湖南省永州市2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）

- 1 - 湖南省永州市 2020 学年高二数学上学期期末考试试题（含解析） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ巷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 2.全卷满分 150 分，时量 120 分钟. 3.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置. 4.全部答案在答题卡上完成，在本试题卷上作答无效，考试结来后，只交答题卡. 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共计 60 分，每小题给出的 4 个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请把答案填涂到相应的答题栏内） 1.已知 ， 是虚数单位，若 与 互为共轭复数，则 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 由条件利用共轭复数的定义求得 的值，即可得到 的值. 【详解】因为 与 互为共轭复数， 则 ，所以 ， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关共轭复数的概念，属于基础题目. 2.已知命题 R， ，则 A. R, B. R, C. R, D. R, 【答案】C 【解析】 试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，所以,只需将原命 题中的条件全称改特称，并对结论进行否定，故答案为 ． 考点：全称命题与特称命题的否定． ,a b∈R i a i− 2 bi+ a b+ = ,a b +a b a i− 2 bi+ 2, 1a b= = 3a b+ = :p x∀ ∈ sin 1x :p x¬ ∃ ∈ sin 1x :p x¬ ∀ ∈ sin 1x :p x¬ ∃ ∈ sin 1x > :p x¬ ∀ ∈ sin 1x > C- 2 - 3.已知向量 ，且 ，则 的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 利用向量垂直，它们的数量积为 0，，得到关于 的等量关系式，求得结果. 【详解】因为 ，所以 ， 即 ，解得 ， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件，向量数量积坐 标公式，属于基础题目. 4.已知函数 ，且 ，则 的值为（ ） A. 2019 B. 2015 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先对函数求导，之后利用 得到 所满足的等量关系式，求解即可得结果. 【详解】因为 ， 所以 ， 由 ，得 ， 求得 ， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关利用导数求参数值的问题，涉及到的知识点有求导公式，属于基 础题目. 5.设双曲线的焦点在 轴上，其渐近线为 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. (1,0, 1), (1,1, )a b k= − = a b⊥  k k a b⊥  0a b⋅ =  1 1 0 1 ( 1) 0k× + × + − ⋅ = 1k = 2( ) 2019f x ax= + (1) 4f ′ = a 2 '(1) 4f = a 2( ) 2019f x ax= + '( ) 2f x ax= '(1) 4f = 2 4a = 2a = x 2y x= ± 2 3 5- 3 - 【答案】B 【解析】 【分析】 根据双曲线的简单性质和渐近线方程即可求出结果. 【详解】因为双曲线的焦点在 轴上，其渐近线为 ， 所以 ，即 ， ， 所以该双曲线的离心率为 ， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的简单性质的问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线方 程，双曲线的离心率，属于简单题目. 6.一质点做直线运动，经过 秒后的位移为 ，则速度为零的时刻是（ ） A. 1 秒末 B. 4 秒末 C. 1 秒与 4 秒末 D.0 秒与 4 秒 末 【答案】C 【解析】 【分析】 求出位移 的导数即质点运动的瞬时速度，令导数为 0，求出 的值即得到速度为 0 的时刻. 【详解】因为 ，所以 ， 令 ，解得 或 ， 所以速度为零的时刻是 1 秒末或 4 秒末， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关导数在物理中的应用，要明确位移的导数为速度，属于基础题目. 7.已知抛物线 的焦点为 ，则 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 x 2y x= ± 2b a = 2b a= 2 2 3c a b a= + = 3= =ce a t 3 21 5 43 2S t t t= − + S t 3 21 5 43 2S t t t= − + 2' 5 4S t t= − + 2 5 4 0t t− + = 1t = 4t = 2y ax= 10, 4      a 1 2 1−- 4 - 【分析】 利用抛物线的焦点坐标求解即可. 