湖南省长沙市浏阳市2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）

- 1 - 湖南省长沙市浏阳市 2020 学年高一数学上学期期末考试试题（含解析） 时量：120 分钟 一、选择题：本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 ，则 等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用并集的定义，求得 . 【详解】因为 所以 . 【点睛】本题考查并集的求法，解题时细心观察，注意不等式性质的合理运用. 2.用二分法研究函数 的零点时，第一次经计算 ， ， 可得其中一个零点 ，第二次应计算 ，以上横线应填的内容依次为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先应结合零点定理判断函数零点的所在区间，然后用二分法的思想将区间逐次减半．即可 获得问题解答． 【详解】由题意可知：对函数 ， ， ，且函数在区间 上连续，可得其中一个零点 ，使得 ， 根据二分法的思想可知在第二次计算时应计算 ， { }{ | 1}, | 2 2A x x B x x= > − = − < < A B { | 2}x x > − { | 1}x x > − { | 2 1}x x− < − { | 1 2}x x− < < A B { }{ | 1}, | 2 2A x x B x x= > − = − < < A B = { | 2}x x > − ( ) 3 2 1f x x x= + − ( )0 0f < ( )0.5 0f > 0x ∈ ( ) ( )0,0.5 , 0.25f ( ) ( )0,1 , 0.25f ( ) ( )0.5,1 , 0.75f ( ) ( )0,0.5 , 0.125f 3( ) 2 1f x x x= + − (0) 0f f (0,0.5) 0 (0,0.5)x ∈ 0( ) 0f x = (0.25)f- 2 - 所以答案为： ， ． 故选： ． 【点睛】本题考查的是二分法研究函数零点的问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方 程的思想、二分法的思想以及数据处理的能力．值得同学们体会和反思． 3.若 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用指数函数的图象和性质判断选项 A,B 正误，利用对数函数的图象和性质判断选项 C,D 的 正误. 【详解】A. 因为函数 单调递增，所以 ，所以该选项错误； B. 因为函数 单调递减，所以 ，所以该选项错误； C. 因为函数 单调递减，所以 ，所以该选项错误； D. 因为函数 单调递增，所以 ，所以该选项正确. 故选： ． 【点睛】本题主要考查指数函数对数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌 握水平. 4.在空间直角坐标系 中，已知 ， ， ，则 是（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三形 D. 直角三形 【答案】D 【解析】 【分析】 根据空间向量的坐标表示，写出 、 、 的坐标，得到 ，即可判断得解 (0,0.5) (0.25)f A 0m n> > 3 3m n< 1 1 3 3 m n   >       1 1 3 3 log logm n> 3 3log logm n> 3xy = 3 3m n> 1( )3 xy = 1 1 3 3 m n    D O xyz− ( )0,0,3A ( )0,4,3B ( )3,4,3C ABC∆ AB AC BC 0AB BC⋅ = - 3 - ． 【详解】在空间直角坐标系 中，已知 ，0， ， ，4， ， ，4， ， ，4， ， ，4， ， ，0， ， 且 ， ， 为直角三角形； 故选： ． 【点睛】本题考查了空间直角坐标系的应用问题，考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生 对这些知识的理解掌握水平，是基础题． 5.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位 ），则该几何体的表面积及体积为： A. ， B. ， C. ， D. 以上都不正确． 【答案】A 【解析】 【详解】由三视图可得该几何体为圆锥， 且底面直径为 6，即底面半径为 r=3，圆锥的母线长 l=5 则圆锥的底面积 S 底面=9π 侧面积 S 侧面=π•r•l=15π 故几何体的表面积 S=9π+15π=24π， 又由圆锥的高 h2= l2-r2=16 故 V= •S 底面•h=12π 故选 A 6.