江苏省苏州市2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)
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江苏省苏州市2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)

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时间:2020-12-23

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资料简介
- 1 - 江苏省苏州市 2020 届高三数学上学期期末考试试题(含解析) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直 接填在答题卡相应位置上. 1.已知集合 , ,则 ________. 【答案】 【解析】 【分析】 进行交集的运算即可. 【详解】 , ,0,1, , , . 故答案为: , . 【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义、交集的运算,考查了计算能力,属于基础题. 2.已知 i 是虚数单位,复数 的虚部为 3,则实数 b 的值为________. 【答案】1 【解析】 分析】 利用复数代数形式的乘法运算化简,再由虚部为 3 求解 . 【详解】 的虚部为 3, ,即 . 故答案为:1. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算,考查复数的基本概念,是基础题. 3.从 2 名男生和 l 名女生中任选 2 名参加青年志愿者活动,则选中的恰好是一男一女的概率 为________. 【答案】 【解析】 【分析】 基本事件总数 ,选中的恰好是一男一女包含的基本事件个数 ,由此 【 { }1A x x= ≥ { }1,0,1,4B = − A B = { }1,4 { | 1}A x x=  { 1B = − 4} {1A B∴ ∩ = 4} {1 4} ( )( )1 2z bi i= + + b (1 )(2 ) (2 ) (2 1)z bi i b b i= + + = − + + 2 1 3b∴ + = 1b = 2 3 2 3 3n C= = 1 1 2 1 2m C C= =- 2 - 能求出选中的恰好是一男一女的概率. 【详解】从 2 名男生和 1 名女生中任选 2 名参加青年志愿者活动, 基本事件总数 , 选中的恰好是一男一女包含的基本事件个数 , 则选中的恰好是一男一女的概率为 . 故答案为: . 点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是 基础题. 4.为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况,随机抽查了某天单位时间内通过的车 辆数,得到以下频率分布直方图(如图),已知在 之间通过的车辆数是 440 辆,则在 之间通过的车辆数是________. 【答案】100 【解析】 【分析】 由频率分布直方图得在 , 之间通过的车辆的频率为 0.44,在 , 之间通过的车辆的频 率为 0.10,由此利用在 , 之间通过的车辆数是 440 辆,能求出在 , 之间通过的车辆 数. 【详解】由频率分布直方图得: 在 , 之间通过的车辆的频率为 , 在 , 之间通过的车辆的频率为 0.10, 【 2 3 3n C= = 1 1 2 1 2m C C= = 2 3 mp n = = 2 3 [ )5,7 [8,9) [5 7) [8 9) [5 7) [8 9) [5 7) 0.24 0.20 0.44+ = [8 9)- 3 - 设在 , 之间通过的车辆数为 . 在 , 之间通过的车辆数是 440 辆, ,解得 . 则在 , 之间通过的车辆数为 100. 故答案为:100. 【点睛】本题考查在 , 之间通过的车辆数的求法,考查频率分布直方图的性质等基础知 识,考查运算求解能力,是基础题. 5.如图是一个算法流程图,若输入的 x 值为 5,则输出的 y 值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】 根据算法流程图,一步一步进行运算,直到跳出循环. 【详解】输入 ,不满足 ,所以运行 , 故答案为:2 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正 确的结论,是基础题. 6.已知等比数列 中, ,则“ ”是“ ”的________条件.