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江苏省无锡市江阴市 2020 学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合 ,则 =( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简 ,再由 ,求 .
【详解】因为
又因为
所以
故选:B
【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
2.设 (﹣3,3), (﹣5,﹣1),则 等于( )
A. (﹣2,4) B. (1,2) C. (4,﹣1) D. (﹣1,﹣2
)
【答案】D
【解析】
【分析】
由 (﹣3,3), (﹣5,﹣1),求得 即可.
【详解】因为 (﹣3,3), (﹣5,﹣1)
所以
所以
{ }| 2 4A x x= ≤ < { }| 3 7 8 2B x x x= − ≥ − A B
{ }| 3x x ≥ { }| 2x x ≥
{ }| 3 4x x≤ < { }| 2 4x x≤ <
{ } { }| 3 7 8 2 | 3B x x x x x= − ≥ − = ≥ { }| 2 4A x x= ≤ < A B
{ } { }| 3 7 8 2 | 3B x x x x x= − ≥ − = ≥
{ }| 2 4A x x= ≤ <
{ }| 2A B x x= ≥
OM = ON = 1
2 MN
OM = ON = MN ON OM= −
OM = ON =
( )2, 4= − = − − MN ON OM
( )1 1, 22
= − −MN- 2 -
故选:D
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
3.扇形的圆心角为 ,半径为 ,则此扇形的面积为( )
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据扇形的面积公式计算即可.
【详解】由题意可得圆心角 ,半径 ,所以弧长 ,
故扇形面积为 .
【点睛】本题主要考查扇形的面积公式,属于基础题型.
4.tan255°=
A. -2- B. -2+ C. 2- D. 2+
【答案】D
【解析】
【分析】
本题首先应用诱导公式,将问题转化成锐角三角函数的计算,进一步应用两角和的正切公式
计算求解.题目较易,注重了基础知识、基本计算能力的考查.
【 详 解 】 详 解 : =
【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能
力.
5.将函数 y=2sin2x 的图象向左平移 个单位,再向上平移 3 个单位,则得到的图象的函数
.
2
3
π
3
5
4
π π 3
3
π 2 3
9
π
2α 3
π= r 3= 2 3αr 3l
π= =
1 1 2 3S r 32 2 3l
π π= = × × =
3 3 3 3
0 0 0 0 0 0tan 255 tan(180 75 ) tan 75 tan(45 30 )= + = = +
0 0
0 0
31tan 45 tan30 3 2 3.1 tan 45 tan30 31 3
++ = = +− −
6
π- 3 -
解析式是( )
A. y=2sin(2x )+3 B. y=2sin(2x )+3
C. y=2sin(2x )+3 D. y=2sin(2x )﹣3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角函数的平移变换,左加右减,上加下减来求解.
【 详 解 】 将 函 数 y = 2sin2x 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 , 得 到
, 再 向 上 平 移 3 个 单 位 , 得 到
故选:B
【点睛】本题主要考查了三角函数的平移变换,还考查了数形结合的思想,属于基础题.
6.已知向量 , 满足 (x,1), (1,﹣2),若 ∥ ,则 ( )
A (4,﹣3) B. (0,﹣3) C. ( ,﹣3) D. (4,3)
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 (x,1), (1,﹣2),且 ∥ ,求得向量 的坐标,再求 的坐标.
【详解】因为 (x,1), (1,﹣2),且 ∥ ,
所以 ,
所以 ,
所以 ( ,1),
所以 .
故选:C
.
6
π+
3
π+
3
π−
6
π−
6
π
2si n[ 2 ] 2si n 26 3y x x
π π = + = +
2si n 2 33y x
π = + +
a b a = b = a b a 2b+
3
2
a = b = a b a a 2b+
a = b = a b
2 1x− =
1
2x = −
a = 1
2
−
a 32 , 32
+ = −
b- 4 -
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
7.设函数 ,则函数 是( )
A. 偶函数,且在 上是减函数 B. 奇函数,且在 上是减函数
C. 偶函数,且在 上是增函数 D. 奇函数,且在 上是增函数
【答案】D
【解析】
定义域为 ,因为 ,所以 ,所以函数
为奇函数, 为增函数, 为增函数,所以 在定义域内仍为增函数,故
选 D
8.已知 , ,直线 和 是函数 图像的两条相邻
的对称轴,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
因为直线 和 是函数 图像的两条相邻的对称轴,
所以 T= .所以 ω=1,并且 sin( +φ)与 sin( +φ)分别是最大值
与最小值,0<φ<π,
所以 φ= .
