江苏省南通市启东市2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）

- 1 - 江苏省南通市启东市 2020 学年高一数学上学期期末考试试题（含解 析） 一、单项选择题： 1.sin 3     的值是（ ） A. 1 2 B. 3 2 C. 1 2  D. 3 2  【答案】D 【解析】 【分析】 利用诱导公式可求出sin 3     的值. 【详解】根据诱导公式可得 3sin sin3 3 2          . 故选：D. 【点睛】本题考查利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题. 2.函数   3 2 2 xf x x   的定义域为（ ） A. 3, 2     B. 3, 2     C.   3, 2 2, 2       D.   3, 2 2, 2       【答案】C 【解析】 【分析】 根据偶次根式被开方数非负，分母不为零，得出关于 x 的不等式组，即可求出函数  y f x 的定义域. - 2 - 【详解】由题意可得 3 2 0 2 0 x x      ，解得 3 2x ≤ 且 2x   ， 因此，函数   3 2 2 xf x x   的定义域为   3, 2 2, 2       . 故选：C. 【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，解题时要结合一些常见的求函数定义域的基本原 则列不等式（组）求解，考查运算求解能力，属于基础题. 3.满足   1 1,2,3A Ü 的集合 A 的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 列举出符合条件的集合 A ，即可得出答案. 【详解】满足   1 1,2,3A Ü 的集合 A 有： 1 、 1,2 、 1,3 . 因此，满足   1 1,2,3A Ü 的集合 A 的个数为 3 . 故选：B. 【点睛】本题考查符合条件的集合个数的计算，只需列举出符合条件的集合即可，考查分析 问题和解决问题的能力，属于基础题. 4.在梯形 ABCD 中， //AB CD ， 2AB CD ， E 是边 CD 上的点，且 1 3CE CD .若记 AB a  ， AD b  ，则 BE  （ ） A. 2 3 a b   B. 2 3 a b  C. 4 3 a b  D. 2 1 3 3a b  【答案】A 【解析】 【分析】 作出图形，由向量加法的三角形法则得出 BE BA AD DE      可得出答案. 【详解】如下图所示： - 3 - 由题意可得 2 2 1 1 3 3 2 3DE DC AB a       ， 由向量加法的三角形法则可得 1 2 3 3BE BA AD DE a b a a b                  . 故选：A. 【点睛】本题考查利用基底来表示向量，涉及平面向量加法的三角形法则的应用，考查数形 结合思想的应用，属于基础题. 5.已知 5sin 13    ， 是第三象限角，则 cos 3     的值为（ ） A. 5 3 12 26   B. 5 3 12 26   C. 12 3 5 26   D. 12 3 5 26   【答案】A 【解析】 【分析】 利用同角三角函数的平方关系求出 cos 的值，然后利用两角差的余弦公式求出 cos 3     的值. 【详解】  为第三象限角，所以， 2 12cos 1 sin 13       ， 因此， 12 1 5 3 5 3 12cos cos cos sin sin3 3 3 13 2 13 2 26                   . 故选：A. 【点睛】本题考查利用两角差的余弦公式求值，在利用同角三角函数基本关系求值时，要结 合角的取值范围确定所求三角函数值的符号，考查计算能力，属于基础题. 6.已知向量  2,1m  ，  0,1n  ，  3,4p  ，若 R  ，  //m n p   ，则   （ ） - 4 - A. 3 5 B. 3 5- C. 5 3 D. 5 3  【答案】C 【解析】 【分析】 计算出向量 m n  的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于实数  的等式，解出即可. 【详解】向量  2,1m  ，  0,1n  ，  2, 1m n      ， 又  3,4p   且  //m n p   ，  3 1 2 4    ，解得 5 3   . 故选：C. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查共线向量的坐标表示，考查计算能力，属于基 础题. 7.已知 3 21.4a   ， 3 21.7b   ， 21.7c  ，则（ ） A. a c b  B. c b a  C. a b c  D. b c a  【答案】B 【解析】 【分析】 利用幂函数的单调性得出 a 与b 的大小关系，由指数函数的单调性可得出b 与 c 的大小关系 ， 由此可得出 a 、b 、 c 三个数的大小关系. 