(填“充分 不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”) 【答案】充分不必要 【解析】 [8 9) n  [5 7) ∴ 440 0.44 0.1 n= 100n = [8 9) [8 9) 5x = 0x < 2log (5 1) 2y = − = { }na 1 0a > 1 2a a< 3 5a a 1 2a a< 1 1a a q< 1q > ∴ 2 4 3 1 1 5a a q a q a= < = 2 4 3 1 1 5a a q a q a= < = 2 1q > 1q > 1q < − 1q < − 1 1 2a a q a> = ∴ { }na 1 0a > 1 2a a< 3 5a a< 1F 2F ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > ( )0,b 1 2 120F PF∠ = ° 6 2 b c xOy 1F 2F 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > P (0, )b 1 2 120F PF∠ = ° 3c b = 2 2 2 23 3( )c b c a= = − 2 22 3c a= 6 2 ce a= = 6 2 0 0 1 0 x x y x y ≥  − ≤  + − ≤ 3z x y= +- 5 - 【解析】 【分析】 作出不等式组对应的平面区域,利用 的几何意义,利用数形结合即可得到结论. 【详解】作出不等式组 对应的平面区域如图: 设 得 , 平移直线 ,由图象可知当直线 经过点 时, 直线 的纵截距最大,此时 最大, 此时 , 故答案为:3. 【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用 的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键 . 9.如图,某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成,其中冰淇淋小球的半径与圆锥 底面半径相同.已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为 ,弧长为 的扇形,则该冰 淇淋的体积是________ . z 0 0 1 0 x x y x y   −  + −    3z x y= + 1 1 3 3y x z= − + 1 1 3 3y x z= − + 1 1 3 3y x z= − + (0,1)A 1 1 3 3y x z= − + z 3z = z 2 5 π 4 cmπ 3cm- 6 - 【答案】 【解析】 分析】 求出圆锥底面半径为 ,圆锥母线长 ,圆锥的高为 , 半个冰淇淋小球的半径 ,由此能求出该冰淇淋的体积. 【详解】 圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为 ,弧长为 的扇形, 圆锥底面半径为 ,圆锥母线长 , 圆锥的高为 , 半个冰淇淋小球的半径 , 该冰淇淋的体积是: . 故答案为: . 【点睛】本题考查冰淇淋的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识,考查运算求解能力. 10.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 上存在点 P,使得过点 P 向 圆 作切线 PA(切点为 A),满足 ,则实数 m 的取值范围为 ________. 【 ( )16 6 1 3 π + 4 22r π π= = 4 102 5 l π π = = 2 210 2 4 6h = − = 2R =  2 5 π 4 cmπ ∴ 4 22r π π= = 4 102 5 l π π = = 2 210 2 4 6h = − = ∴ 2R = ∴ 2 31 1 4 16 16 62 4 6 23 2 3 3V π π π+= × × × + × × × = 16 16 6 3 π+ ( )2 0x my m m R+ + + = ∈ 2 2: 2O x y+ = 2PO PA=- 7 - 【答案】 或 【解析】 【分析】 根据题意,由切线的性质分析可得 ,进而结合点到直线的距离公式可得 , 解可得 的取值范围,即可得答案. 【详解】根据题意,圆 ,其圆心为 ,半径 , 若点 向圆 作切线 ,满足 ,又由 , 则有 ,变形可得 , 若直线 上存在点 ,满足题意,必有 , 变形可得: , 解可得: 或 ,即 的取值范围为 或 ; 故答案为: 或 . 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,涉及圆的切线方程,意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平. 11.在平面直角坐标系 xOy 中,己知直线 与函数 图象 在 y 轴右侧的公共点从左到右依次为 , ,…,若点 的横坐标为 1,则点 的横坐标为 ________. 【答案】3 【解析】 【分析】 当 时, 得 ,或 ,依题意可 得 ,可求得 ,继而可得答案. 