江苏省无锡市2020届高三数学上学期期末考试试题（含解析）

- 1 - 江苏省无锡市 2020 届高三数学上学期期末考试试题（含解析） 一､填空题 1.集合 ， ，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】 分析出集合 A 为奇数构成的集合，即可求得交集. 【详解】因为 表示为奇数，故 . 故答案为： 【点睛】此题考查求集合的交集，根据已知集合求解，属于简单题. 2.已知复数 ，且满足 （其中 为虚数单位），则 ____. 【答案】 【解析】 【分析】 计算出 ，两个复数相等，实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程 组求解. 【详解】 ，所以 ，所以 . 故答案为：-8 【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要熟练掌握复数的运算法则. 3.某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有 7 人用时为 6 分钟，有 14 人用时 7 分钟，有 15 人用时为 8 分钟，还有 4 人用时为 10 分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用 时为____分钟. 【答案】7.5 【解析】 【分析】 分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数. { | 2 1, }A x x k k Z= = − ∈ {1,2,3,4}B = A B = {1,3} 2 1,k k Z− ∈ A B = {1,3} {1,3} z a bi= + ( ),a b∈R 9iz i= + i a b+ = 8− 2iz ai bi b ai= + = − + 2iz ai bi b ai= + = − + 1, 9a b= = − 8a b+ = −- 2 - 详解】 故答案为：7.5 【点睛】此题考查求平均数，关键在于准确计算出所有数据之和，易错点在于概念辨析不清 导致计算出错. 4.函数 过定点________. 【答案】 【解析】 【分析】 令 ， ，与参数无关，即可得到定点. 【详解】由指数函数的性质，可得 ，函数值与参数无关， 所有 过定点 . 故答案为： 【点睛】此题考查函数的定点问题，关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关，熟记 常见函数的定点可以节省解题时间. 5.等差数列 （公差不为 0），其中 ， ， 成等比数列，则这个等比数列的公比为 _____. 【答案】4 【解析】 【分析】 根据等差数列关系，用首项和公差表示出 ，解出首项和公差的关系，即可得解. 【详解】设等差数列 的公差为 ， 由题意得: ，则 整理得 ， ，所以 故答案为：4 【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，涉及等比中项，考查基本计算能力. 【 7 6+14 7+15 8 4 10 7.57 14 15 4 × × × + × =+ + + ( ) ( 1) 3xf x a= − − ( 1, 2)a a> ≠ (0, 2)− 0x = (0) 1 3 2f = − = − 0x = ( ) ( 1) 3xf x a= − − (0, 2)− (0, 2)− { }na 1a 2a 6a 2 2 1 6a a a= { }na d 2 2 1 6a a a= 2 1 1 1( + ) ( 5 )a d a a d= + 13d a= 2 1 14a a d a= + = 2 1 =4a a- 3 - 6.小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从 4 道题中随机抽取 2 道作答，小李会其中的 三道题，则抽到的 2 道题小李都会的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】 从四道题中随机抽取两道共 6 种情况，抽到的两道全都会的情况有 3 种，即可得到概率. 【详解】由题：从从 4 道题中随机抽取 2 道作答，共有 种， 小李会其中的三道题，则抽到的 2 道题小李都会的情况共有 种， 所以其概率为 . 故答案为： 【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一 事件包含的基本事件个数. 7.