【详解】由 可得 ， 抛物线 的焦点为 ， 所以 ，所以 ， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关抛物线的问题，涉及到的知识点有根据抛物线的焦点坐标求参数， 在解题的过程中，注意首先将抛物线的方程化为标准形式，属于基础题目. 8.如图所示，在长方体 中， 为 与 的交点．若 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 连接 , 交于点 , ,代入整理即可 【详解】由题,连接 , 交于点 , 则 2y ax= 2 1x ya = 2y ax= 10, 4      1 1 4 4a = 1a = 1 1 1 1ABCD A B C D− M 1 1AC 1 1B D AB a=  AD b=  1AA c=  BM 1 1 2 2a b c− + +  1 1 2 2a b c+ +  1 1 2 2a b c− − +  1 1 2 2a b c− +  AC BD N ( ) 1 1 1 2 2BM BD NM AD AB AA= + = − +      AC BD N ( ) ( )1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2BM BD NM AD AB AA b a c a b c= + = − + = − + = − + +          - 5 - 故选：A 【点睛】本题考查向量的线性运算,考查空间向量,属于基础题 9.若函数 有大于零的极值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 ，令 ，得 ，根据函数 有大于零的极值点，可得 ，即可得出结果. 【详解】 ，令 ，得 ， 因为函数 有大于零的极值点， 所以 ， 所以实数 的取值范围是 ， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关导数的应用的问题，涉及到的知识点有根据极值点的符号判断参 数的取值范围，属于简单题目. 10.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在如图 所示的阳马 中，侧棱 底面 ，且 ，点 是 的中 点，则 与 所成角的余弦值（ ） ( ) xf x e ax= − 1a < 1a > 1a e > − 1a e < − '( ) xf x e a= − 0xe a− = xa e= ( ) xf x e ax= − e 1x > '( ) xf x e a= − 0xe a− = xa e= ( ) xf x e ax= − 1xa e= > a 1a > P ABCD− PD ⊥ ABCD PD CD AD= = E PC PD BE- 6 - A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首 先 取 中 点 ， 连 接 ， 能 够 得 到 与 所 成 角 ， 设 出 边 长 ，利用勾股定理求得 ，在直角三角形中，求得 ，得到结果. 【详解】取 中点 ，连接 ， 因为 为 中点，所以 ， 所以 是 与 所成角， 设 ， 则 ， 是 3 3 3 6 6 3 6 6 DC F EF FEB∠ PD BE 2PD CD AD a= = = 5 , 6BF a BE a= = 6cos 6FEB∠ = DC F EF E PC //EF PD FEB∠ PD BE 2PD CD AD a= = = 2 2, 5 , 5 6EF a BF a BE a a a= = = + =- 7 - 所以 ， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关异面直线所成角的余弦值的问题，涉及到的知识点有异面直线所 成角的概念，在三角形中求角的余弦值，属于简单题目. 11.已知点 是椭圆 上的动点， 、 为椭圆的左、右焦点， 为坐标 原点，若 是 的角平分线上的一点，且 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 延长 与 交于点 ，由条件判断 为等腰三角形， 为 的中位线，故 ，再根据 的值域，求得 的最值，从而 得到结果. 【详解】如图， 延长 与 交于点 ，则 是 的角平分线， 由 可得 与 垂直， 可得 为等腰三角形，故 为 的中点， 由于 为 的中点， 6cos 66 EF aFEB BE a ∠ = = = P 2 2 1( 0)16 12 x y xy+ = ≠ 1F 2F O M 1 2F PF∠ 1 0F M MP⋅ =  | |OM (0,2) (0, 3) (0,4) (2,2 3) 2PF 1F M G 1PFG∆ OM 1 2F F G∆ 2 1 2 2 1 1 1= 2 22 2 2OM F G PF PF a PF= − = − 2PF OM 2PF 1F M G PM 1 2F PF∠ 1 0F M MP⋅ =  1F M PM 1PFG∆ M 1FG O 1 2F F- 8 - 则 为 的中位线，故 ， 由于 ，所以 ， 所以 ， 问题转化为求 的最值， 而 的最小值为 ， 的最大值为 ，即 的值域为 ， 故当 或 时， 取得最大值为 ， 当 时， 在 轴上，此时 与 重合， 取得最小值为 0，又由题意，最值取不到， 所以 的取值范围是 ， 故选：A. 