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江苏省连云港市 2020 学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）
一､单项选择题：
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出集合 ，再求出 即可.
【详解】解：因为 ，
又 ，
所以 ，
故选：A.
【点睛】本题考查了集合交集的运算，属基础题.
2.函数 的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
要使函数 有意义，则需 ，再求解即可.
【详解】解：要使函数 有意义，则需 ，即 ，
即函数 的定义域是 ，
故选：D.
【点睛】本题考查了对数函数定义域的求法，属基础题.
3. 的值是（ ）
{ 2, 1,0}M = − − { | 1}N x x= ≤‖ M N =
{ 1,0}− { }1− { 2, 1}− −
{ 2, 1,0}− −
N M N∩
{ }{ | 1} | 1 1N x x x x= ≤ = − ≤ ≤‖
{ 2, 1,0}M = − −
M N = { 1,0}−
( ) lg(1 )f x x= −
(0,1) [0,1) (1, )+∞ ( ,1)−∞
( )f x 1 0x− >
( ) lg(1 )f x x= − 1 0x− > 1x <
( ) lg(1 )f x x= − ( ,1)−∞
0sin( 225 )−- 2 -
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：本题主要利用任意角的三角函数的诱导公式并结合特殊角的三角函数进行求解值.
因为 ，故选 A.
考点：1、任意角的三角函数；2、诱导公式.
4.向量 ， .若 ，则实数 的值是（ ）
A. 4 B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由向量共线的坐标运算即可得解.
【详解】解：因为向量 ， .
又 ，则 ，
即 ，
故选：A.
【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算，属基础题.
5.已知函数 则 的值是（ ）
A. 27 B. 9 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
结合函数解析式，将变量代入运算即可得解.
【详解】解：由函数
2
2
2
2
− 3
2
− 3
2
0sin( 225 )− ( ) 2sin 225 sin 180 45 sin 45 2
= − = − + = =
( , 2)a k= − ( 2,1)b = − / /a b k
4− 1−
( , 2)a k= − ( 2,1)b = −
/ /a b 1 ( 2) ( 2) 0k × − − × − =
4k =
2log , 0,( ) 3 , 0,x
x xf x x
>= ≤
1
4f f
1
27
1
9
2log , 0,( ) 3 , 0,x
x xf x x
>= ≤- 3 -
则 ，
又 ，
即 ，
故选：D.
【点睛】本题考查了分段函数求值问题，重点考查了指数与对数求值，属基础题.
6.已知 ， 均为单位向量，若 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量的模定义与向量数量积化简式子，并可求得向量 与 夹角的余弦值，进而求得 的
值．
【详解】由
得
即
设单位向量 与 的夹角为
则有
解得
又
所以
故选 B
【点睛】本题考查了向量的模和数量积的简单应用，属于基础题．
7.在 中，已知 ， ， ，则 （ ）
.
2
1 1log 24 4f = = −
( ) 2 12 3 9f −− = =
1 1
4 9f f
=
a b 2 3a b− = a b
6
π
3
π 2
3
π 5
6
π
a b θ
2 3a b− =
2( 2 ) 3a b− =
2 2
4 4 3a b a b+ − ⋅ =
a b θ
1 4 4cos 3θ+ − =
1cos 2
θ =
[0, ]θ π∈
3
πθ =
ABC 6AC = 2DC BD= 4AD AC⋅ = AB AC⋅ = - 4 -
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由向量的线性运算可得 ，再结合向量数量积运算即可得解.
【详解】解：由 ，
则 ,
又 ，
所以 ,
又 ，
所以 ,
即 ，
故选：C.
【点睛】本题考查了向量的数量积运算，重点考查了向量的线性运算，属中档题.
8.已知函数 的值域是 ，则实数 的取值范围
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
6− 9− 12− 15−
2 1
3 3AD AB BD AB AC= + = +
2DC BD=
1 2 1
3 3 3AD AB BD AB BC AB AC= + = + = +
4AD AC⋅ =
2 1( ) 43 3AB AC AC+ ⋅ =
6AC =
2 22 1 14 4 6 83 3 3AB AC AC⋅ = − = − × = −
12AB AC⋅ = −
2, 2,( )
9, 2,
xa xf x
x x
− ≤ −= + > −
( 0, 1)a a> ≠ (7, )+∞ a
1 13 a< < 10 3a< ≤ 1a >
10 3a< ( ], 2x∈ −∞ −
2x > − ( ) 9f x x= + ( ) 7f x >
2, 2,( )
9, 2,
xa xf x
x x
− ≤ −= + > −
( 0, 1)a a> ≠ (7, )+∞
( ) 2xf x a= − ( ], 2x∈ −∞ − ( ) 7f x >
9xa > ( ], 2x∈ −∞ −
2
0 1
9
a
a−
<
10 3a< <
[ ]1,1−
( ) 2f x x= ( ) 2xf x =
( ) tanf x x= ( ) cosf x x=
( ) 2f x x= [ ]1,1−
( ) 2xf x =
( ) tanf x x= [ ]1,1−
( ) cosf x x=- 6 -
故选：AC.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性及单调性，属基础题.
