DX = 2EX = 1.8DX = 5EY = 7.2DY = 0.4 0.1 0.2 0.2 1q + + + + = 0.1q = 0 0.1 1 0.4 2 0.1 3 0.2 4 0.2 2EX = × + × + × + × + × = 2 2 2 2 2(0 2) 0.1 (1 2) 0.4 (2 2) 0.1 (3 2) 0.2 (4 2) 0.2 1.8DX = − × + − × + − × + − × + − × = 2 1Y X= + 2 1 5EY EX= + = 4 7.2DY DX= = 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1B D ,E F 1 2EF =A． B． 平面 C．三棱锥 的体积为定值 D． 的面积与 的面积相等 【答案】AD 【解析】A.因为 ，而 ，所以 ，即 ，若 ， 则 平面 ，即可得 ，由图像分析显然不成立，故 A 不正确； B.因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故 B 正 确； C. ，所以体积是定值， 故 C 正确； D.设 的中点是 ，点 到直线 的距离是 ，而点 到直线 的距离是 ， 所以 ， ，所以 的面积与 的 面积不相等，D 不正确. 故选 AD. 12．定义域和值域均为[-a，a]的函数 y= 和 y=g（x）的图象如图所示，其中 a＞c＞ b＞0，给出下列四个结论正确结论的是（　　 ） A．方程 f[g（x）]=0 有且仅有三个解 B．方程 g[f（x）]=0 有且仅有三个解 C．方程 f[f（x）]=0 有且仅有九个解 D．方程 g[g（x）]=0 有且仅有一个解 【答案】AD AC AF⊥ EF ∕ ∕ ABCD A BEF− AEF∆ BEF∆ AC BD⊥ 1 1//BD B D 1 1AC B D⊥ AC EF⊥ AC AF⊥ AC ⊥ AEF AC AE⊥ / / ,EF BD EF ⊄ ABCD BD ⊂ ABCD / /EF ABCD 1 1 1 1 1 1 1 3 3 2 2 12A BEF BEFV S h EF BB AC EF BB AC− ∆= × × = × × × × = × × × 1 1B D O A EF AO B EF 1BB 1AO BB> 1 1 1,2 2AEF BEFS EF AO S EF BB∆ ∆= × × = × × AEF∆ BEF∆ ( )f x【解析】由图象可知对于函数 ，当 时，方程有一解，当 时， 方程有两解，当 时方程由三解，当 时，方程有两解，当 时，方 程有一解，对于函数 ，由图象可知，函数 为单调递减函数，当 ， 方程有唯一解。 对于 A 中，设 ，则由 ，即 ，此时方程有三个 的值，即 有三个不同的值，又由函数 为单调递减函数，所以方程 有三个不同的 解，所以是正确的； 对于 B 中，设 ，则由 ，即 ，此时只有唯一的解 ，即方 程 ，此时可能有一解、两解或三解，所以不正确； 对于 C 中，设 ，则由 ，即 ，此时 或 或 ， 则方程 可能有 5 个解或 7 个解，或 9 个解，所以不正确； 对于 D 中，设 ，则由 ，即 ，此时 ，对于方程 ， 只有唯一的解，所以是正确的。 故选：AD。 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．在 的展开式中， 项的系数为________（结果用数值表示） 【答案】 【解析】 ， 仅在第一部分中出现 项的系数． 再由 ，令 ，可得， ( )y f x= a y c− ≤ < − y c= − c y c− < < y c= c y a< ≤ ( )y g x= ( )g x a y a− ≤ ≤ ( )t xg= ( )[ ] 0f g x = ( ) 0f t = t ( )t xg= ( )g x ( )[ ] 0f g x = ( )t f x= ( )[ ] 0g f x = ( ) 0g t = t b= ( )b f x= ( )t f x= ( )[ ] 0f f x = ( ) 0f t = t b= − 0t = t b= ( )t f x= ( )t xg= ( )[ ] 0g g x = ( ) 0g t = t b= ( )b g x= 10 2017 11 x x  + +   2x 45 010 0 10 0 1 9 1 10 10 10 102017 2017 2 1 0 0 17 2017 1 1 1 1(1 ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( )x C x C x C xx x x x + + = + + + +…+ +    ∴ 2x 1 10 r r rT C x+ = 2r =项的系数为 ． 故答案为 45． 14．