江西省南昌市2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）

- 1 - 江西省南昌市 2020 学年高二数学上学期期末考试试题（含解 析） 一、单选题(每小题 5 分，共 60 分). 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析：求 ，将其分子、分母同乘以分母的共轭复数 ，可得 ，转化为两 个复数相乘可得 ，化简可得 ，即 ． 详解： ． 故选 C． 点睛：求两个复数相除，可先转化为分式，分子、分母同乘以分母的共轭复数，转化为 复数的乘法运算．本题意在考查复数的运算及学生的运算能力． 2.命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据全称命题的否定的性质进行求解即可. 【详解】命题“ ”的否定是 . 故选：C 【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基本题. 1 3 1 i i + =− 2 4i− − 2 4i− + 1 2i− + 1 2i− − 1 3 1 i i + − 1 i+ (1 3 )(1 ) (1 )(1 ) i i i i + + − + 2 2 1 3 3 1 i i i i + + + − 2 4 2 i− + 1 2i− + 2 2 1 3 (1 3 )(1 ) 1 3 3 1 3 3 2 4 1 (1 )(1 ) 1 2 2 i i i i i i i i i i i i i + + + + + + + + − − += = = =− − + − 1 2i= − + 2, xx R e x∀ ∈ > 2, xx R e x∀ ∈ ≤ 0 2 0 0, xx R e x∃ ∈ > 0 2 0 0, xx R e x∃ ∈ ≤ 2, xx R e x∀ ∈ < 2, xx R e x∀ ∈ > 0 2 0 0, xx R e x∃ ∈ ≤- 2 - 3.“ ”是“直线 与圆 ”相切 （ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据直线与圆相切，求得 或 ，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解. 【详解】由题意，圆 的圆心坐标为 ，半径为 ， 当直线 与圆 相切，可得 ， 即 ，整理得 ，解得 或 ， 所以“ ”是“直线 与圆 ”相切的充分不必要条件. 故选 B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答 中熟练应用直线与圆的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力， 属于基础题. 4.直线 与曲线 围成的封闭图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用定积分的几何意义，首先利用定积分表示面积，然后计算即可． 【详解】 与曲线 围成的封闭图形的面积 ． 故选 ． 【点睛】本题考查了定积分的几何意义的应用，关键是正确利用定积分表示面积，属于基础 的1c = 0x y c+ + = ( ) ( )2 22 1 2x y− + + = 1c = 3c = ( ) ( )2 22 1 2x y− + + = (2, 1)− 2 0x y c+ + = ( ) ( )2 22 1 2x y− + + = d r= 1 2 2 cd − += = 1 2c + = 1c = 3c = 1c = 0x y c+ + = ( ) ( )2 22 1 2x y− + + = y x= y x= 5 2 3 2 2 3 1 6 y x= y x= 31 2 12 00 2 1 1( ) ( ) |3 2 6S x x dx x x= − = − =∫ D- 3 - 题． 5.观察下列各式：若 则 等于(　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 找出规律：从第三项开始，每项等于前两项之和，计算得到答案. 【详解】找出规律：从第三项开始，每项等于前两项之和 故答案选 B 【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力. 6.已知点 ，F 是抛物线 焦点，M 是抛物线上的动点，当 最小时， M 点坐标是 　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题知点 A 在抛物线内．设 M 到准线的距离为|MK|，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MK|，当|MA|＋ |MK|最小时，M 点坐标是(2,4)． 7.已知椭圆 的离心率 ，则 的值为（ ） A. 3 B. 3 或 C. D. 或 【答案】B 的 1 1 2 21 3a b a b= =＋ ， ＋ ， 3 3 4 44 7a b a b= =＋ ， ＋ ，5 5 11a b = …＋ ， ， 7 7a b＋ 18 29 47 15 6 6 7 11 18a b = + =＋ 7 7 11 18 29a b = + =＋ ( )3,4A 2 8y x= MA MF+ ( ) ( )0,0 ( )3,2 6 ( )2,4 ( )3, 2 6− 2 2 15 x y m + = 10 5e = m 25 3 15 15 5 153- 4 - 【解析】 【分析】 对 m 分类讨论，分别求得 a2，b2，c2，再根据离心率可求 m. 【详解】当 m＞5 时，a2＝m，b2＝5，c2＝m﹣5，e2 ⇒m ； 当 0＜m＜5 时，a2＝5，b2＝m，c2＝5﹣m，e2 ⇒m＝3； 故选 B． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，考查了椭圆的离心率的公式，考查了分类 讨论思想，属于基础题． 8.已知函数 的图像在点 处的切线与直线 平行，则 A. 1 B. C. D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】 求出曲线 在点 处切线的斜率 ，求出函数 的导函数 ，根 据两直线平行的条件，令 ， ，求出 ； 【详解】 ，所以 ，又直线 得 斜率为 ，由两直线平行得： ，所以 故选 D 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了运算能力，属于中档题． 9.