2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）

- 1 - 2020 学年高一数学上学期期末考试试题（含解 析） 一、选择题，本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.已知集合 ，则 （ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意， 是由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，故可以排除 A，再 找出集合 A 与集合 B 所共有的元素，即可得出答案。 【 详 解 】 根 据 题 意 ， 是 一 个 集 合 ， 而 不 是 一 个 元 素 ， 故 选 项 A 错 误 ； ，其中属于集合 A 且属于集合 B 的元素只有 2，故由元素 2 组成的集合 为 ，因此选项 C、D 错误。 故选：B 【点睛】本题考查集合的相关知识以及交集的概念，应特别注意，两个集合取交集的结果仍 为集合。 2. 的值为（ ） A. －2 B. 2 C. －4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 由幂的运算法则计算． 【详解】 ． 故选：B． 【点睛】本题考查幂的运算法则，属于基础题． 3.已知点 ， ，则线段 的中点 的坐标为（ ） { } { }0,2 , 1,2A B= = A B = { }2 { }0,2 { }0,1 A B A B { } { }0,2 , 1,2A B= = { }2 1 2 02(3 ) 10− 1 2 02(3 ) 10− 12 23 1 3 1 2 ×= − = − = ( 3,1, 4)A − − ( )3, 5,10B − AB M- 2 - A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用中点坐标公式求解即可. 【详解】解：因为点 ， ， 线段 的中点 的坐标为 ， 故选 B. 【点睛】本题考查中点坐标公式，是基础题. 4.已知函数 ，则 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 利用分段函数分别求得 与 的值，从而计算结果． 【详解】f(9)＝log39＝2，f(0)＝20＝1， ∴f(9)＋f(0)＝3. 【点睛】本题考查了分段函数求值以及指数、对数的运算问题，是基础题． 5.已知圆的方程为 ，则圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先化成标准式，即得圆心坐标. 【详解】 ( )0, 4,6− ( )0, 2,3− (0,2,3) ( )0, 2,6− ( 3,1, 4)A − − ( )3, 5,10B − AB M ( )0, 2,3− 3log , ( 0)( ) 2 ( 0)x x xf x x >=  ≤ (9) (0)f + f = 9f（ ） 0f（ ） 2 2 2 10 0x y x y+ + + − = 1( , 1)2 − − 1( ,1)2 ( 1, 2)− − (1,2) 2 2 2 21 452 10 0 ( ) ( 1)2 4x y x y x y+ + + − = ∴ + + + =- 3 - 因此圆心坐标为 . 故选：A 【点睛】本题考查圆一般方程化为标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 6.下列函数中，是偶函数且在区间 上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 分析各选项中函数的奇偶性以及各函数在区间 上的单调性，可得出正确选项. 【详解】对于 A 选项，函数 为非奇非偶函数，且在区间 上为减函数； 对于 B 选项，函数 为非奇非偶函数，且在区间 上为增函数； 对于 C 选项，函数 为奇函数，且在区间 上为减函数； 对于 D 选项，函数 为偶函数，且在区间 上为增函数. 故选：D. 【点睛】本题考查基本初等函数奇偶性与单调性的判断，熟悉常见的基本初等函数的单调性 与奇偶性是判断的关键，考查推理能力，属于基础题. 7.已知 ，则直线 与直线 的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交或异面 C. 异面 D. 平行或异 面 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用直线与平面平行的性质定理以及定义，推出结果即可． 【详解】∵a∥α，∴a 与 α 没有公共点，∵b⊂α，∴a、b 没有公共点， ∴a、b 平行或异面． 1( , 1)2 − − ( )0, ∞+ 1 3 x y  =    3logy x= 1y x = 2y x= ( )0, ∞+ 1 3 x y  =    ( )0, ∞+ 3logy x= ( )0, ∞+ 1y x = ( )0, ∞+ 2y x= ( )0, ∞+ / / ,a bα α⊂ a b- 4 - 故答案为 D 【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系的判断与应用，基本知识的考查． 8.直线 x﹣y+3＝0 的倾斜角是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】 先求斜率，再求倾斜角即可． 