【详解】幂函数 3 2y x   在区间 0,  上为减函数， 3 3 2 21.4 1.7     ，即 a b ； 指数函数 1.7xy  在 R 上为增函数， 3 221.7 1.7    ，即 b c . 因此， c b a  . 故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和幂函数的单调性来比较指数幂的大小关系，解题时要结合 指数幂的结构选择幂函数和指数函数的单调性来判断，考查推理能力，属于基础题. 8.在平面直角坐标系中，设角 的终边上任意一点 P 的坐标是 ,x y ，它与原点的距离是  0r r  ，规定：比值 y x r  叫做 的正余混弦，记作sch .若  1sch 05      ，则 - 5 - tan  （ ） A. 3 4  B. 3 4 C. 4 3  D. 4 3 【答案】D 【解析】 【分析】 由 0    可 得 出 sin 0  ， 根 据 题 意 得 出 1sch sin cos 5      ， 结 合 2 2cos sin 1   可得出关于 sin 和 cos 的方程组，解出这两个量，然后利用商数关系 可求出 tan 的值. 【详解】 0    ，则sin 0  ，由正余混弦的定义可得 sch sin cosy x r      . 则有 2 2 1sin cos 5 cos sin 1 sin 0 sch                ，解得 4sin 5 3cos 5       ，因此， sin 4tan cos 3    . 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数的新定义，涉及同角三角函数基本关系的应用，根据题意建立方 程组求解sin 和 cos 的值是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题. 二、多项选择题： 9.已知全集U  R ，集合 A 、 B 满足 A BÜ ，则下列选项正确的有（ ） A. A B B B. A B B  C. ( )U A BÇ =Æð D.  UA B   ð 【答案】BD 【解析】 【分析】 作出韦恩图，结合图形可判断出各选项的正误. 【详解】如下图所示： - 6 - 全集U  R ，集合 A 、 B 满足 A BÜ ，则 A B A ， A B B  ， U A B  ð ，  UA B   ð . 故选：BD. 【点睛】本题考查集合运算正误的判断，根据题意作出韦恩图是关键，考查数形结合思想的 应用，属于基础题. 10.已知 a  、b  、 c  是三个非零向量，则下列结论正确的有（ ） A. 若 a b a b      ，则 //a b r r B. 若 //a b r r ， //b c   ，则 //a c   C. 若 a c b c      ，则 a b  D. 若 a b a b      ，则 a b  【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据平面向量数量积的定义可判断出 A、C 选项的正误；利用共线向量的定义可判断出 B 选项 的正误；在等式 a b a b      两边平方，可判断出 D 选项的正误. 【详解】对于 A 选项，设 a  与 b  的夹角为 ，则 cosa b a b a b          ，则 cos 1  ， 0  ， 则 a  与b  同向，所以 //a b r r ，A 选项正确； 对于 B 选项，由于 a  、b  、 c  是三个非零向量，且 //a b r r ， //b c   ，则存在非零实数  、  ，使 得 λa b=  ，b c  ，    a b c c          ， //a c  ，B 选项正确； 对于 C 选项， a c b c      ，则   0a c b c a b c             ，即 a b c    ，所以， a  与b  在 c  方向上的投影相等，C 选项错误； - 7 - 对于 D 选项，在等式 a b a b      两边平方得 2 2 2 2 2 2a a b b a a b b       r r r r r r r r ，整理得 0a b   ，则 a b  ，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查有关向量命题真假的判断，涉及平面向量数量积的定义、共线向量的定义 的理解，考查推理能力，属于基础题. 11.下列函数中，既是偶函数，又在区间 ,0 上单调递减的函数是（ ） A. 3 2y x B. 1 2 x y      C. 1 2 1logy x  D. siny x 【答案】AC 【解析】 【分析】 逐一判断各选项中函数的奇偶性以及各函数在区间  ,0 上的单调性，从而可得出结论. 