江苏省南通市启东市2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）

- 1 - 江苏省南通市启东市 2020 学年高二数学上学期期末考试试 题（含解析） 考试时间：120 分钟；试卷分值：150 分 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1.圆 和圆 的位置关系是( ) A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离 【答案】C 【解析】 【分析】 把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，求出两圆心的距离 d，然后求出 R﹣r 和 R+r 的值，判断 d 与 R﹣r 及 R+r 的大小关系即可得到两圆的位置关系． 【详解】把圆 x2+y2﹣2x＝0 与圆 x2+y2+4y＝0 分别化为标准方程得：（x﹣1）2+y2＝1，x2+（y+2 ）2＝4， 故圆心坐标分别为（1，0）和（0，﹣2），半径分别为 R＝2 和 r＝1， ∵圆心之间的距离 ，则 R+r＝3，R﹣r＝1，∴R﹣r＜d＜R+r， ∴两圆的位置关系是相交． 故选 C． 【点睛】本题考查两圆的位置关系，比较两圆的圆心距，两圆的半径之和，之差的大小是关 键，属于基础题. 2.“ ”是“ 为 2 与 8 的等比中项”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 利用等比中项公式及充分必要条件判断求解． 【详解】解： 是两个正数 2 和 8 的等比中项， ． 2 2 2 0x y x+ − = 2 2 4 0x y y+ + = 2 2(1 0) (0 2) 5d = − + + = 4m = m m 2 8 4m∴ = ± × = ±- 2 - 故 是 的充分不必要条件， 即“ ”是“ 为 2 与 8 的等比中项”的充分不必要条件， 故选 ． 【点睛】本题考查两个正数的等比中项的求法，是基础题，解题时要注意两个正数的等比中 项有两个． 3.下列命题中，不正确的是（ ） A. 若 ， ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】C 【解析】 【分析】 根据不等式的性质、特殊值法可判断出各选项中不等式的正误. 【详解】对于 A 选项， ， ，又 ，由不等式的性质得 ，A 选项中的不等式正确； 对于 B 选项，若 ，则 ， ，B 选项中的不等式正确； 对于 C 选项，取 ，则 ，C 选项中的不等式不成立； 对于 D 选项， ， ，则 ，则 ， ，D 选项中的不等式正确. 故选 C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常见的方法有：不等式的基本性质、特殊值法、比较 法，在判断时可根据不等式的结构选择合适的方法，考查推理能力，属于中等题. 4.在等差数列 中，首项 ，公差 ，前 n 项和为 ，且满足 ， 则 的最大项为（　　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 4m = 4m = ± 4m = m A a b> c d> a d b c− > − 2 2a x a y> x y> a b> 1 1 a b a >− 1 1 0a b < < 2ab b< c d> d c∴− > − a b> a d b c− > − 2 2a x a y> 2 0a > x y∴ > 0b = 1 1 a b a =− 1 1 0a b < − > 0b a− > − > 0b a< < 2b ab∴ > { }na 1 0a > 0d ≠ ( )* nS n N∈ 3 15S S= nS 7S 8S 9S 10S- 3 - 【分析】 由已知结合等差数列的求和公式可得， ，由等差数列的性质可知， ，结合已知可得 ， ，即可判断． 【详解】解：等差数列 中，且满足 ， ∴ ， 由等差数列的性质可知， ， ∵首项 ，公差 ， ∴ ， ∴ ， ， 则 的最大项为 ． 故选 C． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题． 5.若两个正实数 x，y 满足 ，且不等式 有解，则实数 m 的取值范 围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于 的一元二次不 等式的解集即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， . 4 5 15 0a a a+ + + = 9 10 0a a+ = 9 0a > 10 0a < { }na 3 15S S= 4 5 15 0a a a+ + + = 9 10 0a a+ = 1 0a > 0d ≠ 0d < 9 0a > 10 0a < nS 9S 4 x y xy+ = 2 34 yx m m+ < − ( 1,4)− ( , 1) (4, )−∞ − +∞ ( 4,1)− ( ,0] [3, )−∞ +∞ m 4 x y xy+ = 1 4 1x y + = 4 yx + = 1 4 4 yx x y   + +     42 4 y x x y = + + 42 2 44 y x x y ≥ + ⋅ =- 4 - 当且仅当 即 ， 时等号成立， ∵ 有解， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得 ，或 ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查基本不等式及其应用，考查“1”的代换，属于基础题． 