江苏省南通市如皋市2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）

- 1 - 江苏省南通市如皋市 2020 学年高二数学上学期期末考试试题（含解析） 一､单项选择题 1.已知过抛物线 ( )的焦点且垂直于 x 轴的弦长度为 2，则实数 的值为( ) A. 4 B. 2 C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出抛物线的焦点坐标，再求出弦长即得解. 【详解】由题得抛物线的焦点坐标为 ， 当 x= 时，所以 所以|y|= 所以弦长为 . 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平. 2.下列选择支中，可以作为曲线 与 x 轴有两个交点的充分不必要条件是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据曲线 与 x 轴有两个交点得到 且 ，再根据充分不必要条件 的定义得解. 【详解】当 a=0 时， ，曲线 与 x 轴有一个交点； 当 a≠0 时， 因为曲线 与 x 轴有两个交点， 所以 .所以 且 . 2y ax= 0a > a ( ,0)4 a 4 a 2 2 4 4 a ay a= × = ， 2 a 2 =22 a a× = 2 2 1y ax x= − − ( )1,− +∞ ( ) ( )1,0 0,− +∞ ( )1,0− ( )2,− +∞ 2 2 1y ax x= − − 1a > − 0a ≠ 1 2x = − 2 2 1y ax x= − − 2 2 1y ax x= − − =4+4 0, 1a a∆ > ∴ > − 1a > − 0a ≠- 2 - 由于选择支是充分不必要条件， 所以选择支对应的集合是 的真子集， 只有选项 C 满足题意. 故选：C 【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判定，考查二次函数的零点问题，意在考查学生对 这些知识的理解掌握水平. 3.气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为 ，在刮台风的条件下，下大雨的概率 为 ，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设某地区每年七月份刮台风为事件 A,设某地区每年七月份下大雨为事件 B,则该地区七月份 既刮台风又下大雨为事件 AB，由题得 ，化简即得解. 【详解】设某地区每年七月份刮台风为事件 A,设某地区每年七月份下大雨为事件 B,则该地区 七月份既刮台风又下大雨为事件 AB， 由题得 , 所以 , 所以 . 故选：B 【点睛】本题主要考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基 础题. 4.一个班级共有 30 名学生，其中有 10 名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某 项活动，假设选出的 3 名代表中的女生人数为变量 X，男生的人数为变量 Y，则 等于( ) ( ) ( )1,0 0,− ∪ +∞ 3 5 9 10 2 3 27 50 9 10 3 10 9( | ) 10P B A = 3 9( ) , ( | )5 10P A P B A= = 9 ( ) ( )( | ) = 310 ( ) 5 P AB P ABP B A P A = = 9 3 27( ) 10 5 50P AB = × = ( ) ( )2 2P X P Y= + =- 3 - A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出 ,即得解. 【详解】由题得 , 所以 . 故选：C. 【点睛】本题主要考查超几何分布概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5.某设备的使用年限 x(单位:年)与所支出的维修费用 y(单位:万元)如下表所示.已知 y 与 x 具有线性相关关系，且线性回归方程为 ，则实数 a 的值为( ) A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出样本中心点，代入回归直线方程即得解. 【详解】由题得 ， 所以样本中心点为（4,5）， 所以 5=4a+1,所以 a=1. 故选：D. 【点睛】本题主要考查回归直线方程的样本中心点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水 平. 2 2 10 20 3 30 C C C 2 2 10 20 3 30 C C C + 2 1 1 2 10 20 10 20 3 30 C C C C C + ( ) ( )2 1 1 2 10 20 10 20 3 30 C C C C C + ⋅ + (X 2),P(Y 2)P = = 2 1 1 2 10 20 10 20 3 3 30 30 ( 2) , ( 2)C C C CP X P YC C = = = = (X 2) P(Y 2)P = + = = 2 1 1 2 10 20 10 20 3 30 C C C C C + ˆ 1y ax= + 2 3 4 5 6 2 4 6 6 74, 55 5x y + + + + + + + += = = =- 4 - 6.