【详解】对于 A 选项，设   3 2 1f x x ，定义域为 R ，关于原点对称， 且      2 3 23 1 1f x x x f x     ，该函数为偶函数， 且该函数在区间 0,  上为增函数，所以，该函数在区间 ,0 上为减函数； 对于 B 选项，设  2 1 2 x f x      ，定义域为 R ，关于原点对称， 且    2 2 1 1 2 2 x x f x f x              ，该函数为偶函数， 当 0x  时，  2 1 1 22 2 x x xf x             ，则该函数在区间 ,0 上为增函数； 对于 C 选项，设  3 1 2 1logf x x  ，定义域为 0x x  ，关于原点对称， 且    3 1 1 3 2 2 1 1log logf x f xx x     ，该函数为偶函数， - 8 - 当 0x  时，  3 1 1 1 2 2 2 1 1log log logf x xx x     ，则该函数在区间 0,  上为增函数，该 函数在区间 ,0 上为减函数； 对于 D 选项，函数 siny x 为奇函数，且在区间  ,0 上不单调. 故选：AC. 【点睛】本题考查基本初等函数单调性与奇偶性的判断，考查推理能力，属于基础题. 12.如图所示，点 M 、 N 是函数    2cos 0, 2 2f x x              的图象与 x 轴 的交点，点 P 在 M 、 N 之间的图象上运动，若  1,0M  ，且当 MPN 的面积最大时， PM PN ，则（ ） A.  0 2f  B. 2    C.  f x 的单调增区间为  1 8 ,1 8k k k Z    D.  f x 的图象关于直线 5x  对称 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据图象以及题中信息求出函数  y f x 的解析式，可判断出 B 选项的正误；求出  0f 的 值，可判断出 A 选项的正误；结合余弦型函数的基本性质可判断出 C、D 选项的正误. - 9 - 【详解】由题意可知，当 MPN 的面积最大时，点 P 为函数  y f x 图象上的一个最高点， 设点 P 的坐标为  0 2x , ，由余弦型函数的对称性可知 PM PN ，又 PM PN ， 则 PMN 为等腰直角三角形，且 4PMN   ，则直线 PM 的斜率为 0 2 0 11PMk x   ， 得 0 1x  ，则点 P 的坐标为  1,2 ， 所以，函数  y f x 最小正周期为  4 1 1 8T     ， 2 4T      ，  1 2cos 24f        ，得 cos 14       ， 2 2     ， 3 4 4 4       ， 04     ，得 4    ，则   2cos 4 4f x x      ， 0    ，B 选项错误；  0 2cos 2cos 24 4f         ，A 选项正确； 解不等式  2 24 4k x k k Z        ，解得  8 3 8 1k x k k Z     ， 所以，函数  y f x 的单调递增区间为  3 8 ,1 8k k k Z    ，C 选项错误；  5 2cos 2f    ，所以，函数  y f x 的图象关于直线 5x  对称，D 选项正确. 故选：AD. 【点睛】本题考查余弦型三角函数基本性质的判断，根据图象求出三角函数的解析式是关键， 考查计算能力，属于中等题. 三、填空题：. 13.计算： 1 3 2 1 log 3264       ______. 【答案】 1 【解析】 【分析】 利用指数幂和对数的运算性质可计算出所求代数式的值. 【详解】原式   1 6 5 23 22 log 2 2 5 1       . 故答案为： 1 . - 10 - 【点睛】本题考查指数与对数的计算，考查指数幂与对数运算性质的应用，考查计算能力， 属于基础题. 14.已知函数   2 32 3, 2 3, 12 4 , 1 x x f x x x x x            ，若   2f x  ，则 x ______. 【答案】 2 【解析】 【分析】 分 3 2x   、 3 12 x   、 1x  三种情况解方程   2f x  ，即可得出结果. 【详解】   2 32 3, 2 3, 12 4 , 1 x x f x x x x x             ，当 3 2x   时，令   2 3 2f x x   ，解得 1 2x   （舍 去）； 当 3 12 x   时，令   2 2f x x  ，解得 2x   或 2x  （舍去）； 当 1x  时，令   4 2f x x  ，解得 1 2x  （舍去）. 综上所述， 2x   . 故答案为： 2 . 【点睛】本题考查根据分段函数值求自变量的值，解题时要对自变量的取值进行分类讨论， 考查运算求解能力，属于基础题. 15.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 的顶点 A 、 B 分别在 x 轴非负半轴和 y 轴 的非负半轴上滑动，顶点C 在第一象限内， 2AB  ， 1BC  ，设 DAx   .若 4   ，则 点C 的坐标为______；若 0, 2      ，则OC OD  的取值范围为______. - 11 - 【答案】 (1). 