故选:A.
9.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全,根据国家有关规定:100mL 血液
中酒精含量低于 20mg 的驾驶员可以驾驶汽车,酒精含量达到 20~79mg 的驾驶员即为酒后驾
车,80mg 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上
升到了 1mg/mL.如果在停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减少,那么
他至少经过几个小时才能驾驶汽车?( )(参考数据:lg0.2≈﹣0.7,1g0.3≈﹣0.5,
1g0.7≈﹣0.15,1g0.8≈﹣0.1)
( ) ( ) ( )lg 1 lg 1f x x x= + − − ( )f x
( )0,1 ( )0,1
( )0,1 ( )0,1
( )f x [ 1,1]− 1( ) lg1
xf x x
+= −
1(- ) lg ( )1
xf x f xx
−= = −+
( )f x
lg(1 )x+ ( )lg 1 x− − ( )f x
0w > 0 φ π< <
4x
π= 5
4
=x
π
( ) sin( )f x wx φ= +
φ =
π
4
π
3
π
2
3π
4
4x
π= 5
4x
π= ( ) ( )sinf x wx φ= +
52 2π4 4
π π × − = 4
π 5
4
π
4
π- 5 -
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意先探究出酒精含量的递减规律,再根据能驾车的要求,列出模型 求解
.
【详解】因为 1 小时后血液中酒精含量为(1-30%)mg/mL,
x 小时后血液中酒精含量为(1-30%)x mg/mL 的,
由题意知 100mL 血液中酒精含量低于 20mg 的驾驶员可以驾驶汽车,
所以 ,
,
两边取对数得,
,
,
所以至少经过 5 个小时才能驾驶汽车.
故选:C
【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法,还考查了转化化归的思想及运算
求解的能力,属于基础题.
10.已知函数 的零点分别为 a,b,c,则 a,b,
c 的大小顺序为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先可求出 ,再由 得 ,由 得 ,将其转化为
、 与 的交点,数形结合即可判断.
0. 7 0. 2x ≤
( )30 0 2%1 .x− <
0.7 0.2x <
l g 0. 7 l g 0. 2x <
l g 0. 2 14
l g 0. 7 3x > =
3
2( ) 2 , ( ) log , ( )xf x x g x x x h x x x= + = + = +
a b c> > b c a> > c a b> > b a c> >
0c = ( ) 0f x = 2x x= − ( ) 0g x = 2log x x= − 2xy =
2logy x= y x= −- 6 -
【详解】解:由 得 , ,
由 得 ,由 得 .
在同一平面直角坐标系中画出 、 、 的图象,
由图象知 , , .
故选:B
【点睛】本题考查函数的零点,函数方程思想,对数函数、指数函数的图象的应用,属于中
档题.
11.已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形,点 D,E 分别是边 AB,BC 的中点,在线段 DE 取点 F
,使得 DF=2FE,则 的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先 将 用 表 示 , 再 由 三 角 形 为 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形 , 得 到
,最后用数量积公式计算
.
【详解】根据题意, ,
,
又因为三角形为边长为 2 的等边三角形,
3( ) 0h x x x= + = 0x = 0c∴ =
( ) 0f x = 2x x= − ( ) 0g x = 2log x x= −
2xy = 2logy x= y x= −
0a < 0b > a c b∴ < <
AF BC⋅
1
2
1
3
1
2
− 1
3
−
, AF BC ,AC AB
2, cos 60 2AB AC AB AC AB AC= = ⋅ = ⋅ ⋅ =
AF BC⋅
1 1
2 3AF AD DF AB AC= + = +
BC AC AB= − - 7 -
所以 ,
所以 ,
故选:D
【点睛】本题主要考查了向量的表示及运算,还考查了数形结合的思想方法,属于中档题.