【详解】因为点 的横坐标为 1,即当 时, , 所以 或 , 的 0m ≤ 4 3m ≥ 2PO = 2 | 2 | 2 1 m m + +  m 2 2: 2O x y+ = O 2r = P 2 2: 2O x y+ = PA 2PO PA= 2OA r= = 2 2 2| | | | | | 2PO PA OA− = = 2PO = 2 0( )x my m m R+ + + = ∈ P 2 | 2 | 2 1 m m + +  23 4 0m m−  0m 4 3m m { | 0m m 4}3m { | 0m m 4}3m 1: 2l y = ( ) ( )sin 06f x x πω ω = + >   1A 2A 1A 2A 1x = 1( ) sin( )6 2f x πω= + = 26 6k π πω π+ = + 52 ( )6 6k k Z π πω π+ = + ∈ 5 6 6 π πω + = ω 1A 1x = 1( ) sin( )6 2f x πω= + = 26 6k π πω π+ = + 52 ( )6 6k k Z π πω π+ = + ∈- 8 - 又直线 与函数 的图象在 轴右侧的公共点从左到右依次为 , , 所以 , 故 , 所以函数的关系式为 . 当 时, (3) , 即点 的横坐标为 3, 为二函数的图象的第二个公共点. 故答案为:3. 【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换、正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的 运算能力及思维能力,属于中档题. 12.如图,在平面四边形 ABCD 中,己知 AD=3, ,E,F 为 AB,CD 的中点,P,Q 为对角 线 AC,BD 的中点,则 的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】 可连接 , , , ,根据题意即可得出四边形 为平行四边形,从而可得出 ,然后进行数量积的运算即可. 【详解】如图,连接 , , , , , 为 , 的中点, , 为对角线 , 的中点, 四边形 为平行四边形, 1: 2l y = ( ) sin( )( 0)6f x x πω ω= + > y 1A 2A … 5 6 6 π πω + = 2 3 πω = 2( ) sin( )3 6f x x π π= + 2 3x = f 2 1sin( 3 )3 6 2 π π= × + = 2A ( 13, 2) 4BC = PQ EF⋅  7 4 − FP FQ EP EQ EPFQ 1 1( ), ( )2 2PQ AD BC EF AD BC= − = +      FP FQ EP EQ E F AB CD P Q AC BD ∴ EPFQ- 9 - , ,且 , , . 故答案为: . 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质、向量加法的平行四边形法则、向量减法和数乘的 几何意义,考查了向量数量积的运算及计算公式,考查了计算能力,属于基础题. 13.已知实数 x,y 满足 ,则 的最小值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】 实数 , 满足 ,化为: ,令 , ,则 .解得 , .代入 ,化简整理利用基本不等式的性质即可得出. 【详解】实数 , 满足 , 化为: , 令 , ,则 . 解得 , . 则 ,当且仅当 , 时,即 , 时取等号. ∴ 1 ( )2PQ EQ EP AD BC= − = −     1 ( )2EF EP EQ AD BC= + = +     3AD = 4BC = ∴ 2 21 7( )4 4PQ EF AD BC= − = −     7 4 − ( ) 21 2x x y y+ = + 2 25 4x y− x y 2( ) 1 2x x y y+ = + ( 2 )( ) 1x y x y+ − = 2x y m+ = x y n− = 1mn = x y 2 25 4x y− x y 2( ) 1 2x x y y+ = + ( 2 )( ) 1x y x y+ − = 2x y m+ = x y n− = 1mn = 2 3 m nx += 3 m ny −= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 16 1 165 4 5( ) 4( ) ( 28 16 ) ( 28) (2 28) 43 3 9 9 9 m n m nx y m mn n m mm m + −− = − = + + = + + + = 2 1 2 m n = = 2 1 2 m n = − = − 1 1 2 x y = = 1 1 2 x y = − = −- 10 - 的最小值为 4. 故答案为:4. 【点睛】本题考查了基本不等式的性质、换元法、转化法,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题. 14.已知函数 ,(其中 e 为自然对数的底数),若关于 x 的方程 恰有 5 个相异的实根,则实数 a 的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】 作出 图象,求出方程的根,分类讨论 的正负,数形结合即可. 