在直角坐标系 xoy 中，双曲线 C: 的右支上有一点 P，该点的横坐标为 5， 、 是 C 的左､右焦点，则 的周长为( ) A. B. 18 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出 ，再利用双曲线的几何性质求出 的周长. 【详解】由题得 ， 因为 P 点的横坐标为 5,所以 ,所以 ， 所以 ， 所以 的周长为 . 故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线的定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7.由 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为( ) A. 288 B. 360 C. 480 D. 600 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，首先分析末位数字，易得末位数字可以为 1、3、5，可得其取法数目，其首位数字 不能为 0，可得其取法数目，再选 3 个数字，排在中间，有 种排法，由分步计数原理，计 算可得答案 【详解】根据题意，末位数字可以为 1、3、5，有 种取法，首位数字不能为 0，有 种取 法，再选 3 个数字，排在中间，有 种排法，则五位奇数共有 ， 故选：A． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，解题时注意题干条件对数的限制，其次还要注意首位 . 2 2 116 9 x y− = 1F 2F 1 2PF F△ 45 2 81 4 35 2 2 9| | 4PF = 1 2PF F 16 9 5c = + = 2 1 2PF F F⊥ 2 9| | 4PF = 1 9 41| | +2 4=4 4PF = × 1 2PF F 9 41 45+ +10=4 4 2 3 4A 1 3A 1 4A 3 4A 1 1 3 3 4 4 288A A A =- 5 - 数字不能为 0，属于基础题． 8.已知 a，b 是平面 α 外的两条不同直线，它们在平面 α 内的射影分别是直线 ， ( 与 不重合)，则下列命题正确的个数是( ) (1)若 ，则 ； (2)若 ，则 ； (3)若 ，则 ； (4)若 ，则 a⊥b. A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 【答案】B 【解析】 【分析】 （1）直接判断得解；（2）举出一个反例 即可判断错误；（3）举出一个反例， 相 交即可判断错误；（4）举出反例，a,b 不垂直即可判断错误. 【详解】(1)若 ，则 ，是正确的； (2)若 ，则 是错误 ，因为 有可能平行或者相交； (3)若 ，则 a//b 是错误的，因为 a,b 有可能相交、异面； 的 a′ b′ a′ b′ //a b //a b′ ′ a b⊥  a b′ ⊥ ′ a b′ ⊥ ′ //a b a b′ ⊥ ′ / /a b′ ′ ,a b / /a b / /a b′ ′ a b⊥  a b′ ⊥ ′ a b、′ ′ a b′ ⊥ ′- 6 - (4)若 ，则 a⊥b 是错误的，因为 a,b 可能不垂直. 故选：B 【点睛】本题主要考查空间直线位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 二､多项选择题 9.如城镇小汽车的普及率为 75%，即平均每 100 个家庭有 75 个家庭拥有小汽车，若从如城镇 中任意选出 5 个家庭，则下列结论成立的是( ) A. 这 5 个家庭均有小汽车的概率为 B. 这 5 个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 C. 这 5 个家庭平均有 3.75 个家庭拥有小汽车 a b′ ⊥ ′ 243 1024 27 64- 7 - D. 这 5 个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】 利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率研究每一个选项判断得解. 【详解】由题得小汽车的普及率为 ， A. 这 5 个家庭均有小汽车的概率为 ，所以该命题是真命题； B. 这 5 个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 ,所以该命题是假命 题； C. 这 5 个家庭平均有 3.75 个家庭拥有小汽车，是真命题； D. 这 5 个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为 = , 所以该命题是真命题. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率和互斥事件的概率，意在考查学生对这些知识的 理解掌握水平. 10.若随机变量 ， ，其中 ，下列等式成立有( ) A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据随机变量 服从标准正态分布 ，得到正态曲线关于 对称，再结合正态分布的 密度曲线定义 ， ，由此可解决问题． 