- 1 -
江苏省南通市如皋市 2020 学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）
一､单项选择题：
1.设全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先计算 ，再计算 得到答案.
【详解】全集 ，集合 ， ，则 .
.
故选： .
【点睛】本题考查了集合的交集和补集的运算，意在考查学生的计算能力.
2.已知向量 ， 且 ，则实数 m＝（ ）
A. 3 B. C. D. ﹣3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标运算和数量积运算法则,列出关于 m 的方程,然后解方程求出 的值.
【详解】解:由 ,得 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,所以 .
故选: .
【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算和数量积,属基础题.
3.函数 的定义域为（ ）
A. B.
{ }1,0,1,2,3U = − { }1,0M = − { }0,1,2N = ( )U M N∩ =
{ }1,2 { }1,2,3 { }0,3 { }0,1
{ }1,2,3U M = ( )U M N
{ }1,0,1,2,3U = − { }1,0M = − { }0,1,2N = { }1,2,3U M =
( ) { }1,2U M N∩ =
A
a = ( )1 m， ( )2, 1b = − ( )a b b− ⊥
1
2
1
2
−
m
(1, ), (2, 1)a m b= = − ( 1, 1)a b m− = − +
( )a b b− ⊥ ( ) 0a b b− =
1 2 1 ( 1) 0m− × − × + = 3m = −
D
( ) ( )
2
ln 3 1
4 3
x
f x
x x
−
=
+ −
{ }1 4x x− < < { }0 4x x< { }1x x < −
2
3 1 0
4 3 0
x
x x
− >
+ − >
( ) ( )
2
ln 3 1
4 3
x
f x
x x
−
=
+ − 2
3 1 0
4 3 0
x
x x
− >
+ − > 0 4x< <
B
( ) sin 2f x x= π
6
( )y g x= π
4g
1
2
− 1
2
3
2
− 3
2
( ) sin 2 6xy g x
π= +=
( ) sin 2 6xy g x
π= +=
π 5 1sin 2 sin4 4 6 6 2g
π π π = + = =
B
( ) e lnxf x x= ⋅ e- 3 -
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
当 时， ；当 时， ，对比图像得到答案.
【详解】当 时， ；当 时， ，对比图像知 满足.
故选： .
【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生对于函数图像的理解.
6.已知函数 为奇函数，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
当 时， ，代入计算得到 ，得到 ，计算得到答案.
【详解】当 时， ，则 ， ，
即 ，解得 ，故 .
故选： .
【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求参数，函数值的计算，意在考查学生的计算能力.
x → +∞ ( )f x → +∞ x → −∞ ( ) 0f x →
x → +∞ ( )f x → +∞ x → −∞ ( ) 0f x → A
A
2
2
2 , 0,( )
, 0
ax x xf x
x bx x
− >= − + ≤
( )f a b+ =
2− 1− 1 2
0x > 0x− < 2 22ax x x bx− = + 1, 2a b= = −
0x > 0x− < 2( )f x x bx− = − − ( ) 2( )f x f x x bx= − = +
2 22ax x x bx− = + 1, 2a b= = − ( ) ( )1 1f a b f+ = − =
C- 4 -
7.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
化简 得到 ，再利用齐次式计算得到答案.
【详解】 ，解得 .
.
故选： .
【点睛】本题考查了三角函数化简，齐次式的应用，意在考查学生的计算能力.
8.已知函数 的图象关于点 及直线
对称，且 在 不存在最值，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
根据对称得到 ，根据没有最值得到 ，得到 ， ，再根据对
称中心得到 ，得到答案.
【
πtan 2 36
α − =
sin
πsin 3
α
α
= +
5
2
7
2
3
2
− 3 3
2
πtan 2 36
α − =
7 3tan 3
α = −
3tanπ 3tan 2 36 31 tan3
α
α
α
− − = = +
7 3tan 3
α = −
1 3sin
sin sin tan 7
π 21 3s cos2 2
in tan3 2 2
α α
α α α
α α+
= = = + +
B
( ) ( )sin 0, 2f x x
πω ϕ ω ϕ = + > ≤
π ,06M −
π: 3l x =
( )f x π ,π2
ϕ
π
3
− π
6
− π
6
π
3
2 ,1 2T k Nk
π= ∈+ T π≥ 2T π= 1ω =
,6m m Z
πϕ π= + ∈- 5 -
【 详 解 】 函 数 的 图 象 关 于 点 及 直 线
对称.