6. 在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平面 ABC，∠BAC＝90°，D、E、F 分别是棱 AB、BC、CP 的中点 ，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：以 A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系易知： A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2）， ， ， 设 是平面 DEF 的一个法向量， 则 即 ，取 x＝1, 则 ， 设 PA 与平面 DEF 所成的角为 ， 4 4 y x x y = 2x = 8y = 2 34 yx m m+ < − 2 min 34 yx m m + < −   24 3m m< − ( )( )4 1 0m m− + > 1m < − 4m > 1 5 2 5 5 5 2 5 5 1( ,0,0),2D 1 1( , ,0),2 2E 1(0, ,1)2F (0,0,2),AP∴ = 1(0, ,0),2DE = 1 1( , ,1)2 2DF = − ( , , )n x y z= 1 02 1 1 02 2 { y x y z = − + + = 1(1,0, )2n = θ- 5 - 则 sinθ＝ ． 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，角的计算． 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的 计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三 计算”的步骤，利用向量则简化了证明过程． 7.双曲线 的一个焦点 与抛物线 的焦点重合，若这两曲线的 一个交点 满足 轴，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据抛物线方程得 点坐标，得 ；根据 轴可知 既是抛物线通径长的一半，又 是双曲线通径长的一半，从而可得 的关系；通过 构造出关于 的方程，解方 程求得结果. 【详解】由题意得： ，即 轴 为抛物线通径长的一半 又 为双曲线通径长的一半，即 由 得： ，解得： （舍）或 本题正确选项： 【点睛】本题考查双曲线和抛物线的几何性质的应用，属于基础题. 8.已知 F 是椭圆 的左焦点，P 为椭圆 C 上任意一点，点 ，则 的最大值为 　　 A. B. C. D. 【答案】A 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > F 2 4y x= P PF x⊥ a = 2 1− 2 1+ 1 2 2 2 2− F c PF x⊥ PF ,a b 2 2 2+ =a b c a ( )1,0F 1c = PF x⊥ PF∴ 2PF∴ = PF 2 2b a = 2 2b a∴ = 2 2 2+ =a b c 2 2 1a a+ = 1 2a = − − 1 2a = − + A 2 2xC y 12 + =： ( )Q 4,3 PQ PF+ ( ) 5 2 3 2 34 4 2- 6 - 【解析】 【分析】 由题意，设椭圆 C 的右焦点为 ，由已知条件推导出 ， 利用 Q， ，P 共线，可得 取最大值． 【详解】由题意，点 F 为椭圆 的左焦点， ， 点 P 为椭圆 C 上任意一点，点 Q 的坐标为 ， 设椭圆 C 的右焦点为 ， ， ， ，即最大值为 5 ，此时 Q， ，P 共线，故选 A． 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟 记椭圆的标准方程、定义和简单的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了转化思想 以及推理与运算能力． 二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 9.在下列函数中，最小值是 2 的函数有（ ） A. B. C. D. ( )F' 1,0 PQ PF PQ 2 2 PF'+ = + − F' PQ PF+ 2 2xC y 12 + =： ( )F 1,0∴ −  ( )4,3 ( )F' 1,0 PQ PF PQ 2 2 PF' 2∴ + = + − = 2 PQ PF'+ − PQ PF' QF' 3 2− ≤ = PQ PF 5 2∴ + ≤ 2 F' ( ) 2 2 1f x x x = + ( ) 1cos 0cos 2f x x xx π = + < > 2 2 1 1x x ⋅ = ( ) 2 2 2 2 1 12 2f x x xx x = + ≥ ⋅ = 2 2 1x x = 1x = ± 1cos 0, 0 0cos 2x xx π > > < > + 2 2 13 1 3 x x + ⋅ = + ( ) 2 2 2 2 1 13 2 3 2 3 3 f x x x x x = + + ≥ + ⋅ = + + 2 2 13 3 x x + = + 2 2 0x + = 43 0, 03 x x > > 43 43 x x ⋅ = ( ) 4 43 2 2 3 2 23 3 x x x xf x = + − ≥ ⋅ − = 43 3 x x = 33 2, log 2x x= =- 8 - A. “ ”是“ ”的充分不必要条件 B. 