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 ， ，则 an=______， S100=______． 【答案】 【解析】由 ， ， 可得 =2， =2n， ∴ =2， ， … ， 以上 n-1 个式子相加可得， =2+22+…+2n-1= =2n-2， ∴ =2n，∴an= ； Sn= ， 2x 2 10 45C = 1 1 2a = 1 1 2n n n n n a a+ + = + 2n n 99 512 2 − 1 1 2a = 1 1 2n n n n n a a+ + = + 1 1 a 1 1 n n n n a a+ + − 2 1 2 1 a a − 2 3 2 3 2 2a a − = 1 1 1 2n n n n n a a − − −− = 1 1 n n a a − ( )12 1 2 1 2 n−− − n n a 2n n 2 1 2 2 2 2n n+ +…+∴ = ， 两式相减可得， = = = ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ； ． 15．为贯彻教育部关于全面推进素质教育的精神，某学校推行体育选修课.甲、乙、丙、 丁四个人分别从太极拳、足球、击剑、游泳四门课程中选择一门课程作为选修课，他们 分别有以下要求: 甲：我不选太极拳和足球； 乙：我不选太极拳和游泳； 丙：我的要求和乙一样； 丁：如果乙不选足球，我就不选太极拳. 已知每门课程都有人选择，且都满足四个人的要求，那么选击剑的是___________. 【答案】丙 【解析】在如下图中，用√表示该门课程被选择，用×表示该门课程未选，且每行每列只 有一个勾， 太极拳 足球 击剑 游泳 甲 × × √ 1 2 nS 2 1 1 1 2 2 2n n n n + −+…+ + 1 2 nS 2 1 1 1 1 2 2 2 2n n n ++ +…+ − 1 1 112 2 1 21 2 n n n +  −   − − 1 11 2 2n n n +− − 2 22 22 2 2n n n n n nS += − − = − 100 100 99 102 512 22 2S = − = − 2n n 99 512 2 −乙 × √② × 丙 × √ × 丁 √① 从上述四个人的要求中知，太极拳甲、乙、丙都不选择，则丁选择太极拳， 丁所说的命题正确，其逆否命题为“我选太极拳，那么乙选足球”为真，则选足球的是乙， 由于乙、丙、丁都为选择游泳，那么甲选择游泳，最后只有丙选择击剑。故答案为：丙。 16．已知 为常数，函数 的最小值为 ，则 的所有值为 ____． 【答案】 【解析】由题意得函数 为奇函数. ∵函数 ∴ 令 ，得 ，则 . ∵函数 的最小值为 ∴ a ( ) 2 21 xf x a x x = − − − 2 3 − a 14 4 ， ( )f x ( ) 2 21 xf x a x x = − − − ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 1( ) 1 x xa x x x a x xf x a x x  − −− − − − − − − = − − ′ − ( ) 0f x′ = 2 2 1 1 a a x x = − − 2 1 ax a = + ( )f x 2 3 − 0a >∴ ，得 . ①当 时，函数 的定义域为 ，由 得 或 ，由 得 ，函数 在 ， 上为增函数，在 上为减函数. ∵ ， ， ∴ ，则 ②当 时，函数 的定义域为 ，由 得 ， 得 或 ，函数 在 上为增函数，在 ， 为减函数. ∵ ， ∴ ，则 . 综上所述， 或 . 故答案为 ， . 四、解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ( ) 0f x′ > 2( 1)[ ( 1) ] 0a a a x− − + > 0 1a< < ( )f x [ , ]a a− ( ) 0f x′ > 1 aa x a − ≤ < − + 1 a x aa < ≤+ ( ) 0f x′ < 1 1 a axa a − < ( )f x [ 1,1]− ( ) 0f x′ > 1 1 a axa a − < 14607，即 ， 即 ， ，模型①的相关指数 小于模型②的 ， 说明回归模型②的拟合效果更好. x y u 10 2 1 ( )i i x x = −∑ ( )( )10 1 i i i x x y y = − −∑ ( )( )10 1 i i i x x u u = − −∑ 10 1 1ln , 10i i i i u y u u = = = ∑  0.11235e xy = ebxy a= ln lny bx a= + lnu y= lnc a= u x ( )( ) ( ) 10 1 10 2 1 9.00 0.10883 i i i i i x x u u b x x = = − − = = ≈ − ∑ ∑  6.05 0.108 5.5 5.456 5.46c u bx= − ≈ − × = ≈   5.46e e 235ca = ≈ ≈ ∴  0.11235e xy = 10 10 2 2 1 1 30407 14607 ( ) ( )i i i i y y y y = = > − −∑ ∑ 10 10 2 2 1 1 30407 146071 1 ( ) ( )i i i i y y y y = = − < − − −∑ ∑ 2 2 1 2R R< 2 1R 2 2R2021 年时， ， 预测旅游人数为 （万人）. 