则 .
在 不存在最值，则 ，故 时满足条件， ， .
，则 .
当 时满足条件，故 .
故选： .
【点睛】本题考查了三角函数对称，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用能力.
二､多项选择题：
9.下列 个结论中，正确的结论是（ ）
A. 对任意角 ，使得
B. 存在角 和 ，使得
C. 存在无穷多个角 和 ，使得
D. 对任意角 和 ，都有
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据诱导公式和和差公式依次判断每个选项得到答案.
【详解】A. 对任意角 ， ， 错误；
B. 当 时， 成立，故 正确；
C. 当 时，任意 ， 成立，故 正确；
D. 当 时， 不成立，故 错误；
( ) ( )sin 0, 2f x x
πω ϕ ω ϕ = + > ≤
π ,06M −
π: 3l x =
2+ , ,4 2 3 6 2 1 2
T kT T k Nk
π π π π= + = ∴ = ∈+
( )f x π ,π2
T π≥ 0k = 2T π= 1ω =
sin 06 6f
π π ϕ − = − + = , ,6 6m m m Z
π πϕ π ϕ π− + = ∴ = + ∈
0m =
6
π=ϕ
C
4
α ( )cos π cosα α+ =
α β ( )cos cos cos sin sinα β α β α β+ = +
α β ( )sin sin cos cos sinα β α β α β+ = −
α β ( ) tan tantan 1 tan tan
α βα β α β
++ = − ⋅
α ( )cos π cosα α+ = − A
2 ,k k Zβ π= ∈ ( )cos cos cos sin sinα β α β α β+ = + B
2 ,k k Zβ π= ∈ α ( )sin sin cos cos sinα β α β α β+ = − C
,2 k k Z
πα β π+ = + ∈ ( ) tan tantan 1 tan tan
α βα β α β
++ = − ⋅ D- 6 -
故选： .
【点睛】本题考查了诱导公式和和差公式，意在考查学生对于三角函数公式的理解.
10.关于函数 ， ，下述结论正确的是（ ）
A. 若 是奇函数，则
B. 若 是偶函数，则 也为偶函数
C. 若 满足 ，则 是区间 上的增函数
D. 若 ， 均为 上的增函数，则 也是 上的增函数
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性和单调性的定义和性质依次判断每个选项得到答案.
【详解】A. 若 是奇函数，则 ，当定义域不包含 时不成立，故 错误；
B. 若 是偶函数， ，故 ， 也为偶函数，
正确；
C. 举反例： 满足 ，在 不增函数，故 错误；
D. 若 ， 均为 上的增函数，则 也是 上的增函数
设 ，则
，故 单调递增，故 正确；
故选： .
【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
11.在梯形 中， ， ， ， 分别是 ， 的中点， 与
交于 ，设 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
BC
( )y f x= ( )y g x=
( )y f x= ( )0 0f =
( )y f x= ( )y f x=
( )( )y f x x R= ∈ ( ) ( )1 2f f< ( )f x [ ]1,2
( )y f x= ( )y g x= R ( ) ( )y f x g x= + R
( )y f x= ( )0 0f = 0 A
( )y f x= ( ) ( )f x f x= − ( ) ( )f x f x= − ( )y f x=
B
( ) 24
3f x x = −
( ) ( )1 2f f< [ ]1,2 C
( )y f x= ( )y g x= R ( ) ( )y f x g x= + R
1 2x x< ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1f x g x f x g x+ − +
( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 0f x f x g x g x= − + − > ( ) ( )y f x g x= + D
BD
ABCD / /AB CD 2AB CD= E F AB CD AC
BD M AB a= AD b=
1
2AC a b= + 1
2BC a b= − +
1 2
3 3BM a b= − + 1
4EF a b= − + - 7 -
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据向量运算依次计算每个选项判断得到答案.