在长方体 中， ， ， ， 为 的中点，则点 到平面 的距离是______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用等体积法求解点到平面的距离 【详解】由题在长方体中， ， ， 1 2 2 4 6C = 2 3 3C = 2 3 2 4 1= 2 C C 1 2 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AB = 2AD = 1 1AA = E BC A 1A DE 6 3 1 1 1 12 1 1=3 2 3A ADEV − = × × × × 2 2 1 1 15, 2, 3A D DE EA A A AE= = = + =- 4 - 所以 ，所以 ， 设点 到平面 的距离为 ，解得 故答案为： 【点睛】此题考查求点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，关键在于合理变 换三棱锥的顶点. 8.如图所示的流程图中，输出 的值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】 根据流程图依次运行直到 ，结束循环，输出 n，得出结果. 【详解】由题： ， 2 2 2 1 1A D DE A E= + 1DE A E⊥ 1 1 62 3=2 2A DES = × ×△ A 1A DE h 1 1 6 1=3 2 3A A DEV h− = × × 6= 3h 6 3 n 1S ≤ − 2 11, 1, 1 log 0, 21 1S n S n= = = + = =+- 5 - ， ， 结束循环， 输出 . 故答案为：4 【点睛】此题考查根据程序框图运行结果求输出值，关键在于准确识别循环结构和判断框语 句. 9.圆 关于直线 的对称圆的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】 求出圆心关于直线的对称点，即可得解. 【详解】 的圆心为 ，关于 对称点设为 ， 则有: ，解得 ， 所以对称后的圆心为 ，故所求圆的方程为 . 故答案为： 【点睛】此题考查求圆关于直线的对称圆方程，关键在于准确求出圆心关于直线的对称点坐 标. 10.正方形 的边长为 2，圆 内切于正方形 ， 为圆 的一条动直径，点 为正方形 边界上任一点，则 的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据向量关系表示 ，只需求 出 的取值范围即可得解. 2 2 2 20 log log , 32 1 3S n= + = =+ 2 2 2 2 3 2log log log 1, 43 3 1 4S n= + = = − =+ 1S ≤ − 4n = 2 2:( 1) ( 2) 4C x y+ + − = 2 1y x= − 2 2( 3) 4x y− + = 2 2:( 1) ( 2) 4C x y+ + − = ( 1,2)− 2 1y x= − ( , )x y 2 12 12 2 2 1 1 2 y x y x + − = × − − = − + 3 0 x y =  = (3,0) 2 2( 3) 4x y− + = 2 2( 3) 4x y− + = ABCD O ABCD MN O P ABCD PM PN⋅  [0,1] ( ) ( )PM PN PO OM PO OM⋅ = + ⋅ −      22 2 1PO OM PO= − = −   PO- 6 - 【详解】由题可得： ， 故答案为： 【点睛】此题考查求平面向量数量积的取值范围，涉及基本运算，关键在于恰当地对向量进 行转换，便于计算解题. 11.双曲线 的左右顶点为 ，以 为直径作圆 ， 为双曲线右支上不同 于顶点 的任一点，连接 交圆 于点 ，设直线 的斜率分别为 ，若 ，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】 根据双曲线上的点的坐标关系得 ， 交圆 于点 ， 所以 ，建立等式 ，两式作商即可得解. 【详解】设 ， 交圆 于点 ，所以 易知: 即 . 故答案为： 0OM ON+ =   1, 2PO  ∈   ( ) ( ) ( ) ( )PM PN PO OM PO ON PO OM PO OM⋅ = + ⋅ + = + ⋅ −          22 2 [0,11 ]PO OM PO= − = − ∈   [0,1] 2 2 : 14 3 x yC − = ,A B AB O P B PA O Q ,PB QB 1 2,k k 1 2k kλ= λ = 3 4 − 2 0 0 0 2 0 0 0 3 2 42 4PA PB y y y x xk k x = ⋅ =+ − − = PA O Q PA QB⊥ 1PA QBk k⋅ = − ( ) ( ) ( )0 0, , 2,0 2,0P x y A B− 2 2 0 0 14 3 x y− = ( )2 2 20 0 0 33 1 44 4 xy x  = − = −    2 0 0 0 2 0 0 0 3 2 42 4PA PB y y y x xk k x = ⋅ =+ − − = PA O Q PA QB⊥ 3 34 41 PA PB PB QB PA QB k k k kk k λ  = ⇒ = = −  ⋅ = − 1 2 3 4 k k λ= = − 3 4 −- 7 - 【点睛】此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系，涉及双曲线中的部分定值结 论，若能熟记常见二级结论，此题可以简化计算. 