【点睛】该题考查的是与椭圆相关的问题，涉及到的知识点有椭圆的定义，椭圆的性质，角 分线的性质，属于较难题目. 12.定义在 上的函数 ， 是它的导函数，且恒有 成立， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 把给出的等式变形得到 ，由此联想构造辅助函数 ， 由其导函数的符号得到其在 上为增函数，则 ，整理后即可得到答案. OM 1 2F F G∆ 2 1= 2OM F G 1PF PG= 2 1 2F G PF PF= − 1 2 2 1 1= 2 22 2OM PF PF a PF− = − 2PF 2PF a c− 2PF a c+ 2PF [ , ]a c a c− + 2PF a c= + 2PF a c= − OM 2 2 2 1 1= 2 2 2 2( ) 16 12 22 2OM a PF a a c c a b− = − − = = − = − = 2PF a= P y M O OM OM (0,2) 0, 2 π     ( )f x ( )f x′ ( ) ( ) tanf x f x x′< ⋅ 3 24 3f f π π          3 6 3f f π π   >       '( )sin ( )cos 0f x x f x x− > ( )( ) sin f xg x x = (0, )2 π ( ) ( )6 3g g π π > ( ) ( ) tanf x f x x′< ⋅ ( )cos '( )sinf x x f x x< '( )sin ( )cos 0f x x f x x− > ( )( ) , (0, )sin 2 f xg x xx π= ∈ 2 '( )sin ( )cos'( ) 0sin f x x f x xg x x −= > ( )( ) sin f xg x x = (0, )2x π∈ ( ) ( )4 3g g π π< ( )( ) 34 sin sin4 3 ff ππ π π< ( )( ) 34 2 3 2 2 ff ππ < 3 24 3f f π π       ( ) ( )6 4g g π π< ( ) ( )6 4 sin sin6 4 f f π π π π< ( ) ( )6 4 1 2 2 2 f f π π < 2 ( ) 46f f π π <    ( ) ( )6 3g g π π< ( ) ( )6 3 sin sin6 3 f f π π π π< ( ) ( )6 3 1 3 2 2 f f π π < 3 ( ) ( )6 3f f π π< ( , )z a bi a b R= + ∈ i z 1y x= − + +a b- 10 - 【分析】 复数 ，复数 在复平面内对应的点 在直线 上，所以点的 坐标满足直线的方程，有 ，从而求得 ，得到结果. 【详解】复数 ， 复数 在复平面内对应的点 在直线 上， 所以 ，所以 ， 故答案为： . 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数在复平面内对应的点，点在 直线上的条件，属于基础题目. 14.与双曲线 有公共焦点，且长轴长为 8 的椭圆方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】 首先根据题中所给的双曲线的方程写出其焦点坐标，从而确定椭圆的焦点所在轴并且得到 ，再根据椭圆的长轴长，得到 ，利用椭圆中 的关系，求得 ，进而得到 椭圆的方程. 【详解】因为椭圆与双曲线 有相同的焦点 ， 所以 ， 因为长轴长为 8，所以 ， 所以 ， 所以椭圆的方程为 ， 故答案为： . 【点睛】该题考查的是有关椭圆标准方程的求解问题，涉及到的知识点有双曲线的焦点坐标， ( , )z a bi a b R= + ∈ z ( , )a b 1y x= − + 1b a= − + 1a b+ = ( , )z a bi a b R= + ∈ z ( , )a b 1y x= − + 1b a= − + 1a b+ = 1 2 2 2 7 1x y− = 2 2 116 7 x y+ = 3c = 4a = , ,a b c 2 7b = 2 2 2 7 1x y− = ( 3,0)± 3c = 2 8, 4a a= = 2 2 2 16 9 7b a c= − = − = 2 2 116 7 x y+ = 2 2 116 7 x y+ =- 11 - 椭圆中 的关系，属于基础题目. 15.已知 ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围 是_____. 【答案】 【解析】 【分析】 首先通过解不等式求得 ，进而求得 对应的结果，之后将 是 的充分不必要条件，转 化为两集合端点值间的关系，列出关于 的不等式组求解. 【详解】由 解得 ， 所以 ， 因为 是 的充分不必要条件， 所以  ， 所以有 ，求得 ， 所以实数 的取值范围是 ， 故答案为： . 【点睛】该题考查的是充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，属于基础题 目. 16.