10.已知 是平行四边形 对角线的交点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】
对于选项 A，结合相等向量的概念即可判断，
对于选项 B，由平行四边形法则即可判断，
对于选项 C，由向量的减法即可判断，
对于选项 D，由向量的加法运算即可判断.
【详解】解：因为 是平行四边形 对角线的交点，
对于选项 A，结合相等向量的概念可得， ，即 A 正确；
对于选项 B，由平行四边形法则可得 ，即 B 正确；
对于选项 C，由向量的减法可得 ，即 C 错误；
对于选项 D，由向量的加法运算可得 ，即 D 错误，
综上可得 A,B 正确，
故选：AB.
【点睛】本题考查了相等向量的概念，重点考查了向量的加法运算及减法运算，属中档题.
11.一半径为 4.8 米的水轮如图所示，水轮圆心 距离水面 2.4 米，已知水轮每 60 秒逆时针
转动一圈，如果当水轮上点 从水中浮现时（图中点 ）开始计时，则（ ）
O ABCD
AB DC= DA DC DB+ = AB AD BD− =
1 ( )2OB DA BA= +
O ABCD
AB DC=
DA DC DB+ =
AB AD DB− =
1 ( )2CO DA BA OB= + ≠
O
P 0P- 7 -
A. 点 第一次到达最高点需要 10 秒
B. 在水轮转动的一圈内，有 20 秒的时间，点 距离水面的高度不低于 4.8 米
C. 点 距离水面的高度 （米）与 （秒）的函数解析式为
D. 当水轮转动 50 秒时，点 在水面下方，距离水面 1.2 米
【答案】BC
【解析】
【分析】
先 由 题 意 求 出 点 距 离 水 面 的 高 度 （ 米 ） 与 （ 秒 ） 的 函 数 解 析 式 为
，再结合函数解析式逐一判断即可.
【详解】解：对于选项 C，由题意可得：点 距离水面的高度 （米）与 （秒）的函数解析
式为 ，即选项 C 正确；
对于选项 A，令 ，解得： ，即点 第一次到达最高点需要 20 秒，即选项 A
错误；
对于选项 B，令 ，解得 ，
即在水轮转动的一圈内，有 20 秒的时间，点 距离水面的高度不低于 4.8 米，即 B 正确；
对于选项 D,因为 ，即点 在水面下方，距离水面 2.4
米,所以 D 错误，
综上可得选项 B,C 正确，
P
P
P h t 4.8sin 2.430 6h t
π π = − +
P
P h t
4.8sin 2.430 6h t
π π = − +
P h t
4.8sin 2.430 6h t
π π = − +
30 6 2t
π π π− = 20t = P
4.8sin 2.4 4.8,(0 60)30 6t t
π π − + ≥ ≤ ≤ 10 30t≤ ≤
P
4.8sin 50 2.4= 2.430 6h
π π = × − + − P- 8 -
故选：BC.
【点睛】本题考查了三角函数的实际应用，重点考查了解三角不等式，属中档题.
12.将函数 的图象先向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，则函数 的（ ）
A. 周期是 B. 增区间是
C. 图象关于点 对称 D. 图象关于直线 对称
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由三角函数图像的平移变换及伸缩变换求得函数 ，再结合三角函数图像的性质逐一判断
即可得解.
【详解】解：将函数 的图象先向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标变为
原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，则函数 ，
对于选项 A，函数 的周期为 ，即 A 正确；
对于选项 B，令 ，即 ，
即函数 的增区间是 ，即 B 正确；
对于选项 C，令 ，解得： ，即函数 的对称中心为 ，
即选项 C 正确；
对于选项 D，令 ，则 ，即函数 的对称轴方程为
，即选项 D 错误；
综上可得选项 A,B,C 正确，
故选：ABC.
