江苏省常州市溧阳市2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）

- 1 - 江苏省常州市溧阳市 2020 学年高二数学上学期期末考试试题（含解析） 注意事项：1.请将本试卷答案填写在答题卡相应位置上； 2.考试时间 120 分钟，试卷总分 150 分. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.在等差数列 中，若 =4， =2，则 = （ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 6 【答案】B 【解析】 在等差数列 中，若 ，则 ，解得 ， 故选 B. 2.设命题 ，则 为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题 的否命题应该为 ，即本题 的正确选项为 C. 3.设 是椭圆 上的动点，则 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 { }na 2a 4a 6a { }na 2 44, 2a a= = ( ) ( )4 2 6 6 1 1 4 22 2a a a a= + = + = 6 0a = 2: , 2nP n N n∃ ∈ > P¬ 2, 2nn N n∀ ∈ > 2, 2nn N n∃ ∈ ≤ 2, 2nn N n∀ ∈ ≤ 2, 2nn N n∃ ∈ = 2, 2nn N n∀ ∈ ≤ P 2 2 15 3 x y+ = P 2 2 2 3 2 5 4 2- 2 - 【分析】 判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出 a，接利用椭圆的定义，转化求解即可． 【详解】椭圆 =1 的焦点坐标在 x 轴，a= ， P 是椭圆 =1 上的动点，由椭圆的定义可知：则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 2a=2 ． 故选 C． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，属于基础题． 4. ， .若 .则实数 的值是（ ） A. －2 B. C. 2 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平行得到 ，计算得到答案. 【详解】 ， ， ， 则 ，即 故 解得 ，故 故选： 【点睛】本题考查了根据向量平行计算参数，意在考查学生的计算能力. 5.以椭圆 对称中心为顶点，椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 的 2 2 5 3 x y+ 5 2 2 5 3 x y+ 5 ( )2,2 3,1a m= − ( )4,2,3 2b n= − − / /a b mn 1 3 ( ) ( ) ( )( )2,2 3,1 4,2,3 2 4 ,2 , 3 2m n nλ λ λ λ− = − − = − − ( )2,2 3,1a m= − ( )4,2,3 2b n= − − / /a b λa b=  ( ) ( ) ( )( )2,2 3,1 4,2,3 2 4 ,2 , 3 2m n nλ λ λ λ− = − − = − − ( ) 2 4 2 3 2 1 3 2 m n λ λ λ  = −  − =  = − 1 , 1, 02 m nλ = − = = 0mn = D 2 2 14 3 x y+ = 2 4y x= 2 4y x= 2 4y x= − 2 4x y= 2 4y x= − 2 4x y=- 3 - 【解析】 【分析】 计算得到，椭圆的焦点为 ，得到抛物线方程. 【详解】椭圆 的对称中心为 ，椭圆的焦点为 故抛物线方程为： 或 故选： 【点睛】本题考查了椭圆的焦点，抛物线方程，属于简单题. 6.已知椭圆 的离心率为 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据离心率得到 ，化简得到答案. 【详解】圆 的离心率为 ，即 故选： 【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力. 7.设等差数列 前 项和为 ，若 . ，则 的值是（ ） A. 15 B. 30 C. 13 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】 根据 . ，计算得到 ，代入公式计算得到答案. 【详解】 ， ，故 ， 故选： ( )1,0± 2 2 14 3 x y+ = ( )0,0 ( )1,0± 2 4y x= 2 4y x= − B ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 2 2 23 4a b= 2 22a b= 2a b= 3 4a b= 2 2 c a = ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 2 2 2 2 2 2 2 1, , 22 2 c a b a ba a −= ∴ = ∴ = B { }na n nS 2 4S = 3 9S = 5S 2 4S = 3 9S = 1a 1,d 2= = 2 12 4S a d= + = 3 13 3 9S a d= + = 1a 1,d 2= = 5 15 10 25S a d= + = D- 4 - 【点睛】本题考查了等差数列的前 项和，意在考查学生的计算能力. 