1.3.2 函数的奇偶性1

函数的奇偶 性 x y o x y o 观察下列两个函数图象并思考以下问题： （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？ （2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？ xx -3-3 -2-2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3 3 xx -3 -3 -2 -2 -1-1 0 0 1 1 2 2 3 3 我们得到,这两个函数图象都关于 y轴对称.从函数值对应表可以看到， 当自变量x取一对相反数时,相应的 两个函数值相同.即点(x,f(x))在图象 上,相应的点(-x,f(x))也在函数图象上。 我们能否利用函数解析式来描述函 数图象的特征呢？ y=x2 -x x 当x1=1, x2= -1时， f(-1)=f(1) 当x1=2, x2= -2时， f(-2)=f(2) 对任意x，f(-x)=f(x) 偶函数定义：如果对于函数定 义域内的任意一个x ,都有f(- x）=f(x)。那么f(x)就叫偶函数。 奇函数定义：如果对于函数定 义域内的任意一个x ,都有f(-x）= -f(x)。那么f(x)就叫奇函数。 思考:偶函数与奇函数图象有什么 特征呢? 偶函数的 图象关于 Y轴对称. 函数y=x2的图像 偶函数的图像特征 奇函数的图像特征 函数y=x3的图像 O 奇函数的 图象关于 原点对称. 例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性. y x y x y x-1 2 y x -1 1 例1.判断下列函数的奇偶性: 解:(1)对于函数 ，其定义 域为 ，因为对定义域内的 每一个x,都有 所以函数 为奇函数。 （1） （2） 先确定定义域,再 验证f(x)与f(-x)之 间的关系. (3) (2)(2)对于函数对于函数 ,,其定义域为其定义域为 {{x|xx|x 0}, 0},定义域内每个定义域内每个x,x,都有都有 故故f(xf(x))为偶函数。为偶函数。 (3)f(x)(3)f(x)定义域为定义域为R,R,定义域内每个定义域内每个xx都有都有 故故f(xf(x))为奇函数为奇函数.. （5） （4） 定义域关于原 点对称是函数具 有奇偶性的必要 条件。定义域不关于原点对称，所以 f(x)为非奇非偶函数。 解：（4） 变式：(1)若f(x)=2x呢？(2)f(x)=2x+ b呢 ？ （5） ,故函数f(x)为非奇非偶函数。 解:(1)f(x)=2x的定义域为R,其内 每个x,都有f(-x)=-f(x). 故f(x)为奇函数. (2)f(x)=2x+b的定义域为R, f(-x)=-2x+b,又f(x)=2x+b, 当b=0时,f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数; 当b 0时,f(-x) f(x),且f(-x) -f(x), 故f(x)是非奇非偶函数.. 判断函数奇偶性步骤: (1)先确定函数定义域,并判断 定义域是否关于原点对称; (2)确定f(x)与f(-x)的关系; (3)作出结论. 若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0, 则f(x)是偶函数; 若f(-x)= - f(x)或f(-x)+f(x)=0, 则f(x)是奇函数. 思考： (1)判断函数 的奇偶性. (2)如果右图是函数 图象一部分,你能根据f(x) 的奇偶性画出它在y轴 左边的图象吗? y x0f(x)是奇函数. 其图象关于原点对称.. 小结：  奇偶性定义奇偶性定义::对于函数对于函数f(xf(x),),在它的定义域内，把在它的定义域内，把 任意一个任意一个xx换成换成-x-x，，((x,-xx,-x均在定义域内）均在定义域内） ①①若有若有f(-xf(-x)=-)=-f(xf(x), ), 则则f(xf(x))叫做奇函数；叫做奇函数； ②②若有若有f(-xf(-x)=)=f(xf(x), ), 则则f(xf(x))叫做偶函数。叫做偶函数。  定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必 要条件。要条件。  性质性质: : 奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称;; 偶函数的图象关于偶函数的图象关于yy轴对称轴对称..  判断奇偶性方法：图象法，定义法。判断奇偶性方法：图象法，定义法。 思考题： 判断下列函数奇偶性. (1)f(x)=0; (2) (3)f(x)= x(1-x),(x>0) x(1+x),(x 0). 作业: 课本： 1 , 2