【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及伸缩变换，重点考查了三角函数图像的性质，
属中档题.
三､填空题：
( ) 3sinf x x=
3
π 1
2
( )g x ( )g x
π 5, ( )12 12k k k Z
π ππ π − + ∈
,03
π−
2
3x
π=
( )g x
( ) 3sinf x x=
3
π
1
2
( )g x ( ) 3sin(2 )3g x x
π= −
( )g x 2
2
π π=
2 2 22 3 2k x k
π π ππ π− ≤ − ≤ +
12 12k x k
π 5ππ − ≤ ≤ π +
( )g x 5, ( )12 12k k k Z
π ππ π − + ∈
2 3x k
π π− =
2 6
kx
π π= + ( )g x ( ,0)2 6
kπ π+
2 3 2x k
π π− = π +
2 12
kx
π 5π= + ( )g x
5 ,2 12
kx k Z
π π= + ∈- 9 -
13.己知 是 上的奇函数，当 时， ，则 _______.
【答案】
【解析】
【分析】
由函数奇偶性，结合 时函数解析式求解即可.
【详解】解：由 是 上的奇函数，当 时， ，
则 ，
故答案为：-1.
【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，属基础题.
14.设 ， ，则 ______.
【答案】
【解析】
分析】
由对数的运算可得 ，再结合对数恒等式求解即可.
【详解】解：因为 ， ，
所以 ，
即 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了对数的运算，重点考查了对数恒等式，属基础题.
15.已知 ， ， ，则实数 ________， _______.
【答案】 (1). 3 (2). 2
【解析】
【分析】
先由向量的模求得 ，再代入运算即可得解.
【详解】解：因为 ， ，
【
( )f x R 0x > 22( )f x xx
= − ( 1)f − =
1−
0x >
( )f x R 0x > 22( )f x xx
= −
22( 1) (1) ( 1 ) 11f f− = − = − − = −
lg2m = lg3n = 210 m n− =
4
3
42 lg 3m n− =
lg2m = lg3n =
42 2lg 2 lg3 lg 3m n− = − =
4lg2 3 410 10 3
m n− = =
4
3
(2,3)AB = (3, )AC t= | | 1BC = t = AB BC⋅ =
1t =
(2,3)AB = (3, )AC t=- 10 -
则 ，
又 ，则 ，解得 ，
即 ，
故答案为：(1)3 (2)2.
【点睛】本题考查了向量的减法运算，重点考查了向量数量积的坐标运算，属基础题.
16.已知函数 ， .任取 ，若不等式
对任意 恒成立，则实数 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
分析】
先将问题转化为 对任意 恒成立，再结合不等式恒成立问题
，可将问题转化为 对任意 恒成立，然后求最值即可得解.
【详解】解：由不等式 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
又 ，
又函数 在 为减函数，
即 ，
即 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
即 ，
即 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，重点考查了函数的单调性的应用，属中档题.
四､解答题：
【
( )1, 3BC AC AB t= − = −
| | 1BC = 21 ( 3) 1t+ − = 3t =
2 1 3 0 2AB BC⋅ = × + × =
( )1( ) lg 2 xf x m −= + m R∈ 1 2, [ , 2]x x t t∈ +
( ) ( )1 2| | 1f x f x− < [ 2, 1]t ∈ − − m
2
3m > −
( ) ( )1 2 max| | 1f x f x− < [ 2, 1]t ∈ − −
39 2tm
−> [ 2, 1]t ∈ − −
( ) ( )1 2| | 1f x f x− < [ 2, 1]t ∈ − −
( ) ( )1 2 max| | 1f x f x− < [ 2, 1]t ∈ − −
( ) ( )1 2 max max min| | ( ) ( )f x f x f x f x− = −
( )1( ) lg 2 xf x m −= + [ , 2]x t t∈ +
( ) ( ) 1 1
1 2 max| | lg( 2 ) lg( 2 )t tf x f x m m− − −− = + − +
1 1lg( 2 ) lg( 2 ) 1t tm m− − −+ − + < [ 2, 1]t ∈ − −
39 2tm
−> [ 2, 1]t ∈ − −
max
39 ( ) ,2tm
−> [ 2, 1]t ∈ − −
2
3m > −
2
3m > −- 11 -
17.已知向量 ， .
（1）求 与 夹角 的余弦值；
（2）若向量 与 垂直，求实数 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）先利用向量数量积的坐标运算及模的运算，再求向量夹角即可；
（2）由向量 与 垂直等价于 ，再求解即可.