【详解】解：直线 的斜截式方程为 ， ∴直线的斜率 ， ∴倾斜角 ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题． 9.两圆 和 的位置关系是（） A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 【答案】B 【解析】 【分析】 由圆的方程可得两圆圆心坐标和半径；根据圆心距和半径之间的关系，即可判断出两圆的位 置关系. 【详解】由圆的方程可知，两圆圆心分别为： 和 ；半径分别为： ， 则圆心距： 两圆位置关系为：相交 本题正确选项： 【点睛】本题考查圆与圆位置关系的判定；关键是明确两圆位置关系的判定是根据圆心距与 两圆半径之间的长度关系确定. 10.在正三棱锥 中，三条侧棱两两垂直，底面边长 ，则正三棱锥 3 3 3 0x y− + = 3 3y x= + 3k = 60α = ° 2 2( 2) 1x y+ − = 2 2( 2) ( 1) 16x y+ + + = ( )0,2 ( )2, 1− − 1 1r = 2 4r = ( ) ( )2 20 2 2 1 13d = + + + = 2 1 2 1r r d r r− < < + ∴ B S ABC− 2 2AB = S ABC−- 5 - 的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题可得正三棱锥 各顶点在以棱长为 的正方体上,根据正方体体对角线等于外接 球直径求解即可. 【详解】由题得, 正三棱锥 各顶点在以棱长为 的正方体上,故正三棱锥 的外接球外正方体的外接球,又 ,故 ,故体对角线即球直径 ,故正三棱锥 的外接球的表面积为 故选：B 【点睛】本题主要考查了墙角三棱锥的外接球表面积问题,属于基础题型. 11.点 P 在正方体侧面 BCC1B1 及其边界上运动，并且保持 AP⊥BD1，则点 P 的轨迹为 (　 　) A. 线段 B1C B. BB1 的中点与 CC1 的中点连成的线段 C. 线段 BC1 D. BC 中点与 B1C1 的中点连成的线段 【答案】A 的 6π 12π 32π 36π S ABC− SA S ABC− SA S ABC− 2 2AB = 2SA SB SC= = = 2 3D = S ABC− 2 12S Dπ π= =- 6 - 【解析】 ∵AP⊥BD1 恒成立， ∴要保证 AP 所在的平面始终垂直于 BD1． ∵AC⊥BD1，AB1⊥BD1，AC∩AB1＝A， ∴BD1⊥面 AB1C，∴P 点在线段 B1C 上运动．故选 A． 12.对于实数 和 ，定义运算“ ”： ，设函数 ，若函数 的图象与 轴恰有两个公共点，则 实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分类讨论求出 ，作出图像，根据 的图像可得结果. 【详解】当 ，即 时， ； 当 ，即 或 时， ， ∴ ， a b ⊗ , 1 , 1 a a ba b b a b − ≤⊗ =  − > ( ) ( ) ( )2 22 ,f x x x x x R= − ⊗ − ∈ ( )y f x c= − x c ( ] 3, 2 1, 2  −∞ − −   ( ] 3, 2 1, 4  −∞ − ∪ − −   1 11, ,4 4    − +∞       3 11, ,4 4    − − +∞      2 2 32 1 2( ) 31 2 x x f x x x x x   − − ≤ ≤   =    − < − >    或 ( )y f x= ( ) ( )2 22 1x x x− − − ≤ 31 2x− ≤ ≤ 2( ) 2f x x= − ( )2 22 1x x x− − − > 1x < − 3 2x > 2( )f x x x= − 2 2 32 1 2( ) 31 2 x x f x x x x x   − − ≤ ≤   =    − < − >    或- 7 - 的图象如图所示， ， ， ， ， 观察图像得，若直线 与 的图象有两个交点， 则 或 . 故选：B. 【点睛】本题考查函数图像交点个数问题，关键是准确画出函数图像，是中档题. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13.若 则 x=__________. 【答案】4 【解析】 【分析】 直接利用指对互化可得解. 【详解】由 得 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了指对互化的运用，是简单题. 14.直线 l 过点 且与直线 垂直，则直线 l 的方程是______． 【答案】 . 【解析】 【分析】 根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线 2x﹣3y+4=0 垂直的直线方程为﹣3x﹣2y+c=0， ( )f x (0) 2f = − 3 3( )2 4f = − ( 1) 1f − = − y c= ( )f x 2c ≤ − 31 4c− < < − 2log 2x = ， 2log 2x = ， 22 4x = = ( )1,2− 2x 3y 4 0− + = 3 2 1 0x y+ − =- 8 - 再把点（﹣1，2）代入，即可求出 c 值，得到所求方程． 