江苏省南通市如东县2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）

- 1 - 江苏省南通市如东县 2020 学年高一数学上学期期末考试试题（含解析） 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，包含[选择题（1~12）、填空题（第 13 题~第 16 题，共 80 分）、解答题（ 第 17~22 题，共 70 分）]．本次考试时间 120 分钟，满分 150 分，考试结束后，请将答题卡 交回． 2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用 0.5 毫米的黑色签 字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用 2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置． 3．答题时请用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答．在试卷或草稿纸上作答一律无 效． 一、单选题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分．在每小题提供的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1.设集合 ， ，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据集合并集运算，即可求解. 【详解】 ， 故选： 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题. 2. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 { }| 1 1M x x= − < < { }0 2|N x x= ≤ < M N∪ { }| 1 2x x− < < { }|0 1x x≤ < { }1| 0x x< < { }| 1 0x x− < <  { }| 1 1M x x= − < < { }0 2|N x x= ≤ < ∴ { }1 2M N x x∪ = − < < A cos960° 3 2 − 3 2 1 2 − 1 2- 2 - 【分析】 根据三角函数诱导公式，化简求值. 【详解】由题意 故选：C 【点睛】本题考查三角函数诱导公式，属于基础题. 3.已知点 ， ，则与 共线的单位向量为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意写出 .可设与 共线的单位向量 ，由 ，即可求解. 【详解】由题意 设与 共线的单位向量 ， 又 解得 ， 故 或 故选： 【点睛】本题考查向量共线的坐标运算，属于基础题. 4.已知函数 ，则 等于（ ） 1cos960 cos(720 240 ) cos(180 60 ) cos60 2 = + = + = − = −      ( )1,2A ( )3,4B AB 2 2,2 2       2 2,2 2  − −    2 2,2 2       2 2,2 2  − −    ( )2,2 ( )2,2AB = AB ( ),e m m= 1e = ( )2,2AB = AB ( ),e m m= 1e =  2 2 1m m∴ + = 2 1 2m = 2 2m = ± 2 2,2 2e  =      2 2,2 2e  = − −     C 1 1 2 3 , 0 ( ) log ( 1), 0 x x f x x x − ≤=  + > [ (3)]f f- 3 - A. B. C. 3 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】 由分段函数代入即可求解 【详解】由题意 故选： 【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题. 5.在 中，D 为边 BC 上 一点，且 ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 D 为边 BC 上的一点，且 ，D 是四等分点，结合 ，最后得到答案． 【详解】∵D 为边 BC 上的一点，且 ，∴D 是四等分点， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了向量的线性运算及平面向量基本定理的应用，属于基础题. 6.已知幂函数 y＝f（x）的图象过点（2， ），则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 的 27− 1 27 ( ) ( )1 1 2 2 3 log 3 1 log 4 2f = + = = − ( ) ( ) 2 1 13 2 3 27f f f − −  = − = =  B ABC 3BD DC=  AD = 3 1 4 4AB AC+  1 3 4 4AB AC+  1 3 4 4AB AC−  3 1 4 4AB AC−  3BD DC=  AD AB BD= +   3BD DC=  ( )3 3 1 3 4 4 4 4AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC= + = + = + − = +          2 ( )2log 2f 1 2 1 1 2 − 1−- 4 - 先求幂函数的表达式，进而求值即可. 