81 128 3 4 53( )4 = 243 1024 3 3 2 5 3 1 135( ) ( )4 4 512C = 4 4 5 5 3 1 3( ) ( ) ( )4 4 4C + 81 128 ( )0,1Nξ  ( ) ( )x P xφ ξ= ≤ 0x > ( ) ( )1x xφ φ− = − ( ) ( )2 2x xφ φ= ( ) ( )2 1P x xξ φ< = − ( ) ( )2P x xξ φ> = − ξ (0,1)N 0ξ = ( ) (x P xφ ξ=  0)x >- 8 - 【详解】 随机变量 服从标准正态分布 ， 正态曲线关于 对称， ， ，根据曲线的对称性可得： A. ，所以该命题正确； B ，所以 错误； C. ，所以该命题正确； D. 或 ，所以该 命题错误． 故选： ． 【点睛】本题主要考查正态分布的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11.在正三棱锥 中，侧棱长为 3，底面边长为 2，E，F 分别为棱 AB，CD 的中点，则 下列命题正确的是( ) A. EF 与 AD 所成角的正切值为 B. EF 与 AD 所成角的正切值为 C. AB 与面 ACD 所成角的余弦值为 D. AB 与面 ACD 所成角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 .  ξ (0,1)N ∴ 0ξ = ( ) (x P xφ ξ=  0)x > ( ) ( ) 1 ( )x x xφ φ ξ φ− = ≥ = − (2 ) ( 2 ),2 ( ) 2 ( )x x x xφ φ ξ φ φ ξ= ≤ = ≤ ( ) ( )2 2x xφ φ= (| | )= ( ) 1 2 ( ) 1 2[1 ( )] 2 ( ) 1P x P x x x x xξ ξ φ φ φ< − ≤ ≤ = − − = − − = − (| | ) (P x P xξ ξ> = > )=1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 2 ( )x x x x x xξ φ φ φ φ φ< − − + − = − + − = − AC A BCD− 3 2 2 3 7 2 12 7 9- 9 - 【分析】 如图所示，先找出 EF 与 AD 所成角再求解，再找出 AB 与面 ACD 所成角求解. 【详解】 （1）设 中点为 ， 的中点为 ，连接 、 、 、 ， 因为 ， ， ， 所以 ， ， 所以 就是直线 与 所成的角或补角， 在三角形 中， ， ， 由于三棱锥 是正三棱锥， ， ， 又因为 平面 ， ，所以 平面 ， 平面 ，所以 ，所以 ， 所以 ，所以 A 错误 B 正确. （2）过点 作 垂直 ，垂足为 . AC G BC H EG FG AH DH AE BE= AG GC= CF DF= //EG BC //FG AD EFGÐ EF AD EFG 1EG = 3 2FG = A BCD− BC DH⊥ BC AH⊥ ,AH HD ⊂ ADH AH DH H∩ = BC ⊥ ADH AD ⊂ ADH BC AD⊥ EG FG⊥ 1 2tan 3 3 2 EGEFG FG ∠ = = = B BO AF O- 10 - 因为 ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 平面 ，所以 ， 因为 ， 平面 ，所以 平面 ， 所以 就是 与平面 所成角. 由题得 ，所以 . 所以 C 正确 D 错误. 故答案为：BC. 【点睛】本题主要考查空间异面直线所成的角的求法，考查直线和平面所成的角的求法，意 在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12.如图，矩形 ABCD 中， ， ，E，F，G，H 分别是矩形四条边的中点，R，S，T 是线段 OF 的四等分点， ， ， 是线段 CF 的四等分点，分别以 HF，EG 为 x，y 轴建立 直角坐标系，设 ER 与 ､ER 与 分别交于 ， ，ES 与 ､ES 与 交于 ， ，ET 与 交于点 N，则下列关于点 ， ， ， ，N 与两个椭圆: : ， : 的位置关系叙述正确的是( ) CD BF⊥ CD AF⊥ , ,BF AF F BF AF= ⊂ ABF CD ⊥ ABF BO ⊂ ABF CD BO⊥ BO AF⊥ , ,AF CD F AF CD= ⊂ ACD BO ⊥ ACD BAO∠ AB ACD 3, 2 2, 3BF AF AB= = = 9 8 3 14 7cos 2122 3 2 2 12 2 BAO + −∠ = = = ⋅ ⋅ 8AB = 6BC = R′ S′ T′ GR′ GT′ 1L 2L GS′ GT′ 1M 2M GT′ 1L 2L 1M 2M 1 Γ 2 2 116 9 x y+ = 2 Γ 2 23 132 9 x y+ =- 11 - A. 三点 ， ，N 在 ，点 在 上 B. ， 不在 上， ，N 在 上 C. 点 在 上，点 ， ， 均不在 上 D. ， 在 上， ， 均不在 上 【答案】AC 【解析】 【分析】 求出 的坐标，证明 在 上；求出 的坐标，证明点 在 上.