【详解】当 时,令 ,解得 , 所以当 时, ,则 单调递增,当 时, ,则 单调递减, 当 时, 单调递减,且 , 作出函数 的图象如图: (1)当 时,方程整理得 ,只有 2 个根,不满足条件; (2)若 ,则当 时,方程整理得 , 则 , ,此时各有 1 解, 2 25 4x y∴ − ( ) , 2 4 8 , 25 x ex xef x x xx  ≤=  − > ( ) ( )2 23 2 0f x a f x a− + = 2 4 1, 5 2e         ( )f x ( )f x 2x ( ) 1 0x ef x e ′ = − = 1x = 1x ( ) 0f x′ > ( )f x 1 2x  ( ) 0f x′ < ( )f x 2x > 4 8 4 8( ) 5 5 5 xf x x x −= = − ( ) [0f x ∈ 4)5 ( )f x 0a = 2 ( ) 0f x = 0a > ( ) 0f x < 2 2( ) 3 ( ) 2 [ ( ) 2 ][ ( ) ] 0f x af x a f x a f x a+ + = + + = ( ) 2 0f x a= − < ( ) 0f x a= − 2 2( ) 3 ( ) 2 [ ( ) 2 ][ ( ) ] 0f x af x a f x a f x a− + = − − = ( ) 2f x a= ( )f x a= 2 1a = 1 2a = f 2 2 2 1 2 e e e = = > ( ) 2f x a= ( )f x a= 0a = ( ) 2f x a= ( )f x a= ( ) 2f x a= ( )f x a= 2 1 2 4 5 a ae > S 3( 4 πθ ∈ 5 )6 π 0S′ < S θ 4 π S S 32 π + 2 3AO OB= = 2 3AOB π∠ = 6AB = BDO∆ sin sin BD BO BOD BDO =∠ ∠ ∴ 2 3 sinsin( )6 BD π θθ = − 2 3sin( )6 sinBD πθ θ − ∴ = 2 3sin( )62 3 sinAD πθ θ − = −- 15 - 蜂巢区的面积: , 整理,得 关于 的函数关系式为: , . (2)对 求导,得 , 令 ,解得 或 , 当 时, , 递减, 当 时, , 递增, 当 , 时, , 递减, 综上所述, 的最小值只可有在 或 趋近 时取得, 当 时, ,当 时, , 当 为 时,蜂巢区的面积 最小, 的最小值为 . 【点睛】本题考查函数关系式、蜂巢区的面积最小值的求法,考查三角函数性质有生产生活 中的应用等基础知识,考查运算求解能力和应用意识,是中档题. 18.如图,定义:以椭圆中心为圆心,长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”.过椭圆第一象限 内一点 P 作 x 轴的垂线交其“辅圆”于点Q,当点 Q 在点 P 的上方时,称点 Q 为点 P 的“上辅 点”.已知椭圆 上的点 的上辅点为 . ∴ AOD CDB AOD BDOCOBS S S S S S∆ ∆ ∆ ∆= + = + −扇形 21 16sin sin2 6 2 2 6AO AD AO BO BD πθπ πππ − = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ S θ 36 tanS θ πθ= + − 5( , )6 6 πθ π∈ 36 tanS θ πθ= + − 2 36S sin θ′ = − 0S′ = 4 πθ = 3 4 πθ = ( , )6 4 π πθ ∈ 0S′ < S 3( , )4 4 π πθ ∈ 0S′ > S 3( 4 πθ ∈ 5 )6 π 0S′ < S S 4 πθ = θ 5 6 π 4 πθ = 32S π= + 5 6 πθ = 4 3 3 32S ππ= − > + ∴ θ 4 π S S 32 π + ( )2 2 2 2: 1 0x yE a ba b + = > > 31, 2       ( )1, 3- 16 - (1)求椭圆 E 的方程; (2)若 的面积等于 ,求上辅点 Q 的坐标; (3)过上辅点 Q 作辅圆的切线与 x 轴交于点 T,判断直线 PT 与椭圆 E 的位置关系,并证明你 的结论. 【答案】(1) ;(2) ;(3)直线 PT 与椭圆相切,证明见解析 【解析】 【分析】 (1)根据定义直接求解即可;(2)设点 , ,则点 , ,则可得到 , 再根据 的面积可得到 ,进一步与椭圆方程联立即得解;(3)表示出直线 的方程,与椭圆方程联立,再判断△即可得出结论. 