函数 不存在极值点，则 a 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 函 数 的 定 义 域 为 , 函 数 不 存 在 极 值 点 ， 即 2 2 2 5 c a = = 25 3 = 2 2 2 5 c a = = ( ) x x af x e += (1, (1))f 2 0x ey− + = a = e− e ( )y f x= ( )( )1, 1f k ( )y f x= ( )'f x 1x = ( )' 1f k= a ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1' x x xx e x a e x af x ee − + − += = ( )' 1 af e −= 2 0x ey− + = 1k e = 1 a e e −= 1a = − ( ) ( )2 lnf x x a x a R= − ∈ ( ,0)−∞ (0, )+∞ [0, )+∞ ( ,0]−∞ ( ) ( )2 lnf x x a x a R= − ∈ ( )0, ∞+ ( )f x- 5 - 在 没有实数根, ,故选 D. 10.已知函数 满足 ，在下列不等关系中，一定成立的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数 ，求导后可知 ，则 在 上单调递增，由此可得 ，整理可得结果. 【详解】令 ，则 ， 在 上单调递增 ，即 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据函数单调性比较大小的问题，关键是能够准确构造函数，利用已知不 等关系判断出导函数的符号，从而得到所构造函数的单调性. 11.设 、 分别为双曲线 （ ， ）的左、右焦点， 为双曲线右支上 任一点．若 的最小值为 ，则该双曲线离心率 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 ( ) 222 a x af x x x x =′ −= − ( )0, ∞+ 22 0, 0x a > ∴ ≤ ( )f x ( ) ( )f x f x′< ( ) ( )1 2ef f< ( ) ( )1 2ef f> ( ) ( )2 1ef f> ( ) ( )2 1ef f< ( ) ( ) x f xg x e = ( ) 0g x′ > ( )g x R ( ) ( )1 2g g< ( ) ( ) x f xg x e = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x x x x f x e f x e f x f xg x e e ′ ′− −′ = = 0xe > ( ) ( )f x f x′< ( ) 0g x′∴ > ( )g x∴ R ( ) ( )1 2g g∴ < ( ) ( ) 2 1 2f f e e < ( ) ( )1 2ef f∴ < A 1F 2F 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > P 2 1 2 PF PF 8a e (0,2) (1,3] [2,3) [ )3,+∞- 6 - 根据双曲线的定义，把式子 中的 用含 的代数式表示，最后利用基本不等式、 双曲线的性质进行求解即可. 详解】由定义知： 当且仅当 ，即 时取得等号， 即 ， 所以 ，又因为双曲线的离心率 , . 故选：B 【点睛】考查了考查了求双曲线的离心率的取值范围问题，考查了基本不等式的应用，考查 了双曲线的定义，考查了数学运算能力. 12.已知函数 ， ，若对任意的 ，都有 成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析：由题意转化为 ，求出 的最小值，将其转化为关于 的不等式 进行求解 详解：根据题意，对任意的 ，都有 即 ，恒成立 【 2 1 2 PF PF 1PF 2PF 1 2 1 22 , 2PF PF a PF a PF− = ∴ = + ( )22 2 21 2 2 2 2 2 4 4 8 a PFPF a a PF aPF PF PF + ∴ = = + + ≥ 2 2 2 4a PFPF = 2 2PF a= 2 2PF c a c a a ≥ − ∴ − ≤ 3c a≤ 3e ≤ 1e > ](1,3e∴ ∈ ( ) lnaf x x xx = + 3 2( ) 5g x x x= − + + 1 2 1, ,22x x  ∈   1 2( ) ( ) 0f x g x− ≤ a ( ],2 4ln 2−∞ − ( ],1−∞ 1 12 4ln 2, ln 22 4  − +   1 1, ln 22 4  −∞ +   ( ) ( )max minf x g x≤ ( )g x a 1 2 1 22x x  ∈  ， ， ( ) ( )1 2 0f x g x− ≤ ( ) ( )1 2f x g x≤ ( ) ( )max minf x g x≤- 7 - ，在 内先增后减 ，故 则 ， 解得 令 ，则 在区间 内， ， 递减， ，故 递减 ， 则实数 的取值范围是 故选 点睛：本题考查了不等式恒成立问题求解参数的范围问题，利用导数转化为两个函数的最值 问题，求导后进一步转化为关于 的不等式进行求解，当一阶导数不能判定符号时可以利用二 阶导数来求解，本题的方法较为重要，需要掌握． 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）. 13.函数 = 单调递减区间是_______． 【答案】（0，2） 【解析】 分析：求出函数的导数为 再解 得 ．结合函数的定义域 ，即可得到单调递减区间是 . 详解：函数 的导数为 ， 令 ，得 ∴结合函数的定义域，得当 时，函数为单调减函数． ( ) 23 2g x x x′ = − + 1 22x  ∈  ， ( ) 12 2g g  <    ( ) 1ming x = ( ) 1f x ≤ 1a xlnxx + ≤ 2a x x lnx≤ − ( ) 2h x x x lnx= − ( ) 1 2h x xlnx x−′ = − ( ) 2 3h x lnx′′ = − − 1 22     ， ( ) 0h x′′ < ( )h x′ ( )1 0h′ = ( )h x ( )2 2 4 2h ln= − 2 4 2a ln∴ ≤ − a ( ]2 4 2ln−∞ −， A a ( )f x 2lnx x− ( ) 21f x x =′ − ， ( ) 21 0f x x = − 0x y z+ + ≤ 0x y z+ + > , ,x y z 1 1 2 a b = = 1 2 − ( )'f x 1x =- 12 - 解即可； （2）研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最 后确定出最大值. 【详解】(1)f′(x)＝ －2bx， ∵函数 f(x)在 x＝1 处与直线 y＝－ 相切， ∴ 　解得 (2)由(1)知，f(x)＝lnx－ x2，f′(x)＝ －x＝ ， 当 ≤x≤e 时，令 f′(x)>0，得 ≤x