20．（本小题满分12分）如图，已知斜三棱柱 中， ， 在底面 上的射影恰为 的中点 ，且 . （1）求证： ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）在线段 上是否存在点 ，使得二面角 的平面角为 ？若存在， 确定点 的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析（2） （3）不存在点 满足要求.见解析 【解析】证明：（1）作 交 于点 ，分别以 所在直线为 轴建系 所以， ，所以 （2）因为 ，所以面 的一个法向量为 13x =  0.11 13 1.43235e 235e 235 4.2 987y ×= = ≈ × = 1 1 1ABC A B C− 90 , 2BCA AC BC∠ = ° = = 1A ABC AC D 1 3A D = 1 1A B AC⊥ 1A B 1 1 1A B C 1C C M 1 1 1M A B C− − 90° M 6 4 M DE AC⊥ AB E 1, ,DE DC DA , ,x y z 1 1(0, 1,0), (0,1,0), (2,1,0), (0,0, 3), (0,2, 3)A C B A C− 1 1(2,1, 3), (0,3, 3)A B AC= − =  1 1 0 3 3 0A B AC⋅ = + − =  1 1A B AC⊥ 1 1 1 //A B C ABC面 面 1 1 1A B C (0,0,1)m =因为 ，所以 ， 设线 与平面 所成角为 ， （3）不存在，设 ，（ ） , 设面 的一个法向量为 有 1 (2,1, 3)A B = − 1 3A B m⋅ = −  1| | 4 1 3 2 2A B = + + = 1 3 6cos , 41 2 2 A B m −< >= = − ×   1A B 1 1 1A B C α 1 6sin cos , 4A B mα = < > =  1 (0, , 3 )CM CCλ λ λ= =  0 1λ≤ ≤ 1 1= (2,2,0)A B AB =  1 1 (0, 1, 3 3)A M AC CM λ λ= + = + −   1 1MA B ( , , )n x y z= 1 1 1 · 0 · 0 A B n A M n  = =     ，得 所以不存在点 满足要求. 21．（本小题满分 12 分）已知函数 （1）讨论 的单调性； （2）若 ，不等式 对 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2） . 【解析】（1） . 当 时，令 ，得 ；令 ，得 . 所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . 当 时令 ，得 ；令 ，得 . 所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . 2 2 0 ( 1) ( 3 3) 0 x y y zλ λ + =∴ + + − = ( 1) 3 3 x y yz λ λ = −∴ + = − − 11, 1, 3 3 n λ λ + ∴ = − −   1 0 3 3 m n λ λ +∴ ⋅ = = −   1λ = − M 3( ) 1( 0).axf x x e a= − ≠ ( )f x 2a = ( ) 3lnf x mx x≥ + (0, )x∈ +∞ m ( ,2]−∞ 2 3 2( ) 3 ( 3)ax ax axf x x e ax e x e ax′ = + = + 0a < ( ) 0f x′ < 3x a > − ( ) 0f x′ ≥ 3x a ≤ − ( )f x 3 ,a  − +∞   3, a  −∞ −   0a > ( ) 0f x′ ≥ 3x a ≥ − ( ) 0f x′ < 3x a < − ( )f x 3, a  −∞ −   3 ,a  − +∞ （2）因为 ，所以 对 恒成立等价于 对 恒成立.设 ， ， 令 ，得 ；令 ，得 . 所以 ，所以 .取 ， 则 ，即 ， 所以 . 设 ，因为 ， ， 所以方程 必有解， 所以当且仅当 时，函数 得最小值，且最小值为 2，所 以 ，即 m 的取值范围为 ， 22．