【详解】设幂函数 f（x）＝xα， 因为幂函数的图象经过点（2， ）， 所以 2α ，解得 α ， 则幂函数的解析式为 ， ∴ ， 故选：A 【点睛】本题考查幂函数的求法，考查函数值的求法及对数运算，属于基础题. 7.已知角 的终边过点 ，则 等于（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，根据三角函数定义，可知 ，再将分式上下同除 ，即可求解. 【详解】由题意，角 终边过点 原式 故选： 【点睛】本题考查齐次式求值，属于基础题. 8.求值： （ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，先根据三角函数两角和与差的正弦公式，化简，即可求值. 2 2= 1 2 = ( )f x x= ( )2 2f = ( )2 2 1log 2 log 2 ,2f = = α ( )1,1P − sin 2cos 2sin cos α α α α + − 1 3 1 3 − 3− tan 1α = − cosα α ( )1,1P − tan 1α∴ = − sin cos 2sin cos α α α α += − tan 2 2tan 1 α α += − 1 2 1 2 1 3 − += = −− − B 2 2 2sin sin cos3 3 π πα α α   − + + − =       1 2 − 1 2 1−- 5 - 【详解】 故选： 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式，三角函数的化简与求值，考察计算能力，属于中 等题型. 9.函数 是定义域为 ，周期为 2 的函数，且当 时， ；已知 函数 ，则函数 在区间 内的零点个数为（ ） A. 11 B. 13 C. 15 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数的周期性，作出函数 和 的图象，观察图像，即可得到两个函数公共点的 个数. 【详解】 函数 是定义域为 ，周期为 的函数，且当 时， ； 作出函数 的图象如图： ，定义域 在同一直角坐标系内，作出函数 的图象如图： 2 2 2sin sin cos3 3 π πα α α   − + + −       2 2 21 3 1 3sin cos sin cos cos2 2 2 2 α α α α α   = − + + −          2 2 21 32 sin cos cos4 4 α α α = + −   2 2 21 3sin cos cos2 2 α α α= + − 2 21 1sin cos2 2 α α= + 1 2 = B ( )y f x= R [ )1,1x∈ − ( ) 21f x x= − ( ) lg | |g x x= ( ) ( )y f x g x= − [ ]7,10− ( )f x ( )g x  ( )y f x= R 2 [ )1,1x∈ − ( ) 21f x x= − ∴ ( )f x ( ) lg | |g x x= ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞ ∴ ( )g x- 6 - 当 时， 则 此时 故由图象可知两个图象的交点个数为 个. 故选： 【点睛】本题考查函数周期性、对数函数运算，考查函数与方程思想、数形结合思想，综合 性较强，有一定难度. 10.平行四边形 ABCD 中，已知 ， ， ，点 E，F 分别满足 ， ，若 ，则 等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 利用平行四边形法则，将 分别利用平行四边形的相邻两边表示，然后利用已知计算 向量的数量积，列出方程求解参数. 【详解】 由题意 ， ， ， ， 由图知 9 10x≤ ≤ 1 10 0x− ≤ − ≤ ( ) ( ) ( )210 1 10f x f x x= − = − − ( ) ( )10 1, 10 1f g= = ( ) ( )9 0, 9 lg9f g= = 15 C 4AB = 3AD = 60BAD∠ = ° AE EDλ=  DF FC=  6AF BE⋅ = −  λ 2 3 1 3 AF BE⋅  4AB = 3AD = 60BAD∠ = ° 2 16AB∴ = 2 9AD = 4 3 cos60 6AB AD⋅ = × ⋅ =  1 2AF AD DF AD AB= + = +     AE EDλ=   1AE AD λ λ∴ = +   1BE BA AE AB AD λ λ∴ = + = − + +     - 7 - 则 代入，得 解得 故选： 【点睛】考查几何图形中的向量表达，化成同一组基底进行数量积的运算，典型题，考查热 点，本题属于中等题型. 