【详解】∵所求直线方程与直线 2x﹣3y+4=0 垂直，∴设方程为﹣3x﹣2y+c=0 ∵直线过点（﹣1，2），∴﹣3×（﹣1）﹣2×2+c=0 ∴c=1 ∴所求直线方程为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了互相垂直 两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程， 属于基础题． 15.圆柱的高是 ，底面圆的半径是 ，则圆柱的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】 直接把圆柱的高、底面圆的半径代入圆柱侧面积公式中，求出圆柱的侧面积. 【详解】因为圆柱的侧面积公式为: ，（其中 分别是圆柱底面的半径和圆柱的母 线），因为圆柱的高是 ，所以圆柱的母线也是 ，因此圆柱的侧面积为 . 【点睛】本题考查了圆柱的侧面积公式，属于基础题. 16.圆 x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0 上的点到直线 x+y﹣14＝0 的最大距离是_____． 【答案】8 【解析】 【分析】 先写出圆的标准方程，得圆心和半径，由几何法即可求出圆上的点到直线的最大距离． 【详解】解：把圆的方程化为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝18， ∴圆心 A 坐标为（2，2），半径 ， 由几何知识知过 A 与直线 x+y﹣14＝0 垂直的直线与圆的交点到直线的距离最大或最小， ∴最大距离 ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想，属于基础题． 的 3 2 1 0x y+ − = 3 2 1 0x y+ − = 2 1 4π 2S rlπ= ,r l 2 2 2 4S rlπ π= = 2 3 2r = 2 2 14 1 1 d r + −= + + 3 2 5 2 8 2= + = 8 2- 9 - 三、解答题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤． 17.已知集合 ， ，且 ，求实数 的取值范 围． 【答案】 【解析】 【分析】 当 时， ，解得 ，当 时， ，无解，由此可以得 出实数 的取值范围. 【详解】 集合 ， ，且 ， 当 时， ，解得 ； 当 时， ，无解. 综上，实数 的取值范围为 . 【点睛】本题考查集合包含关系的判断及应用，应分类讨论集合 是否为空集，属于基础题. 18.如图所示，四棱锥 V－ABCD 的底面为边长等于 2cm 的正方形，顶点 V 与底面正方形中心的 连线为棱锥的高，侧棱长 VC＝4 cm，求这个四棱锥的体积. 【答案】 【解析】 试题分析：连 AC、BD 相交于点 O，连 VO，求出 VO，则 VV-ABCD= SABCD•VO，由此能求出这个四 棱锥的体积． 试题解析： { |1 2}A x x= < < { | 2 3 2}B x a x a= − < < − A B⊇ a [ )1 + ∞， B ϕ= 2 3 2a a− ≥ − 1a ≥ B ϕ≠ 2 3 2 2 3 1 2 2 a a a a − < −  − ≥  − ≤ a  { |1 2}A x x= < < { | 2 3 2}B x a x a= − < < − A B⊇ ∴ B ϕ= 2 3 2a a− ≥ − 1a ≥ B ϕ≠ 2 3 2 2 3 1 2 2 a a a a − ≤ −  − ≥  − ≤ a [ )1 + ∞， B 34 14 3 cm 1 3- 10 - 如图，连接 AC、BD 相交于点 O，连接 VO， ∵AB＝BC＝2 cm，在正方形 ABCD 中，求得 CO＝ cm，又在直角三角形 VOC 中， 求得 VO＝ cm，∴VV－ABCD＝ SABCD·VO＝ ×4× ＝ (cm3)． 故这个四棱锥的体积为 cm3. 19.如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA=PD，E， F 分别为 AD，PB 的中点. （1）求证：PE⊥BC； （2）求证：EF∥平面 PCD. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 【分析】 (1) 先 证 明 平 面 PE⊥BC 即 得 证 .(2) 取 中 点 ， 连 接 . 证 明 ，再证明 EF∥平面 PCD. 【详解】（1）∵ ，且 为 的中点，∴ . ∵平面 平面 ，平面 平面 ， ∴ 平面 . ∵ 面 ，∴PE⊥BC. （2）如图，取 中点 ，连接 . PE ⊥ ABCD， PC G ,FG GD EF GD PA PD= E AD PE AD⊥ PAD ⊥ ABCD PAD ∩ ABCD AD= PE ⊥ ABCD BC ⊂ ABCD PC G ,FG GD- 11 - ∵ 分别为 和 的中点，∴ ，且 . ∵四边形 为平行四边形，且 为 的中点， ∴ ， ∴ ，且 ，∴四边形 为平行四边形， ∴ . 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . 【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想 象分析推理能力. 20.已知 的三个顶点 .