【详解】解：（1） ，
（2） ，
又 与 垂直，
即 ，
故 .
【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算及模的运算，重点考查了向量垂直的充要条件，
属中档题.
18.函数 （其中 ， ）的部分图象如图所示， 分
别为该图象的最高点和最低点，点 ，点 ，且 .
(5, 12)a = − ( 3,4)b = −
a b θ
a tb+ a b− t
63
65
− 29
11t =
a tb+ a b− ( ) ( ) 0a tb a b+ ⋅ − =
5 ( 3) ( 12) 4 63,| | 13,| | 5a b a b⋅ = × − + − × = − = =
63cos 65| | | |
a b
a b
θ ⋅∴ = = −
⋅
(5, 12) ( 3,4) (5 3 , 12 4 )a tb t t t+ = − + − = − − +
(5, 12) ( 3,4) (8, 16)a b− = − − − = −
a tb+ a b− ( ) ( ) 0a tb a b∴ + ⋅ − =
8 (5 3 ) 16 ( 12 4 ) 0t t× − − × − + =
29
11t =
( ) sin 3f x A x
π ϕ = − 0A > 0 2
πϕ< < ,P Q
(2, )P A ( )2,0R 3RP RQ⋅ = − - 12 -
（1）求 ， 的值；
（2）求函数 在 上的单调区间.
【答案】（1） ， ，（2）增区间为 ，减区间为
【解析】
【分析】
（1）结合三角函数图像求解即可；
（2）先求出 的范围，再结合函数的单调区间求解即可.
【详解】解：（1）∵点 是函数 图象的最高点,
则 ，
又 ， ， ， ，
， ，
又 ， ， ， ， ，
又 ， ；
（2）由（1）知 ， ， ，
由 ，解得 ，即函数的增区间为 ；
ϕ A
( )f x [0,3]
6
π=ϕ 3A = [0,2] [2,3]
3 6x
π π−
(2, )P A ( ) sin 3f x A x
π ϕ = −
2sin ,3A A
π ϕ ∴ − =
2sin 13
π ϕ − =
0 2
πϕ< < 2 2
6 3 3
π π πϕ< − < 2
3 2
π πϕ∴ − =
6
π=ϕ
2 2 6
3
T
π π
πω= = = (2, ) (5, )P A Q A∴ −
(2,0)R (0, )RP A= (3, )RQ A= − 3RP RQ⋅ = − 2 3A∴− = −
0A > 3A∴ =
( ) 3sin 3 6f x x
π π = − [0, ]x π∈
5,3 6 6 6x
π π π π − ∈ −
,3 6 6 2x
π π π π − ∈ − [0,2]x∈ [0,2]- 13 -
由 ，解得 ，即函数的减区间为 .
【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法，重点考查了三角函数单调区间的求法，属中档
题.
19.已知 ， .其中 均为锐角.
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由同角三角函数的求值再结合两角和差的余弦公式求解即可；
（2）由两角和，差的余弦可得 ， ，再求解即可.
【详解】解：（1）由 ，则 ， .又因为 ，
，
所以 ，
.
，
，
（2）由（1）得 ，①
又因为 ，所以 ，②
由①，②得 ， ，
5,3 6 2 6x
π π π π − ∈ [2,3]x∈ [2,3]
5cos( ) 5
α β+ = − 5cos2 13
α = − ,α β
cos( )α β−
tan tanα β
29 565
21
8
cos cosα β sin sinα β
, 0, 2
πα β ∈ 2α (0, )α β π+ ∈ 5cos( ) 5
α β+ = −
5cos2 13
α = −
2
2 5 2sin( ) 1 sin ( ) 1 55 5
α β α β + = − + = − − =
2
2 5 12sin2 1 cos 2 1 13 13
α α = − = − − =
cos( ) cos[2 ( )] cos2 cos( ) sin2 sin( )α β α α β α α β α α β− = − − = − + −
5 5 12 2 5 29cos( ) 513 5 13 5 65
α β − = − × − + × =
29cos( ) cos cos sin sin 565
α β α β α β− = + =
5cos( ) 5
α β+ = − 5cos( ) cos cos sin sin 5
α β α β α β+ = − = −
8cos cos 565
α β = 21 5sin sin 65
α β =- 14 -
所以 .
【点睛】本题考查了同角三角函数的求值问题，重点考查了两角和差的余弦公式，属中档题.
