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江苏省 2020 学年度高一数学第一学期期末考试试题
一、单项选择题：本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
计算得到 ， ，再计算 得到答
案.
【详解】 ，
，则 .
故选： .
【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.
2.若 ， ，则 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量的坐标运算直接得到答案.
【详解】 .
故选： .
【点睛】本题考查了向量的坐标运算，意在考查学生的计算能力.
3.若 ，则角 的终边在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
{ }| 6 6M x Z x= ∈ − ≤ ≤ { }2| 5 6 0N x x x= − − = M N =
{ }2,3 { }1,6 { }1,6− { }2,3−
{ }6, 5, 4, 3, 2 1,0,1,2,3,4,5,6M = − − − − − − { }1,6N = − M N∩
{ } { }| 6 6 6, 5, 4, 3, 2 1,0,1,2,3,4,5,6M x Z x= ∈ − ≤ ≤ = − − − − − −
{ } { }2| 5 6 0 1,6N x x x= − − = = − { }1,6M N = −
C
( )3,4a = ( )1,5b = − 3 2a b−
( )7,22 ( )11,2 ( )11, 2− −
( )7, 22− −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 3,4 2 1,5 9,12 2,10 11,2a b− = − − = − − =
B
4α = − α- 2 -
【答案】B
【解析】
【分析】
变换得到 ，根据 得到答案.
【详解】 ， ，故角 的终边在第二象限.
故选： .
【点睛】本题考查了角的终边所在象限，属于简单题.
4.关于 的不等式 的解集为（ ）
A. 或 B. 或
C. { 或 } D. { 或 }
【答案】B
【解析】
【分析】
直接解不等式得到答案.
【详解】 ，即 ，等价于 ，故 或 .
故选： .
【点睛】本题考查了解分式不等式，意在考查学生的计算能力.
5.若函数 则 （ ）
A. B. 2 C. D. -2
【答案】C
【解析】
【分析】
直接代入数据计算得到答案.
【详解】 ， .
故选： .
( )4 2 2 4α π π= − = − + − 2 42
π π π< − <
( )4 2 2 4α π π= − = − + − 2 42
π π π< − < α
B
x 2 1x
> −
{ | 2 0x x− < < 0}x > { | 2x x < − 0}x >
1| 02x x− < < 0x > 1| 2x x < − 0x >
2 1x
> − 2 21 0x
x x
++ = > ( )2 0x x + > { | 2x x < − 0}x >
B
( ) ( )
9
1 , 1,
log ,0 1,
f x xf x x x
− ≥= < ( )0,0 ( )1,1 C
1x 2 [0, )x ∈ +∞ ( ) ( )1 2 1 2
2 2
f x f x x xf
+ + ≤
1 2 1 2
2 2
x x x x+ +≤
1 2 1 2 1 22
4 2
x x x x x x+ + +≤ ( )2
1 2 0x x− ≥ D
CD
( ) 4 2
2
2
1
x x af x x
+ += + x∈R [ , )m +∞ a m
0a = 0m = 1a = 1m = 3a = 3m = 2a =
2m =
( ) 2
2
11 1
af x x x
−= + + +
2 1 , 1x t t+ = ≥ 1ay t t
−= +
( ) ( )224 2
2
2 2 2
1 12 111 1 1
x ax x a af x xx x x
+ + −+ + −= = = + ++ + +
2 1 , 1x t t+ = ≥ 1ay t t
−= +
0a = 1y t t
= − [ )1,+∞ 1t = 0y = [ )0,y∈ +∞ A
1a = y t= [ )1,+∞ 1t = 1y = [ )1,y∈ +∞ B- 7 -
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，
错误；
当 时， 在 上单调递增， 时， ，故 ，
正确.
故选： .
【点睛】本题考查了函数的值域，根据换元利用单调性是解题的关键.
12.出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元 920 左右给出了一个关于垂直高
度为 的日晷及其投影长度 的公式： ，即等价于现在的 ，我们
称 为余切函数，则下列关于余切函数的说法中正确的是（ ）
A. 函数 的最小正周期为
B. 函数 关于 对称
C. 函数 在区间 上单调递减
D. 函数 图象与函数 的图象关于直线 对称
【答案】BC
【解析】
【分析】
画出函数图像，根据函数图像得到函数周期，单调性，对称，得到答案.