如图所示，将等腰直角△ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折成一个二面角 B´-AD-C，此时 Oxyz (0A 3) (0B 3) (3C 3) ∴ (0AB = 0) (3AC = 0) (3BC = 0) 0 3 4 0 0 0 0AB BC⋅ = × + × + × =  ∴ AB BC⊥  ABC∆∴ D cm 224 cmπ 215 cmπ 224 cmπ 1 3- 4 - ∠B´AC=60°，那么这个二面角大小是（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】A 【解析】 设等腰直角△ABC 中 AB=AC=a，则 BC= a， ∴B′D=CD= ， ∵等腰直角△ABC 斜边 BC 上的高是 AD= ， ∴B′D⊥AD，CD⊥AD， ∴∠B′DC 是二面角 B′−AD−C 的平面角． 连结 B′，C，∵∠B′AC=60°，∴B′C=a， ∴B′D2+CD2=B′C2， ∴∠B′DC=90°. ∴二面角 B′−AD−C 的大小是 90°. 故选 A. 点睛：本题考察了二面角的求法,属于基础题,作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一 个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的 平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角. 7.下列函数中，对定义域内任意两个自变量的值 x，y 都满足 ，且在 定义域内为单调递减函数的是（ ） A. B. C. D. 2 2 2 a 2 2 a ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = ⋅ ( ) 1 3 logf xx = ( ) 3logf x x= ( ) 1 3 x f x  =   - 5 - 【答案】C 【解析】 【分析】 利用指数函数的性质以及有理数指数幂的运算性质即可求解． 【详解】 函数在定义域内为单调递减函数， 排除选项 ， ， 又 ， 函数 满足题意， 故选： ． 【点睛】本题主要考查了指数函数的性质和指数幂的运算法则，意在考查学生对这些知识的 理解掌握水平，是基础题． 8.若圆 截直线 所得弦长为 6，则实数 m 的值为（ ） A. -31 B. -4 C. -2 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】 先化圆的标准方程，再根据垂径定理列方程，解得结果. 【详解】 因为圆 截直线 所得弦长为 6， 所以 故选：B 【点睛】本题考查圆的弦长，考查基本分析求解能力，属基础题. 9. 设 m、n 是两条不同的直线，α、β 是两个不同的平面．考察下列命题，其中真命题是 A. m⊥α，n β，m⊥n α⊥β B. α∥β，m⊥α，n∥β m⊥n C. α⊥β，m⊥α，n∥β m⊥n D. α⊥β，α∩β＝m，m⊥n n⊥β 【答案】B 【解析】 因为 α∥β，m⊥α，所以 ,过 n 作一个平面 ，使 ,因为 n∥β， , ( ) 3xf x =  ∴ B D 1 1 1( ) ( ) ( )3 3 3 x y x y+ = ⋅ ∴ 1( ) ( )3 xf x = C 2 2 2 4 0+ − + + =x y x y m 3 0x y− − = 2 2 2 22 4 0 ( 1) ( 2) 5x y x y m x y m+ − + + = ∴ − + + = − 2 2 2 4 0+ − + + =x y x y m 3 0x y− − = 2 26 |1 2 3|5 ( ) ( ) 42 2 m m + −− = + ∴ = − m β⊥ γ lγ β∩ = / /n l- 6 - . 10.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到 100 ，水温 与时 间 近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度 与时间 近似满足函数的关系式为 （ 为常数）, 通常这种热饮在 40 时，口感最佳，某天室温为 时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一 杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为 A. 35 B. 30 C. 25 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】 由函数图象可知这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一 段，即满足 ，且过点（5，100）和点（15，60），代入解析式即可得到函 数的解析式．令 y=40，求出 x,即为在口感最佳时饮用需要的最少时间． 【详解】由题意，当 0≤t≤5 时，函数图象是一个线段，当 t≥5 时，函数的解析式为 ,m l m n∴ ⊥ ∴ ⊥ C° ( C)y ° (min)t ( C)y ° (min)t 10180 2 t a y b −  = +   ,a b C° 20 C° min min min min 10180 2 t a y b −  = +  - 7 - ， 点（5，100）和点（15，60），代入解析式， 有 ， 解得 a＝5,b=20， 故函数的解析式为 ，t≥5．