20.某公司生产某种产品的速度为 千克/小时，每小时可获得的利润是 元，其
中 .
（1）要使生产该产品每小时获得的利润为 60 元，求每小时生产多少千克?
（2）要使生产 400 千克该产品获得的利润最大，问：此公司每小时应生产多少千克产品?并
求出最大利润.
【答案】（1）每小时生产 4 千克（2）每小时生产 6 千克时，获得的最大利润为 6025 元
【解析】
【分析】
（1）先阅读题意，再列方程 求解即可；
（2）结合二次函数最值的求法，配方求解即可.
【详解】解：（1）当每小时可获得的利润 60 元时， ，
得 ，所以 ， 又因为 ，
所以 ，
答：每小时生产 4 千克，利润 60 元；
（2）设生产 400 千克的产品获得的利润为 元，
则 ，
，
当 时，即 ，可知 ，所以当 时， ，
答：要使生产 400 千克该产品获得的利润最大，该厂应选每小时生产 6 千克时，获得的最大
利润为 6025 元.
【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了阅读能力及解决实际问题的能力，属中档
题.
为
sin sin 21tan tan cos cos 8
α βα β α β= =
x 415 1x x
+ −
[1,10]x∈
45 1 60x x
+ − =
45 1 60x x
+ − =
215 59 4 0x x− − = 1 4x = 2
1
15x = − 1 10x≤ ≤
4x =
y
2
400 4 1600 40015 1 6000y xx x x x
= + − = − + +
21 11600 60258y x
= − − +
1 1
8x
= 8x = 1 8 10≤ ≤ 8x = max 6025y =- 15 -
21.已知函数 是定义域为 的奇函数.
（1）求证：函数 在 上是增函数；
（2）不等式 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）先由函数 为奇函数，可得 ，再利用定义法证明函数 单调性即可；
（2）结合函数的性质可将问题转化为 在 上恒成立，再利用二次不等
式恒成立问题求解即可.
【详解】解：（1）∵函数 是定义域为 的奇函数，
， ，
等式 对于任意的 均恒成立，得 ，
则 ，
即 ，
设 为任意两个实数，且 ，
，
因为 ，则 ，
所以 ，即 ，
因此函数 在 上是增函数;
（2）由不等式 对任意的 恒成立，
则 .由（1）知，函数 在 上是增函数，
的
3 1( ) 3 1
x
xf x m
−= ⋅ + R
( )f x R
( )2 1cos sin 3 2f x a x− − < x∈R a
4 4a− ≤ ≤
( )f x 1m =
2sin sin 3 0x a x+ + ≥ R
3 1( ) 3 1
x
xf x m
−= ⋅ + R
( ) ( )f x f x∴ − = − 3 1 3 1
3 1 3 1
x x
x xm m
−
−
− −∴ = −⋅ + ⋅ +
3 1 3 1
3 3 1
x x
x xm m
− −∴ =+ ⋅ +
( )( 1) 3 1 0xa∴ − − =
( )( 1) 3 1 0xm − − = x∈R 1m =
3 1( ) 3 1
x
xf x
−= +
2( ) 1 3 1xf x = − +
1 2,x x 1 2x x<
( ) ( ) ( )
( )( )
1 2
1 2 1 21 2
2 3 32 2
3 1 3 1 3 1 3 1
x x
x x x xf x f x
− − = − − − = + + + +
1 2x x< 1 23 3x x≤
( ) ( )1 2 0f x f x− < ( ) ( )1 2f x f x<
( )f x R
( )2 1cos sin 3 2f x a x− − ≤ x∈R
( )2cos sin 3 (1)f x a x f− − ≤ ( )f x R- 16 -
则 ，即 在 上恒成立.令 ， ，
则 在 上恒成立.
①当 时，即 ，可知 ，即 ，
所以 ；
②当 时，即 ，可知 .
即 ，所以 ；
③当 时，即 ，可知 ，即 ，
所以 ，
综上，当 时，不等式 对任意的 恒成立.
【点睛】本题考查了利用函数奇偶性求函数解析式及定义法证明函数的单调性，重点考查了
含参二次不等式恒成立问题，属中档题.
22.已知 ， ，函数 .
（1）若 ，且 ，求 的值；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若关于 的方程 在 上有两个不同的实数根 ，求
正数 的取值范围.