已知抛物线 ，直线 过焦点 且与抛物线交于 、 （点 在 轴的 上方，点 在 轴的下方，）点 在 轴上且 在 右侧，若 ，且 的面积为 ，则 的值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】 首先根据题意，得到 为等边三角形，得到直线 的倾斜角为 ，设出直线 的方 程，与抛物线的方程联立，消元得到 ，解方程求得交点的横坐标，求得 , ,a b c : 1 1, : 1xp a x a q e− < < + > p q¬ a ( , 1]−∞ − q q¬ p q¬ a e 1x > 0x > : 0q x¬ ≤ p q¬ ( 1, 1)a a− + ( ,0]−∞ 1 0a + ≤ 1a ≤ − a ( , 1]−∞ − ( , 1]−∞ − 2 2 ( 0)y px p= > l F M N N x M x E x E F | | | | | |NF EF NE= = MNE 12 3 p NFE∆ NF 3 π MN 2 2 33 5 04 px px− + =- 12 - ， ，结合正三角形的特征，求得三角形的高，利用三 角形的面积公式求得结果. 【详解】根据题意， ，所以 为等边三角形， 所以直线 的倾斜角为 ， 设直线 的方程为 ， 与 联立可得 ， 解得 ，所以 ， ， 所以 ， 解得 ， 故答案为：3. 【点睛】该题考查的是有关抛物线的问题，涉及到的知识点有抛物线的定义、标准方程和几 何性质的综合应用，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，属于中档题目. 三、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知 ， （1）若 为真命题，求 的取值范围； （2）若 为假命题， 为真命题，求 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 3 22 2 p pNF FE p= = + = 8 3 pMN = | | | | | |NF EF NE= = NFE∆ NF 3 π MN 3( )2 py x= − 2 2 ( 0)y px p= > 2 2 33 5 04 px px− + = 1 2 3,6 2 px x p= = 3 22 2 p pNF FE p= = + = 1 2 8 3 pMN x x p= + + = 21 3 8 4 3sin 60 2 12 32 4 3 3MNE p pS MN FE p∆ = ⋅ ⋅ ° = ⋅ ⋅ = = 3p = 2: [ 1,1], 0p x x a∀ ∈ − − ≥ 2 0 0 0: , 2 2 0q x R x ax a∃ ∈ + + + = p a p q a ( ,0]−∞ [ )2,+∞- 13 - 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件 是真命题，则只需函数的最小值大于等于 0，据此可求得 的取值范围； （2）先求出简单命题为真命题时对应的参数的取值范围，最后借助于两个命题的真假，得到 对应的条件，最后求得结果. 【详解】（1）∵ 恒成立 ， 所以 的取值范围是 ； （2）∵ 为真命题， 或 又 为假命题，由（1）可得 综上， 的范围为 . 【点睛】该题考查的是有关简易逻辑的问题，涉及到的知识点有根据命题为真时确定参数的 取值范围，根据两个命题的真假求参数的范围，属于简单题目. 18.已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为 2. （1）求 的值； （2）若 ，求过点 且与 只有一个公共点的直线方程. 【答案】（1） . （2） 或 【解析】 【分析】 （1）可得抛物线的准线为 ，由点 到焦点的距离转化为其到准线的距离，列出 等式求得 的值，将点 的坐标代入抛物线方程求得 的值，得到结果； （2）当斜率存在时，写出直线方程，与抛物线方程联立，令判别式等于零求得结果，当斜率 不存在时，写出方程，得到最后结果. 【详解】（1）由抛物线的定义得， ，解得 ， 所以抛物线的方程为 ，代入点 ，可解得 . p a [ ] 21,1 , 0x x a∀ ∈ − − ≥ 2a x∴ ≤ 0a∴ ≤ a ( ,0]−∞ q 20 4 4( 2) 0a a∴ ≥ ⇒ − + ≥△ 2a∴ ≥ 1a ≤ − p 0a∴ > a [ )2,+∞ 2: 2 ( 0)C x py p= > ( ,1)M m F ,m p 0m > M C 2m = ± 2p = 1y x= − 2x = 2 py = − ( ,1)M m p ( ,1)M m m 1 22 p+ = 2p = 2 4x y= ( ,1)M m 2m = ±- 14 - （2）当斜率存在时，设过点 的直线方程为 ， 联立 ，消元得 ， 得 ，所以直线方程为 当斜率不存在时， 所以过点 且与 只有一个公共点的直线方程为 或 【点睛】该题主要考查抛物线的几何性质与直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力， 属于中档题目. 19.已知函数 . （1）求 的单调区间； （2）若 有 3 个零点，求 的取值范围. 【答案】（1） 在 上单调递增；在 上单调递减；在 上单调递减（ 2） 【解析】 分析】 （1）求导数 ，在定义域内解不等式 、 可求得函数的单调区间； （2）由（1）可知 的单调性，求得 的极值，由题意可得极值、端点处函数值的符号 ，解不等式即可. 