命题“任意 ，则 ”的否定是“存在 ，则 ”. C. 设 ，则“ 且 ”是“ ”的必要而不充分条件 D. 设 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】 分别判断充分性与必要性，即可得出选项 ACD 的正误；根据全称命题的否定是特称命题，判 断选项 B 的正误． 【详解】解：对于 A， 或 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件，故 A 对； 对于 B，全称命题的否定是特称命题，“任意 ，则 ”的否定是“存在 ，则 ”，故 B 对； 对于 C，“ 且 ” “ ”， “ 且 ” 是 “ ” 的充分条件，故 C 错； 对于 D， ，且 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件，故 D 对 ； 故选：ABD． 【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查充分条件与必要条件的判断，考查不等式的性 质与分式不等式的解法，属于易错的基础题． 11.如图,在棱长均相等的四棱锥 中, 为底面正方形的中心, , 分别为侧棱 , 的中点,有下列结论正确的有：( ) A. ∥平面 B. 平面 ∥平面 1a > 1 1a < x∈R 2 1 0x x+ + < x∈R 2 1 0x x+ + ≥ ,x y R∈ 2x ≥ 2y ≥ 2 2 4x y+ ≥ ,a b∈R 0a ≠ 0ab ≠ 1 11 0a a a −< ⇔ > ( )1 0a a⇔ − > 0a⇔ < 1a > 1a > 1 1a < x∈R 2 1 0x x+ + < x∈R 2 1 0x x+ + ≥ 2x ≥ 2y ≥ ⇒ 2 2 4x y+ ≥ 2x ≥ 2y ≥ 2 2 4x y+ ≥ 0 0ab a≠ ⇔ ≠ 0b≠ 0a ≠ 0ab ≠ P ABCD− O M N PA PB PD OMN PCD OMN- 9 - C. 直线 与直线 所成角的大小为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 选项 A,利用线面平行的判定定理即可证明；选项 B,先利用线面平行的判定定理证明 CD∥平面 OMN，再利用面面平行的判定定理即可证明；选项 C，平移直线，找到线面角，再计算；选项 D,因为 ON∥PD，所以只需证明 PD⊥PB，利用勾股定理证明即可. 【详解】选项 A,连接 BD，显然 O 为 BD 的中点，又 N 为 PB 的中点，所以 ∥ON,由线面平行 的判定定理可得， ∥平面 ；选项 B, 由 , 分别为侧棱 , 的中点,得 MN∥AB,又底面为正方形，所以 MN∥CD，由线面平行的判定定理可得，CD∥平面 OMN,又选项 A 得 ∥平面 ，由面面平行的判定定理可得，平面 ∥平面 ；选项 C,因为 MN∥CD，所以∠ PDC 为直线 与直线 所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠ PDC= ， 故 直 线 与 直 线 所 成 角 的 大 小 为 ； 选 项 D ， 因 底 面 为 正 方 形 ， 所 以 ,又所有棱长都相等，所以 ,故 ,又 ∥ON，所以 ，故 ABD 均正确. 【点睛】解决平行关系基本问题的 3 个注意点 (1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)会举反例或用反证法推断命题是否正确． 12.将 个数排成 行 列的一个数阵，如下图： 该数阵第一列的 个数从上到下构成以 为公差的等差数列，每一行的 个数从左到右构成 以 为公比的等比数列（其中 ）.已知 ， ，记这 个数的和为 . 下列结论正确的有（ ） A. B. PD MN 90 ON PB⊥ PD PD OMN M N PA PB PD OMN PCD OMN PD MN 60 PD MN 60 2 2 2AB AD BD+ = 2 2 2PB PD BD+ = PB PD⊥ PD ON PB⊥ 2n n n 11 12 13 21 22 23 2 31 32 33 3 1 3 1 2 n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a …… …… …… …… …… n m n m 0m > 11 2a = 13 61 1a a= + 2n S 3m = 7 67 17 3a = ×- 10 - C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据题设中的数阵，结合等比数列的通项公式和等比数列的前 n 项和公式，逐项求解，即可 得到答案. 