2 3 2,2 2       (2).  1,3 【解析】 【分析】 分别过点 D 作 x 、 y 轴的垂线，垂足点分别为 E 、 F ，过点C 分别作 x 、 y 轴的垂线，垂足 点分别为 M 、N ，设点  1 1,C x y 、  2 2,D x y ，根据锐角三角函数的定义可得出点C 、D 的 坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算和二倍角的正弦公式可求出 OC OD  的取值范围. 【详解】分别过点 D 作 x 、 y 轴的垂线，垂足点分别为 E 、 F ，过点C 分别作 x 、 y 轴的垂 线，垂足点分别为 M 、 N ，如下图所示： 则 OBA DAE BCN       ，设点  1 1,C x y 、  2 2,D x y ， 则 1 cosx CN   ， 1 2cos siny OB BN      ， 2 2sin cosx OA AE      ， 2 siny DE   . 当 4   时， 1 2cos 4 2x   ， 1 3 22cos sin4 4 2y     ，则点 2 3 2,2 2C       ； 由上可知，  cos ,2cos sinC    ，  2sin cos ,sinD    ， 则 - 12 -    cos 2sin cos 2cos sin sin 1 4sin cosOC OD                 1 2sin 2 1,3    ， 因此，OC OD  的取值范围是 1,3 . 故答案为： 2 3 2,2 2       ； 1,3 . 【点睛】本题考查点的坐标的计算，同时也考查了平面向量数量积的取值范围的求解，解题 的关键就是将点的坐标利用三角函数表示，考查运算求解能力，属于中等题. 16.已知函数    2 1 , 12 2 , 1 a x x f x x a x         ，若函数   1y f x  恰有 4 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是______. 【答案】 3,6 【解析】 【分析】 由题意可知，函数   1y f x  在区间 ,1 和 1, 上均有两个零点，利用数形结合思想 和代数法可求出实数 a 的取值范围，综合可得出答案. 【详解】当 1x  时，令   1 0f x   ，得 1 1 02 a x    ，即 1 12 ax    ，该方程至多两 个根； 当 1x  时，令   1 0f x   ，得 22 1 0x a   ，该方程至多两个根. 由于函数   1y f x  恰有 4 个不同的零点，则函数   1y f x  在区间 ,1 和 1, 上 均有两个零点. 由题意知，直线 12 ay   与函数 1y x  在区间 ,1 上的图象有两个交点，如下图所示： - 13 - 由图象可知， 0 1 22 a   ，解得 2 6a  ； 函数   1y f x  在区间 1, 上也有两个零点， 令 22 1 0x a   ，解得 1 1 2 ax  ， 2 1 2 ax  ，由题意可得 1 12 a   ，解得 3a  . 综上所述，实数 a 的取值范围是 3,6 . 故答案为： 3,6 . 【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，考查数形结合思想以及代数法的 应用，属于中等题. 四、解答题： 17.设全集U  R ，集合  1 5A x x m     ， 1 2 42 xB x       . （1）当 1m  时，求  UA B∩ ð ； （2）在① A B   ，② A B A  ，③  UA B ð 这三个条件中任选一个，求实数 m 的取 值范围. 【答案】（1） 2,6 ；（2）①   , 6 3,   ；② 3,0 ；③   , 6 3,   . 【解析】 【分析】 （1）将 1m  代入集合 A ，求出集合 A 和 U Bð ，然后利用交集的定义可求出集合  UA B∩ ð ； （2）选择①，根据 A B   得出关于实数 m 的不等式组，解出即可；选择②，由 A B A  ， 可得出 B A ，可得出关于实数 m 的不等式组，解出即可；选择③，求出集合 U Bð ，根据 - 14 -  UA B ð 可得出关于实数 m 的不等式，解出即可. 【详解】（1）当 1m  时，      1 1 5 0 6 0,6A x x x x         ，    1 2 4 1 2 1,22 xB x x x             ，    , 1 2,U B    ð ， 因此，    2,6UA B  ð ； （2）    1 5 1, 5A x x m m m        ，    , 1 2,U B    ð . 选择①， A B    ，则 5 1m   或 1 2m  ，解得 6m   或 3m  ， 此时，实数 m 的取值范围是   , 6 3,   ； 选择②， A B AQ U ， B A  ，则 1 1 5 2 m m       ，解得 3 0m   ， 此时，实数 m 的取值范围是 3,0 ； 选择③，  UA B ð ， 5 1m    或 1 2m  ，解得 6m   或 3m  ， 此时，实数 m 的取值范围是   , 6 3,   . 