【详解】 ，画出函数图像，如图所示：
故函数的最小正周期为 ，关于 对称，区间 上单调递减.
且函数 的图象与函数 的图象不关于直线 对称.
故选： .
的
3a = 2y t t
= + )1, 2 )2, +∞ min 2 2y = C
2a = 2 1y t t
−= + [ )1,+∞ 1t = 2y = )2,y ∈ +∞
D
ABD
h s sin(90 )
sin
hs
ϕ
ϕ
°−= cots h ϕ=
coty x=
coty x= 2π
coty x= ( ),0π
coty x= ( )0,π
tany x= coty x=
2x
π=
cos 1cot sin tan
xy x x x
= = =
π ( ),0π ( )0,π
tany x= coty x=
2x
π=
BC- 8 -
【点睛】本题考查了函数的周期，单调性，对称，意在考查学生的对于函数知识的综合应用.
三、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.已知 ， 是两个不共线的向量， ， .若 与 是共线向量，则
实数 的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得到 ，代入化简得到答案.
【 详 解 】 ， ， 与 是 共 线 向 量 ， 则 ， 即
.
故 ， ，故 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力.
14.若 时函数 ， 的一条对称轴，则函数 在区间
上的单调递减区间为__________．
1e
2e
1 22a e e= −
1 2b e ke= + a b
k
1
2
−
λa b=
1 22a e e= −
1 2b e ke= + a b λa b=
( )1 2 1 22e e e keλ− = +
1 2 1 22e e e k eλ λ− = + 2, 1kλ λ= = − 1
2k = −
1
2
−
12x
π= ( ) ( )2cos 3f x x ϕ= + ( )0,ϕ π∈ ( )f x
[ , ]2
π π- 9 -
【答案】
【解析】
【分析】
根据对称轴得到 ，计算 得到答案.
【详解】 时函数 ， 的一条对称轴，
则 ，当 时， 满足条件.
取 ，解得 .
当 时， 满足条件.
故答案为： .
【点睛】本题考查了三角函数的对称轴和单调性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
15.已知 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
化简得到 得到答案.
【详解】 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了诱导公式化简，意在考查学生对于诱导公式的应用.
16.已知奇函数 满足 ，且当 时， ，若
，则实数 的值为__________．
【答案】-1
【解析】
3[ , ]2 4
π π
3
4
πϕ = 32 3 24k x k
ππ π π≤ + ≤ +
12x
π= ( ) ( )2cos 3f x x ϕ= + ( )0,ϕ π∈
, ,4 4k k k Z
π πϕ π ϕ π+ = = − ∈ 1k = 3
4
πϕ =
32 3 24k x k
ππ π π≤ + ≤ + 2 2 ,3 4 3 12
k kx k Z
π π π π− ≤ ≤ + ∈
1k = 3[ , ]2 4x
π π∈
3[ , ]2 4
π π
1sin( )6 4x
π− = 7 42sin( ) cos( )6 3x x
π π− + + =
3
4
7 42sin( ) cos( ) 3sin6 3 6x x x
π π π − + + = −
7 4 32sin( ) cos( ) 2sin sin 3sin6 3 6 6 6 4x x x x x
π π π π π − + + = − + − = − =
3
4
( )f x ( ) ( )1 1f x f x− + = − − 1 0x− < < ( ) 2 axf x e e= −
23 (ln3) 2 0f e+ = a- 10 -
【分析】
取 得到 ， ，代入化简得到
，得到答案.
【详解】 ，取 得到 ，
，故 .
，即 .
即 ， ，故 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了根据函数关系求参数值，意在考查学生的计算能力，取值 是解
题的关键.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.已知四边形 的顶点坐标为 ， ， ，且 （
）.
（1）若点 在第一象限，求实数 的取值范围；
（2）若点 为直线 外一点，且 ，问实数 为何值时，点 恰为四
边形 对角线的交点.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1） ，设点 的坐标为 ，根据 得到 ，得到答案.