【详解】(1) 椭圆 上的点 的上辅点为 , 辅圆的半径为 ,椭圆长半轴为 , 将点 代入椭圆方程 中,解得 , 椭圆 的方程为 ; (2)设点 , ,则点 , ,将两点坐标分别代入辅圆方程和椭圆方程可得, OPQ∆ 1 2 2 2 14 x y+ = ( )2, 2Q 0(Q x 0 )y 0(P x 1)y 0 12y y= OPQ∆ 0 1 1x y = PT  2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > 3(1, )2 (1, 3) ∴ 1 3 2R = + = 2a R= = 3(1, )2 2 2 2 14 x y b + = 1b = ∴ E 2 2 14 x y+ = 0(Q x 0 )y 0(P x 1)y- 17 - , , 故 ,即 , 又 ,则 , 将 与 联立可解得 ,则 , 点 的坐标为 ; (3)直线 与椭圆 相切,证明如下: 设点 , ,由(2)可知, , 与辅圆相切于点 的直线方程为 ,则点 , 直线 的方程为: ,整理得 , 将 与椭圆 联立并整理可得, , 由一元二次方程的判别式 ,可知,上述方程只有一个解,故直线 与椭圆 相切. 【点睛】本题以新概念为载体,旨在考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系,考查通性通法 的运用,计算量较大,对计算能力的要求较高,属于较难题目. 19.已知数列 满足 , ,其中 是数列 的前 n 项和. (1)求 和 的值及数列 的通项公式; (2)设 . ①若 ,求 k 的值; ②求证:数列( 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积. 【答案】(1) , , ;(2)①1,②见解析 【解析】 2 2 0 0 4x y+ = 2 20 1 14 x y+ = 2 2 0 14y y= 0 12y y= 0 0 1 1 1( )2 2OPQS x y y∆ = − = 0 1 1x y = 0 1 1x y = 2 20 1 14 x y+ = 0 2x = 0 2y = ∴ Q ( 2, 2) PT E 0(Q x 0 )y 0 0 1( , )2P x y Q 0 0 0 0 ( )xy y x xy − = − − 0 4( ,0)T x PT 0 0 0 0 1 420 ( )4 y y x xx x − = − − 0 0 0 2 2 xy y y = − + 0 0 0 2 2 xy y y = − + 2 2 14 x y+ = 2 2 0 0 2 2 2 0 0 0 21 0x xx xy y y − + = 2 2 0 0 4 4 0 0 4 4 0x x y y = − = PT E { }na 12 n nS na a= + 3 4a = nS { }na 1a 2a { }na ( )* 1 2 3 1 1 1 1 2 4 6 2n n T n NS S S S n = + + + + ∈+ + + + 2 3kT T T= { }nT 1 0a = 2 2a = 2 2na n= −- 18 - 【分析】 (1)利用递推关系式求出数列的前几项,同时求出数列 的通项公式;(2)结合第一问 的结论求出 ,①直接代入 即可求解;②对于给定的 ,若存在 , , , ,使得 ,只要找到相应的整数,即可证明. 【详解】(1) 时, ,所以 , 时, ,所以 ,所以 . 由 ,① 所以 ,② 由② ①得 , 即 ,③ 当 时, ,④ 由③ ④得 , 即 , 所以数列 是首项为 0,公差为 2 的等差数列, 故数列 的通项公式是 . (2) ; ; ① ; . ②对于给定的 ,若存在 , , , ,使得 ; ,只需 , 两边取倒数,即 ,即 ; { }na 1n nT n = + 1n nT n = + *n N∈ k t n≠ k *t N∈ n k tT T T=  2n = ( )2 2 1 1 22 2 2S a a a a= + = + 1 0a = 3n = 3 3 12 3 12S a a= + = 1 2 3 6a a a+ + = 2 2a = 12 n n nS na a na= + = ( )1 12 1n nS n a+ += + − ( )1 12 1n n na n a na+ += + − ( ) 11n nna n a += − 2n ≥ ( ) ( )11 2n nn a n a−− = − − ( ) ( ) ( )1 11 1 2 1n nn a n a n a+ −− + − = − 1 1 2n n na a a+ −+ = { }na { }na 2 2na n= − 1 1 1 1 2 ( 1) 1nS n n n n n = = −+ + + ∴ 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 12 4 6 2 2 2 3 1 1 1n n nT S S S S n n n n n = + + +…+ = − + − +…+ − = − =+ + + + + + + 2 3kT T T= × ∴ 2 3 1 11 3 4 2 k kk = × = ⇒ =+ *n N∈ k t n≠ k *t N∈ n k tT T T=  1n nT n = + 1 1 1 n k t n k t = ×+ + + 1 1 1(1 (1 )(1 )n k t + = + + 1 1 1 1 n k t kt = + +- 19 - 即 , ;取 ,则 ; ; 对数列 中的任意一项,总可以表示成该数列其他两项之积. 