8.已知等差数列 的公差为 d,前 n 项和为 ,则“d>0”是 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 由 ，可知当 时，有 ， 即 ，反之，若 ，则 ，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充要 条件，选 C． 【名师点睛】本题考查等差数列的前 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知 ， 结合充分必要性的判断，若 ，则 是 的充分条件，若 ， 则 是 的必要条件，该题“ ” “ ”，故互为充要条件． 9.下列叙述中正确的是（ ） A. 若 ，则“ ”的充分条件是“ ”； B. 若 ，则“ ”的充要条件是“ ”； C. 命题“对任意 .有 ”的否定是“存在 ，有 ” D. “ ， ”是“ ”的充分条件. 【答案】D 【解析】 【分析】 依次判断每个选项：当 时不成立， 错误；当 时不充分， 错误；否定是“存在 ，有 ”， 错误；判断 正确，得到答案. 【详解】A. 若 ，则“ ”的充分条件是“ ”，当 时不成立，错误； B. 若 ，则“ ” 充要条件是“ ”，当 时不充分，错误； C. 命题“对任意 .有 ”的否定是“存在 ，有 ”，错误； 的 n { }na nS 4 6 5" + 2 "S S S> 的 4 6 5 1 12 10 21 2(5 10 )S S S a d a d d+ − = + − + = 0d > 4 6 52 0S S S+ − > 4 6 52S S S+ > 4 6 52S S S+ > 0d > n 4 6 52S S S d+ − = p q⇒ p q p q⇐ p q 0d > ⇔ 4 6 52 0S S S+ − > , ,a b c∈R 2 0ax bx c+ + ≥ 2 4 0b ac− ≤ , ,a b c∈R 2 2ab cb> a c> x∈R 2 0x ≥ x∈R 2 0x ≥ 1a > 1b > 1ab > 0a < A 0b = B x∈R 2 0x < C D , ,a b c∈R 2 0ax bx c+ + ≥ 2 4 0b ac− ≤ 0a < , ,a b c∈R 2 2ab cb> a c> 0b = x∈R 2 0x ≥ x∈R 2 0x 1b > 1ab > 1a > 1b > 1ab > 14, 2a b= = D D ABCD M BC 3BM MC= N AD MN xAB yAC zAD= + +    , ,x y z x y z+ + 1 2 1 2 − 1 3 1 4 4 2MN AB AC AD= − − +    ( )3 1 1 3 1 4 2 4 4 2MN MB BA AN AB AC AB AD AB AC AD= + + = − − + = − − +           1 2x y z+ + = − B 1C 2 2 2 1( 1)x y mm + = > 2C 2 2 2 1( 0)x y nn − = > 1e 2e 1C 2C ( ) m n> 1 2 1e e > m n> 1 2 1e e m n< 1 2 1e e < 2 21 1m n− = + m n> 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1, , 1 1 1 1m n m n n ne e e em n m n m n m n − + − − + −= = ⋅ = + = + = + > 1 2 1e e > 2 2 2, ,a b c 1 2,e e 2 2 2 2 1 2 2 2 11 m ne e m n − −⋅ = + 2 2 11 m n + 1a d { }na n nS 5 6 15 0S S + = d 2 2d ≤ − 2 2d ≥ 2 2 2 2d− ≤ ≤ 0d < 0d > 2 2 1 12 9 10 1 0a a d d+ + + = 2 281 80 8 0d d∆ = − − ≥ ( )( )5 6 1 115 5 10 6 +15 15 0S S a d a d+ = + + = 2 2 1 12 9 10 1 0a a d d+ + + = 1a d 2 281 80 8 0d d∆ = − − ≥ 2 2d ≤ − 2 2d ≥ A 2, 2 0x R x x a∀ ∈ + + > a- 7 - 【答案】 【解析】 【分析】 根据恒成立计算对应方程的 得到答案. 【详解】 恒成立，故对应的 故答案为： 【点睛】本题考查了恒成立问题，转化为对应方程的 是解题的关键. 14.设 为等比数列 的前 项和， 则 ________. 【答案】 【解析】 分析】 根据 ，计算得到 ，代入式子化简得到答案. 【详解】 ， 故答案为： 【点睛】本题考查了等比数列通项公式，前 项和，意在考查学生的计算能力. 15.