12.对于任意的正数 ，不等式 恒成立，则 的最大值为 _____. 【答案】 【解析】 【分析】 根据 均为正数，等价于 恒成立，令 ， 转化为 恒成立，利用基本不等式求解最值. 【详解】由题 均为正数，不等式 恒成立，等价于 恒成立， 令 则 ， 当且仅当 即 时取得等号， 故 的最大值为 . 故答案为： 【点睛】此题考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键在于合理进行等价变形，此题可以 构造二次函数求解，也可利用基本不等式求解. 13.在直角三角形 中， 为直角， ，点 在线段 上，且 ， 若 ，则 的正切值为_____. 【答案】3 【解析】 ,a b 2 2 2(2 ) 4 4 3ab a k b ab a+ ≤ + + k 2 2 ,a b 2 2 2 2 2 3 4 4 4 232 2 a ab b b abk a ab a ab + + −≤ = ++ + , 0b xa x= > 24 23 , 02 1 x xk xx −≤ + >+ ,a b 2 2 2(2 ) 4 4 3ab a k b ab a+ ≤ + + 2 2 2 2 2 3 4 4 4 232 2 a ab b b abk a ab a ab + + −≤ = ++ + , 0b xa x= > 24 2 23 2 12 1 2 1 x xk xx x −≤ + = + ++ + 22 1 2 22 1x x + + ≥+ 22 1 2 1x x + = + 2 1 2x −= k 2 2 2 2 ABC C∠ 45BAC∠ >  D BC 1 3CD CB= 1tan 2DAB∠ = BAC∠- 8 - 【分析】 在直角三角形中设 ， ， ，利用两 角差的正切公式求解. 【详解】设 ， ， 则 ， 故 . 故答案为：3 【点睛】此题考查在直角三角形中求角的正切值，关键在于合理构造角的和差关系，其本质 是利用两角差的正切公式求解. 14.函数 在区间 内有且仅有两个零点，则实数 的取值范围 是_____. 【答案】 【解析】 【分析】 对函数零点问题等价转化，分离参数讨论交点个数，数形结合求解. 【详解】由题：函数 在区间 内有且仅有两个零点， ， 等价于函数 恰有两个公共点， 作出大致图象： 3BC = 3AC x= < 1tan tan( ) 2DAB BAC DAC∠ = ∠ − ∠ = 3BC = 3AC x= < 3 1tan ,tanBAC DACx x ∠ = ∠ = 2 2 2 2 1tan tan( ) 13 3 21 xxDAB BAC DAC xx x ∠ = ∠ − ∠ = = = ⇒ =++ tan 3BAC∠ = 2 2( ) | 1| 9f x x x kx= − + + + (0,3) k 26 , 83k  ∈ − −   2 2( ) | 1| 9f x x x kx= − + + + (0,3) 2 2 10 , (0,1]1 9 82 , (1,3) xx x xk x x xx  ∈+ − + − = =   + ∈ ( ) 10 , (0,1] , 82 , (1,3) xxy k g x x xx  ∈= − =   + ∈- 9 - 要有两个交点，即 ， 所以 . 故答案为： 【点睛】此题考查函数零点问题，根据函数零点个数求参数的取值范围，关键在于对函数零 点问题恰当变形，等价转化，数形结合求解. 二､解答题 15.在 中，角 所对的分别为 ，向量 ，向量 ，且 . （1）求角 的大小； （2）求 的最大值. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】 （1）根据向量平行关系 ，结合正弦定理化简即可求解； （2）结合（1）的结果 ，利用三角恒等变 换，化简为 即可求得最大值. 268, 3k  − ∈   26 , 83k  ∈ − −   26 , 83k  ∈ − −   ABC , ,A B C , ,a b c (2 3 , 3 )m a b c= − (cos ,cos )n B C= m n ∥ C sin + 3sin( )3y A B π= − 6 π 2 cos 3 cos 3 cos 0a C b C c B− − = sisin + 3sin( )3 n 3sin 2A Ay A B π π=  = + −   − 52sin , 0,3 6A A π π   + ∈      - 10 - 【详解】（1）因为 ，所以 由正弦定理知: ， ， ， 又 为三角形内角，故 ， 所以， ，即 ， 为三角形内角，故 ； （2）由（1）知: ，则 所以 ， ，则 ，故 ， 即 时， 取最大值 2. 【点睛】此题考查平面向量共线的坐标表示，利用正弦定理结合三角恒等变换求解最大值， 需要注意考虑最大值取得的条件. 16.