湖北省恩施州2020学年高二（理）数学上学期期末考试试题（含解析）

- 1 - 湖北省恩施州 2020 学年高二（理）数学上学期期末考试试题（含解析） 客观题部分 一、选择题 1.已知集合 ， ，则 为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用指数函数的单调性求出指数函数的值域化简集合 的表示，根据对数的真数大于零化简 集合 的表示，最后利用集合交集的定义，结合数轴求出 . 【详解】 . . 因此 . 故选：A 【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了指数函数的单调性，考查了对数型函数的定义 域，考查了数学运算能力. 2. 是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后令实部为 0， 虚部不为 0 建立关于 的方程组解出即可. 【详解】 复数 为纯虚数 { }2 , 0xM y y x= = > { }2lg(3 )N x y x x= = − M N∩ ( )1,3 ( )1,+∞ [ )3,+∞ [ )1,+∞ M N M N∩ { }00 2 2 1 1xx y M y y> ∴ = > = ∴ = > { }23 0 3 0 3x x x N x x− ∴ < < ∴ = < 0a < ( )f x { }x x a> − a R∈ ( )f x p p¬ a∀ ∈R ( )f x q q¬ p q∧ ( )p q¬ ∧ ( )p q∧ ¬ l α / /l α- 4 - 【解析】 【分析】 A：根据线面位置关系进行判断即可； B：通过长方体举特例进行判断即可； C：根据线面平行的性质进行判断即可； D：根据确定平面定理，结合异面直线的定义进行判断即可. 【详解】A：当直线 与平面 相交时，直线上也存在有无数个点不在平面 内，故本说法不 正确； B：如下图，在长方体 中， 都与异面直线 都相交，而 是相交直线，故本说法不正确； C：如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条有可能在该平面内，故本说法不 正确； D：两个相交线可以确定一个平面，因此一条直线和两条异面直线都相交，一共能确定两个平 面，如果这两个平面重合，这与异面直线的定义相矛盾，故本说法是正确的. 【点睛】本题考查了线面关系、线面平行的性质，考查了异面直线的定义人，考查了确定平 面问题，属于中档题. 8. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 k 的值是（ ） l α α 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 1 1,A B B D 1 1 1,A D B B 1 1 1 1,A B B D- 5 - A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 试 题 分 析 ： 循 环 体 第 一 次 运 行 后 ； 第 二 次 运 行 后 ； 第 三 次 运 行 后 ， 第 四 次 运 行 后 ；循环结束，输出 值为 4，答案选 B． 考点：程序框图的功能 9.某锥体的三视图下图所示，该锥体的体积为（ ） A. 16 B. 8 C. 48 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】 由三视图可知，该几何是一个四棱锥切去一个三棱锥，利用柱体、锥体的体积公式求解即可.- 6 - 【详解】由三视图可知，该几何是一个四棱锥截去一个三棱锥， 所以体积为： . 故选：B 【点睛】本题考查了通过三视图求几何的体积，考查了空间想象能力和数学运算能力. 10.若双曲线 的一条渐近线经过点 ，则此双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 把点的坐标代入双曲线一条渐近线方程中，得到 的关系，结合 三者的关系，求出 之间的关系，进而求出双曲线的离心率. 【详解】因为双曲线 的一条渐近线经过点 ，所以该渐近线方程为： ，因此有 . 故选：C 【点睛】本题考查了已知双曲线渐近线上一点求双曲线的离心率，考查了数学运算能力. 11.将函数 y=sin(2x+ )的图象向左平移 个单位，再向上平移 2 个单位，则所得图象的函 数解析式是( ) A. y=2cos2(x+ ) B. y=2sin2(x+ ) C. y=2-sin(2x- ) D. y=cos2x 【答案】C 【解析】 因为将函数 y=sin(2x+ )的图象向左平移 个单位，再向上平移 2 个单位，则所得图象的函 数解析式是 y=2-sin(2x- )，选 C 12. 