（本小题满分 12 分）已知椭圆 的右焦点是抛物线 的焦点，直 线 与 相交于不同的两点 ． （1）求 的方程； （2）若直线 经过点 ，求 的面积的最小值( 为坐标原点)； （3）已知点 ，直线 经过点 ， 为线段 的中点，求证： ． 【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析 2a = ( ) 3lnf x mx x≥ + (0, )x∈ +∞ 3 2 3ln 1xx e xm x − −≤ (0, )x∈ +∞ ( ) 1 ln ( 0)g t t t t= − − > 1( ) tg t t ′ −= ( ) 0g t′ < 0 1t< < ( ) 0g t′ > 1t > min( ) (1) 0g t g= = 1 ln 0t t− − ≥ 3 2xt x e= ( )3 2 3 21 ln 0x xx e x e− − ≥ 3 2 3ln 1 2xx e x x− − ≥ 3 2 3ln 1 2 2 xx e x x x x − − ≥ = 3 2( ) xh x x e= (0) 0 1h = < 2(1) 1h e= > 3 2 1xx e = 3 2 1xx e = 3 2 3ln 1( 0) xx e xy xx − −= > 2m ≤ ( ,2]−∞ 2 2 110 9 x y+ = :Γ 2 2y px= l Γ 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ， Γ l (2 0)P ， OAB O (1 2)C ， l (5 2)Q −， D AB 2AB CD= 2 4y x= 4 2【解析】（1）∵椭圆 的右焦点为 ，∴ ， ∴ 的方程为 ． （2）（解法 1）显然直线 的斜率不为零，设直线 的方程为 ， 由 ，得 ，则 ， ∴当 ，即直线 垂直 轴时， 的面积取到最小值，最小值为 ． （解法 2）若直线 的斜率不存在，由 ，得 ， 的面积 ， 若直线 的斜率存在，不妨设直线 的方程为 ， 由 ，得 ， ，且 ， ， 即 的面积的最小值为 ． （3）（解法 1）∵直线 的斜率不可能为零，设直线 方程为 ， 由 得 ，∴ ， ， ∴ 2 2 110 9 x y+ = (1,0) 2p = Γ 2 4y x= l l 2x my= + 2 4 2 y x x my  =  = + 2 4 8 0y my− − = 1 2 4y y m+ = 1 2 8y y⋅ = − 2 2 1 2 1 2 1 2 1 | | | | ( ) 4 16 32 4 22AOBS OP y y y y y y m= ⋅ − = + − = + ≥  0m = l x OAB 4 2 l 2 4 2 y x x  =  = (2 2 2) (2 2 2)A B −， ， ， OAB 1 2 1 | | | | 4 22S OP y y= ⋅ − = l l ( 2)y k x= − 2 4 ( 2) y x y k x  =  = − 2 4 8 0ky y k− − = 0k ≠ 1 2 4y y k + = 1 2 8y y⋅ = − 2 1 2 1 2 1 2 2 1 16| | | | ( ) 4 32 4 22AOBS OP y y y y y y k = ⋅ − = + − = + >  OAB 4 2 l l ( 2) 5x m y= + + 2 ( 2) 5 4 x m y y x = + +  = 2 4 8 20 0y my m− − − = 1 2 4y y m+ = 1 2 8 20y y m= − − 2 1 2 4 4 10x x m m+ = + + 2 1 2 (2 5)x x m= + 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2=( 1, 2) ( 1, 2)= ( ) 2( ) 5AC BC x y x y x x x x y y y y⋅ − − ⋅ − − − + + − + + ，即 ， 在 中， 为斜边 的中点，所以 ． （解法 2）（前同解法 1） 线段 的中点 的坐标为 ， 所以 ． 2 24 20 25 4 4 10 8 20 8 5 0m m m m m m= + + − − − − − − + = AC BC⊥ Rt ABC D AB 2AB CD= ( )22 2 1 2 1 2 1 2= 1 1 4AB m y y m y y y y+ − = + + − 2 2 4 3 21 16 32 80 4 2 6 2 5m m m m m m m= + ⋅ + + = + + + + AB D ( )22 2 5,2m m m+ + 2 2 2 4 3 2= (2 2 4) (2 2) 2 2 6 2 5CD m m m m m m m+ + + − = + + + + 2AB CD=