【详解】A. ， 正确；
B. ， 正确；
C. ， 错误；
D. ， 正确；
故选： .
【点睛】本题考查了向量的基本定理的应用，意在考查学生的应用能力.
12.设函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数 的最小正周期为 B. 函数 在 上是单调增函数
C. 函数 的图象关于直线 对称 D. 函数 的值域是
【答案】ACD
【解析】
【分析】
化简得到 ，画出函数图像，根据图像得到答案.
【详解】 ，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：函数 的最小正周期为 ；函数 在 上先增后减；
函数 的图象关于直线 对称；函数 的值域是 ；
故选： .
1 1
2 2AC AD DC AD AB a b= + = + = + A
1 1
2 2BC BA AD DC AB AD AB a b= + + = − + + = − + B
2 2 2
3 3 3BM BA AM AB AC a b= + = − + = − + C
1 1 1
2 4 4EF EA AD DF AB AD AB a b= + + = − + + = − + D
ABD
( ) sin 3 cosf x x x= +
( )f x π ( )f x π0, 2
( )f x 2π
3x = ( )f x [ ]0,2
( ) sin 3 cos 2sin 3f x x x x
π = + = +
( ) sin 3 cos 2sin 3f x x x x
π = + = +
( )f x π ( )f x π0, 2
( )f x 2π
3x = ( )f x [ ]0,2
ACD- 8 -
【点睛】本题考查了三角函数的周期，单调性，对称和值域，意在考查学生对于三角函数知
识的综合应用，画出函数图像是解题的关键.
三､填空题
13.已知 ，那么 ．
【答案】
【解析】
试题分析： .
考点：齐次式、倍角公式.
14.已知函数 ，则 是________函数（从“奇”，“偶”，
“非奇非偶”及“既是奇函数又是偶”中选择一个填空），不等式
的解集为________.
【答案】 (1). 奇 (2).
【解析】
【分析】
，计算得到 得到答案，化简得到
，根据函数单调性得到答案.
【详解】函数 单调递增，故 单调递增；
，函数单调递增；
tan =2α cos2α =
3
5
−
2 2 2
2 2
2 2 2
cos sin 1 tan 3cos2 cos sin sin cos tan 1 5
α α αα α α α α α
− −= − = = = −+ +
( ) 1 2
2 2 1xf x x= − +
( ) ( ) 1g x f x= +
( ) ( )2 4 10 2f x x f x− + − ≤ −
[ ]5,2−
( ) 1 2 1
2 2 1
x
xg xx = −+ +
( ) ( )g x g x− = − ( ) ( )2 10 4g x x g x− ≤ −
1 2,2 2 1xy x y= = − + ( ) 1 2
2 2 1xf x x= − +
( ) ( ) 1 2 1 2 112 2 1 2 2 11
x
x xg x f x xx − += = −
++ + +=- 9 -
，故 是奇函数；
，即 .
故 ，解得 .
故答案为：奇； .
【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
15.窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴
和审美魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓 是边长
为 米的正方形，内嵌一个小正方形 ，且 ， ， ， 分别是 ， ， ，
的中点，则 的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
如图所示，以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立直角坐标系，计
算直线方程得到坐标 ， ，计算向量得到答案.
【详解】如图所示，以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立直角坐
标系.
延长 与 交于点 ， ，故 为 中点.
直线 ，同理可得：直线 ，直线 ；
解得： ， ，
( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 1
2 2 1 2 2 1
x x
x xx xg x g x
−
−
− −− + = − − = −+ +− = ( )g x
( ) ( )2 4 10 2f x x f x− + − ≤ − ( ) ( ) ( )2 4 10 10 4g x x g x g x− ≤ − − = −
2 10 4x x x− ≤ − 5 2x− ≤ ≤
[ ]5,2−
ABCD
1 EFGH E F G H AF BG CH
DE AG DF⋅
0
A AB x AD y
4 2,5 5F
3 4,5 5G
A AB x AD y
AF BC I 1tan 2
FB BIFAB FA AB
∠ = = = I BC
1: 2AI y x= : 2 2GB y x= − + 1 1: 2 2HC y x= +
4 2,5 5F
3 4,5 5G
- 10 -
， ，故 ， ， .