在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 为其中心， 为锐角三角 形，且平面 底面 ， 为 的中点， . （1）求证: 平面 ； （2）求证: . / /m n  2 cos 3 cos 3 cos 0a C b C c B− − = 2sin cos 3(sin cos sin cos ) 0A C B C C B− + = 2sin cos 3sin( ) 0A C B C− + = 2sin cos 3sin( ) 0A C Aπ− − = 2sin cos 3sin 0A C A− = A sin 0A > 2cos 3 0C − = 3cos 2C = C 6C π= 5 6A B C ππ+ = − = 5, 0,3 2 6B A A π π π − = − ∈   sisin + 3sin( )3 n 3sin 2A Ay A B π π=  = + −   − 5sin 3 cos 2sin , 0,3 6A A A A π π   = + = + ∈       50, 6A π ∈   7,3 3 6A π π π + ∈   3 2A π π+ = 6A π= y P ABCD− ABCD O PAD△ PAD ⊥ ABCD E PD CD DP⊥ OE  PAB CD PA⊥- 11 - 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）通过证明 ，即可证明线面平行； （2）通过证明 平面 ，即可证明线线垂直. 【详解】（1）连 ，因为 为平行四边形， 为其中心，所以， 为 中点， 又因为 为 中点，所以 ， 又 平面 ， 平面 所以， 平面 ； （2）作 于 因 平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ， 所以， 平面 又 平面 ， 所以 又 ， ， 平面 ， 平面 所以， 平面 ，又 平面 ， 所以， . 【点睛】此题考查证明线面平行和线面垂直，通过线面垂直得线线垂直，关键在于熟练掌握 相关判定定理，找出平行关系和垂直关系证明. 17.已知椭圆 的左右焦点分别为 ，焦距为 4，且椭圆过点 ，过点 且不平行于坐标轴的直线 交椭圆与 两点，点 关于 轴的对称点为 ， 直线 交 轴于点 . （1）求 的周长； （2）求 面积的最大值. 为 / /OE PB CD ⊥ PAD BD ABCD O O BD E PD / /OE PB PB ⊂ PAB OE ⊄ PAB / /OE PAB PH AD⊥ H PAD ⊥ ABCD PAD  ABCD AD= PH AD⊥ PH ⊂ PAD PH ⊥ ABCD CD ⊂ ABCD CD PH⊥ CD PD⊥ PD PH P∩ = PD ⊂ PAD PH ⊂ PAD CD ⊥ PAD PA ⊂ PAD CD PA⊥ 2 2 2 2: 1x yC a b + = ( 0)a b> > 1 2,F F 5(2, )3 2F l ,P Q Q x R PR x M 1PFQ 1PF M- 12 - 【答案】（1）12（2） 【解析】 【分析】 （ 1 ） 根 据 焦 距 得 焦 点 坐 标 ， 结 合 椭 圆 上 的 点 的 坐 标 ， 根 据 定 义 ； （2）求出椭圆的标准方程，设 ，联立直线和椭圆，结合 韦达定理表示出 面积，即可求解最大值. 【详解】（1）设椭园 的焦距为 ，则 ，故 .则 椭圆过点 ，由椭圆定义知: ，故 ， 因此， 的周长 ； （2）由（1）知: ，椭圆方程为: 设 ，则 ， ， ， ， ， 当且仅当 在短轴顶点处取等，故 面积的最大值为 . 【点睛】此题考查根据椭圆的焦点和椭圆上的点的坐标求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆 13 5 4 1 2 1 2 4 12PF PF QF QF a+ + + = = ( ) ( )1 1 2 2: 2, , , ,l x my P x y Q x y= + 1PF M C 2c 2 4c = 2c = 1 2( 2,0), (2,0)F F− 52, 3A    1 22 6a AF AF= + = 3a = 1PFQ 1 2 1 2 4 12PF PF QF QF a= + + + = = 2 2 2 5b a c= - = 2 2 19 5 x y+ = ( ) ( )1 1 2 2: 2, , , ,l x my P x y Q x y= + ( )2 2,R x y− ( )1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 : ,0y y y x x yPR y x x y Mx x y y  + += − + ⇒  − +  ( )2 2 2 2 2 5 9 20 25 05 9 45 x my m y myx y = + ⇒ + + − = + = ( ) 2 2 1,2 2 10 15 1900 1 0, 5 9 m mm y m − ± += + > = +△ 1 2 1 22 2 20 25,5 9 5 9 my y y ym m − −+ = =+ + ( )1 2 1 2 1 2 1 2 2 902 2 5 9 my x x y my y y y m −+ = + + = + 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 13 13 52 | | | |2 4 4PF M x x yS y yy y y  += + = ≤ + △ P 1PF M 13 5 4- 13 - 的交点关系求三角形面积的最值，涉及韦达定理的使用，综合性强，计算量大. 18.