（2）化简得到 ，根据 得到 ，得到答案.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
设点 的坐标为 ，则 ，
ln3 1x = − ( ) ( )ln3 ln3 2f f− = − ( ) ( )ln3 2 1,0− ∈ −
ln3 ln3 2 2a a+ = +
( ) ( )1 1f x f x− + = − − ln3 1x = − ( ) ( )ln3 ln3 2f f− = −
( ) ( )ln3 2 1,0− ∈ − ( ) ( ) ( ) ( )( )ln3 22ln3 ln3 ln3 2 af f f e e −= − − = − − = − −
( )( ) ( )ln3 2 ln3 22 2 2 23 (ln3) 2 3 2 0, 3a af e e e e e e− −+ = − − + = ∴ = ln3 2 23 a ae e +=
ln3 ln3 2 2a ae e+ += ln3 ln3 2 2a a+ = + 1a = −
1−
ln3 1x = −
ABCD ( )4, 1−A ( )3,4B ( )1, 2D − AB DCλ= 0λ >
C λ
M AC 2 3
5 5MP MA MC= + λ P
ABCD
51 2
λ< < 3
2
λ =
( )1,5AB = − C ( ),x y AB DCλ=
11
5 2
x
y
λ
λ
= −
= −
2 3AP PC= AB DCλ= AP PC= λ
( )4, 1−A ( )3,4B ( )1,5AB = −
C ( ),x y ( )1, 2DC x y= − +- 11 -
而 （ ），所以 解得
因为点 在第一象限，所以 .
（2）由 得 ，即 ，
若点 恰为四边形 对角线的交点且 （ ），
根据三角形相似得到 ，所以 .
【点睛】本题考查了向量 运算和应用，意在考查学生的应用能力.
18.（1）已知角 的终边所在直线经过点 ，求 的值；
（2）已知 （ ），求 的值.
【答案】（1）3（2）
【解析】
【分析】
（1）计算 ，再利用齐次式计算得到答案.
（2）利用方程组计算得到 ，再计算 得到答案.
【详解】（1）因为角 的终边所在直线经过点 ，所以 .
所以 .
（2）因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ， .
又因为 ，所以 .
由 ，解得 ，所以 .
的
AB DCλ= 0λ >
( )
( )
1 1,
2 5,
x
y
λ
λ
− = − + =
11 ,
5 2.
x
y
λ
λ
= −
= −
C 51 2
λ< <
2 3
5 5MP MA MC= + 2( ) 3( )MP MA MC MP− = − 2 3AP PC=
P ABCD AB DCλ= 0λ >
AP PC= λ 3
2
λ =
α ( )1,2 sin cos
sin cos
α α
α α
+
−
1sin cos 5
α α− = 0 α π< < tanα
4tan 3
α =
tan 2α =
4sin ,5
3cos .5
α
α
=
=
tanα
α ( )1,2 tan 2α =
sin cos tan 1 2 1 3sin cos tan 1 2 1
α α α
α α α
+ + += = =− − −
1sin cos 5
α α− = 2 1(sin cos ) 25
α α− = 12sin cos 25
α α =
0 α π< < 0 2
πα< < sin 0α > cos 0α >
2 49(sin cos ) 25
α α+ = 7sin cos 5
α α+ =
7sin cos ,5
1sin cos ,5
α α
α α
+ =
− =
4sin ,5
3cos .5
α
α
=
=
sin 4tan cos 3
αα α= =- 12 -
【点睛】本题考查了三角函数的化简求值，意在考查学生的计算能力.
19.已知函数 的定义域为集合 ，函数 ， 的值
域为集合 ，集合 （ ）.
（1）求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 或 .（2）
【解析】
【分析】
（1）计算得到 或 ， ，计算并集得到答案.
（2）计算 ， ，根据包含关系得到答案.
【详解】（1）由 可得： ，
所以 或 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 或 .
（2） ， ，
因为 ，所以 ，解得 .
【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，集合运算，根据集合的包含关系求参数，意在考
查学生的综合应用能力.
20.如图,天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，是世界上唯一一个桥上瞰景摩天轮，是天津的
地标之一.永乐桥分上下两层，上层桥面预留了一个长方形开口，供摩天轮轮盘穿过，摩天轮
的直径为 110 米，外挂装 48 个透明座舱，在电力的驱动下逆时针匀速旋转，转一圈大约需要
30 分钟.现将某一个透明座舱视为摩天轮上的一个点 ，当点 到达最高点时，距离下层桥面
的高度为 113 米，点 在最低点处开始计时.