故答案为： .
【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的应用能力和计算能力，建立坐标系转化
为坐标运算是解题的关键.
16.已知函数 其中 ，且 ，若函数 有 个
不同的零点 ， ， ，且 ，则实数 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
画出函数图像，排除 的情况，根据对称性得到 ，计算得到答案.
【详解】如图所示：当 时，函数 有 个不同的零点，不满足；
当 时，不妨设 ，根据对称性知 ，故 .
，故 ，故 .
故答案为： .
( )0,0A ( )0,1D 3 4,5 5AG =
4 3,5 5DF = −
0AG DF⋅ =
0
( ) 1, 0,
π2sin ,0 2,2
xa x
f x
x x
− ≤= < 1a ≠ ( ) 1y f x= − 3
1x 2x 3x 1 2 3 0x x x+ + > a
20, 2
1a > 2 3 2x x+ =
1a > ( ) 1y f x= − 2
0 1a< < 1 2 3x x x< < 2 3 2x x+ = 1 2x > −
1 1xa − = log 2 2ax = > − 20 2a< <
20, 2
- 11 -
【点睛】本题考查了函数 零点问题，画出函数图像是解题的关键.
四､解答题：
17.已知集合 ，集合 .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）计算得到 ， ，再计算并集得到答案.
（2） 或 ， ，根据 计算得到答案.
【详解】（1） ，
当 时， ，
所以 .
（2） ，则 或 ，
，
因为 ，所以 ，解得 .
【点睛】本题考查了并集运算，根据交集运算结果求参数，意在考查学生对于集合知识的综
合应用.
的
1 02
xA x x
−= > +
{ }3 ,xB y y x a= = ≤
1a = A B
( )RB C A ≠ ∅ a
{ }2 3A B x x∪ = − < ≤ 0a ≥
{ }2 1A x x= − < < { }0 3B y y= < ≤
{ 2R A x x= ≤ − }1x ≥ { }0 3aB y y= < ≤ ( )RB A ≠ ∅
1 02
xA x x
−= > +
( )( ){ }1 2 0x x x= − + > { }2 1x x= − < <
1a = { } { }3 , 1 0 3xB y y x y y= = ≤ = < ≤
{ }2 3A B x x∪ = − < ≤
{ }2 1A x x= − < < { 2R A x x= ≤ − }1x ≥
{ } { }3 , 0 3x aB y y x a y y= = ≤ = < ≤
( )RB A ≠ ∅ 3 1a ≥ 0a ≥- 12 -
18.如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 是以 为直径的上半圆弧上两点（点 在
的右侧），点 为半圆的圆心，已知 ，点 ，设 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若点 的纵坐标为 ，求 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）设 ，则 ， ，计算 ，根据 计
算得到答案.
（2）计算得到 ，利用和差公式将 展开计算得到答案.
【详解】（1）设 ，则 ， .
所以 ，
.
xOy P Q AB P Q
O 2AB = 4 3,5 5P
POQ α∠ =
π
2
α = AQ AO⋅
Q 1
2
cosα
2
5
3 4 3
10
−
POB β∠ = 3sin 5
β = 4cos 5
β = 3
5Qx = − 1QAQ AO x⋅ = +
5π
6
α β+ = 5πcos cos 6
α β = −
POB β∠ = 3sin 5
β = 4cos 5
β =
( ) 3cos cos sin2 5Qx
πα β β β = + = + = − = −
( )( ) ( )( ) 21 , 0 1 ,0 1 5Q Q QAQ AO x y x⋅ = − − ⋅ − − = + = - 13 -
（2） ，且 ， ，
所以 ，所以 ， .
所以 .
【点睛】本题考查了向量的数量积，三角恒等变换，意在考查学生的综合应用能力.
19.已知函数 ，其中 为实数.
（1）若 ，求证：函数 在 上为减函数；
（2）若 为奇函数，求实数 的值.
【答案】（1）证明见解析（2） 或
【解析】
【分析】
（1）对于 ， ，且 ，计算 得到证明.