一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形 的室内发酵馆，发酵馆内有 一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形 (如图所示)，其中 .结合现有的生 产规模，设定修建的发酵池容积为 450 米 ，深 2 米.若池底和池壁每平方米的造价分别为 200 元和 150 元，发酵池造价总费用不超过 65400 元 （1）求发酵池 边长的范围； （2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为 4 米和 米的走道（ 为常数）.问: 发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小. 【答案】（1） （2）当 时， ， 米时，发酵馆的占 地面积最小；当 时， 时，发酵馆的占地面积最小；当 时， 米时，发酵馆的占地面积最小. 【解析】 【分析】 （1）设 米，总费用为 ，解 即可得解； （2）结合（1）可得占地面积 结合导函数分类讨论即可求得最值. 【详解】（1）由题意知:矩形 面积 米 ， 设 米，则 米，由题意知: ，得 ， 设总费用为 ， MNPQ ABCD AD AB≥ 3 AD b b [15,25]AD∈ 360 25b< ≤ 25AD = 9AB = 36 ,425b  ∈   30 15, 2 b bAD ABb = = 4b ≥ 15AB AD= = AD x= 450( ) 225 200 150 2 2f x x x  = × + × ⋅ +   ( ) 65400f x ≤ ( ) 225( 8) 2S x x bx  = + +   ABCD 450 2252S = = 2 AD x= 225AB x = 225 0x x ≥ > 15x ≥ ( )f x- 14 - 则 ， 解得: ，又 ，故 ， 所以发酵池 边长的范围是不小于 15 米，且不超过 25 米； （2）设发酵馆的占地面积为 由（1）知: ， ① 时， ， 在 上递增，则 ，即 米时，发酵馆 的占地面积最小； ② 时， ， 在 上递减，则 ，即 米时 ，发酵馆的占地面积最小； ③ 时， 时， ， 递减； 时， 递增， 因此 ，即 时，发酵馆的占地面积最小； 综上所述：当 时， ， 米时，发酵馆的占地面积最小；当 时， 时，发酵馆的占地面积最小；当 时， 米时，发酵馆的占地面积最小. 【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于根据题意恰当地建立模型，利用函数性质讨论 最值取得的情况. 19.已知 ， 均为正项数列，其前 项和分别为 ， ，且 ， ， ， 当 ， 时， ， . 450 225( ) 225 200 150 2 2 600 45000 65400f x x xx x    = × + × ⋅ + = + + ≤       9 25x≤ ≤ 15x ≥ [15,25]x ∈ D ( )S x ( ) 225 1800( 8) 2 2 16 225, [15,25]S x x b bx b xx x  = + + = + + + ∈   ( )2 2 2 900 ( ) , [15,25] bx S x xx −′ = ∈ 4b ≥ ( ) 0S x′ ≥ ( )S x [15,25] 15x = 15AB AD= = 360 25b< ≤ ( ) 0S x′ = ( )S x [15,25] 25x = 25, 9AD AB= = 36 ,425b  ∈   3015,x b  ∈   ( ) 0S x′ < ( )S x 30 ,25x b  ∈   ( ) 0, ( )S x S x′ > 30 30 bx bb = = 30 15, 2 b bAD ABb = = 360 25b< ≤ 25AD = 9AB = 36 ,425b  ∈   30 15, 2 b bAD ABb = = 4b ≥ 15AB AD= = { }na { }nb n nS nT 1 1 2a = 1 1b = 2 2b = 2n ≥ *n N∈ 1 1 2n nS a− = − 2 2 1 1 1 1 2( ) 2n n n n n n T Tb Tb b − − + − −= −+- 15 - （1）求数列 ， 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】 （1） ，所 ，两式相减，即可得到数列递推关系求解通项公 式 ， 由 ， 整 理 得 ，得到 ， 即可求解通项公式； （2）由（1）可知， ，即可求得数 列 的前 项和 . 