已知四棱柱 的底面 是矩形， ， ， ， ，则 ________. 【 1a > 4 4 0a∆ = − < 2, 2 0x R x x a∀ ∈ + + > 4 4 0, 1a a∆ = − < ∴ > 1a > ∆ < 0 nS { }na n 2 58 0a a− = 5 2 S S = 31 3 2 58 0a a− = 2q = 4 2 5 1 18 8 0, 2a a a q a q q− = − = ∴ = 5 1 5 5 2 2 2 1 1 1 311 1 1 3 qaS qq qS qa a q − −−= = =− − − 31 3 n 1 1 1ABCD A BC D− ABCD 5AB = 3AD = 1 4AA = 1 1 60BAA DAA∠ = ∠ = ° 1AC =- 8 - 【答案】 【解析】 【分析】 根据 ，两边平方化简得到 ，得到答案. 【详解】 故 ，故 故答案为： 【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力. 16.双曲线 的方程为 ， 为其渐近线， 为右焦点.过 作 且 交双曲线 于 ，交 于 .若 ，且 则双曲线的离心率的 取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】 82 1 1AC AB AD AA= + +    1 82AC = 1 1AC AB AD AA= + +    2 2 2 2 2 1 1 1 1 12 2 2AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA= + + = + + + ⋅ + ⋅ + ⋅             2 2 2 1 13 4 5 2 4 3 2 4 5 822 2 = + + + × × × + × × × = 1 82AC = 82 C ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 1 2,l l F F 2l l∥ l C R 1l M FR FMλ=  1 3,2 4 λ  ∈   ( )2,2- 9 - 根据渐近线解得 ，设 ，根据 ，解得 ，代入双 曲线方程化简得到 ，得到答案. 【详解】双曲线 的渐近线方程为： ，不妨设 ， 则 ，联立 解得 设 ， 故 ，故 代入双曲线方程得到： ，化简得到 故 故答案为： 【点睛】本题考查了双曲线的离心率范围，意在考查学生的计算能力. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在等差数列 中， ， . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）根据 ， ，利用等差数列公式计算得到答案. ,2 2 c bcM a  −   ( ),R x y FR FMλ=  2 2 cx c bcy a λ λ  = −  = − ( )2 1 2,41e λ= ∈− 2 2 2 2 1x y a b − = by xa = ± 1 : bl y xa = − 2 : bl y xa = ( ): bl y x ca = − 1,l l ,2 2 c bcM a  −   ( ),R x y FR FMλ=  ( ), ,2 2 c bcx c y a λ  − = − −   2 2 cx c bcy a λ λ  = −  = − 2 2 2 2 2 2 1 c bcc a a b λ λ   − −      − = ( )2 1 2,41e λ= ∈− ( )2,2e∈ ( )2,2 { }na 5 40S = 4 10a = { }na 1 n n b na = { }nb n nS 2 2na n= + ( )2 1 n n + 5 40S = 4 10a =- 10 - （2） ，利用裂项求和法计算得到答案. 【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，∵ ∴ ∴ ，∵ ，∴ ，∴ ∴ （2） ∴ 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，裂项法求和，意在考查学生对于数列公式方法的 综合应用. 18.如图，在正方体 中，点 是 的中点. （1）求 与 所成的角的余弦值； （2）求 与平面 所成 角正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 的 ( ) 1 1 1 1 2 2 2 1nb n n n n  = = − + +  { }na d 5 40S = 1 2 3 4 5 35 40a a a a a a+ + + + = = 3 8a = 4 10a = 4 3 2d a a= − = 1 3 2 4a a d= − = ( )4 1 2 2 2na n n= + − × = + ( ) 1 1 1 1 2 2 2 1nb n n n n  = = − + +  1 2 1 1 1 1 1 112 2 2 3 1n nS b b b n n       = + +⋅⋅⋅+ = − + − +⋅⋅⋅+ −      +       ( ) 1 112 1 2 1 n n n  = − = + +  1 1 1ABCD A BC D− E CD 1D E 1AC 1EB 1AD E 15 15 6 3- 11 - 【分析】 （1）以 所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，计算得到 ，利用夹角公式计算得到答案. （2）平面 的一个法向量为 ，利用向量夹角公式计算得到答案. 