即得解. 【详解】由题得 E（0，-3），R（1,0），所以直线 ER 的方程为 . 由题得 G（0,3）， ，所以 ， 所以直线 的方程为 ， 联立 , 的坐标满足椭圆 : ， 所以 在 上. 由题得 ES 的方程为 . 由题得 ,所以 所以直线 的方程为 ， 联立直线 ES 和 方程得 , 满足 : ， 1L 1M 1 Γ 2M 2 Γ 1L 1M 1 Γ 2L 1 Γ 2M 2 Γ 1L 2L 1M 2 Γ 1L 1M 1 Γ 2L 2M 2 Γ 1L 1L 1 Γ 2M 2M 2 Γ 1, 3 33 yx y x+ = ∴ = −− 9(4, )4R′ 9 3 34 4 16GRk ′ − = = − GR′ 3 316y x= − + 1 3 3 96 135, ( , )16 51 513 3 y x L y x  = − + ∴  = − 1L 1 Γ 2 2 116 9 x y+ = 1L 1 Γ 1, 3 2 62 3 x y x y+ = ∴− + = −− 3(0,3), (4, )4G T′ 3 3 94 ,4 16GTk ′ − = = − GT′ 9 316y x= − + GT′ 2 32 15( , )11 11M 2 32 15( , )11 11M 2 Γ 2 23 132 9 x y+ =- 12 - 所以点 在 上.所以选项 BD 错误. 由于本题属于多项选择题，所以至少两个答案正确. 故选：AC 【点睛】本题主要考查直线的交点的求法，考查点和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些 知识的理解掌握水平. 三､填空题 13.采用随机数表法从编号为 01，02，03，……，30 的 30 个个体中选取 7 个个体，指定从下 面随机数表的第一行第 5 列开始，由左向右选取两个数字作为应取个体的号码，则选取的第 6 个个体号码是______. 03 47 43 86 36 16 47 80 45 69 11 14 16 95 36 61 46 98 63 71 62 33 26 36 77 97 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 52 24 52 79 89 73 【答案】20 【解析】 【分析】 利用随机数表写出依次选取的号码即得解. 【详解】指定从下面随机数表的第一行第 5 列开始，由左向右选取两个数字作为应取个体的 号码，则选取的号码依次是：16,11,14,26,24,20,27.所以第 6 个号码是 20. 故答案为：20. 【点睛】本题主要考查随机数表，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 14.一个球的直径为 2，则它的内接正四棱柱侧面积的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 设 底 面 正 方 形 的 边 长 为 ， 棱 柱 高 为 ， 则 棱 柱 侧 面 积 ． 根 据 ．化简得 ，进而结合基本不等式可得 的最值． 【详解】设底面正方形的边长为 ，棱柱高为 ，则棱柱侧面积 ． 2M 2 Γ 4 2 2x 2y 16S xy= 2 2 2(2 ) (2 ) (2 ) 2x x y+ + = 2 22 1x y+ = S 2x 2y 16S xy=- 13 - 正四棱柱为半径为 的球的内接正四棱柱， ． 即 ， 由基本不等式得： ， 即 ， ， 即内接正四棱柱的侧面积的最大值是 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查的知识点是球的内接多面体和基本不等式，由基本不等式得到 是 解答的关键． 15.已知双曲线 (a＞0，b＞0)的右焦点为 F，由 F 向其渐近线引垂线，垂足为 P， 若线段 PF 的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________． 【答案】 【解析】 由题意设 ，相应的渐近线方程为 ，根据题意得 ，设 ，代 入 得 ，则 ，则线段 的中点为 ，代入双曲 线方程得 ，即 ，∴ ，∴ ， 故答案为 . 16.已知 ，则 ______； ______. 【答案】 (1). (2). 84 【解析】  R ∴ 2 2 2(2 ) (2 ) (2 ) 2x x y+ + = 2 22 1x y+ = 2 22 2 2x y xy+  2 22 1 2 2 2 2 x yxy + = 16 4 2S xy∴ =  4 2 4 2 2 2 2 Rxy 2 2 2 2 1x y a b − = 2 ( ),0F c by xa = PF ak b = − , bP x xa      PF ak b = − 2ax c = 2 ,a abP c c      PF 21 ,2 2 a abcc c   +      2 21 1 14 4 a c a c a c    + − =       2 21 1 1 1 14 4ee e    + − ⋅ =       2 2e = 2e = 2 ( ) ( )10 2 9 2 19 0 1 2 191 1x x x x a a x a x a x− + + +⋅⋅⋅+ = + + +⋅⋅⋅+ 18a = 6a = 9−- 14 - 【分析】 求出 的系数即得解. 