综上所述，选择①，实数 m 的取值范围是   , 6 3,   ； 选择②，实数 m 的取值范围是 3,0 ； 选择③，实数 m 的取值范围是   , 6 3,   . 【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数的取值 范围，考查运算求解能力，属于中等题. 18.已知函数    2cos 3sin cos 1f x x x x   . （1）求  f x 的周期和单调区间； （2）若   8 5f   ， ,4 2       ，求 cos2 的值. 【 答 案 】（ 1 ） 周 期 为  ， 增 区 间 为  ,3 6k k k Z         ， 减 区 间 为 - 15 -  2,6 3k k k Z        ；（2） 4 3 3 10  . 【解析】 【分析】 （1）利用三角恒等变换思想可得出   2sin 2 6f x x      ，利用周期公式可求出函数  y f x 的 周 期 ， 分 别 解 不 等 式  2 2 22 6 2k x k k Z          和  32 2 22 6 2k x k k Z         ，可得出该函数的增区间和减区间； （2）由   8 5f   可得出 4sin 2 6 5      ，利用同角三角函数的平方关系求出 cos 2 6     的值，然后利用两角差的余弦公式可求出 cos2 的值. 【详解】（1）     22cos 3sin cos 1 2 3sin cos 2cos 1f x x x x x x x      3sin 2 cos2 2sin 2 6        x x x ， 所以，函数  y f x 的周期为 2 2T    ， 令  2 2 22 6 2k x k k Z          ，解得  3 6k x k k Z        ； 令  32 2 22 6 2k x k k Z         ，解得  2 6 3k x k k Z       . 因此，函数  y f x 的增区间为  ,3 6k k k Z         ，减区间为  2,6 3k k k Z        ； （2）   82sin 2 6 5f        ， 4sin 2 6 5       ， ,4 2       ， 2 72 ,6 3 6          ， 2 3cos 2 1 sin 26 6 5                    ， - 16 - cos2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin6 6 6 6 6 6                                   3 3 4 1 4 3 3 5 2 5 2 10       . 【点睛】本题考查正弦型函数周期和单调区间的求解，同时也考查了利用两角差的余弦公式 求值，考查运算求解能力，属于中等题. 19.已知函数   2 2x xf x   . （1）判断并证明  f x 的奇偶性； （2）求函数    2 22 2x xg x f x   在区间 0,1 上的最小值和最大值. 【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）最小值为 7 4 ，最大值为11 4 . 【解析】 【分析】 （1）利用函数奇偶性的定义证明即可； （2）设  u f x ，可知函数  u f x 为增函数，由  0,1x ，可得出 30, 2u      ，且有 2 2 22 2 2x x u   ，将问题转化为二次函数 2 2y u u   在 30, 2u      上的最值问题，利用 二次函数的基本性质求解即可. 【详解】（1）函数   2 2x xf x   的定义域为 R ，关于原点对称，      2 2 2 2x x x xf x f x         ， 因此，函数   2 2x xf x   为奇函数； （2）设  u f x ，由于函数 1 2xy  为增函数，函数 2 2 xy  为减函数， 所以，函数  u f x 为增函数，当  0,1x 时，则 30, 2u      ， 且  22 2 22 2 2 2 2 2x x x x u       ，则   2 2g x u u   ， 令 2 2 1 72 2 4y u u u         ， 30, 2u      . - 17 - 所以，  min 7 4g x  ，   2 max 3 1 7 11 2 2 4 4g x        . 【点睛】本题考查函数奇偶性的证明，同时也考查了指数型函数在区间上最值的求解，利用 换元法转化为二次函数的最值问题是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 20.