设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x＜0 时，f′(x)·g(x)＋ 1 1 13 4 4 3 4 4 83 3 2V = × × × − × × × × = 2 2 2 2 1x y a b − = ( )3, 7− 5 3 5 4 4 3 7 3 ,a b , ,a b c ,a c 2 2 2 2 1x y a b − = ( )3, 7− by xa = − 2 2 2 2 2 47 3 7 9 4 3 3 b a b c a b a c ea − = − ⋅ ⇒ = = + ∴ = ⇒ =- 7 - f(x)·g′(x)＞0，且 f(－3)·g(－3)＝0，则不等式 f(x)·g(x)＜0 的解集是( ) A. (－3,0)∪(3，＋∞) B. (－3,0)∪ (0,3) C. (－∞，－3)∪(3，＋∞) D. (－∞，－3)∪(0,3) 【答案】D 【解析】 试题分析：设 F（x）="f" （x）g（x），当 x＜0 时，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′ （x）＞0．∴F（x）在当 x＜0 时为增函数． ∵F（-x）="f" （-x）g （-x）="-f" （x）•g （x）=-F（x）． 故 F（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数． ∴F（x）在（0，∞）上亦为增函数． 已知 f(－3)·g(－3)＝0，必有 F（-3）=F（3）=0． 构造如图 F（x）的图象， 可知 F（x）＜0 的解集为 x∈（-∞，-3）∪（0，3）． 考点：本试题主要考查了复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系． 点评：导数是一个新内容，也是高考的热点问题，要多注意复习．解决该试题的关键是先根 据 f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0 可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到 f（x）g（x ）在 x＜0 时递增． 二、填空题： 13.在 的展开式中 x5 的系数是____________． 【答案】644 【解析】 【分析】 的 72 )2)(1( −+ xx- 8 - 写出二项式 的通项公式，根据乘法的运算规律，求出相应项的系数，最后求和即可. 【详解】二项式 通项公式为： ， 的系数是 ， 的系数是 ，因此在 的展开式中 x5 的系数是 . 故答案为：644 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了两个二项式乘积后展开式中某项的系数，考 查了数学运算能力. 14.在区域 内任取一点 P，则点 P 落在单位圆 内的概率为 ； 【答案】 【解析】 解：满足条件 的区域为三角形，与单位圆 的公共部分如图所示 则所求的概率即为圆面积的 1/4，比上三角形 ABC 的面积即可，可得为 15.下面四个命题：其中所有正确命题的序号是_________． ①函数 的最小正周期为 ； ②在 中，若 ，则 一定是钝角三角形； ③函数 且 的图象必经过点（3，2）； 的 7( 2)x − 7( 2)x − 7 7 ( 2)r r rC x −⋅ ⋅ − 3x 4 4 7 ( 2) 560C ⋅ − = 5x 2 2 7 ( 2) 84C ⋅ − = 72 )2)(1( −+ xx 560 84 644+ = 3 4 0 { 0 0 x y x y + − ≤ ≥ ≥ 2 2 1x y+ = 3 4 0 { 0 0 x y x y + − ≤ ≥ ≥ 2 2 1x y+ = sin | |y x= π ABC 0AB BC⋅ >   ABC (2 log ( 2) 0ay x a= + − > )1a ≠- 9 - ④若命题“ ”是假命题，则实数 的取值范围为 ； ⑤ 的图象向左平移 个单位，所得图象关于 轴对称． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】 ①：根据周期的定义，结合正弦的诱导公式进行判断即可； ②：根据平面向量数量积的定义，结合三角形内角的取值范围进行判断即可； ③：根据对数的运算性质进行判断即可； ④：根据命题的否定与原命题的真假关系进行判断即可； ⑤：先利用辅助角公式把函数的解析式化简成余弦型函数解析式的形式，根据平移规律求出 平行后的解析式，再判断是否是偶函数进行判断即可. 【详解】①：当 时， ， ，所以函数 最小正周期为 是错误的， 故本命题是假命题； ②： ，因此 一定是钝角三角形，故本命题是真命题； ③：因为当 时， ，所以函数 且 的图象必经过点（ 3，2），故本命题是真命题； ④：命题“ ”是假命题，因此它的否定是真命题，即 是真命题，因此要想该命题是真命题，只需 ，故本 命题是真命题； ⑤： ，该函数的图象向左平移 个单位后，得到函 数 ，而 是奇函数关于原点对称，不关于关 于 轴对称，故本命题是假命题. 的 2, 0x R x x a∃ ∈ + + < a 1[ , )4 +∞ cos siny x x= − 4 π y 0x ≥ ( ) sin | | siny f x x x= = = ( ) sin( ) sin ( )f x x x f xπ π+ = + = − ≠ sin | |y x= π 0 ( cos ) 0 cos 0AB BC AB BC ABC ABC⋅ > ⇒ ⋅ ⋅ − ∠ > ⇒ ∠ )1a ≠ 2, 0x R x x a∃ ∈ + + < 2, 0x R x x a∀ ∈ + + ≥ 11 4 0 4a a− ≤ ⇒ ≥ ( ) cos sin 2 cos( )4y f x x x x π= = − = + 4 π ( ) cos( ) sin4 4y g x x x π π= = + + = − ( ) sing x x= − y- 10 - 故答案为：②③④ 【点睛】本题考查了命题的真假判断，考查了函数周期的定义、函数的对称性、图象的平移、 对数的运算，考查了已知存在命题的真追假求参数的取值范围，属于中档题. 