( ) 2lg(2 3 2)f x x x= − − A ( ) 2xg x = ( ,2]x∈ −∞
B { }2 2| 4 3 0C x x mx m= − + < 0m >
A B
( )A B C⊆ m
1{ | 2A B x x= < − 0}x > 4 23 m< ≤
1{ | 2A x x= < − 2}x > { }| 0 4B x x= < ≤
{ }| 2 4A B x x= < ≤ { }| 3C x m x m= < <
( ) ( )2lg 2 3 2f x x x= − − 22 3 2 0x x− − >
1{ | 2A x x= < − 2}x >
( ) 2xg x = ( ,2]x∈ −∞ { }| 0 4B x x= < ≤
1{ | 2A B x x= < − 0}x >
{ }| 3C x m x m= < < { }| 2 4A B x x= < ≤
( )A B C∩ ⊆ 2,
3 4,
m
m
≤
>
4 23 m< ≤
P P
P- 13 -
（1）试确定在时刻 (单位:分钟)时点 距离下层桥面的高度 (单位:米)；
（2）若转动一周内某一个摩天轮透明座舱在上下两层桥面之间的运行时间大约为 5 分钟，问
上层桥面距离下层桥面的高度约为多少米？
【答案】（1） 米 （2） 米.
【解析】
【分析】
（1）如图，建立平面直角坐标系，以 为始边， 为终边的角为 ，计算得到答
案.
（2）根据对称性，上层桥面距离下层桥面的高度为点 在 分钟时距离下层桥面的高度，
计算得到答案.
【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系.由题可知 在 分钟内所转过的角为
，
因为点 在最低点处开始计时，所以以 为始边， 为终边的角为 ，
所以点 的纵坐标为 ，
则 （ ），
故在 分钟时点 距离下层桥面的高度 为 （米）.
.
t P H
58 55cos15 t
π− 55 358 2
−
Ox OP 15 2t
π π−
P 5
2t =
OP t
2
30 15t t
π π× =
P Ox OP 15 2t
π π−
P 55sin( )15 2t
π π−
55sin( ) 58 58 55cos15 2 15H t t
π π π= − + = − 0t ≥
t P H 58 55cos15 t
π−- 14 -
（2）根据对称性，上层桥面距离下层桥面的高度为点 在 分钟时距离下层桥面的高度.
当 时，
故上层桥面距离下层桥面的高度约为 米.
【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.
21.已知函数 （ ）
（1）若函数 为奇函数，求实数 的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式 对 恒成立，求实数 的
取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据 计算得到 ，再验证得到答案.
（2）化简得到 对 恒成立，确定函数单调递减，利用单调性得
到 对 恒成立，计算得到答案.
【详解】（1）因为 为奇函数且定义域为 ，则 ，即 ，所以 .
当 时因为 为奇函数，
P 5
2t =
5
2t = 5 55 358 55cos 58 55cos( ) 5815 15 2 2H t
π π= − = − × = −
55 358 2
−
( ) 2
1 2
x
x
kf x
−= + x∈R
( )f x k
( ) ( )2 4 0f ax f x+ − ≥ [ ]1,2x∈ − a
1k = 3 0a− ≤ ≤
( )0 0f = 1k =
( ) ( )2 4f x f ax− ≥ − [ ]1,2x∈ −
2 4 0x ax+ − ≤ [ ]1,2x∈ −
( )f x R ( )0 0f = 0
0
2 02 1
k − =+ 1k =
1k = ( )f x- 15 -
，满足条件 为奇函数.
（2）不等式 对 恒成立
即 对 恒成立，
因为 为奇函数，所以 对 恒成立（*）
在 上任取 ， ，且 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，即 ，
所以函数 在区间 上单调递减；
所以（*）可化 对 恒成立，
即 对 恒成立.
令 ，
因为 的图象是开口向上的抛物线，
所以由 有对 恒成立可得： 即
解得： ，
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.
22.对于函数 ，若存在定义域中的实数 ， 满足 且
，则称函数 为“ 类” 函数.
（1）试判断 ， 是否是“ 类” 函数，并说明理由；
（2）若函数 ， ， 为“ 类” 函数，求 的最小值.
【答案】（1）不是.见解析（2）最小值为 7.