【详解】（1）因为 ，所 ，两式相减，整理得 ，当 时， ，解得 ， 所以数列 是首项和公比均为 的等比数列，即 ， 因为 ， 整理得 ， 又因为 ，所以 ，所以 ，即 ，因为 ，所以数列 是以首项和公差均为 1 等差数列，所以 ；的 { }na { }nb 2 ( 2)n n n n n b ac b b += + { }nc n nP 1 2n na = nb n= 11 ( 1) 2n nP n = − + ⋅ 1 1 2 ( 2)n nS a n− = −  11 2n nS a += − ( )2 2 1 1 1 1 1 2 2 ( 2)n n n n n n n n T T b T T T nb b − − − − − − = − = −+  ( )( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ( 2)n n n n n n n n n n n n n T T T T b T T T T nb b b b − − − − + − + − − + += = ++ +  1 1( 2)n n n nb b b b n+ −− = −  2 1 ( 2) 1 2( 1) 1 1 1 2 ( 1) 2 2 ( 1) 2n n n n n n n nc n n n n n n− + + −= ⋅ = ⋅ = −+ + ⋅ + ⋅ { }nc n nP 1 1 2 ( 2)n nS a n− = −  11 2n nS a += − 1 1 ( 2)2n na a n− =  2n = 1 1 2 1 1 22S a a= = = − 2 1 1 1 4 2a a= = { }na 1 2 1 2n na = ( )2 2 1 1 1 1 1 2 2 ( 2)n n n n n n n n T T b T T T nb b − − − − − − = − = −+  ( )( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ( 2)n n n n n n n n n n n n n T T T T b T T T T nb b b b − − − − + − + − − + += = ++ +  0nb > 0nT > 1 1 2 1( 2)n n n b nb b+ − =+  1 1( 2)n n n nb b b b n+ −− = −  1 21, 2b b= = { }nb nb n=- 16 - （2）由（1）可知， ， ，即 . 【点睛】此题考查求数列的通项公式，以及数列求和，关键在于对题中所给关系合理变形， 发现其中的关系，裂项求和作为一类常用的求和方法，需要在平常的学习中多做积累常见的 裂项方式. 20.设函数 ， ， . （1）求函数 的单调区间； （2）若函数 有两个零点 ， ( ). （i）求 的取值范围； （ii）求证: 随着 的增大而增大. 【答案】（1）见解析；（2）（i） （ii）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）求出导函数 ，分类讨论即可求解； （2）（i）结合（1）的单调性分析函数有两个零点求解参数取值范围；（ii）设 ， 通过转化 ，讨论函数的单调性得证. 【详解】（1）因为 ，所以 当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增， 当 时， 解集为 ， 的解集为 ， 所以 的单调增区间为 ， 的单调减区间为 ； 的 2 1 ( 2) 1 2( 1) 1 1 1 2 ( 1) 2 2 ( 1) 2n n n n n n n nc n n n n n n− + + −= ⋅ = ⋅ = −+ + ⋅ + ⋅ 2 1 1 1 1 1 11 2 2 2 2 3 2 2 ( 1) 2n n nP n n−     = − + − +…+ −     × × × ⋅ + ⋅      11 ( 1) 2n nP n = − + ⋅ ( ) lnf x x ax= − a R∈ 0a ≠ ( )f x ( ) 0f x = 1x 2x 1 2x x< a 1 2x x⋅ 2 1 x x 10,a e  ∈   1 1( ) , (0, )axf x a xx x −′ = − = ∈ +∞ 2 1 1xt x = > ( )1 2 1 2 ( 1)lnln ln ln 1 t tx x x x t += + = − ( ) lnf x x ax= − 1 1( ) , (0, )axf x a xx x −′ = − = ∈ +∞ 0a < ( ) 0f x′ > (0, )+∞ ( )f x (0, )+∞ 0a > ( ) 0f x′ > 10, a      ( ) 0f