16.已知四面体 P-ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上，且 平面 ABC， ,若四面 体 P - ABC 的体积为 ，则该球的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】 由已知条件先求出 ，然后表示出体积计算出半径，继而得到球的表面积 【详解】设该球的半径为 ，则 ， ， 由于 是球的直径 在大圆所在平面内且有 在 中，由勾股定理可得 的面积 平面 ，且 ，四面体 的体积为 , 即 ， 球表面积 故答案为 【点睛】本题主要考查了计算球的表面积，在解答此类题目时一定要结合题意先求出球的半 径，然后再计算出结果． 主观题部分 三、简答题： 17. PO ⊥ 2 3AC AB= 3 2 12π 3AC R= R 2AB R= 2 3 3 2AC AB R= = × 3AC R∴ = AB ABC∴ AC BC⊥ Rt ABC 2 2 2 2BC AB AC R= − = Rt ABC∴  21 3 2 2S BC AC R= × × = PO ⊥ ABC PO R= P ABC− 3 2 21 3 3 3 2 2P ABCV R R−∴ = × × × = 33 9R = 3R = ∴ 24 12S Rπ π= =球 12π- 11 - 已知数列 的前 项和 ，数列 为等比数列，且满足 ， （1）求数列 ， 的通项公式； （2）求数列 的前 项和． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由已知 ，得 当 ≥2 时， 所以 由已知， ， 设等比数列 的公比为 ，由 得 ，所以 ， 所以 （2）设数列 的前 项和为 ， 则 ， ， 两式相减得 ……11 分 所以 考点：本小题主要考查由 求 、等比数列的通项公式和错位相减法求数列的前 n 项的和， 考查学生对问题的分析和转化能力以及运算求解能力. 点评：由 求 时，一定不要忘记验证 时的情形，另外，错位相减法求数列的前 n 项 1 1 1,a S= = 2 2 1 ( 1) 2 1,n n na S S n n n−= − = − − = − *2 1( ).na n n N= − ∈ 12 .n nb −= (2 3) 2 3,nn= − − ⋅ − (2 3)2 3.n nT n= − + nS na nS na 1n =- 12 - 的和是高考常考的内容，要灵活应用，仔细运算以防出错. 18.如图，四棱锥 中， ， ， ， ， PA=PD=CD=BC=1 （1）求证：平面 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）见证明；（2） 【解析】 【分析】 （1）推导出 AD⊥BD，PA⊥BD，从而 BD⊥平面 PAD，由此能证明平面 PAD⊥平面 ABCD． （2）取 AD 中点 O，连结 PO，则 PO⊥AD，以 O 为坐标原点，以过点 O 且平行于 BC 的直线为 x 轴，过点 O 且平行于 AB 的直线为 y 轴，直线 PO 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向 量法能求出直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值． 【详解】（1）∵AB∥CD，∠BCD ，PA＝PD＝CD＝BC＝1， ∴BD ，∠ABC ， ，∴ ， ∵AB＝2，∴AD ，∴AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥BD， ∵PA⊥BD，PA∩AD＝A，∴BD⊥平面 PAD， ∵BD⊂平面 ABCD，∴平面 PAD⊥平面 ABCD． （2）取 AD 中点 O，连结 PO，则 PO⊥AD，且 PO ， 由平面 PAD⊥平面 ABCD，知 PO⊥平面 ABCD， 以 O 为坐标原点，以过点 O 且平行于 BC 的直线为 x 轴，过点 O 且平行于 AB 的直线为 y 轴， 直线 PO 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， . P ABCD− AB CD∥ 2BCD π∠ = PA BD⊥ 2AB = PAD ⊥ ABCD PA PBC 2 22 11 2 π= 2= 2 π= 4DBC π∠ = 4ABD π∠ = 2= 2 2 =- 13 - 则 A（ ，0），B（ ，0），C（ ，0），P（0，0， ）， （﹣1，0，0）， （ ， ）， 设平面 PBC 的法向量 （x，y，z）， 则 ，取 z ，得 （0， ， ）， ∵ （ ， ）， ∴cos ， ∴直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ． 