令 y=40，解得 t=25, ∴最少需要的时间为 25min． 故选 C. 【点睛】本题考查了求解析式的问题，将函数图象上的点的坐标代入即可得到函数的解析式， 考查了指数的运算，属于中档题． 11.在正方体 中，E 是 的中点，若 ，则点 B 到平面 ACE 的距离 等于（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 10180 2 t a y b −  = +   5 10 15 10 1100 80 2 160 80 2 a a b b − −    = +      = +    5 10180 202 t y −  = +   1 1 1 1ABCD A B C D− 1BB 6AB = 5 6 3 6 2- 8 - 由已知求得三角形 的面积，再由等积法求点 到平面 的距离． 【详解】如图，在正方体 中， ， 是 的中点， 则 ， ， ． ． 设点 到平面 的距离为 ， 由 ，得 ， 解得 ． 故选： ． 【点睛】本题主要考查空间中点到面的距离，训练了利用等积法求多面体的体积，意在考查 学生对这些知识的理解掌握水平． 12.已知 ，若关于 x 的方程 （a，b，c 为常数） 恰好有 7 个实数根，则有（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】 判断函数的奇偶性，结合函数的图象，转化求解即可． 【详解】由题得函数 是偶函数，函数的图象如图： 关于 的方程 ，必须有两个实数解， 即一个 ，另一个 ， ACE B ACE 1 1 1 1ABCD A B C D− 6AB = E 1BB 3BE = 2 26 3 3 5AE CE= = + = 6 2AC = ∴ 2 21 6 2 (3 5) (3 2) 9 62ACES∆ = × × − = B ACE h E ABC B ACEV V− −= 1 1 16 6 3 9 63 2 3 h× × × × = × × 6h = B ( ) ln , 0 0, 0 x xf x x  ≠=  = ( ) ( )2 0af x bf x c+ + = 0ab > 0c = 0ac < 0b≠ 2 4 0b ac− ≥ 0a < 0ab < 0c = ||, 0( ) 0, 0 ln x xf x x  ≠=  = ( )f x 2 ( ) ( ) 0af x bf x c+ + = ( ) 0f x = ( ) 0f x >- 9 - 所以 ， ，即 ， 故选： ． 【点睛】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及转化思想的应用，意 在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 二、填空题：本大题共 4 小题. 13.已知幂函数 的图象过点 ，则 _____________． 【答案】 （填 亦可） 【解析】 【分析】 设出幂函数解析式，根据点 求得幂函数的解析式. 【详解】由于 为幂函数，设 ，将 代入得 ，所以 . 故答案为 （填 亦可） 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，属于基础题. 14.两条平行直线 l： 与 m： 之间的距离 ______. 【答案】1. 【解析】 【分析】 直接利用平行线间的距离公式的应用求出结果． 0c = 0b a − > 0ab < D ( )y f x= (2, 2) ( )f x = 1 2x x ( )2, 2 ( )f x ( )f x xα= ( )2, 2 12 2, 2 α α= = ( ) 1 2f x x= 1 2x x 3 4 4x y+ = 3 4 9 0x y+ − = d =- 10 - 【详解】两条平行直线 与 之间的距离 ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查两平行线间的距离公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平， 属于基础题. 15.在正方体 中，异面直线 与 所成的角大小等于______. 【答案】60°. 【解析】 【分析】 连接 ，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得 即为异面直线 与 所成的角，连接 后，解三角形 即可得到异面直线 与 所成的角． 【详解】 连接 ，由正方体的几何特征可得： ， 则 即为异面直线 与 所成的角或其补角， 连接 ，易得 故 故答案为： 【点睛】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直 线夹角的定义判断出 即为异面直线 与 所成的角或者其补角，是解答本题的关 键． 16.