求： （1） 边上高 所在的直线方程； （2） 边中线 所在的直线方程. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得高 所在的直线的斜率，进而得出点斜式． （2）利用中点坐标公式可得 边的中点，利用两点式即可得出． 【详解】解：（1） 又因为 垂直 ， . ,F G PB PC FG BC 1 2FG BC= ABCD E AD 1, 2ED BC DE BC= ED FG ED FG= EFGD EF GD EF ⊄ PCD GD ⊂ PCD EF  PCD ABC∆ (4, 6), ( 4,1), ( 1,4)A B C− − − AC BD AB CE 2 6 0x y− + = 13 2 5 0x y+ + = BD AB (4, 6), ( 4,1), ( 1,4)A B C− − − 6 4 24 ( 1)ACk − −∴ = = −− − AC BD 1 2BDk∴ =- 12 - 直线 的方程为 ， 即 ； （2） 边中点 E ，中线 的方程为 ， 即 【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、两点式、一般式，考 查了推理能力与计算能力，属于基础题． 21.已知圆心为 C（4，3）的圆经过原点 O． （1）求圆 C 的方程； （2）设直线 3x﹣4y+15＝0 与圆 C 交于 A，B 两点，求△ABC 的面积． 【答案】（1）（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25．（2）12 【解析】 【分析】 （1）求出半径，从而可得圆的标准方程； （2）作 CD⊥AB 于 D，则 CD 平分线段 AB，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理求出弦长， 从而可求出面积． 【详解】解：（1）圆 C 的半径为 ， 从而圆 C 的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25； （2）作 CD⊥AB 于 D，则 CD 平分线段 AB， 在直角三角形 ADC 中，由点到直线的距离公式，得|CD|＝3， 所以 ， . BD 11 ( 4)2y x− = + 2 6 0x y− + = AB 5(0, )2 − CE 5 542 2 1 y x + + = − 13 2 5 0x y+ + = 2 23 4 5OC = + = 2 2| | 4AD AC CD= − =- 13 - 所以|AB|＝2|AD|＝8， 所以△ABC 的面积 ． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题． 22.已知函数 为奇函数， ，其中 . （1）若函数 的图像过点 ，求实数 和 的值； （2）若 ，试判断函数 在 上的单调性并证明； （3）设函数 ，若对每一个不小于 3 的实数 ，都恰有一个小于 3 的实 数 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1) ; (2) 在 上单调递增; (3) 【解析】 【分析】 (1)由奇函数可得 ,再代入 即可. (2)设 再计算 的正负即可判断单调性. (3)由题意可分 , 与 三种情况进行讨论再根据 与 的值域关 系进行不等式求解. 【详解】(1)因为 为奇函数,故 ,又函数 的图像过 点 故 .即 . (2)由题, , 当 时, ,设 , 1 122S AB CD= = ( ) 23 27 mx nh x x += + ( ) 1 3 x m k x −     = m n R∈、 ( )h x ( )1,1A m n 3m = ( ) ( ) ( ) 1 1f x h x k x = + [ )3,x∈ +∞ ( ) ( ) ( ) , 3 9 , 3 h x xg x k x x  ≥=     = ⋅ 0 3m< < 1 3x∀ ≥ ( ) ( )1 1 1 1 0,27 183 m mg x h x x x  = = ∈  + 2 3x∀ < 2 0x m− ≥ ( ) ( ]2 2 1 0,939 x m g x −  ∈   = ⋅ ( ],0,18 0 9m  ⊆   0 3m< < 3m ≥ 1 3x∀ ≥ ( ) ( )1 1 1 1 0,27 183 m mg x h x x x  = = ∈  + 2 3x∀ < 2 2 0x m m x− = − > ( ) 2 3 2 1 10,93 39 x m m g x − −    ∈ ⋅        =  ⋅ - 15 - 由题意有 ,此时 ，即 令函数 ,易得 为减函数且 . 则解 可得 .此时 综上 【点睛】本题主要考查了奇函数的运用与单调性的证明,同时也考查了分段函数的分段与参数 的讨论等,其中题目中有“对每一个不小于 3 的实数 ，都恰有一个小于 3 的实数 ，使得 成立”可考虑到 分三种情况讨论,属于难题. 310,9 30,18 mm −  ⋅      ⊆     3 519 3318 m mm − − ⋅ =   < 5318 mm −< 5( ) 3 18 x xH x −= − ( )H x 5 6 6(6) 3 018H −= − = 5318 mm −< 6m < 3 6m≤ < (0,6)m∈ 1x 2x ( ) ( )1 2g x g x= m