12.已知函数 f(x) ,若 0≤b<a,且 f(a)=f(b),则 bf(a) 取值
范围为( )
A. ( , ] B. [ ,+∞) C. [0, ] D. [ ,
]
【答案】A
【解析】
【分析】
作出函数图象,易知 b 的范围,再将 bf(a)转化为 bf(b),用二次函数法求解.
【详解】如图所示:
因为 f(a)=f(b),
可知: ,
所以 bf(a)= b f(b)=b(b+ )= ,
所以 bf(a)的取值范围为( , ].
故选:A
的
2, cos 60 2AB AC AB AC AB AC= = ⋅ = ⋅ ⋅ =
( ) 2 21 1 1 1 1 1( ) ( )2 3 2 3 6 3
+ − = − +⋅ = + ⋅ = −
AF BC AB AC AC AB AB AC AC AB
5 0 12
3 1x
x x
x
+ ≤ ≤=
,
, >
3
2
7
2
25
16
− 7
2
25
16
− 7
2
1 12 b< ≤
5
2
25 25
4 16b
+ −
3
2
7
2- 8 -
【点睛】本题主要考查了图象的应用,还考查了数形结合的思想方法,属于中档题.
二、填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分.
13.设 α∈{﹣2,﹣1, , ,1,2}.使y=xa 为奇函数且在(0,+∞)上单调递减的α
值为_____.
【答案】-1
【解析】
【分析】
先根据单调性确定 α 值为负,然后再验证奇偶性.
【详解】因为 y=xa 在(0,+∞)上单调递减,
所以 α ,
当 α=-2 时, , 是偶函数,
当 时, ,定义域不关于原点对称,非奇非偶函数,
当 时, , 是奇函数.
故答案为:-1
【点睛】本题主要考查了幂函数的图象和性质,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.
14.在平面直角坐标系中,向量 (3,4),向量 ,(λ<0),若 =1,则向量
的坐标是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
先由向量 (3,4)及 ,表示向量 的坐标,再利用 =1 求解.
【详解】因为向量 (3,4),
所以向量 ,
所以 ,
1
2
− 1
2
0<
2y x-= ( ) ( ) ( )2 2f x x x f x
− −− = − = =
1
2
α = − 1
2y x
−=
1α = − 1y x−= ( ) ( ) ( )1 1f x x x f x
− −− = − = − = −
a = b aλ= b b
3 4
5 5
− − ,
a = b aλ= b b
a =
( )3 ,4λλ λ== b a
( ) ( )2 23| 4 5| 1λ λ λ+ == =b- 9 -
所以 ,
又因为 λ<0,
所以 .
所以 .
故答案为:
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
15.计算 lg ln 的结果是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
先将 lg ln ,变形为 ,再利用对数的性质求解.
【详解】lg ln ,
,
.
故答案为:
【点睛】本题主要考查了对数的性质,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
16.对于函数 y=f(x),若在其定义域内存在 x0,使得 x0f(x0)=1 成立,则称函数 f(x)
具有性质 M.
(1)下列函数中具有性质 M 的有____
①f(x)=﹣x+2
②f(x)=sinx(x∈[0,2π])
③f(x)=x ,(x∈(0,+∞))
④f(x)
1
5
λ = ±
1
5
λ = −
3 4,5 5
− −
=b
3 4
5 5
− − ,
1
100
− 21 32 loge ++
7
2
1
100
− 21 32 loge ++ 2
1
l og 62 2l g10 l n 2e− − +
1
100
− 21 32 loge ++
2
1
l og 62 2l g10 l n 2e−= − +
− − + =1 7= 2 62 2
7
2
1
x
+
1x= +- 10 -
(2)若函数 f(x)=a(|x﹣2|﹣1)(x∈[﹣1,+∞))具有性质 M,则实数 a 的取值范围
是____.
【答案】 (1). ①②④ (2). a 或 a>0
【解析】
【分析】
(1)①因为 f(x)=﹣x+2,若存在,则 ,解一元二次方程即可.②若存
在,则 ,即 ,再利用零点存在定理判断.③若存在,则
,直接解方程.④若存在,则 ,即 ,
令 ,再利用零点存在定理判断.