【详解】（1）以 所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系 设正方体棱长为 2，则 . ，设 与 所成角为 ， 则 . 所以， 与 所成角的余弦值为 . （2） 设平面 的一个法向量为 . 由 ，取 ，则 设 与平面 所成的角为 ， 则 所以 与平面 所成的角的正弦值为 . 1, ,DA DC DD , ,x y z ( ) ( )1 10,1, 2 , 2,2,2D E AC= − = −  1AD E ( )1,2,1n = 1, ,DA DC DD , ,x y z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12,0,0 , 0,2,0 , 0,1,0 , 2,2,2 , 0,2,2 , 0,0,2A C E B C D ( ) ( )1 10,1, 2 , 2,2,2D E AC= − = −  1D E 1AC θ 1 1 1 1 1 1 2 4 15cos cos , 155 12 D ACE E E D AC D AC θ ⋅ −= = = = ⋅ ⋅       1D E 1AC 15 15 ( ) ( ) ( )1 12,0,2 , 2,1,0 , 2,1,2AD AE EB= − = − =   1AD E ( ), ,n x y z= 1 2 2 00 2 0 20 x z z xn AD x y y xn AE  − + = =⋅ = ⇒ ⇒  − + = =⋅ =     1x = ( )1,2,1n = 1EB 1AD E α 1 1 1 6 6sin cos , 33 6 EB n EB n EB n α ⋅ = = = = ×⋅      1EB 1AD E 6 3- 12 - 【点睛】本题考查了异面直线夹角，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 19.若椭圆 ： 与双曲线 ： 有相同的焦点，且椭圆 与双曲线 交于点 . （1）求 的值； （2）过椭圆 的右焦点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，求 的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）将点 代入椭圆和双曲线，根据相同焦点计算得到答案. （2）计算 的方程为 ，联立方程，根据韦达定理得到 ，再计算弦 长得到答案. 【详解】（1）椭圆 与双曲线 由相同焦点，且两曲线交于点 1C 2 2 110 x y m + = 2C 2 2 1yx b − = 1C 2C 10 ,3P y       ,m b 1C F 2 2 l 1C A B AB 1, 8m b= = 10 2 10 ,3P y       l ( )2 32y x= − 1 2 1 2 5 35 6 x x x x + = ⋅ = 1C 2C P- 13 - ∴ ∴ （2）椭圆 方程为 ，则其右焦点为 ∴ 的方程为 由 . 设 ，则 ， ∴ 所以 的长度为 . 【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的标准方程，弦长的计算，意在考查学生的计算能力. 20.如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ， , ， . 2 2 2 2 2 10 1 910 189 1 810 9 110 1 99 m b m b my y m bm y y b b  − = +    + =  = + = ∴ = ∴   =    =− =  1, 8m b= = 1C 2 2 110 x y+ = ( )3,0F l ( )2 32y x= − ( ) 2 2 2 2 3 6 30 35 02 10 10 y x x x x y  = − ⇒ − + =  + = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 1 2 5 35 6 x x x x + = ⋅ = ( ) 2 2 1 2 1 2 2 3 5 101 42 2 3 2AB x x x x  = + ⋅ + − = ⋅ =    AB 10 2 P ABCD− PA ⊥ ABCD AD BC∥ AB AD⊥ 2 3 3BC = 1AB = 2BD PA= =- 14 - （1）求异面直线 与 所成角的余弦值； （2）在边 是否存在一点 使二面角 的余弦值为 ，若存在请确定点 的 位置，不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，当 满足 时，能使三面角 的余弦值 为 【解析】 【分析】 （1）以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系， ，计算夹角得到答案. （2）平面 的一个法向量为 ，设平面 的一个法向量为 ，根据夹角公式计算得到答案. 