【详解】设 的通项为 ， 令 r=0,则 令 r=1,则 ， 所以 ； 令 r=4,则 令 r=5,则 ， 令 r=6,则 令 r=7,则 ， 令 r=8,则 令 r=9，则 ， 令 r=10,则 所以 . 故答案为：(1). ；(2). 84. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查二项式展开式的系数问题，意在考查学生对 这些知识的理解掌握水平. 四､解答题 17.为了了解居民消费情况，某地区调查了 10000 户小家庭的日常生活平均月消费金额，根据 所得数据绘制了样本频率分布直方图，如图所示，每户小家庭的平均月消费金额均不超过 9 千元，其中第六组､第七组､第八组尚未绘制完成，但是已知这三组的频率依次成等差数列， 且第六组户数比第七组多 500 户， 18 6,x x ( )101 x− 10 10 1 10 ( 1)r r r rT C x− − + = − 0 10 10 11 10 ;T C x x= = 1 10 1 9 9 10 10 ( 1) = 10T C x x−= − − 18a = ( )1 1+1 10 9× × − = − 4 6 6 5 10 210 ;T C x x= = 5 10 5 5 5 6 10 ( 1) = 252T C x x−= − − 6 4 4 7 10 210 ;T C x x= = 7 10 7 3 3 8 10 ( 1) = 120T C x x−= − − 8 2 2 9 10 45 ;T C x x= = 9 10 9 10 10 ( 1) = 10T C x x−= − − 10 0 11 10 1;T C x= = 6 210 1 252 1 210 1 120 1 45 1 10 1 1 1 84a = × − × + × − × + × − × + × = 9−- 15 - (1)求第六组､第七组､第八组的户数，并补画图中所缺三组的直方图； (2)若定义月消费在 3 千元以下的小家庭为 4 类家庭，定义月消费在 3 千元至 6 千无的小家庭 为 B 类家庭，定义月消费 6 千元以上的小家庭为 C 类家庭，现从这 10000 户家庭中按分层抽 样的方法抽取 80 户家庭召开座谈会，间 A，B，C 各层抽取的户数分别是多少? 【答案】(1)第六､七､八组的户数分别是:1500 户､1000 户､500 户，直方图见解析；(2)从 A， B，C 三类家庭分别抽取的户数分别是 18 户､48 户､14 户. 【解析】 【分析】 （1）设第六､七､八组的户数分别是 x，y，z，再通过已知求出它们即得解，再求出第六､七､ 八组的小矩形高度，补充完整频率分布直方图；（2）求出 A 类家庭的频率之和、B 类家庭的 频率之和、C 类家庭的频率之和，即得解. 【详解】(1)设第六､七､八组的户数分别是 x，y，z， 它们的频率之和为: ， 所以这三组的户数之和为: . 由于这三组的频率依次成等差数列，所以 x，y，z 也成等差数列， ， 又 ， ，解得: ， ， . ( )1 0.025 2 0.05 0.15 0.20 0.25 0.30− × + + + + = 10000 0.3 3000× = 2y x z= + 3000x y z+ + = 500x y− = 1500x = 100y = 500z =- 16 - 所以第六､七､八组的小矩形高度分别为: ， ， . 补直方图(需注明第七组的小矩形高度为 0.10，第六､八两组分别用虚线对应 0.15 和 0.05.) (2)A 类家庭的频率之和为: ； B 类家庭的频率之和为: ； C 类家庭的频率之和为: . 故 A，B，C 类家庭分别抽取的户数分别为: ， ， . 答:(1)第六､七､八组的户数分别是:1500 户､1000 户､500 户； (2)从 A，B，C 三类家庭分别抽取的户数分别是 18 户､48 户､14 户. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，考查分层抽样，意在考查学生对这些知识的 理解掌握水平和分析推理能力. 18.在直三棱柱 中， ， ， ，M，N 分别是 ､ 上的点，且 . 1500 0.1510000 = 1000 0.1010000 = 500 0.0510000 = 0.025 0.05 0.15 0.225+ + = 0.20 0.25 0.15 0.60+ + = 0.10 0.05 0.025 0.175+ + = 80 0.225 18× = 80 0.6 48× = 80 0.175 14× = ABC A B C′ ′ ′− 1AC BC= = 90ACB∠ = ° 1 2CC = 1AB 1BC : : 1: 2BM MA BN NC= =- 17 - (1)求证: 平面 ； (2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】 【分析】 （1）以 C 为原点，CA，CB， 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法证明 平面 ；（2）利用向量法求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值. 