为
( ) ( )1 2 2 1
2 1 2 1
x x
x xf x f x
−
−
− −− = = = −+ +
( )f x
( ) ( )2 4 0f ax f x+ − ≥ [ ]1,2x∈ −
( ) ( )2 4f x f ax− ≥ − [ ]1,2x∈ −
( )f x ( ) ( )2 4f x f ax− ≥ − [ ]1,2x∈ −
R 1x 2x 1 2x x<
( )
( )( )
2 11 2
1 2 1 21 2
2 2 21 2 1 2( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2
x xx x
x x x xf x f x
−− −− = − =+ + + +
2 1x x> 11 2 0x+ > 21 2 0x+ > 2 12 2 0x x− >
( ) ( )1 2 0f x f x− > ( ) ( )1 2f x f x>
( )f x ( 1, )− +∞
2 4x ax− ≤ − [ ]1,2x∈ −
2 4 0x ax+ − ≤ [ ]1,2x∈ −
( ) 2 4g x x ax= + −
( )g x
( ) 0g x ≤ [ ]1,2x∈ − ( )
( )
1 0,
2 0,
g
g
− ≤ ≤
1 4 0,
4 2 4 0,
a
a
− − ≤
+ − ≤
3 0a− ≤ ≤
a 3 0a− ≤ ≤
( )f x a b 0b a> >
( ) ( ) 2 ( ) 02
a bf a f b f
+= = ≠ ( )f x M
( ) sinf x x= x∈R M
( ) 2| log 1|f x x= − ( )0,x n∈ *n N∈ M n- 16 -
【解析】
【分析】
（1）不是，假设 为 类函数，得到 或者 ，代入验证不成
立.
（2） ，得到函数的单调区间，根据题意得到
，得到 ，得到答案.
【详解】（1）不是.
假设 为 类函数，则存在 ，使得 ，
则 ， 或者 ， ，
由 ，
当 ， 时，有 ， ，
所以 ，可得 ，不成立；
当 ， 时，有 ， ，
所以 ，不成立，
所以 不为 类函数.
（2） ，则 在 单调递减，在 单调递增，
又因为 是 类函数，
所以存在 ，满足 ，
由等式可得： ，则 ，
所以 ，
则 ，所以得 ，
( )f x M 2b a kπ= + 2b a kπ π+ = +
( ) 2
2
1 log ,0 2
log 1, 2
x xf x x x
− < ≤= − >
3 26 4 8 0b b b− − − = ( )6,7b∈
( )f x M 0b a> > sin sina b=
2b a kπ= + k Z∈ 2b a kπ π+ = + k Z∈
sin 2sin 2
a ba
+=
2b a kπ= + k Z∈ ( )sin 2sina a kπ= + k Z∈
sin 2sina a= ± sin 0a =
2b a kπ π+ = + k Z∈ sin 2sin( )2a k
π π= + k Z∈
sin 2a = ±
( )f x M
( ) 2
2
1 log ,0 2
log 1, 2
x xf x x x
− < ≤= − >
( )f x ( )0,2 ( )2,+∞
( )f x M
0 2a b< < < 2 2 21 log log 1 2 | log 1|2
a ba b
+− = − = −
( )2log 2ab = 4ab =
( )221 42 ( 4) 02 2 2
aa b a a a
−+ − = + − = >
2log 1 02
a b+ − > 2 2log 1 2 log 12
a bb
+ − = − - 17 -
从而有 ，则有 ，即 ，
所以 ，则 ，
由 ，则 ，
令 ，当 时， ，且
， ，且 连续不断，由零点存在性定理可得存在
，
使得 ，此时 ，因此 的最小值为 7.
【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数的理解能力和应用能力.
2
2 2log 1 log 2
a bb
+ + =
( )2
2 4
a bb
+=
24 8b bb
+ =
4 3 28 8 16 0b b b− + + = ( )( )3 22 6 4 8 0b b b b− − − − =
2b > 3 26 4 8 0b b b− − − =
( ) 3 26 4 8g x x x x= − − − 2 6x< < ( ) ( ) 26 4 8 0g x x x x= − − − <
( )6 32 0g = − < ( )7 13 0g = > ( )g x ( )6,7b∈
( ) 0g b = ( )0,2a∈ n
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