【点睛】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前 项和公式,考查了推理能力与计 算能力,属于难题. 20.已知函数 . (1)求函数 的单调区间; (2)当函数 与函数 图象的公切线 l 经过坐标原点时,求实数 a 的取值集合 ; (3)证明:当 时,函数 有两个零点 , ,且满足 . 【答案】(1)单调增区间为 ,单调减区间为 ;(2) ;(3)见 解析 【解析】 【分析】 (1)利用导数求解单调性;(2)先求出公切线 的方程,再探讨 的取值范围;(3)先利 用导数研究函数 的单调性,证明零点个数.再使用函数思想,构造函数,利用导数研究 函数单调性解决不等式问题. 【详解】(1)对 求导,得 , 令 ,解得 , 当 时, , 单调递增. 当 , 时, , 单调递减. (2)设公切线 与函数 的切点为 , ,则公切线 的斜率 , kt nt nk n= + + ( 1)n kt k n += − 1k n= + ( 2)t n n= + 1 ( 2)n n n nT T T+ += × ∴ { }nT n ( ) ( )lna xf x a Rx += ∈ ( )f x ( )f x ( ) lng x x= 10, 2a  ∈   ( ) ( )h x f x ax= − 1x 2x 1 2 1 1 1 x x a + < ( )10, ae − ( )1 ,ae − +∞ 1 ln 22     l a ( )h x ( ) a lnxf x x += 2 1( ) a lnxf x x − −′ = ( ) 0f x′ = 1 ax e −= 1(0, )ax e −∈ ( ) 0f x′ > ( )f x 1( ax e −∈ )+∞ ( ) 0f x′ < ( )f x l ( )g x lnx= 0(x 0 )y l 0 0 1( )k g x x = ′ =- 20 - 公切线 的方程为: ,将原点坐标 代入,得 ,解得 . 公切线 的方程为: ,将它与 联立,整理得 . 令 ,对之求导得: ,令 ,解得 . 当 时, , 单调递减,值域为 , 当 时, , 单调递增,值域为 , 由于直线 与函数 相切,即只有一个公共点,因此. 故实数 的取值集合为 . (3)证明: ,要证 有两个零点,只要证 有两个零 点即可. (1) , 即 时函数 的一个零点. 对 求导得: ,令 ,解得 .当 时, , 单调递增; 当 时, , 单调递减.当 时, 取最小值, , ,必定存 在使得二次 函数 , 即 .因此在区间上 必定存在 的一个零点. 综上所述, 有两个零点,一个是 ,另一个在区间 上. 下面证明 . 由上面步骤知 有两个零点,一个是 ,另一个在区间 上. l 0 0 0 1 ( )y y x xx − = − (0,0) 0 1y = 0x e= l 1y xe = ( ) a lnxf x x += 21a x lnxe = − 21( )m x x lnxe = − 22( ) x em x ex −′ = ( ) 0m x′ = 2 e (0, )2 ex∈ ( ) 0m x′ < ( )m x 2( , )2 ln +∞ ( , )2 ex∈ +∞ ( ) 0m x′ > ( )m x 2( , )2 ln +∞ l ( )f x a 1{ ln2}2 2 ( ) a lnx axh x x + −= ( )h x 2( )k x ax lnx a= − − k 0= 1x = ( )k x ( )k x 1( ) 2k x ax x ′ = − ( ) 0k x′ = 1 2 x a = 1 2 x a > ( ) 0k x′ > ( )k x 10 2 x a < < ( ) 0k x′ < ( )k x 1 2 x a = ( )k x 1( ) (1) 0 2 k k a < = 2 2 2 2 1( ) ( 1) 1 2k x ax lnx a ax x a ax x a ax x= − − > − − − = − + − > − + 0 1 2 x a > 2 0 0 1( ) 02u x ax x= − + > 0 0( ) ( ) 0k x u x> > 0 1( , ) 2 x a ( )k x ( )h x 1x = 1( , ) 2a +∞ 1 2 1 1 1 x x a + < ( )h x 1x = 1( , ) 2a +∞- 21 - 不妨设 , 则 ,下面证明 即可. 令 ,对之求导得 , 故 (a)在定义域内单调递减, ,即 . 证明完毕. 点睛】本题考察知识点众多,利用导数研究函数单调性,切线与导数的关系,利用导数研究 函数的零点个数,利用导数构造函数来证明不等式,对学生的思维能力和思维品质要求极高, 属于难题. 【 1 1x = 2 1 2 x a > 1 2 2 1 1 11 1 2ax x x + = + < + 11 2a a + < 1( ) 2 1v a aa = − − 2 1 1( ) 0 2 v a a a ′ = − − < v 1 1( ) 2 1 ( ) 02v a a va = − − > = 11 2a a +

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