（2）根据奇函数得到 ，代入化简得到 ，计算得到答
案.
【详解】（1）当 时， ，
对于 ， ，且 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又因 ， ，且 ，所以 ，
即 ，所以 ， .
所以函数 在 上为减函数.
( ) 1 3sin sin2 5
α β β+ = < = ( )0,πα β+ ∈ π0, 2
β ∈
π ,π2
α β + ∈
5π
6
α β+ = 5π
6
α β= −
5π 5π 5πcos cos cos cos sin sin6 6 6
α β β β = − = +
3 4 1 3 3 4 3
2 5 2 5 10
−= − ⋅ + ⋅ =
( ) 2log 11
mf x x
= + − m
1m = ( )f x ( )1,+∞
( )f x m
0m = 2m =
1x∀ ( )2 1,x ∈ +∞ 1 2x x< ( ) ( )1 2 0f x f x− >
( ) ( ) 0f x f x− + = ( )22 21 1x m x− − = −
1m = ( ) 2 2
1log 1 log1 1
xf x x x
= + = − −
1x∀ ( )2 1,x ∈ +∞ 1 2x x<
( ) ( ) 1 2
1 2 2 2
1 2
log log1 1
x xf x f x x x
− = −− −
1 2 1 2 1
2 2
1 2 1 2 2
1log log1
x x x x x
x x x x x
− −= ⋅ = − −
1 2x x< 1 2x x− > − 1 2 1 1 2 2x x x x x x− > −
1x ( )2 1,x ∈ +∞ 1 2x x< ( )1 2 2 2 1 1 0x x x x x− = − >
1 2 1
1 2 2
1x x x
x x x
− >−
1 2 1
2
1 2 2
log 0x x x
x x x
− > −
( ) ( )1 2 0f x f x− >
( )f x ( )1,+∞- 14 -
（2） ，
若 为奇函数，则 ，即 .
所以
，
所以 ，所以 ， 或 .
【点睛】本题考查了单调性的证明，根据奇偶性求参数，意在考查学生对于函数性质的灵活
运用.
20.某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角
和以 为直径的半圆拼接而成，点 为半圈上一点（异于 ， ），点 在线段
上，且满足 .已知 ， ，设 .
（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足 ，且 达到最大.当
为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足 ，且 达到最大.
当 为何值时， 取得最大值，并求该最大值.
【答案】（1） （2）当 ， 达到最大，最大值为
【解析】
【分析】
（1）设 ，则在直角 中， ， ，计算得到
，计算最值得到答案.
( ) 2 2
1log 1 log1 1
m x mf x x x
+ − = + = − −
( )f x ( ) ( )f x f x− = − ( ) ( ) 0f x f x− + =
2
1 1log log1 1
x m x m
x x
− + − + − + − − − 2
1 1log 1 1
x m x m
x x
− + − + − = ⋅ − − −
2
( 1) 1log 1 1
x m x m
x x
− − + − = + −
2 2
2 2
( 1)log 01
x m
x
− −= = −
( )22 21 1x m x− − = − ( )21 1m − = 0m = 2m =
ΔABC BC P B C H BC
CH AB⊥ 90ACB∠ = ° 1dmAB = ABC θ∠ =
ABC PCB∠ = ∠ CA CP+
θ
60PBA∠ = ° CH CP+
θ CH CP+
π
6
θ = π
12
θ = CH CP+ 2 3
4
+
ABC PCB θ∠ = ∠ = ΔABC sinAC θ= cosBC θ=
2sin sin 1AC CP θ θ+ = − + +- 15 -
（2）计算 ，得到 ，得的最值.
【详解】（1）设 ，则在直角 中， ， .
在直角 中， ，
.
， ，
所以当 ，即 ， 的最大值为 .
（2）在直角 中，由 ，
可得 .
在直角 中， ，
所以 ， ，
所以
，
所以当 ， 达到最大值 .
【点睛】本题考查了利用三角函数求最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用能力.