【详解】由题意，该数阵第一列的 个数从上到下构成以 为公差的等差数列，每一行的 个数从左到右构成以 为公比的等比数列，且 ， ， 可得 ， ，所以 ， 解得 或 （舍去），所以选项 A 是正确的； 又由 ，所以选项 B 不正确； 又由 ，所以选项 C 是正确的； 又由这 个数的和为 ， 则 ，所以选项 D 是正确的， 故选 ACD. 【点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的求解，以及等比数列及其前 n 项和公式的应用， 其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前 n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考 查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.命题“∃x0∈R, ”为假命题，则实数 a 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 1(3 1) 3 j ija i −= − × ( )1 (3 1) 3 14 nS n n= + − n m n m 11 2a = 13 61 1a a= + 2 2 13 11 2a a m m= = 61 11 5 2 5a a d m= + = + 22 2 5 1m m= + + 3m = 1 2m = − 6 6 6 67 61 (2 5 3) 3 17 3a a m= = + × × = × 1 1 1 1 11 1(3[( ( 1) ] [2 ( 1) 3] 3 1) 3j j j j ij ia m a i m m iia − − − −= = + − × × = = − ×+ − × × 2n S 11 12 1 21 22 2 1 2( ) ( ) ( )n n n n nnS a a a a a a a a a= + + + + + + + + + + + +    111 21 (1 3 )(1 3 ) (1 3 ) 1 3 1 3 1 3 nn n naa a −− −= + + +− − − 1 (2 3 1)(3 1)2 2 n n n+ −= − ⋅ 1 (3 1)(3 1)4 nn n= + − 2 0 04 1 0− + > 1 2,F F 1F 2F 2 2MF NF= 3- 12 - 【解析】 【分析】 由题意可得 为等腰直角三角形，设 ，则 ，结合双曲线 的定义可得 ，再由勾股定理可得离心率． 【详解】解：如图，设 为线段 的中点， 由题意可得 为等腰直角三角形， 为直角三角形， 设 ，则 ， 由双曲线的定义可得 ， ， 又 ， ∴ ，∴ ，则 ， ∴ ， ∴ ， ， 在 中，由勾股定理可得 ，即 ，∴ ， ∴离心率 ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查计算能力，属于中档题． 16.已知圆 ，点 是圆 上一动点，若在圆 上存在点 ，使得 ，则正数 的最大值为________. 2MNF∆ 2 2MF NF m= = 2MN m= 4MN a= H MN 2MNF∆ 1 2HF F∆ 2 2MF NF m= = 2MN m= 2 1 2MF MF a− = 1 2 2NF NF a− = 1 1NF MN MF= + 4MN a= 2 4m a= 2 2m a= 1 2 2MF MF a= − 2 2 2a a= − 1 1 2 2HF MF MH a= + = 2 1 22HF MN a= = 1 2Rt HF F∆ ( )2 2 22 2 4 4a a c+ = 2 23a c= 3c a= 3= =ce a 3 2 2: 4O x y+ = P 2 2 2( 1) ( 1)x y r− + − = O Q 30QPO∠ = ° r- 13 - 【答案】 【解析】 【分析】 分 析 可 得 满 足 ， 结 合 条 件 可 得 圆 与 圆 内切，从而可得答案． 【详解】解：要使 最大，考虑点 在圆 外， 若在圆 上存在点 ，使得 ， 当直线 与圆 相切时， 有最大值， ∴ ，即 ，则 满足 ， 又点 是圆 上一动点， 由图可知，圆 与圆 内切， ∴ ，即 ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，考查推理能力，考查数形结合思想，属于中档题． 四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分） 17.已知集合 ，集合 ， . （1）若“ ”是真命题，求实数 取值范围； （2）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围. 4 2− ( ),P x y 2 2 16x y+ ≤ 2 2 2( 1) ( 1)x y r− + − = 2 2 16x y+ = r P O O Q 30QPO∠ = ° PQ O QPO∠ 2 1sin30 2 OQ OP OP = ≥ ° = 4OP ≤ ( ),P x y 2 2 16x y+ ≤ P 2 2 2( 1) ( 1)x y r− + − = 2 2 2( 1) ( 1)x y r− + − = 2 2 16x y+ = 2 21 41 r+ = − 4 2r = − 4 2− { }1 3A x x= − ≤ ≤ { }( )( 1) 0B x x a x a= − − − < a R∈ 1 B∈ a x A∈ x B∈ a- 14 - 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）解不等式即得 a 的取值范围；（2）先化简 B ,由题得 是 的真子集 ，解不等式组 得解. 