二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分．在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 11.在 中， ， ，若 是直角三角形，则 k 的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】 由题意，若 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的 情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解. 【详解】若 为直角，则 即 解得 若 为直角，则 即 解得 若 为直角，则 ，即 1 2 1AF BE AB AD AB AD λ λ   ⋅ = + − +  +         ( ) 2 21 2 62 1 2 1AB AD AB AD λ λ λ λ − −= − + + ⋅ = −+ +     ( ) 9 28 6 61 2 1 λ λ λ λ +− + − ⋅ = −+ + 2λ = D ABC ( )2,3AB = ( )1,AC k= ABC 1− 11 3 3 13 2 + 3 13 2 − ABC A∠ AB AC⊥ 0AC AB⋅ =  2 3 0k∴ + = 2 3k = − BÐ BC AB⊥ 0BC AB⋅ =  ( ) ( )2,3 , 1,AB AC k= =   ( )1, 3BC k∴ = − − 2 3 9 0k∴− + − = 11 3k = C∠ BC AC⊥ 0BC AC⋅ = - 8 - 解得 综合可得， 的值可能为 故选： 【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型. 12.已知函数 （其中 ， ， 的部分图象，则下列 结论正确的是（ ）． A. 函数 的图象关于直线 对称 B. 函数 的图象关于点 对称 C. 函数 在区间 上单调增 D. 函数 与 的图象的所有交点的横坐标之和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据图像求出函数 的解析式，再求出它的对称轴和对称中心，以及单调区间，即可判断 . 【详解】由函数 （其中 ， ， ）的图像可得： ( ) ( )2,3 , 1,AB AC k= =   ( )1, 3BC k∴ = − − ( )1 3 0k k∴− + − = 3 13 2k ±= k 2 11 3 13 3 13, , ,3 3 2 2 + −− BCD ( ) ( )sinf x A x= +ω ϕ 0A > 0>ω 0 πϕ< < ( )f x π 2x = ( )f x π ,012  −   ( )f x π π,3 6  −   1y = ( ) π 23π 12 12y f x x = − ≤ ≤   8π 3 ( )f x ( ) ( )sinf x A x= +ω ϕ 0A > 0>ω 0 πϕ< 1 0x − ≠ 1x > − 1x ≠ ( 1,1) (1, )− +∞ ( )f x R ( )f x [0, )+∞ ( ) ( )2f x f≤ ( ] [ )2 2−∞ − ∪ + ∞， ， ( )f x ( ),0−∞ ( ) ( )1 1 2f f× ≤ x  ( )f x R ( )f x [0, )+∞ ∴ ( )f x ( ),0−∞ ( ) ( )2f x f≤ ( ) ( )2f x f∴ ≤ 2x∴ ≥ 2x∴ ≥ 2x −≤ ∴ ( ] [ ), 2 2,−∞ − +∞ ( ] [ ), 2 2,−∞ − +∞ sin( )( 0)y xω ϕ ω= + > ω- 11 - 【答案】 【解析】 【分析】 由 所 给 函 数 图 像 过 点 , ， 列 式 ，利用诱导公式可得. 【 详 解 】 由 函 数 图 像 过 点 , , 得 ， ，所以 ，又两点在同一 周期，所以 ， .故答案为 4. 【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查简单三角方程的解，考查图形识别与运算求 解能力，属于基础题. 16.矩形 ABCD 中， ， ，点 P 为矩形 ABCD 内（包括边界）一点，则 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意，取 中点为 ，则有 ，可知求解 的范围就是 的 范围. .=4ω 0 5( , )24 y π 0 11( , )24 y π − 11 5si n( ) si n( )24 24 π πω ϕ ω ϕ+ = − + 0 5( , )24 y π 0 11( , )24 y π − 0 5si n( )24y π ω ϕ= + 0 11si n( )24y π ω ϕ− = + 11 5si n( ) si n( )24 24 π πω ϕ ω ϕ+ = − + 11 5( )24 24 π πω ϕ π ω ϕ+ = + + 4ω = 2AB = 1AD = | |PA PB+  [0,2 2] AB M =2PA PB PM+   2 PM PA PB+ - 12 - 【详解】 由题意，取 中点为 ，则有 ， ， 如图所示，当 点与 点或者 点重合时， 取最大值 当 点与 点重合时， 取最小值 0 故答案为： 【点睛】本题考查向量计运算，属于基础题. 