如图， M 、 N 分别是 ABC 的边 BC 、 AB 上的点，且 1 4BM BC ， 1AN AB2  ， AM 交 CN 于 P . （1）若 AM xAB yAC    ，求 x y 的值； （2）若 4AB  ， 3AC  ， 60BAC   ，求 AP BC  的值. 【答案】（1） 1 2 ；（2） 27 7  . 【解析】 【分析】 （1）利用平面向量加法的三角形法则可求出 x 、 y 的值，进而可计算出 x y 的值； （2）设 3 1 4 4AP AM AB AC        ，设 NP kNC  ，根据平面向量的基本定理可得出 关于  、k 的方程组，解出这两个未知数，可得出 AP  关于 AB  、AC  的表达式，然后用 AB  、 AC  表示 BC  ，最后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出 AP BC  的值. 【详解】（1）  1 1 3 1 4 4 4 4AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC                  ， 3 4x  ， 1 4y  ，因此， 3 1 1 4 4 2x y    ； （2）设 3 1 4 4AP AM AB AC        ， 再设 NP kNC  ，则  AP AN k AC AN      ，即 - 18 -   11 2 kAP k AN k AC AB k AC         ， 所以， 3 1 4 2 1 4 k k       ，解得 4 7 1 7k     ，所以 3 1 7 7AP AB AC    ， 因此，     2 21 13 2 37 7AP BC AB AC AC AB AC AB AC AB                 2 21 1 273 2 4 3 3 47 2 7              . 【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数，同时也考查了平面向量数量积的计算， 解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题. 21.“百姓开门七件事，事事都会生垃圾，垃圾分类益处多，环境保护靠你我”，为了推行垃 圾分类，某公司将原处理垃圾可获利  0a a  万元的一条处理垃圾流水线，通过技术改造后， 开发引进生态项目.经过测算，发现该流水线改造后获利  f x 万元与技术投入 x 万元之间满 足的关系式：    4f x x a x  .该公司希望流水线改造后获利不少于 2x 万元，其中  为常 数，且 1  . （1）试求该流水线技术投入 x 的取值范围； （2）求流水线改造后获利  f x 的最大值，并求出此时的技术投入 x 的值. 【答案】（1） 4 ,4 a a      ；（2）当 4  时，   2 maxf x a ，此时 2 ax  ；当1 4  时，     2 2max 16 4 af x     ，此时 4 4 ax   . 【解析】 【分析】 （1）由题意得出   20 f x x  ，解此不等式即可得出 x 的取值范围； （2）比较 4 4 a   与 2 a 的大小关系，分析二次函数  y f x 在区间 4 ,4 a a      上的单调性， 由此可得出函数  y f x 的最大值及其对应的 x 的值. - 19 - 【详解】（1） 0a  ， 1  ，由题意可得   20 f x x  ，即   20 4x a x x   ， 解得 4 4 a x a   ，因此，该流水线技术投入 x 的取值范围是 4 ,4 a a      ； （2）二次函数    4f x x a x  的图象开口向下，且对称轴为直线 2 ax  . ①当 4 4 2 a a   时，即当 4  时，函数  y f x 在区间 4 ,4 2 a a       上单调递增，在区间 ,2 a a     上单调递减，所以，   2 max 2 af x f a     ； ②当 4 4 2 a a   时，即当1 4  时，函数  y f x 在区间 4 ,4 a a      上单调递减， 所以，     2 2max 4 16 4 4 a af x f          . 综上所述，当 4  时，   2 max 2 af x f a     ；当1 4  时，     2 2max 4 16 4 4 a af x f          【点睛】本题考查二次函数模型的应用，同时也考查了二次函数最值的求解，考查分类讨论 思想的应用，属于中等题. 22.已知函数   2logf x x ，    2log 1g x ax  ， a R . （1）若 2a  ，解关于 x 的方程     0f x g x  ； （2）设t R ，函数    h x f x t t   在区间 2 8, 上的最大值为 3，求t 的取值范围； （3）当 0a  时，对任意 1 ,12m     ，函数    y g x f x  在区间 , 1m m  上的最大值与 最小值的差不大于 1，求 a 的取值范围. 【答案】（1） 1 2x  ；（2） ,2 ；（3） 2 ,3    . 