【详解】解：（1）若“ ”是真命题，则 ，得 . （2） ， 若“ ”是“ ”的必要不充分条件， 则 是 的真子集， 即 ，即 ，得 ， 即实数 的取值范围是 . 【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，考查充要条件和集合的关系，意在考查学生对这 些知识的理解掌握水平. 18.已知椭圆 的长轴长为 ，短轴长为 ． (1)求椭圆方程； (2)过 作弦且弦被 平分，求此弦所在的直线方程及弦长． 【答案】(1) ；(2) ， . 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆的性质列方程组解出 a，b，c 即可； （2）设以点 P（2，1）为中点的弦与椭圆交于 A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法求出 k ，然后求出直线方程，联立解方程组，求出 A，B，再求出|AB|． 【详解】(1)由椭圆 长轴长为 ，短轴长为 ， 0 1a< < [ ]1,2− { }1x a x a= < < + B A 1 1 3 a a ≥ −  + ≤ 1 B∈ ( )1 0a a− − < 0 1a< < ( )( ){ }1 0B x x a x a= − − − < { }1x a x a= < < + x A∈ x B∈ B A 1 1 3 a a ≥ −  + ≤ 1 2 a a ≥ −  ≤ -1 2a≤ ≤ a [ ]1,2− 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 8 4 (2,1)P P 2 2 116 4 x y+ = 2 4 0x y+ − = 2 5 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 8 4- 15 - 得 ，所以 ， 所以椭圆方程为 ． (2)设以点 为中点的弦与椭圆交于 ，则 . 在椭圆上，所以 ， ， 两式相减可得 ， 所以 的斜率为 ， ∴点 为中点的弦所在直线方程为 . 由 ，得 ，所以 或 ， 所以 ． 【点睛】本题考查椭圆的方程，直线方程的求法，弦长公式，是中档题，解题时要认真审题， 注意点差法的合理运用． 19.某企业用 180 万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来 100 万元的收入 ，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用 10 万元，且从第二年开始，每年比上 一年所需的维护费用要增加 10 万元 （1）求该设备给企业带来的总利润 （万元）与使用年数 的函数关系； （2）试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？ 【答案】（1） ， （2）这套设备使用 6 年，可使年平均利润最 大，最大利润 35 万元 【解析】 【分析】 （1）运用等差数列前 项和公式可以求出 年的维护费，这样可以由题意可以求出该设备给 企业带来的总利润 （万元）与使用年数 的函数关系； 为 2 8,2 4a b= = 4, 2a b= = 2 2 116 4 x y+ = (2,1)P 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 1 24, 2x x y y+ = + = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 2 1 1 116 4 x y+ = 2 2 2 2 116 4 x y+ = 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) 4( )( ) 0x x x x y y y y+ − + + − = AB 2 1 2 1 1 2 y yk x x −= = −− (2,1)P 2 4 0x y+ − = 2 2 116 4 2 4 0 x y x y  + =  + − = 2 4 0x x− = 0 2 x y =  = 4 0 x y =  = 2 2| | 4 2 2 5AB = + = y ( )*x x∈N ( )25 19 36y x x= − − + *x∈N n x y ( )*x x∈N- 16 - （2）利用基本不等式可以求出年平均利润最大值. 【详解】解：（1）由题意知， 年总收入 万元 年维护总费用为 万元. ∴总利润 ， 即 ， （2）年平均利润为 ∵ ，∴ 当且仅当 ，即 时取“ ” ∴ 答：这套设备使用 6 年，可使年平均利润最大，最大利润为 35 万元. 【点睛】本题考查了应用数学知识解决生活实际问题的能力，考查了基本不等式的应用，考 查了数学建模能力，考查了数学运算能力. 20. 如图，长方体 ABCD–A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面 EB1C1； （2）若 AE=A1E，求二面角 B–EC–C1 的正弦值. 