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查满足线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 19. 今年十一黄金周，记者通过随机询问某景区 110 名游客对景区的服务是否满意，得到如下的 列联表： 性别与对景区的服务是否满意　　单位：名 男 女 总计 满意 50 30 80 不满意 10 20 30 1 1 2 2 −， 1 3 2 2 ， 1 3 2 2 − ， 2 2 BC = BP = 1 3 2 2 ，− − 2 2 n = 0 1 3 2 02 2 2 n BC x n BP x y z  ⋅ = − = ⋅ = − − + =   2= n = 2 3 2 PA = 1 1 2 2 −， 2 2 − 2 22 11 n PAn PA n PA ⋅= = − ⋅  ＜ ， ＞ 2 22 11- 14 - 总计 60 50 110 （1）从这 50 名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为 5 的样本， 问样本中满意与不满意的女游客各有多少名？ （2）从（1）中的 5 名女游客样本中随机选取两名作深度访谈，求选到满意与不满意的女游 客各一名的概率； （3）根据以上列联表，问有多大把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关 注： 临界值表： P( ) 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 【答案】解：（1）样本中满意的女游客为 3 名，样本中不满意的女游客为 2 名． （2） ． （3）有 99％的把握认为：该景区游客性别与对景区的服务满意有关． 【解析】 试题分析：（I）每个个体被抽取的概率为 ，根据分层抽样，即可得样本中满意的女游客， 样本中不满意的女游客的人数； （II）确定从这 5 名游客中随机选取两名的等可能事件的个数，其中事件 A“选到满意与不满 意的女游客各一名”包含 6 个基本事件，即可求得概率； （III）由列联表，计算 K2 的值，根据 P（K2＞6.635）=0.010，即可得到结论． ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bck a b c d a c b d −= + + + + 5 50- 15 - 解：（1）根据分层抽样可得：样本中满意的女游客为 名，样本中不满意的女游客 为 名． （2）记样本中对景区的服务满意的 3 名女游客分别为 ，对景区的服务不满意的 2 名 女游客分别为 ．从 5 名女游客中随机选取两名，共有 10 个基本事件，分别为： ， ， ， ， ；其中事件 A：选到满意与不满意的女游客各一名包含了 6 个基本事件，分别为： ， ， 所以所求概率 ． （3）假设 ：该景区游客性别与对景区的服务满意无关，则 应该很小． 根据题目中列联表得： 由 可知：有 99％的把握认为：该景区游客性别与对景区的服务满意有 关． 考点：本试题主要考查了分层抽样，考查等可能事件概率的求法，考查独立性检验知识，考 查学生的计算能力，属于中档题． 点评：根据已知条件理解古典概型的概率中总的基本事件数从而求解概率的值，对于分层抽 样的等概率抽样即为样本容量与总体的比值． 20.已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 ，平行 于 的直线 在 轴上的截距为 ， 交椭圆于 两个不同点. （1）求椭圆的标准方程以及 的取值范围； （2）求证直线 与 轴始终围成一个等腰三角形. 【答案】（1） （2）见解析. 【解析】 （1）设椭圆方程为 x ( )2,1M OM l y ( )0m m ≠ l ,A B m ,MA MB x { }2 2 1, 2 2 08 2 x y m m m+ = − < < ≠且- 16 - 则 ∴椭圆方程 ∵直线 l 平行于 OM，且在 轴上的截距为 m 又 ∴l 的方程为： 由 ∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点， ∴m 的取值范围 是 （2）设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1，k2，只需证明 k1＋k2=0 即可 设 可得 而 ∴k1＋k2=0 故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 点睛：解答本题的第一问是，直接依据题设条件建立含 方程组，通过解方程组求出基本 量 ，进而确定椭圆的标准方程，再联立直线与椭圆的方程组成的方程组，借助 交点的个数建立不等式求出参数 的取值范围；求解第二问时，依据题意先将问题转化为证 明直线 的斜率之和为 0 的问题来处理，再联立直线与椭圆的方程组成的方程组，借 , ,a b c 2 28, 2a b= = m ,MA MB- 17 - 助坐标之间的关系进行推证而获解． 