【详解】（1） ， 令 ，得 或 可知， 时， ； 时， ； 时， ； 故， 在 上单调递增；在 上单调递减；在 上单调递减 （2）令 ，有 设 ， ， 【 (2,1)M 1 ( 2)y k x− = − 2 4 2 1 x y y kx k  =  = − + 2 4 8 4 0x kx k− + − = 216 32 16 0k k= − + =△ 1k = 1y x= − 2x = M C 1y x= − 2x = 3 21( ) 33f x x x x a= − − + ( )f x ( )f x a ( )f x ( , 1)−∞ − ( 1,3)− (3, )+∞ 5( ,9)3 − ( )f x′ ( ) 0f x′ < ( ) 0f x′ > ( )f x ( )f x 2( ) 2 3f x x x′ = − − ( ) 0f x′ = 1x = − 3 ( , 1)x∈ −∞ − ( ) 0f x′ > ( 1,3)x∈ − ( ) 0f x′ < (3, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( , 1)−∞ − ( 1,3)− (3, )+∞ ( ) 0f x = 3 21 33a x x x− = − − 3 21( ) 33g x x x x= − − 2( ) 2 3g x x x′ = − −- 15 - 由（1）得 在 上单调递增；在 上单调递减；在 上单调递减 ， ， 结合 的图像可知， 与 有 3 个交点，故 所以 的范围为 . 【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性， 将函数零点的个数转化为极值的符号，最后确定参数的取值范围，属于简单题目. 20.如图，在正方形 中， 分别是 的中点，将正方形 沿着线段 折起，使得 ，设 为 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）利用线面垂直 判定定理，证得 ⊥平面 ，从而得到 ，再利用等边 三角形的特征，得到 ，之后利用线面垂直的判定定理证得 平面 ； （2）利用 两两垂直，建立空间直角坐标系，设 ，写出相应点的坐标， 求得两个平面的法向量，之后求出两个法向量所成角的余弦值，进而得到二面角的余弦值. 【详解】（1）∵ 分别为正方形 的边 的中点， ∴ 又 平面 ， 平面 ， ，∴ ⊥平面 ， ∵ 平面 ，∴ ， ∵ ， ，∴ 是等边三角形， 的 ( )g x ( , 1)−∞ − ( 1,3)− (3, )+∞ 5( 1) 3g − = (3) 9g = − ( )g x ( )y g x= y a= − 59 3a− < − < a 5( ,9)3 − ABCD ,E F ,BC AD ABCD EF 60DFA °∠ = G AF DG ⊥ ABEF C BF E− − 2 19 19 EF ADF EF DG⊥ AF DG⊥ DG ⊥ ABEF , ,GA GQ GD 4AB = ,E F ABCD ,BC AD , ,EF DF EF AF⊥ ⊥ DF ⊂ ADF AF ⊂ ADF AF DF F∩ = EF ADF DG ⊂ ADF EF DG⊥ AF DF= 60DFA °∠ = ADF∆- 16 - ∵ 为 的中点.， ∴ . 又 ， 面 面 ， ，∴ 平面 . （2）设 中点为 ，连结 ，则 两两垂直，不妨设 . 以 为原点，以 为坐标轴建立空间直角坐标系如图： 则 ， ， . ， . ∴ ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，令 ，得 而 为平面 的一个法向量 ∴ 二面角 的余弦值为 . 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，二面角的 余弦值的求解，属于中档题目. 21.点 与定点 的距离和它到直线 距离的比是常数 . （1）求点 的轨迹方程； （2）记点 的轨迹为 ，过 的直线 与曲线 交于点 ，与抛物线 交于点 ，设 ，记 与 面积分别是 ，求 的取值范围. G AF AF DG⊥ ,EF DG⊥ EF ⊂ ABEF AF ⊂ ABEF EF AF F= DG ⊥ ABEF BE Q GQ , ,GA GQ GD 4AB = G , ,GA GQ GD (0,0,0)G (1,0,0)A (1,4,0)B (0,4, 3)C ( 1,0,0)F − (1,0,0)GA = ( 1,0, 3)BC = − ( 2, 4,0)BF = − − BCF ( , , )n x y z= 0 3 0 0 2 4 0 n BC x z n BF x y  ⋅ = − + =⇒ ⋅ = − − =    2z = (2 3, 3,2)n = − (0,0, 3)GD = BEF 2 3 2 19cos , 1919 3 n GDn GD n GD ⋅= = = ⋅      C BF E− − 2 19 19 ( , )P x y (1,0)F : 4l x = 1 2 P P C F l C ,M N 2 4y x= ,A B ( 1,0)D − DMN DAB 1 2,S S 2 1 S S- 17 - 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】 （1）根据题意可得 ，化简即可求出； （2）当直线 的斜率存在时，将直线方程分别与椭圆和抛物线的方程联立，将两个三角形的 面积比转化为弦长比，化为关于 的关系式，求最值求值域即可，之后将直线 的斜率不存在 的情况求出，最后得到答案. 