21.如图，在 中， ， ， ， 是 的中点，点 满足
， 与 交于点 .
sin cosCH θ θ= ⋅ π 3sin 2 3 2CH CP θ + = + +
ABC PCB θ∠ = ∠ = ΔABC sinAC θ= cosBC θ=
ΔPBC 2cos cos cos cosPC BC θ θ θ θ= ⋅ = ⋅ =
sin sin cos sin cosPB BC θ θ θ θ θ= ⋅ = ⋅ =
2 2sin cos sin 1 sinAC CP θ θ θ θ+ = + = + − 2sin sin 1θ θ= − + + π0, 3
θ ∈
1sin 2
θ = π
6
θ = AC CP+ 5
4
ΔABC 1 1
2 2ABCS CA CB AB CH∆ = ⋅ = ⋅
sin cos sin cos1CH
θ θ θ θ⋅= = ⋅
ΔPBC πsin 3PC BC θ = ⋅ −
π πcos sin cos cos sin3 3
θ θ θ = ⋅ −
3 1sin cos cos cos sin2 2CH CP θ θ θ θ θ + = + −
π0, 3
θ ∈
21 3 1sin 2 cos sin cos2 2 2CH CP θ θ θ θ+ = + −
1 3 3 1 π 3sin 2 cos2 sin 24 4 4 2 43
θ θ θ = + + = + +
π
12
θ = CH CP+ 2 3
4
+
ΔABC 90BAC∠ = ° 2AB = 3AC = D BC E
2AE EC= BE AD G- 16 -
（1）设 ，求实数 的值；
（2）设 是 上一点，且 ，求 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）设 ， ，得到 ， ，计算得到答案.
（2） ，代入数据化简得到答案.
【详解】（1）设 ， ，因为 ， 是 的中点，
所以 .①
设 ， ，
故 ，整理得 ，
又 ，即 ，
所以 .②
联立①②，据平面向量其本定理，得 解得 ， ，
AG ADλ= λ
H BE HA HB HC HA⋅ = ⋅ GH BC⋅
4
5 2−
AC a= AB b=
2 2AC a b
λ λ= + ( )2 13
tAG a t b= + −
( )GH BC AH AG BC AH BC AG BC⋅ = − ⋅ = ⋅ − ⋅
AC a= AB b= AG ADλ= D BC
2 2 2
AC ABAC a b
λ λλ += ⋅ = +
BG tBE= 0 1t< <
( )AG AB t AE AB− = − ( )1AG t AE t AB= + −
2AE EC= 2
3AE AC=
( ) ( )2 21 13 3
tAG t AC t AB a t b= ⋅ + − = + −
2 ,2 3
1 ,2
t
t
λ
λ
=
= −
4
5
λ = 3
5t =- 17 -
所以实数 值为 .
（2）因为 ，所以 ，即 ，
所以
.
【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，向量的数量积，意在考查学生对于向量知识的综
合应用能力.
22.已知函数 ，其中 .
（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）若关于 的不等式 对任意的实数 恒成立，求实数 的取值范围
；
（3）若函数 有 个不同的零点，求实数 的取值范围.
【 答 案 】 （ 1 ） 单 调 减 区 间 是 ， 单 调 增 区 间 是 ， （ 2 ） （ 3 ）
【解析】
【分析】
（1）化简得到 ，分别计算单调性得到答案.
（2）化简得到 恒成立，计算函数 的最大值得到答案.
（3）化简得到 ，确定 在 和 上都各有
个不同的零点，计算得到答案.
的λ 4
5
HA HB HC HA⋅ = ⋅ ( ) 0HA HB HC⋅ − = 0AH BC⋅ =
( )GH BC AH AG BC AH BC AG BC⋅ = − ⋅ = ⋅ − ⋅
( ) ( )2 22 2 2
5 5 5AG BC a b a b a b = − ⋅ = − + ⋅ − = − −
( )2 22 3 2 25
= − × − = −
( ) 2 3 1f x x ax= − − − 0a >
2a = ( )f x
x ( ) 2 3f x x≤ − ( )1,0x∈ − a
( )f x 4 a
( ), 1−∞ − ( )1,− +∞ 2a ≥
2 2 3a< <
( )
2
2
32 4, ,2
32 2, ,2
x x x
f x
x x x
+ −
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