x′ < 1 ,a  +∞   ( )f x 10, a      ( )f x 1 ,a  +∞  - 17 - （2）（i）由（1）可知，当 时， 在 上单调递增，至多一个零点，不符题意 ，当 时，因为 有两个零点，所以 ，解得 ， 因为 ，且 ，所以存在 ，使得 ，又因为 ，设 ，则 ，所以 单调递增，所以 ，即 ，因为 ，所以存在 ，使得 ，综上， ； （ii）因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，设 ，则 ，所以 ，解得 ，所以 ，所以 ，设 ，则 ，设 ，则 ，所以 单调递增，所以 ，所以 ，即 ，所以 单调递增，即 随着 的增大而增大，所以 随着 的增大而增大，命题得证. 【点睛】此题考查利用导函数处理函数的单调性，根据函数的零点个数求参数的取值范围， 通过等价转化证明与零点相关的命题. 附加题 选修 4—2:矩阵与变换 0a < ( )f x (0, )+∞ 0a > ( )f x max 1 1( ) ln 1 0f x f a a  = = − >   10 a e < < (1) 0f a= − < 11 a < 1 11,x a  ∈   ( )1 0f x = 2 2 1 1 1 1ln 2lnf aa a a a   = − = − −   1 1( ) 2ln 0,g a a aa e   = − − ∈     2 2 2 1 1 2( ) 0ag a a a a − −′ = + = > ( )g a 1( ) 2 0g a g ee  < = − 2 1 1x x > 2 1 1xt x = > 2 1x tx= ( )11 2 1 2 1 lnln ln txx x x x tx = = 1 lnln 1 tx t = − 2 1 lnln ln ln 1 t tx x t t = + = − ( )1 2 1 2 ( 1)lnln ln ln 1 t tx x x x t += + = − ( 1)ln( ) ( 1)1 t th t tt += >− 2 2 1 1ln ( 1) ( 1)ln 2ln ( ) ( 1) ( 1) tt t t t t tt th t t t + + − − + − −  ′ = =− − 1( ) 2ln ( 1)H t t t tt = − − > 2 2 2 1 2 ( 1)( ) 1 0tH t t t t −′ = + − = > ( )H t ( ) (1) 0H t H> = ( ) 0H t > ( ) 0h t′ > ( )h t ( )1 2ln x x 2 1 x tx = 1 2x x 2 1 x x- 18 - 21.已知 ，矩阵 ，若矩阵 属于特征值 5 的一个特征向量为 ，点 在 对应的变换作用下得到点 ，求矩阵 . 【答案】 【解析】 【分析】 根据矩阵的特征值和特征向量的定义建立等量关系，列方程组求解即可. 【详解】由题意可知， ，且 ， 所以 ，解得 ， 即矩阵 . 【点睛】此题考查矩阵特征值和特征向量的辨析理解，根据题中所给条件建立等量关系解方 程组得解. 选修 4—4:坐标系与参数方程 22.已知曲线 : ，（其中 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为 极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，设曲线 与曲线 交 于 两点，求 的长. 【答案】4 【解析】 【分析】 求出曲线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程，求出圆心到直线的距离，利用弦长公式即 可求解. 【 详 解 】 由 题 意 可 知 ， , Ra b∈ a b c dA =     A 1 1      ( )2,1P − A ( )1,2P′ − A 2 3 1 4A  =    1 1 551 1 5 a b c d        = =               2 1 1 2 a b c d − −     =           5 5 2 1 2 2 a b c d a b c d + =  + =− + = − − + = 2 3 1 4 a b c d =  = =  = 2 3 1 4A  =    1C 4cos 4sin x y θ θ =  = θ O x 2C cos( ) 2 33 πρ θ − = 1C 2C ,A B AB 2C 1C- 19 - ， 因为 ，所以曲线 的直角坐标方程为直线 ，由 曲线 的参数方程可知，曲线 的普通方程为圆 ，其半径 圆心 的直线 的距离为 ，所以直线 被圆截得的弦长为 . 【点睛】此题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的转化，求解直 线与圆形成的弦长. 【必做题】 23.