(2)若函数 f(x)=a(|x﹣2|﹣1)(x∈[﹣1,+∞))具有性质 M,则 ax(|x﹣2|﹣1)=1
,x∈[﹣1,+∞)有解,将问题转化 :当 时, 有解,当 时,
有解,分别用二次函数的性质求解.
【详解】(1)①因为 f(x)=﹣x+2,若存在,则 ,
即 ,所以 ,存在.
②因为 f(x)=sinx(x∈[0,2π]),若存在,则 ,
即 ,
令 ,
因为 ,
所以存在 .
③因为 f(x)=x ,(x∈(0,+∞)),若存在,则 ,
1
2
≤ −
( )0 0 2 1x x− + =
0 0si n 1x x = 0 0si n 1 0x x − =
0 0
0
1 1x x x
+ =
0 0 1 1x x + = 0 0 1 1 0x x + − =
( )0 0 0 1 1f x x x= + −
2x ≥
2
1
3
a
x x
=
− 1 2x− ≤ <
2
1a
x x
=
− +
( )0 0 2 1x x− + =
2
0 02 1 0x x− + = 0 1x =
0 0si n 1x x =
0 0si n 1 0x x − =
( )0 0 0si n 1f x x x= −
( ) π π π = − < = − > 1 si n 1 1 0, si n 1 02 2 2f f
0 1, 2x
π ∈
1
x
+ 0 0
0
1 1x x x
+ =
- 11 -
即 ,所以不存在.
④因为 f(x) ,(x∈(0,+∞)),若存在,则 ,
即 ,
令 ,
因为 ,
所以存在 .
(2)若函数 f(x)=a(|x﹣2|﹣1)(x∈[﹣1,+∞))具有性质 M,
则 ax(|x﹣2|﹣1)=1,x∈[﹣1,+∞)有解,
当 时, 有解,
令 ,
所以 .
当 时, 有解,
令 ,
所以 .
综上:实数 a 的取值范围是 a 或 a>0.
故答案为:(1). ①②④ (2). a 或 a>0
【点睛】本题主要考查了函数的零点,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中
档题.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
( )0 0 0,x = ∉ +∞
1x= + 0 0 1 1x x + =
0 0 1 1 0x x + − =
( )0 0 0 1 1f x x x= + −
( )1 1 1 1 1 0, 1 1 1 1 02 2 2f f
= + − < = + − >
0
1 ,12x ∈
2x ≥
2
1
3
a
x x
=
−
2
2 3 9( ) 3 [ 2, )2 4g x x x x
= − = − − ∈ − +∞
1( , ] ( 0, )2a ∈ −∞ − +∞
1 2x− ≤ <
2
1a
x x
=
− +
2
2 1 1 1( ) [ 2, ]2 4 4g x x x x
= − + = − − + ∈ −
1( , ] ( 0, 4]2a ∈ −∞ −
1
2
≤ −
1
2
≤ −- 12 -
17.已知不共线的向量 满足 , , 的夹角为 θ.
(1)θ=30°,求 的值;
(2)若 ,求 cosθ 的值.
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【分析】
( 1 ) 根 据 , , 的 夹 角 θ = 30° , 通 过
求解.
(2)由 ,得 ,展开 求解.
【详解】(1)因为 , , 的夹角)θ=30°,
所以 .
(2)因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
所以 .
【点睛】本题主要考查了数量积的运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
18.已知集合 A={x|y=ln(﹣x2﹣x+12)},B={x|m﹣1<x<2m+1,m∈R}.
(1)若 m=2,求(∁RA)∩B;
(2)若 A∩B=B,求实数 m 的取值范围.
【答案】(1){x|3≤x<5};(2)(﹣∞,1]
【解析】
【分析】
(1)先化简集合 A,再求得∁RA,由 m=2,得 B={x|1<x<5},然后求(∁RA)∩B.