【详解】（1）以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系， 由 ，及 得 ， ∴ BD PC BC Q A PD Q− − 30 10 Q 57 38 Q 3 4BQ BC= A PD Q− − 30 10 , ,AB AD AP , ,x y z ( ) 21, 3,0 , 1, 3, 23BD PC  = − = −     PAD ( )1 1,0,0n = PDQ ( )2 2 3 2 ,2, 3n a= − , ,AB AD AP , ,x y z 2 2 2BD AB AD= + 1, 2AB BD= = 3AD = ( ) ( ) ( ) 21,0,0 , 0, 3,0 , 0,0,2 , 1, 3,03B D P C     - 15 - ，设 与 所成角为 ， 则 所以， 与 所成角的余弦值为 . （2）设 ， 平面 的一个法向量为 ， 设平面 的一个法向量为 由 ， 取 ，则 ∴ 设二面角 的平面角为 ， 则 得∴ ∴ 或∴ 又 ∴ 所以，当 满足 时，能使二面角 的余弦值为 . ( ) 21, 3,0 , 1, 3, 23BD PC  = − = −     BD PC θ 1 57cos cos , 38192 3 BD PC BD PC BD PC θ ⋅ = = = = ⋅ ⋅       BD PC 57 38 ( ) 21, ,0 0 33Q a a ≤ ≤   ( ) ( )1, 3,0 , 0, 3, 2DQ a PD= − = −  PAD ( )1 1,0,0n = PDQ ( )2 , ,n x y z= ( )2 2 3 2 00 0 3 0 y zn PD n DQ x a y   − =⋅ = ⇒ ⋅ = + − =      2y = 3, 2 3 2z x a= = − ( )2 2 3 2 ,2, 3n a= − A PD Q− − α ( ) 1 2 1 2 2 1 2 2 3 2 30cos cos , 102 3 2 7 an n n n n n a α −⋅ = = = = ⋅ − +     ( )2 2 3 2 3a− = 3 2a = 3 3 2 =a 20 33a≤ ≤ 3 2a = Q 3 4BQ BC= A PD Q− − 30 10- 16 - 【点睛】本题考查了异面直线夹角，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 21.椭圆 ： 的左，右焦应分别是 ， ，离心率为 ，过 且垂 直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为 1. （1）求椭圆 的方程； （2）已知直线 ： 与椭圆 切于点 ，直线 平行于 ，与椭 圆 交于不同的两点 、 ，且与直线 交于点 .证明：存在常数 ，使得 ，并求 的值； （3）点 是椭圆 上除长轴端点外的任一点，连接 ， ，设 后的角平分线 交 的长轴于点 ，求 的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析， （3） 【解析】 【分析】 （1）根据题意直接计算得到答案. （2）设 方程 ，联立方程，利用韦达定理得到 ， 计算 ，代入化简得到答案. C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 1F 2F 3 2 1F x C C 1l 2 2 2 0x y+ − = C 22, 2T       2l OT C A B 1l M λ 2MT MA MBλ= ⋅ λ P C 1PF 2PF 1 2F PF∠ PM C ( ),0M m m 2 2 14 x y+ = 1λ = 3 3,2 2m  ∈ −   2l 1 2y x m= + 1 2 2x x m+ = − 2 1 2 2 2x x m⋅ = − 2Mx m= −- 17 - （3）设 其中 ，将向量坐标代入并化简得 ，计算得到答案. 【详解】（1）由 得 所以椭圆 的方程为 （2） ∴ 又 ∴设 方程为 由 设 ，则 由 ∴ ∴ 即存在 满足条件 （3）由题意可知： ， 设 其中 ，将向量坐标代入并化简得： ，因为 ，所以 ( )0 0,P x y 2 0 4x ≠ 0 3 4 =m x 2 2 2 2 3 2 2 1 ce a b a a b c  = =   =  = +   2 1 a b =  = C 2 2 14 x y+ = 22, 2T       1 2OTk = 2l OT 2l 1 2y x m= + 2 2 2 2 1 2 2 2 02 4 4 y x m x mx m x y  = + ∴ + + − =  + = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ( )2 2 1 2 2 1 2 4 4 2 2 0 2 2 2 m m x x m x x m ∆ = − − >  + = −  ⋅ = − 1 2 2 2 2 2 0 M y x m x m x y  = + ∴ = −  + − = ( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 2 11 2 22 11 2 22 m MT MA MB m x m x     + − − −      =⋅   + − − − −      ( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 m m mm m x x x x = = = − − − + + 2MT MA MB= ⋅ 1λ = 1 2 1 2 PF PM PF PM PF PM PF PM ⋅ ⋅=         1 2 1 2 PF PM PF PM PF PF ⋅ ⋅=       ( )0 0,P x y 2 0 4x ≠ ( )2 3 0 0 04 16 3 12m x x x− = − 2 0 4x ≠ 0 3 4 =m x- 18 - 而 ，所以 【点睛】本题考查了椭圆方程，韦达定理的应用，向量的运算，意在考查学生的计算能力和 综合应用能力. 22.设 数列 的前 项和，对任意 ，都有 （ 为常 数）. （1）当 时，求 ； （2）当 时， （ⅰ）求证：数列 是等差数列； （ⅱ）若数列 为递增数列且 ，设 ，试问是否存在正整 数 （其中 ），使 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组 ；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）存在唯一正整数数对 ，使 成等比数列 【解析】 【分析】 （1）当 时，利用公式 计算得到 ，再计算 得到 . （2）（ⅰ）化简得到 ，得到 ，化简得到 得到答案. （2）（ⅱ）计算 ，假设存在正整数数组 ，则当 ，且 时， ，故数列 为递减数列， 为方程的一 组解，得到答案. 【详解】（1） 时， ① ( )0 2,2x ∈ − 3 3,2 2m  ∈ −   nS { }na n *n∈N ( )( )1n nS an b a a c= + + + , ,a b c 4 50, ,3 3a b c= = = − nS 1 , 0, 02a b c= = = { }na { }na 4 5 2 79, 14a a a a+ = ⋅ = lg 3 n n n ab = ,p q 1 p q< < 1, ,p qb b b ( ),p q 4 1 3 n nS −= ( ) ( ), 2,3p q = 1, ,p qb b b 2n ≥ 1n n na S S −= − 14n na a −= 1 1a = nS ( )12n n nS a a= + ( ) ( ) 1 12 1n nn a n a a−− = − − 1 1n n n na a a a+ −− = − na n= ( ),p q 3p ≥ *p∈Ν ( ) 1 1 2 1 2 2 4 03 3 3p p p p p p + + + −− = < ( )2 33p p p  ≥   ( ) ( ), 2,3p q = 4 50, ,3 3a b c= = = − ( )1 4 5 3 3n nS a a= + −- 19 - 时， ② 由②－①得 即 时， ，∴ （常数， ），∴ 以 1 为首项，4 为公比的等比数列 ∴ （2）（ⅰ）当 ， ， 时， .③ 当 时， .④ ③－④得： ，⑤ 所以 ⑥ ⑤－⑥得： . 因为 ，所以 ，即 ， 所以 是等差数列. （ⅱ）因为 为递增等差数列. ，又 得 或者 （舍），所以 假设存在正整数数组 ，使 成等比数列，则 成等差数列， 于是， 所以， （☆） 易知 为方程（☆）的一组解. 当 ，且 时， ，故数列 为递减数列， 于是 ，所以此时方程（☆）无正整数解. . 2n ≥ ( )1 1 1 4 5 3 3n nS a a− −= + − 1 4 4 3 3n n na a a d−= − 14n na a −= 1n = 1 1 0a = ≠ 1 0na − ≠ 1 4n n a a − = 2n ≥ { }na 4 1 3 n nS −= 1 2a = 0b = 0c = ( )12n n nS a a= + 2n ≥ ( )1 1 1 1 2n n nS a a− − −= + ( ) ( ) 1 12 1n nn a n a a−− = − − ( ) 1 11 n nn a na a+− = − ( ) ( ) ( )1 11 1 2 1n n nn a n a n a+ −− + − = − 2n ≥ 1 1 2n n na a a+ −+ = 1 1n n n na a a a+ −− = − { }na { }na 4 5 2 7 9a a a a+ = + = 72 14a a⋅ = 2 3 2 7 a a =  = 2 7 7 2 a a =  = na n= ( ),p q 1, ,p qb b b 1lg ,lg ,lgp qb b b 2 1 3 3 3qp p q= + 2 13 3 3 q p pq  = −   ( ) ( ), 2,3p q = 3p ≥ *p∈Ν ( ) 1 1 2 1 2 2 4 03 3 3p p p p p p + + + −− = < ( )2 33p p p  ≥   3 2 1 2 3 1 03 3 3 3p p ×− ≤ −