为x 100x x 10(1 2 3 ) 5 ( 1)x x x+ + + + = + 100 5 ( 1) 180y x x x= − + − *x∈N ( )25 19 36y x x= − − + *x∈N 365 95y xx x  = − + +   0x > 36 362 12x xx x + ≥ ⋅ = 36x x = 6x = = 35y x ≤- 17 - 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用长方体的性质，可以知道 侧面 ，利用线面垂直的性质可以证明出 ，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出 平面 ； （2）以点 坐标原点，以 分别为 轴，建立空间直角坐标系，设正方形 的边长为 ， ，求出相应点的坐标，利用 ，可以求出 之间的关 系，分别求出平面 、平面 的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角 的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角 的 正弦值. 【详解】证明（1）因为 是长方体，所以 侧面 ，而 平面 ，所以 又 ， ， 平面 ，因此 平面 ； （2）以点 坐标原点，以 分别为 轴，建立如下图所示 空间直角坐标系， ， 的 3 2 1 1B C ⊥ 1 1A B BA 1 1B C EB⊥ BE⊥ 1 1EB C B 1, ,BC BA BB   , ,x y z ABCD a 1B B b= 1BE EC⊥ ,a b EBC 1ECC 1B EC C− − 1B EC C− − 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1B C ⊥ 1 1A B BA BE ⊂ 1 1A B BA 1 1BE B C⊥ 1BE EC⊥ 1 1 1 1B C EC C∩ = 1 1 1,B C EC ⊂ 1 1EB C BE⊥ 1 1EB C B 1, ,BC BA BB   , ,x y z 1(0,0,0), ( ,0,0), ( ,0, ), (0, , )2 bB C a C a b E a- 18 - 因为 ，所以 ， 所以 ， ， 设 是平面 的法向量， 所以 ， 设 是平面 的法向量， 所以 ， 二面角 的余弦值的绝对值为 ， 所以二面角 的正弦值为 . 【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角 的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力. 21.设数列 、 都有无穷项， 的前 项和为 ， 是等比数 列， 且 . （1）求 和 的通项公式； （2）记 ，求数列 的前 项和为 . 【答案】（1） ； （2） 【解析】 【分析】 （1）由 可求出 ，根据定义求出数列 的公比，从而可求出 ； （2）由题意得 ，再用错位相减法求和即可． 【详解】解：（1）当 时， = =4； 1BE EC⊥ 2 2 1 0 (0, , ) ( , , ) 0 0 22 2 4 b b bBE EC a a a a b a⋅ = ⇒ ⋅ − = ⇒ − + = ⇒ =  (0, , )E a a 1( , , ), (0,0,2 ), (0, , )EC a a a CC a BE a a= − − = =   1 1 1( , , )m x y z= BEC 1 1 1 1 1 0,0, (0,1, 1)0.0. ay azm BE max ay azm EC + = ⋅ = ⇒ ⇒ = −  − − =⋅ =    2 2 2( , , )n x y z= 1ECC 21 2 2 2 2 0,0, (1,1,0)0.0. azn CC nax ay azn EC = ⋅ = ⇒ ⇒ =  − − =⋅ =    1B EC C− − 1 1 22 2 m n m n ⋅ = = ×⋅     1B EC C− − 21 31 ( )2 2 − = { }na { }nb { }na n ( )21 3 52nS n n= + { }nb 3 4b = 6 32b = { }na { }nb n n n ac b = { }nc n nT 3 1na n= + ( )1 *,2n nb n N−= ∈ 1 3 714 2n n − +− 1 1 , 1 , 2n n n S na S S n− ==  − ≥ na { }nb nb 1 3 1 2n n nc − += 1n = 1a 1S- 19 - 当 时， ， 且 亦满足此关系， ∴ 的通项为 ， 设 的公比为 ，则 ，则 ， ∴ ； （2）由题意， ， 而 ， ， 两式相减，有 ， ． 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式的求法，考查错位相减法求和，属于 中档题． 22.在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ,直线 被 椭圆 截得的线段长为 . （1）求椭圆 的方程； （2）过原点的直线与椭圆 交于 两点（ 不是椭圆 的顶点），点 在椭圆 上， 且 ，直线 与 轴 轴分别交于 两点. ①设直线 斜率分别为 ，证明存在常数 使得 ，并求出 的值； ②求 面积的最大值. 