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤． 17.已知 ， ． （1）求 ； （2）当 k 为何值时， 与 垂直？ 【答案】（1）4（2）19 【解析】 【分析】 （1）由题意，先求 ，再求模长； （2）根据向量垂直，推出数量积为零，求解参数. 【详解】解：（1）因为 ，所以 ； （2）因为 ， 所以 ， 解得 ． 【点睛】本题考查（1）向量模长的求法；（2）垂直关系的向量表示；本题考查转化与化归 思想，属于基础题. AB M =2PA PB PM+   =2PA PB PM∴ +   P D C =2PA PB PM+   2 2 P M =2PA PB PM+   [0,2 2] ( )1,2a = ( )3,2b = − | |a b−  ka b+  3a b−  (4,0)a b− = ( )4,0a b− =  | | 4a b− =  1 ( 3) 2 2 1a b⋅ = ⋅ − + ⋅ =  2 2 ( ) ( 3 ) (1 3 ) 3 2 38 0ka b a a ka k a b b k+ ⋅ − = + − ⋅ − = − =        19k =- 13 - 18.已知函数 ． （1）求 的值； （2）若 ， ，求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）根据三角函数恒等变换，化简函数 ，再求值； （2）由（1）代入 ，可知 ，由角的范围，求出 ，由组合角 ，即可求解. 【详解】解：（1）因为 ． 所以 ． （2）因为 ， 所以 ， 又因为 ，所以 ， 所以 ， 2( ) 3sin sin cosf x x x x= + 6f π     3 3 2 2 5f α  = +   5 4,6 3 π πα  ∈   sinα 3 6 2f π  =   3 4 3sin 10 α −= 3( ) sin 2 3 2f x x π = − +   3 3 2 2 5f α  = +   3sin 3 5 πα − =   4cos 3 5 πα − = −   sin sin 3 3 π πα α  = − +     2 1 cos2 1( ) 3sin sin cos 3 sin 22 2 xf x x x x x −= + = ⋅ + 3sin 2 3 2x π = − +   3 6 2f π  =   3 3 3sin2 3 2 2 5f α πα   = − + = +       3sin 3 5 πα − =   5 4,6 3 π πα  ∈   ,3 2 π πα π − ∈   cos 03 πα − 1a ≠ 0k > b∈R a k= ( )f x [ ]0,1 ( )f x 0 1a< < 1k a≥ + ( )f x [ ]0,1 ( ) 2 1xf x = − 2( )f x x= a k= 0 1a< < 1k a≥ + ( ) ( )xf x a a k x b= + − + [ , ]m n 2( )f x x= [ ]0,1- 18 - （2）已知函数 ，其中 且 ， ， D （ⅰ）当 时， 若函数 是 上的等域函数， 当 时， 为增函数， 则 得 ，此时 ． 当 时， 为减函数， 则 ，得 ，不满足条件． 即 ． （ⅱ）证明：当 ， 时， ，即 ， 则 为减函数， 假设函数存 等域区间 ， 则 ， 两式作差 ， 即 ， ， ， ， ， ， 则 ， 等式不成立，即函数 不存在等域区间． 【点睛】本题考查（1）函数新定义概念辨析（2）函数单调性、最值问题分析；考察计算能 力，考查分析问题的能力，探究问题本质为单调性对值域的分析，综合性较强，属于难题. 在 ( ) ( )xf x a a k x b= + − + 0a > 1a ≠ 0k > b∈R a k= ( ) xf x a b= + ( )f x [ ]0,1 1a > ( )f x (0) 1 0 (1) 1 f b f a b = + =  = + = 2 1 a b =  = − ( ) 2 1xf x = − 0 1a< < ( )f x (0) 1 1 (1) 0 f b f a b = + =  = + = 0 0 a b =  = ( ) 2 1xf x = − 0 1a< < 1k a≥ + 1k a− ≤ − − 1 0a k− ≤ − < ( ) ( )xf x a a k x b= + − + [ , ]m n ( ) ( ) ( ) ( ) m n f m a a k m b n f n a a k n b m  = + − + =  = + − + = ( )( )m na a a k m n n m− + − − = − ( )( ) ( ) ( 1)( )m na a a k m n n m k a m n− = − − − + − = − − − 0 1a< 0m n− < 1 0k a− − ≥ ( 1)( ) 0k a m n− − − < ( )f x