21.已知 在区间 上是增函数. （1）求实数 的值组成的集合 ； （2）设关于 的方程 的两个非零实根为 、 ．试问：是否存在实数 ， 使得不等式 对任意 及 恒成立？若存在，求 的取值范 围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）实数 a 的值组成的集合 ； （2）存在实数 ，使得不等式 对任意 及 恒成立． 【解析】 试题分析：（1）先求出函数 的导数 ，将条件 在区间 上为增函数这 一条件转化为 在区间 上恒成立，结合二次函数的图象得到 ，从 而解出实数 的取值范围；（2）先将方程 转化为一元二次方程，结合韦达 定理得到 与 ，然后利用 将 用参数 进行表示，进而得到不等式 对任意 及 恒成立，等价转化为 对任意 恒成立，将不 等式 转化为以 为自变量的一次函数不等式恒成立，只需考虑相应的端点值即可， 从而解出参数 的取值范围. 试题解析：（1）因为 在区间 上是增函数， 所以， 在区间 上恒成立， ， ( ) ( )2 324 3f x x ax x x R= + − ∈ [ ]1,1− a A x ( ) 312 3f x x x= + 1x 2x m [ ]1,1t ∈ − m [ 1,1]A = − 2 2m m≤ − ≥或 [ 1, 1]t ∈ − ( )f x ( )f x′ ( )f x [ ]1,1− ( ) 0f x′ ≥ [ ]1,1− ( ) ( ) 1 0{ 1 0 f f ′ ′ − ≥ ≥ a 1 2x x 1 2x x+ 1 2x x− ( )2 1 2 1 24x x x x= + − 1 2x x− a 2 21 8m tm a+ + ≥ + [ 1, 1]t ∈ − ( )2 2 max 1 8m tm a+ + ≥ + [ 1, 1]t ∈ − t m ( ) ( )2 324 3f x x ax x x R= + − ∈ [ ]1,1− ( ) 22 2 4 0f x x ax= − + + ≥′ [ ]1,1− ( ) ( ) 1 2 2 4 0{ 1 11 2 2 4 0 f a af a − = − − + ≥∴ ⇒ − ≤ ≤= − + + ≥ ′ ′- 18 - 所以，实数 的值组成的集合 ； （2）由 得 ，即 ， 因为方程 ，即 的两个非零实根为 、 ， 、 是方程 两个非零实根，于是 ， ， ， ， ， 设 ， ， 则 ， 若 对任意 及 恒成立， 则 ，解得 或 ， 因此，存在实数 或 ，使得不等式 对任意 及 恒成立. 考点：1.函数的单调性；2.二次函数的零点分布；3.韦达定理；4.主次元交换 22.一个口袋中有 5 个同样大小的球，编号为 3,4,5,6,7，从中同时取出 3 个小球，以 表示 取出的球的最小号码，求 的分布列，均值，方差． 【答案】分布列见解析； ； 【解析】 【分析】 由题意可知： 取值分别为 3,4,5，结合古典概型的概率计算公式，求出 的每一个取值的 概率，列出分布列，根据均值、方差公式计算即可. 【详解】解： 的取值分别为 3,4,5， ， ， ， 的 a [ ]1,1A = − ( ) 312 3f x x x= + 2 3 32 14 23 3x ax x x x+ − = + ( )2 2 0x x ax− − = ( ) 312 3f x x x= + ( )2 2 0x x ax− − = 1x 2x 1x∴ 2x ( )2 2 0x x ax− − = 1 2x x a+ = 1 2 2x x⋅ = − ( ) ( )2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 24 8x x x x x x x x a∴ − = − = + − = + [ ]1,1a A∈ = − 2 1 2 max 1 8 3x x∴ − = + = ( ) ( )2 21 1g t m tm tm m= + + = + + [ ]1,1t ∈ − ( ) ( ) 2 min 2 1, 0 {1, 0 1, 0 m m m g t h m m m m m + + < = = = − + > ( ) 2 1 21g t m tm x x= + + ≥ − [ ]1,1t ∈ − ( ) ( ) 1 2 maxmin 3g t h m x x= ≥ − = 2m ≤ − 2m ≥ 2m ≤ − 2m ≥ [ ]1,1t ∈ − ξ ξ ( ) 3.5E ξ = 9D( ) 20 ξ = ξ ξ ξ 2 2 3 3 C 1( 5) C 10P ξ = = = 2 3 3 C 3( 4) C 10P ξ = = = 2 4 3 3 C 3( 3) C 5P ξ = = =- 19 - 的分布列如下： 3 4 5 . 【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列、均值、方差的计算，考查了古典概型的计算公 式，考查了数学运算能力. ξ ξ P 3 5 3 10 1 10 3 3 1( ) 3 4 5 3.55 10 10E ξ = × + × + × = 2 2 23 3 1 9D( ) (3 3.5) (4 3.5) (5 3.5)5 10 10 20 ξ = − × + − × + − × =