,a b 3a = 2b = ,a b
a b+
( ) ( )2a b a b+ ⊥ −
13 6 3+ 1
6
−
3a = 2b = ,a b
( )2 2 2( ) 2 ( )+ = + = + ⋅ + a b a b a a b b
( ) ( )2a b a b+ ⊥ − ( ) ( )2 0+ ⋅ − = a b a b 2 2( ) 2( ) 0+ ⋅ − = a a b b
3a = 2b = ,a b
( )2 2 2( ) 2 ( ) 13 6 3+ = + = + + +⋅ = a b a b a a b b
( ) ( )2a b a b+ ⊥ −
( ) ( )2 0+ ⋅ − = a b a b
2 2( ) 2( ) 0+ ⋅ − = a a b b
9 6cos 8 0θ+ − =
1cos 6
θ = −- 13 -
(2)由 A∩B=B,得到 B⊆A,再分 B=∅时,由 m﹣1≥2m+1 求解,当 B≠∅时,有
求解,最后取并集.
【详解】(1)集合 A={x|y=ln(﹣x2﹣x+12)}={x|﹣x2﹣x+12>0}={x|﹣4<x<3},
所以∁RA={x|x≤﹣4 或 x≥3},
当 m=2 时,B={x|m﹣1<x<2m+1,m∈R}={x|1<x<5},
所以(∁RA)∩B={x|3≤x<5}.
(2)因为 A∩B=B,所以 B⊆A,
当 B=∅时,m﹣1≥2m+1,解得 m≤﹣2;
当 B≠∅时,有 ,解得﹣2<m≤1,
综上:实数 m 的取值范围是(﹣∞,1].
【点睛】本题主要考查了集合的关系及基本运算,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
19.在平面直角坐标系 xOy 中,已知角 α 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,
它的终边上有一点 P 的坐标是(3a,a),其中 a≠0.
(1)求 cos(α )的值;
(2)若 tan(2α+β)=1,求 tanβ 的值.
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【分析】
(1)根据题意,当 a>0 时,点 P 在第一象限,求出 cosα,sinα,再利用两角差的余弦求
解,同理,当 a<0 时,点 P 在第三象限,按同样的方法求解
(2)由终边上点 P(3a,a),可得 tan ,用二倍角公式求出 tan2α,又因为 tan(2α+β
)=1,利用角的变换转为 tanβ= 求解.
1 2 1
1 4
2 1 3
m m
m
m
− +
− ≥ −
+ ≤
<
1 2 1
1 4
2 1 3
m m
m
m
− +
− ≥ −
+ ≤
<
4
π−
2 5
5
− 1
7
1
3
α =
( )t an[ 2 2 ]α β α+ −- 14 -
【详解】(1)由题意可得,
当 a>0 时,点 P 在第一象限,
cosα ,sinα ,
所以 cos( ) ,
当 a<0 时,点 P 在第三象限,
cos ,sin ,
所以 cos( ) .
(2)由题意可得,tan ,
故 tan2α ,
因为 tan(2α+β)=1,
故 tanβ= .
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及两角和与差的三角函数,还考查了运算求解的能
力,属于中档题.
20.已知向量 (2sinx,cosx), ( cosx,2cosx).
(1)若 x≠kπ ,k∈Z,且 ,求 2sin2x﹣cos2x 值;
(2)定义函数 f(x) ,求函数 f(x)的单调递减区间;并求当 x∈[0, ]时,函
数 f(x)的值域.
【答案】(1) ;(2)单调递减区间为[k ],k∈Z,值域[1,4]
【解析】
【分析】
(1)由 ,得 ,从而求得 tanx ,再用商数关系,转化
的
2 2
3 3 10
10(3 )
a
a a
= =
+ 2 2
10
10(3 )
a
a a
= =
+
4
πα − 2 3 10 2 10 2 5
2 10 2 10 5
= × + × =
3 10
10
α = − 10
10
α = −
4
πα − 2 3 10 2 10 2 5( ) ( )2 10 2 10 5
= × − + × − = −
1
3
α =
2
2 3
1 4
tan
tan
α
α= =−
( )t an[ 2 2 ]α β α+ − ( )
( )
2 2 1
1 2 2 7
tan tan
tan tan
α β α
α β α
+ −= =+ +
a = b = 3
2
π+ a b⊥
1a b= ⋅ +
2
π
1
4
− 2
6 3k
π ππ π+ +,
a b⊥ 22 3 2 0sinxcosx cos x+ = 3
3
= −- 15 -
2sin2x﹣cos2x 求解.
(2)化简函数 f(x) =2sin(2x )+2,利用整体思想,令 2x
可求得减区间.由 x ,得到 2x ,从而有 sin(2x
) 求解.