如图，矩形 所在的平面垂直于平面 ， 为 的中点， ， ， ， . （1）求异面直线 与 所成角的余弦值； （2）求二面角 的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）建立空间直角坐标系，根据 即可求解异面直线所 成角的余弦值； （2）分别求出两个半平面的法向量，利用法向量的夹角求得二面角的余弦值，再求出正弦值 . 【详解】矩形 所在的平面垂直于平面 ， 为 的中点，在平面 内过 作 1 3cos cos cos sin sin cos sin 2 33 3 3 2 2 π π πρ θ ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ − = + = + =   cos , sinx yρ θ ρ θ= = 2C : 3 4 3 0l x y+ − = 1C 1C 2 2 16x y+ = 4r = O l | 4 3 | 2 3 1 3 d −= = + l 2 22 4AB r d= − = ABCD AEB O AB 90AEB∠ °＝ 30EAB∠ = ° 2 3AB = 3AD = OC DE A DE C− − 6 8 10 5 3 3 3(0, 3,3), , , 32 2OC DE  = = −      ABCD AEB O AB AEB O- 20 - 的垂线交 于 ，根据面面垂直的性质可得 平面 ， 同理在平面 内过 作 垂线交 于 ，根据面面垂直的性质可得 平面 ，所以 两两互相垂直， 如图所示，建立空间直角坐标系， 因为 ，所以 ， 易得 ， （1）由上述点坐标可知， ，所以直线 与 所成 角的余弦值 ； （2）因为 ，设平面 的法向量为 ，则 解得 ，取 ，可得 ， 的 AB AE M MO ⊥ ABCD ABCD O AB CD N NO ⊥ AEB , ,OM OB ON 90 , 30AEB EAB° °∠ = ∠ = 1 32BE AB= = ( )3 3(0, 3,3), (0, 3,3), , ,0 , 0, 3,02 2C D E A  − −    3 3 3(0, 3,3), , , 32 2OC DE  = = −      OC DE 9 9| | 62 8| | | | 9 273 9 94 4 OC DE OC DE θ −⋅= = = ⋅ + ⋅ + +     3 3 3(0,0,3), , , 3 , (0,2 3,0)2 2AD DE DC  = = − =       ADE ( )1 1 1, ,m x y z= 1 1 1 1 3 0 3 3 3 3 02 2 AD m z DE m x y z  ⋅ = = ⋅ = + − =     1 1 1 3 0 x y z  = − = 1 1y = ( 3,1,0)m = −- 21 - 设平面 的法向量为 ，则 解得 ，取 ，可得 ， 设二面角 的平面角为 ，则 ， 所以 . 【点睛】此题考查求异面直线的夹角和二面角的大小，建立空间直角坐标系，利用向量求解， 需要注意准确计算，防止出现计算错误. 24.对于任意的 ， ，用数学归纳法证明: . 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 根据数学归纳法证明方法，先证明当 时，命题成立，假设当 时，命题成立，利用 这个结论证明当 时，命题也成立，即可得证. 【详解】当 时，设 ，则 ，所以 在 上单调递增，所以 ，即 即 时，原命题成立， 假设当 时， 对任意 恒成立， 当 时，设 ，则 ，所以 在 上 单调递增，所以 ，所以 ， 所以对于任意的 ， ， 原命题得证. DEC ( )2 2 2, ,n x y z= 2 2 2 2 2 3 0 3 3 3 3 02 2 DC n y DE n x y z  ⋅ = = ⋅ = + − =     2 2 2 2 0 x z y =  = 1z = (2,0,1)n = A DE C− − α | | 2 3 3|cos | | | | | 3 1 4 1 5 m n m n α ⋅= = =⋅ + ⋅ +     2 3 10sin 1 cos 1 5 5 α α= − = − = 1x > n ∗∈N 1 n x xe n − > ！ 1n = n k= 1n k= + 1n = 1( ) , (1, )xf x e x x−= − ∈ +∞ 1( ) 1 0xf x e −′ = − > ( )f x (1, )+∞ ( ) (1) 0f x f> = 1xe x− > 1n = n k= 1 ! k x xe k − > (1, )x∈ +∞ 1n k= + 1 1( ) ( 1)! k x xg x e k + −= − + 1( ) 0! k x xg x e k −′ = − > ( )g x (1, )+∞ 1( ) (1) 1 0( 1)!x g k > = − >+ 1 1 ( 1)! k x xe k − − > + 1x > n ∗∈N 1 n x xe n − > ！- 22 - 【点睛】此题考查利用数学归纳法证明命题，需要弄清数学归纳法证明命题的基本步骤和格 式，严格推理，即可得证.