【详解】(1) 以 C 为原点，CA，CB， 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 如图，则 ， ， ， ， ， ， 设 ，因为 ，所以 ， 故 得: . 同理求得 ，所以 . 因为 是平面 的一个法向量， 且 ， / /MN 1 1ACC A 1MNB 1 1 1A B C 21 21 1CC //MN 1 1ACC A 1MNB 1 1 1A B C 1CC ( )0,0,0C ( )1,0,0A ( )0,1,0B ( )1 0,0,2C ( )1 1,0,2A ( )1 0,1,2B ( )1 1 1, ,M x y z 1 2 3AM AB=  ( ) ( )1 1 1 21, , 1,1,23x y z− = − 1 1 1 1 2 4, , ,3 3 3x y z= = = 1 2 4, ,3 3 3M      2 20, ,3 3N      1 2,0,3 3MN  = − −    ( )0,1,0CB = 1 1ACC A 1 20 0 1 0 03 3CB MN    ⋅ = − × + × + − × =        - 18 - 所以 ，又 平面 ，所以 平面 (2) ， ， 设平面 的--个法向量为 ， 则 即 令 ，则 ， ，所以 . 又平面 的一个法向量为 ， 设 θ 表示平面 与平面 所成锐二面角， 则 . 【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间角的计算，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平和计算能力. 19.已知椭圆 E: ( )过点 ，且它的右焦点为 . (1)求椭圆 E 的方程； (2)过 A 且倾斜角互补的两直线分别交椭圆 E 于点 B､C(不同于点 A)，且 ，求直线 AB 的方程. 【答案】(1) ；(2) 或 【解析】 【分析】 (1)由条件知 ，解方程即得解；（2）设直线 AB: ，利用弦长公 式求出|AB|,|AC|，根据|AB|=2|AC|得解. .CB MN⊥  MN ⊄ 1 1ACC A //MN 1 1ACC A 1 1 1 2, ,3 3 3B M  = − −    1 2,0,3 3MN  = − −    1MNB ( ), ,n x y z= 1 1 1 2 03 3 3 1 2 03 3 B M n x y z MN n x z  ⋅ = − − =  ⋅ = − − =     2 0, 2 0, x y z x z − − =  + = 1z = 2x = − 4y = − ( )2, 4,1n = − − 1 1 1A B C ( )1 0,0,2OC = 1MNB 1 1 1A B C ( ) ( ) 1 1 2 2 2 0 4 1 2 21cos 212 4 1 2 n OC n OC θ − × + − ×+ × = = = ⋅ − + + × ⋅ −     2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > ( )2,1A ( )6,0 1 2AC AB= 2 2 18 2 x y+ = 3 2 4 0x y− − = 6 4 0x y− + = 2 2 2 2 6, 4 1 1 a b a b  − = + = ( )1 2y k x− = −- 19 - 【详解】(1)由条件知 . 解得: ，所以椭圆 E 的方程为: . (2)设直线 AB: ，将直线 AB 的方程代入椭圆方程: 得: ，即 ， 解得: 或 . 故 . 同理: 因为 ，所以 . 化简得: ，解得: 或 ， 所以直线 AB 的方程为: 或 即 或 . 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些 知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 20.农机公司出售收割机，一台收割机的使用寿命为五年，在农机公司购买收割机时可以一次 性额外订购买若干次维修服务，费用为每次 100 元，每次维修时公司维修人员均上门服务， 实际上门服务时还需支付维修人员的餐饮费 50 元/次；若实际维修次数少于购买的维修次数， 则未提供服务的订购费用退还 50%；如果维修次数超过了购买的次数，农机公司不再提供服务 ，收割机的维修只能到私人维修店，每次维修费用为 400 元，无须支付餐饮费；--位农机手 在购买收割机时，需决策一次性购买多少次维修服务. 为此，他拟范收集､整理出一台收割机在五年使用期内维修次数及相应的频率如下表: . 