【详解】(1)因为 ,
所以 ,
因为 x ,所以 cosx≠0,
所以 tanx ,
所以 2sin2x﹣cos2x .
(2)f(x) =2 sinxcosx+2cos2x+1 cos2x+2=2sin(2x )+2,
令 2x ,
解得, ,
故函数的单调递减区间为[k ],k∈Z.
因为 x ,
所以 2x ,
所以 sin(2x ) ,
所以函数 f(x)的值域[1,4].
【点睛】本题主要考查了向量与三角函数的图象和性质,还考查了运算求解的能力,属于中
2
2
2 1
1
−= +
tan x
tan x
1a b= ⋅ +
6
π+ 1 22 kπ π+ ≤
3 26 2 k
π π π+ ≤ + 10 2
π ∈ , 7
6 6 6
π π π + ∈ ,
6
π+ 1 12
∈ − ,
a b⊥
22 3 2 0sinxcosx cos x+ =
1
2 kπ π≠ +
3
3
= −
2
2
2 1 1
1 4
tan x
tan x
−= = −+
1a b= ⋅ + 3 3 2sin x= +
6
π+
1 22 kπ π+ ≤ 3 26 2 k
π π π+ ≤ +
2
6 3k x k
π ππ π+ ≤ ≤ +
2
6 3k
π ππ π+ +,
0 2
π ∈ ,
7
6 6 6
π π π + ∈ ,
6
π+ 1 12
∈ − ,- 16 -
档题.
21.已知奇函数 f(x) ,函数 g(θ)=cos2θ+2sinθ ,θ∈[m, ].m,b∈R
.
(1)求 b 的值;
(2)判断函数 f(x)在[0,1]上的单调性,并证明;
(3)当 x∈[0,1]时,函数 g(θ) 最小值恰为 f(x)的最大值,求 m 的取值范围.
【答案】(1)b=0;(2)在[0,1]上的单调递增,证明见解析;(3)
【解析】
【分析】
(1)根据函数 f(x) 为奇函数,令 f(0)=0 求解.
(2)函数 f(x)在[0,1]上的单调递增,再利用函数的单调性定义证明.
(3)根据(2)知,函数 f(x)在[0,1]上的单调递增,得到 .即 g(θ
)的最小值为 ,再令 t=sinθ,转化为二次函数求解.
【详解】(1)因为函数 f(x) 为 R 上的奇函数,
所以 f(0)=0,解得 b=0.
(2)函数 f(x)在[0,1]上的单调递增.
证明:设
则:f(x2)﹣f(x1) ,
因为 ,
所以 x2﹣x1>0,1﹣x1x2>0,
所以 ,
即 f(x2) f(x1),
所以函数 f(x)在[0,1]上的单调递增.
的
22 2
x b
x
+= +
3
2
− 5
6
π
5
6 6
π π≤ - 17 -
(3)由(2)得:函数 f(x)在[0,1]上的单调递增,
所以 .所以 g(θ)的最小值为 .
令 t=sinθ,所以 y 的最小值为 ,
令
解得
所以 ,
即 ,
所以
又因为 θ∈[m, ].m,b∈R,
所以 .
【点睛】本题主要考查了函数的基本性质,还考查了转化化归的思想及运算求解的能力,属
于难题.
22.已知函数 y=f1(x),y=f2(x),定义函数 f(x) .
(1)设函数 f1(x)=x+3,f2(x)=x2﹣x,求函数 y=f(x)的解析式;
(2)在(1)的条件下,g(x)=mx+2(m∈R),函数 h(x)=f(x)﹣g(x)有三个不同
的零点,求实数 m 的取值范围;
(3)设函数 f1(x)=x2﹣2,f2(x)=|x﹣a|,函数 F(x)=f1(x)+f2(x),求函数 F(
x)的最小值.
【 答 案 】 ( 1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 )
( ) ( ) 11 4maxf x f= = 1
4
2 12 2
= − + −t t 1
4
2 1 12 2 4
= − + − =t t
1 3,2 2
= =t t
1 3
2 2
≤ ≤t
1 12 sinθ≤ ≤
5,6 6
π πθ ∈
5
6
π
5
6 6
π π≤