【答案】（1） ， ，（2） （3） 或 或
【解析】
【分析】
（ 1 ） 由 向 量 数 量 积 的 坐 标 运 算 及 辅 助 角 公 式 可 得 ， 再 解 方 程
2cos sin 3 1x a x− − ≤ 2sin sin 3 0x a x+ + ≥ R sin x t= [ 1,1]t ∈ −
2 2
2( ) 3 3 02 4
a ag t t at t = + + = + + − ≥ [ 1,1]−
12
a− > 2a < − min( ) (1) 4 0g t g a= = + ≥ 4a ≥ −
4 2a− ≤ < −
1 12
a− ≤ − ≤ 2 2a− ≤ ≤
2
min( ) 3 02 4
a ag t g = − = − ≥
2 3 2 3a− ≤ ≤ 2 2a− ≤ ≤
12
a− < − 2a > min( ) ( 1) 4 0g t g a= − = − ≥ 4a ≤
2 4a< ≤
4 4a− ≤ ≤ ( )2 1cos sin 3 2f x a x− − ≤ x∈R
(cos2 ,sin 2 )a x x= 1 3,2 2b
=
( )f x a b= ⋅
( )0
3
2f x = 0 [ ,0]x π∈ − 0x
0, 2x
π ∈ ( ) 2 ( )f x f xλ λ+ ≤ λ
x 2 2( ) ( ) 0f x f x m m− + − = 50, 6
π
1 2,x x
m
3
4
π− 11
12
π− 1
3
λ ≤ − 3 22 m≤ < 1
2m = 1m =
( ) sin 2 6f x x
π = + - 17 -
即可；
（2）原命题可转化为 ， 恒成立，再求实数 的取值范围；
（3）原方程可以化为 ，则 或 ，再讨论
的取值范围使得方程有两个解即可.
【详解】解：（1）由 ， ，
又 ，则 ，
即 ，
又因为 ，则 ，或 ，
则 或 ，
又 ，所以 ， .
（2）当 时， ，可得 ，
令 ，则 ，即 恒成立，
则 可得 .
（3）可知函数 在区间 和 上为增函数，在 上为减函数，画出
函数 在 上的图象.
原方程可以化为 ，则 或 ，
( )0
3
2f x =
( 1) 2 0tλ λ− + ≤ 1 ,12t ∈ −
λ
[ ( ) ][ ( ) 1] 0f x m f x m− + − = ( )f x m= ( ) 1f x m= − m
(cos2 ,sin 2 )a x x= 1 3,2 2b
=
( )f x a b= ⋅ 1 3( ) cos2 sin22 2f x x x= +
( ) sin 2 6f x x
π = +
( )0
3
2f x = 02 26 3x k
π ππ+ = + 0
22 26 3x k
π ππ+ = +
0 4x k
ππ= + 0 ( )12x k k Z
ππ= + ∈
0 [ ,0]x π∈ − 0
3
4x π= − 11
12
π−
0, 2x
π ∈
22 ,3 3 3x
π π π − ∈ −
1cos 2 ,13 2x
π − ∈ −
1( ) ,12f x t t
= ∈ − 2t tλ λ+ ≤ ( 1) 2 0tλ λ− + ≤
1 ( 1) 2 0,2
( 1) 2 0,
λ λ
λ λ
− − + ≤
− + ≤
1
3
λ ≤ −
( )f x 0 6,
π
2 5,3 6
π π
2,6 3
π π
( )f x 50, 6
π
[ ( ) ][ ( ) 1] 0f x m f x m− + − = ( )f x m= ( ) 1f x m= −- 18 -
①当 时，则 ，要使得原方程有两个不同的实数解，只需 ，即
，
②当 时，则 ，可知原方程的根为 ， ；
③当 时，则 ，可知原方程有 3 个根，不符合题意；
④当 时， ，可知原方程的根为 ， ；
⑤当 时，则 ，可知原方程有 3 个根，不符合题意.
综上可知，当 或 或 时，原方程有两个不同的根.
【点睛】本题考查了数量积的坐标运算及辅助角公式，重点考查了不等式恒成立问题及数形
结合的数学思想方法，属中档题.
1m > 1 0m− < 11 1 2m− < − ≤ −
3 22 m≤ <
1m = 1 0m− = 1
5
12x
π= 2 6x
π=
1 12 m< < 10 1 2m< − <
1
2m = 11 2m− = 1 0x = 2 3x
π=
10 2m< < 1 1 12 m< − <
3 22 m≤ < 1
2m = 1m =
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