2 2 2 2 6, 4 1 1 a b a b  − = + = 2 2 8 2 a b  =  = 2 2 18 2 x y+ = ( )1 2y k x− = − 2 24 8 0x y+ − = ( ) 22 4 2 1 8 0x k x + − + − =  ( ) ( ) ( )22 2 4 2 8 0x x k x k − + + − + =  2x = 2 2 8 8 2 4 1B k kx k − −= + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 18 8 21 2 1 2 4 14 1 4 1 kk kAB k x k kk k +− −= + − = + − = + ×+ + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 14 1 4 1 4 14 1 k kAC k k kk − + −= + − = + +− + 2AB AC= 2 2 2 2 2 1 2 14 1 2 4 14 1 4 1 k kk kk k + −+ = × + ×+ + 2 1 2 2 1k k+ = − 3 2k = 1 6 ( )31 22y x− = − ( )11 26y x− = − 3 2 4 0x y− − = 6 4 0x y− + =- 20 - (1)如果农机手在购买收割机时购买了 6 次维修，在使用期内实际维修的次数为 5 次，这位农 机手的花费总费用是多少?如果实际维修的次数是 8 次，农机手的花费总费用又是多少? (2)农机手购买了一台收制机，试在购买维修次数为 6 次和 7 次的两个数据中，根据使用期内 维修时花费的总费用期望值，帮助农机手进行决策. 【答案】(1)800 元，1700 元；(2)选订购 7 次维修较划算 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件直接求出购买 6 次维修，而实际维修次数为 5 次时的维修总费用，购买 6 次维修，而实际维修次数为 8 次时的维修总费用；（2）先求出购买维修次数为 6 次和 7 次的 总费用期望值，再帮助农机手进行决策. 【详解】(1)购买 6 次维修，而实际维修次数为 5 次时的维修总费用为: (元)； 购买 6 次维修，而实际维修次数为 8 次时的维修总费用为: (元). (2)购买 6 次维修时: 实际维修次数为 6 次时的维修总费用为: (元)； 实际维修次数为 7 次时的维修总费用为: (元)； 实际维修次数为 9 次时的维修总费用为: (元). 综合(1)的计算，订购维修次数 6 次时的维修总费用概率分布表: 维修次数 5 6 7 8 9 维修总费用 800 900 1300 1700 2100 P 0.3 0.3 0.2 0.1 0.1 (元)； 若订购维修次数为 7 次时，维修总费用的概率分布表为: 6 100 50 5 50 800× − + × = 6 100 50 6 2 400 1700× + × + × = 6 100 6 50 900× + × = 900 400 1300+ = 1700 400 2100+ = 1 ξ ( )1 800 0.3 900 0.3 1300 0.2 1700 0.1 2100 0.1 1150E ξ = × + × + × + × + × =- 21 - 维修次数 5 6 7 8 9 维修总费用 850 950 1050 1450 1850 P 0.3 0.3 0.2 0.1 0.1 (元). 因为 ，所以选订购 7 次维修较划算. 【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌 握水平和分析推理能力. 21.如图， 是边长为 3 的正三角形，D，E 分别在边 AB，AC 上，且 ，沿 DE 将 翻折至 位置，使二面角 为 60°. (1)求证: 平面 ； (2)求四棱锥 的体积. 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】 【分析】 （1）先证明 和 ，则 平面 即得证； （2）先求出 和 ，即得四棱锥 的体积. 【详解】(1)在 中， 1 ξ ( )2 850 0.3 950 0.3 1050 0.2 1450 0.1 1850 0.1 1080E ξ = × + × + × + × + × = ( ) ( )1 2E Eξ ξ> ABC 1BD AE= = ADE A DE′ A DE C′ − − A C′ ⊥ A DE′ A BDEC′− 7 8 DE A C⊥ ′ A C A E′ ⊥ ′ A C′ ⊥ A DE∆ ′ A H′ S四边形BDEC A BDEC′− ADE∆- 22 - ， ， ， 所以 ， 所以 ， ，即 ， ； 翻折后， ， ，又 ， ， 平面 ， 所以 平面 ，且 ， 又 平面 ，所以 ①； 在 中， ， ， ， 与证明 同理可得: ，所以 ②； 由于①②及 ， ， 平面 ，所以 平面 . (2)由(1)可知: 平面 ，又 平面 BDEC，所以平面 平面 . 在平面 内过 作 于 H，由于平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 BDEC， 又 ， ， 所以 . 【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明和空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这 些知识的理解掌握水平. 