2n ≥ ( )2 2 1 1 13 5 3( 1) 5( 1)2 2n n na S S n n n n−  = − = + − − + −  1 [3(2 1) 5] 3 12 n n= − + = + 1 4a = { }na ( )*3 1,na n n N= + ∈ { }nb q 3 6 3 8bq b = = 2q = ( )3 1 * 3 2n n nb b q n N− −= ⋅ = ∈ 1 3 1 2 n n n n a nc b − += = 2 1 4 7 10 3 2 3 1 1 2 4 2 2n n n n nT − − − += + + +…+ + 2 7 10 13 3 12 8 1 2 4 2n n nT − += + + + + 2 1 1 1 1 3 18 3 1 2 4 2 2n n n nT − − + = + + + + −   2 1 1 1 3 1 3 78 3 2 142 2 2n n n n n − − − + + = + − − = −   xOy ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 3 2 y x= C 4 10 5 C C ,A B ,A B C D C AD AB⊥ BD x y ,M N ,BD AM 1 2,k k λ 1 2k kλ= λ OMN∆- 20 - 【答案】(1) . (2) ①证明见解析， ；② . 【解析】 试题分析：（1）首先由题意得到 ，即 . 将 代入 可得 ， 由 ，可得 . 得解. （2）（ⅰ）注意从确定 的表达式入手，探求使 成立的 . 设 ，则 ， 得到 ， 根据直线 BD 的方程为 ， 令 ，得 ，即 .得到 . 由 ，作出结论. （ⅱ）直线 BD 的方程 ， 从确定 的面积表达式 入手，应用基本不等式得解. 试题解析：（1）由题意知 ，可得 . 椭圆 C 的方程可化简为 . 将 代入可得 ， 2 2 14 x y+ = 1 2 λ = − 9 8 2 2 3 2 a b a − = 2 24a b= y x= 2 2 24x y a+ = 5 5 ax = ± 2 5 4 102 5 5 a× = 2a = 1b = 1 2,k k 1 2k kλ= λ 1 1 1 1 2 2( , )( 0), ( , )A x y x y D x y≠ 1 1( , )B x y− − 1 2 1 1 1 2 1 1 4 4 y y yk x x k x += = − =+ 1 1 1 1 ( )4 yy y x xx + = + 0y = 13x x= 1(3 ,0)M x 1 2 12 yk x = − 1 2 1 2k k= − 1 1 1 1 ( )4 yy y x xx + = + OMN∆ 1 1 1 1 1 3 932 4 8S x y x y= × × = 2 2 3 2 a b a − = 2 24a b= 2 2 24x y a+ = y x= 5 5 ax = ±- 21 - 因此 ，可得 . 因此 ， 所以椭圆 C 的方程为 . （2）（ⅰ）设 ，则 ， 因为直线 AB 的斜率 ， 又 ，所以直线 AD 的斜率 ， 设直线 AD 的方程为 ， 由题意知 ， 由 ，可得 . 所以 ， 因此 ， 由题意知， 所以 ， 所以直线 BD 的方程为 ， 令 ，得 ，即 . 可得 . 所以 ，即 . 因此存在常数 使得结论成立. 2 5 4 102 5 5 a× = 2a = 1b = 2 2 14 x y+ = 1 1 1 1 2 2( , )( 0), ( , )A x y x y D x y≠ 1 1( , )B x y− − 1 1 ABk y x = AB AD⊥ 1 1 xk y = − y kx m= + 0, 0k m≠ ≠ 2 2 14 y kx m x y = + + = 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x mkx m+ + + − = 1 2 2 8 1 4 mkx x k + = − + 1 2 1 2 2 2( ) 2 1 4 my y k x x m k + = + + = + 1 2x x≠ 1 2 1 1 1 2 1 1 4 4 y y yk x x k x += = − =+ 1 1 1 1 ( )4 yy y x xx + = + 0y = 13x x= 1(3 ,0)M x 1 2 12 yk x = − 1 2 1 2k k= − 1 2 λ = − 1 2 λ = −- 22 - （ⅱ）直线 BD 的方程 ， 令 ，得 ，即 ， 由（ⅰ）知 ， 可得 的面积 ， 因为 ，当且仅当 时等号成立， 此时 S 取得最大值 ， 所以 的面积的最大值为 . 考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，三角形面积，基本不等式的应用. 1 1 1 1 ( )4 yy y x xx + = + 0x = 1 3 4y y= − 1 3(0, )4N y− 1(3 ,0)M x OMN∆ 1 1 1 1 1 3 932 4 8S x y x y= × × = 2 21 1 1 1 14 xx y y≤ + = 1 1 2 2 2 x y= = 9 8 OMN∆ 9 8