【解析】 【分析】 - 20 - （1）将 2a  代入函数  y g x 的解析式，并求出函数    y f x g x  的定义域，利用对 数的运算法则可解出方程     0f x g x  ； （2）当  2,8x 时，    2log 1,3f x x  ，分 1t  、 3t  和1 3t  三种情况讨论，去绝 对值，分析函数  y h x 在区间 2 8, 上的单调性，结合该函数在区间 2 8, 上的最大值为 3 ， 可求出实数t 的取值范围； （3）利用对数的运算性质可得出     2 1logg x f x a x       ，可知该函数在区间 , 1m m  上为减函数，由题意得出   1 1 ma m m   对任意的 1 ,12m     恒成立，求出   1 1 m m m   在 1 ,12m     上的最大值，即可得出实数 a 的取值范围. 【详解】（1）当 2a  时，    2log 2 1g x x  ， 则        2 2 2 2log log 2 1 log 2f x g x x x x x      ，定义域为 0,  . 由     0f x g x  ，可得  2 2log 2 0x x  ，可得 22 1 0x x   ， 解得 1 2x  或 1x   （舍去），因此，关于 x 的方程     0f x g x  的解为 1 2x  ； （2）当  2,8x 时，    2log 1,3f x x  . 当 1t  时， 2log x t 对任意的  2,8x 恒成立，则     2logh x f x t t x    ， 此时，函数  y h x 在区间 2 8, 上为增函数，    max 8 3h x h  ，合乎题意； 当 3t  时， 2log x t 对任意的  2,8x 恒成立，则     22 logh x f x t t t x     ， 此时，函数  y h x 在区间 2 8, 上为减函数，    max 2 2 1 3h x h t    ，解得 2t  ，不 合乎题意； 当1 3t  时，令   0f x t  ，得 2tx  ，此时   2 2 2 log ,2 2 log ,2 8 t t t x xh x x x        ， 所以，函数  y h x 在区间 2,2t   上为减函数，在区间2 ,8t  上为增函数.  2 2 1h t  ，  8 3h  ，由于    max max 2 1,3 3h x t   ，所以 2 1 3t   ，解得 2t  . - 21 - 此时，1 2t  . 综上所述，实数t 的取值范围是  ,2 ； （3）      2 2 2 1log 1 log log +g x f x ax x a x          ， 由于内层函数 1u a x   在区间   , 1 0m m m  为减函数，外层函数 2logy u 为增函数， 所以，函数    y g x f x  在区间 , 1m m  上为减函数， 所以 max 2 1logy a m      ， min 2 1log 1y a m      ， 由题意可得 max min 2 2 1 1log log 11y y a am m                ，可得 1 12 1a am m       ， 所以，   1 2 1 1 1 ma m m m m     . ①当 1m  时，   1 01 m m m   ； ②当 1 ,12m     时，令 11 0, 2t m       ，设   1 1 my m m   ， 可得    2 1 21 2 2 3 3 t ty t t t t t t         . 下面利用定义证明函数   2 3t t t     在区间 10, 2      上的单调性， 任取 1t 、 2 10, 2t     且 1 2t t ，即 1 2 10 2t t   ，          2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 22 2 2 23 3 t tt t t t t t t tt t t t t t                                   1 2 1 2 1 2 2t t t t t t   ， 1 2 10 2t t   ， 1 2 0t t   ， 1 2 1 40 t t  ，    1 2 0t t    ，即    1 2t t  ， - 22 - 所以，函数   2 3t t t     在区间 10, 2      上单调递减， 当 1 2t  时，函数 1 2 3 y t t    取得最大值 2 3 . 综上所述，函数   1 1 my m m   在 1 ,12m     上的最大值为 2 3 ， 2 3a  . 因此，实数 a 的取值范围是 2 ,3    . 【点睛】本题考查对数方程的求解、考查了利用带绝对值函数的最值求参数，同时也考查了 函数不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题.