2AD = 1AE = 60DAE∠ =  2 2 2 2 22 cos 2 1 2 2 1 cos60 3DE AD AE AD AE DAE= + − ⋅ ∠ = + − × × × = 2 2 24DE AE AD+ = = 90AED∠ =  DE AE⊥ DE EC⊥ DE A E⊥ ′ DE EC⊥ EA EC E′∩ = EA′ EC ⊂ A EC′ DE ⊥ A EC′ 60A EC∠ =′  A C′ ⊂ A EC′ DE A C⊥ ′ A EC′∆ 1A E′ = 2EC = 60A EC∠ =′  90AED∠ =  90EA C∠ =′  A C A E′ ⊥ ′ A E DE E′ ∩ = A E′ DE ⊂ A ED′ A C′ ⊥ A DE¢ DE ⊥ A EC′ DE ⊂ BDEC ⊥ A EC′ A EC′ A′ A H EC′ ⊥ A EC′ ∩ BDEC EC= A H′ ⊂ A EC′ A H′ ⊥ 3sin60 2A H A E=′ =′  23 1 73 2 1 sin60 34 2 4ABC ADEBDECS S S∆= − = × − × × × = 四边形 B 1 1 7 3 733 3 4 2 8A BDEC DECV S A H′− × =′= ⋅ = ×四边形- 23 - 22.抛物线 M: 的焦点为 F，过焦点 F 的直线 l(与 x 轴不垂直)交抛物线 M 于点 A，B，A 关于 x 轴的对称点为 . (1)求证:直线 过定点，并求出这个定点； (2)若 的垂直平分线交抛物线于 C，D，四边形 外接圆圆心 N 的横坐标为 19，求直 线 AB 和圆 N 的方程. 【 答 案 】 (1) 见 解 析 ， 定 点 ； (2) 直 线 AB: ， 圆 N: 【解析】 【分析】 (1)设直线 AB: ( )，求出 : ，令 即得定点 坐标； （2）求出 ,再分类讨论，先求出 CD 方程为： ，再根据线段 CD 是圆 N 的直径，求出直线 AB 和圆 N 的方程. 【详解】(1)设直线 AB: ( )，代入抛物线方程得: ， 设 ， ，则 ， 所以 ， ， 从而 : ，令 得: ， 所以直线 过定点 . (2)由(1)知: ， 且 ， 2 8y x= 1A 1A B 1A B 1ACBD ( )2,0− 3 2 0x y± − = ( ) ( )2 219 2 185x y− + ± = 2my x= − 0m ≠ 1A B ( )1 2 1 1 2 1 y yy y x xx x ++ = −− 0y = 2 2 1 8 1y y m− = ± + ( )2 21 4 6y m x m= − + − − 2my x= − 0m ≠ 2 8 16 0y my− − = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )1 1 1,A x y− 1 2 8y y m+ = 1 2 16y y = − 1A B ( )1 2 1 1 2 1 y yy y x xx x ++ = −− 0y = ( ) ( ) ( )2 1 1 22 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 162 2 2 28 my y my y mx y x y my yx y y y y y y m + + + × −+= = = + = + = −+ + + 1A B ( )2,0− ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 1 2 =2 2A B y y y yk my my m y y + += + − + − + ( )2 2 2 1 2 1 1 24 8 1y y y y y y m− = ± + − = ± +- 24 - 当 时， 直线 : ， 设线段 的中点为 ，则 ， 所以 ，所以 ， 从而 CD: 即 ， 上述方程代入 得: (*)， 因为 CD 是 的垂直平分线，所以线段 CD 是圆 N 的直径， 所以 ，解得: . 所以直线 AB: .此时 CD: ， 时 ， 方程(*)化简为: ，求得 ， 圆 N: ； 当 时，同理求得 AB: ，圆 N: . 综上，直线 AB: ，圆 N: . 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系和直线的定点问题，考查直线方程和圆的方 程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 2 2 1 8 1y y m− = + 1 2 1 1A Bk m = + 1A B ( ) 2 1 2 1 y x m = + + 1A B ( )0 0,E x y ( ) 2 0 1 2 1 4 12y y y m= − + = + 2 2 0 01 2 4 2x m y m= + ⋅ − = + ( )2 24 2, 1E m m+ + ( )2 2 24 1 1 4 2y m m x m− + = − + − − ( )2 21 4 6y m x m= − + − − 2 8y x= ( ) ( )22 2 2 22 4 6 4 6 01 4x m x mm  − + + + + = +  1A B ( )2 2 42 4 6 2 191C Dx x m m  + = + + = × +  3m = ± 3 2 0x y± − = 2 36y x= − + 19x = , 2y = − 2 38 324 0x x− + = 2 185CD = ( ) ( )2 219 2 185x y− + + = 2 2 1 8 1y y m− = − + 3 2 0x y± − = ( ) ( )2 219 2 185x y− + − = 3 2 0x y± − = ( ) ( )2 219 2 185x y− + ± =