详解】（1）依题意有 ， 化简得： ，故 的方程为 . （2）依题意 ， ①当 不垂直于 轴时，设 的方程是 ， 联立 ，得 ， 设 ， ，则 ， ； 联立 得： ， 设 ， ， 则 ， ， ， 【 【 2 2 14 3 x y+ = 4 ,3  +∞  2 2( 1) 1 4 2 x y x − + =− l k l 2 2( 1) 1 4 2 x y x − + =− 2 23 4 12x y+ = 1C 2 2 14 3 x y+ = 2 1 ABS S MN = l x l ( )( )1 0y k x k= − ≠ ( ) 2 1 4 y k x y x  = −  = ( )2 2 2 22 4 0k x k x k− + + = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 1 2 2 2 4kx x k ++ = ( )2 1 2 2 4 1 2 k AB x x k + = + + = ( ) 2 2 1 3 4 12 0 y k x x y  = −  + − = ( )2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k+ − + − = ( )3 3,M x y ( )4 4,N x y 2 3 4 2 8 3 4 kx x k + = + 2 3 4 2 4 12 3 4 kx x k −= + ( ) ( ) ( )2 22 3 4 3 4 2 12 1 1 4 3 4 k MN k x x x x k + = + + − =  +- 18 - 则 ， ②当 垂直于 轴时，易知 ， ， 此时 综上， 的取值范围是 . 【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有动点轨迹方程的求解，直线 被椭圆截得的弦长，直线被抛物线截得的弦长，属于较难题目. 22.已知函数 . （1）求函数 在 处的切线方程； （2）若方程 在区间 上有实根，求 的值； （3）若不等式 对任意正实数 恒成立，求正整数 的取值 集合. 【答案】（1） （2） 或 （3） . 【解析】 【分析】 （1）由 的值可得切点坐标，求出 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线 在点 处的切线方程； （2）令 ，方程 有实根等价于 有零点，利用导数判断函 数的单调性，然后根据零点存在性定理可判断 在 和 上分别存在一个零点，从 而可得结果； （3）当 时，不等式成立恒成立，当 时，不等式化为 ，可得 ，当 时，不等式可化为 ，可得 ，结合（2）结合三种情况，从而可得 结果. 2 2 2 1 2 3 4 4 1 4 ,3 3 3 ABS k S MN k k +  = = = + ∈ +∞   l x AB 4= 22 3bMN a = = 1 2 4 3 ABS S MN = = 2 1 S S 4 ,3  +∞  ( ) 2, ( ) lnf x x g x x= − = ( )y g x= x e= ( ) ( )f x g x= ( , 1),k k k N+ ∈ k ( )( 1) [ ( ) ( )]x m x x f x g x− − > − x m 1y xe = 0k = 3 { }1,2,3 (e)g '( )g e ( )y g x= x e= ( ) ( ) ( )h x f x g x= − ( ) ( )f x g x= ( )h x ( )h x ( )0,1 ( )3,4 1x = 0 1x< < ln 1 x x xm x +> − 1m x> 1x > ln 1 x x xm x +< − 2m x (1) 1h = − 2 2 2 2 1 1 1 1( ) ln 2 0h e e e e = − − = > ( )h x ( )0,1 1x 0k = (3) 3 ln3 2 1 ln3 0, (4) 2 2ln 2 0h h= − − = − = − ( )h x ( )3,4 2x 3k = 0k = 3 [ ]( )( 1) ( ) ( )x m x x f x g x− − > − x ( )( 1) ( ln 2)x m x x x x− − > − − 0x > 1x = m R∈ 0 1x< < ln 1 x x xm x +> − ln( ) 1 x x xs x x += − 2 2 ln 2 ( )( ) ( 1) ( 1) x x h xs x x x − −= =− − ′ ( )h x ( )0,1 1x 1 1 1( ) ln 2 0h x x x= − − = 1 1ln 2x x= − 1(0, )x x∈ ( ) 0s x′ > 1( ,1)x x∈ ( ) 0s x′ < ( )s x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln ( 2)( ) 1 1 x x x x x xs x xx x + − += = =− − 1m x> 1x > ln 1 x x xm x +< − 2m x< 1 2x m x< < 1 2(0,1), (3,4)x x∈ ∈ m { }1,2,3 ( )y f x= 0x x=- 20 - 即 在点 处的切线斜率（当曲线 在 处的切线与 轴平行时， 在 处导数不存在，切线方程为 ）；（2）由点斜式求得方程 . ( )y f x= 0 0( , ( ))P x f x ( )y f x= P y P 0x x= 0 0 0'( )( )y y f x x x− = −