设集合 ， ，函数 . :3 4 4 04l x y+ − = :3 4 9 0m x y+ − = 2 2 | 4 9 | 1 3 4 d − += = + 1 1 1 1ABCD A B C D− 1A B 1B C 1A D 1BA D∠ 1A B 1B C BD 1BA D 1A B 1B C 1A D 1 1/ /A D B C 1BA D∠ 1A B 1B C BD 1 1BD A D A B= = 1 60BA D∠ = ° 60° 1BA D∠ 1A B 1B C 10, 2A  =   1 ,12B  =    ( ) ( ) 1 ,2 2 1 , x x A x x B f x  + ∈=   − ∈- 11 - （1） ______； （2）若 ，则 t 的取值范围是______. 【答案】 (1). (2). . 【解析】 【分析】 （1）根据题意，由函数的解析式分析可得 的值，进而计算可得答案；（2）根据题意， 按 的取值范围分情况讨论，分析 的取值范围，求出 的解析式，据此分析 的解集，即可得答案． 【详解】（1）根据题意， ，即 ， 则 ， 则 ； （2）根据题意，分 2 种情况讨论： ①、当 时， ，则有 ，此时 ， 若 ，即 ，解可得： ， 此时 的取值范围为 ， ； ②、当 时， ，则有 ， 其中当 时， ，此时 ，若 ，即 ，解可得： ，舍去 当 时， ，此时 ，若 ，即 ，解可得： ， 此时 的取值为 ， ； 5 6f f    =     ( )f f t A∈   5 6 1 5,4 8      5( )6f t ( )f t [ ( )]f f t [ ( )]f f t A∈ 1 ,( ) 2 2(1 ), x x Af x x x B  + ∈=   − ∈ 1 1,02 2( ) 12(1 ), 12 x x f x x x  +   − ≥ 1 5x− < ≤- 17 - ∴ 的定义域是 ， 判断： 在定义域 上单调递减. ② 在 上有零点，即方程 在 上有解， 即 在 上有解， ∵ 在 上是减函数， ∴ 在 上是减函数， ∴ ， ∴k 的取值范围是： . 【点睛】本题主要考查求函数的定义域，考查对数不等式的解法，考查函数单调性的应用和 函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 22.某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P（元）与时间 t（天）组成有序数对 ，点 落在如图所示的两条线段上.该股票在 30 天内（包括 30 天）的日交易量 M（万股）与时 间 t（天）的部分数据如下表所示： 第 t 天 6 13 20 27 M（万股） 34 27 20 13 （1）根据提供的图象，写出该股票每股交易价格 P（元）与时间 t（天）所满足的函数关系 式 ______； ( )F x ( ]1,5− ( )F x ( ]1,5− ( )F x [ ]0,3 ( ) 0F x = [ ]0,3 ( )0.5log 1 32 2xk x− = + + − [ ]0,3 ( ) ( ),f x g x [ ]0,3 ( ) ( )f x g x+ [ ]0,3 ( ) ( ) ( ) ( ) min 3 3 2 6 2f x g x f g+ = + = −   ( ) ( ) ( ) ( ) max 0 0 31f x g x f g+ = + =   31,2 2 6 − −  ( ),t P ( ),t P P =- 18 - （2）根据表中数据，写出日交易量 M（万股）与时间 t（天）的一次函数关系式： ______； （3）用 y（万元）表示该股票日交易额，写出 y 关于 t 的函数关系式，并求在这 30 天内第几 天日交易额最大，最大值为多少？ 【答案】（1） （ ）（2） ，（ ）（3） ；在这 30 天内第 15 天日交易额最大，最大值为 125 万元 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法，分段求函数解析式即可；（2）利用待定系数法即可求出结果；（3） 分段求出 的最大值，再比较即可． 【详解】（1）当 时，设函数解析式为 ， 把点 和 代入得： ，解得： ， . 当 时， . 当 时，设函数解析式为 ， 把点 和 代入得： ，解得： ， ， （2）设 ， ， 把点 和点 代入得 ，解得 ， ，（ ）. M = ( ) ( ) 1 2 0 205 1 8 20 3010 t t t t  + < ≤ − + < ≤ t N∈ 40t− + 0 30,t t N< ≤ ∈ ( )21 60 4010y t= − − y 0 20t< ≤ P at b= + (0,2) (10,4) 2 10 4 b a b =  + = 1 5 2 a b  =  = ∴ 1 25P t= + 20t = 6P = 20 30t<  P mt n= + (20,6) (30,5) 20 6 30 5 m n m n + =  + = 1 10 8 m n  = −  = ∴ 1 810P t= − + 1 2,0 20,5 ( ).1 8,20 3010 t t P t N t t  + < ≤∴ = ∈ − +