10.1 平方根（2）

10.1 平方根（2） 教学目标 1、会用计算器求一个数的算术平方根；理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律；2、能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值；3、体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数。    教学难点 夹值法及估计一个（无理）数的大小的思想。    知识重点 夹值法及估计一个（无理）数的大小。    教学过程（师生活动） 设计理念    情境导入 我们已经知道：正数x满足 =a,则称x是a的算术平方根．当a恰是一个数的平方数时，我们已经能求出它的算术平方根了，例如， =4；但当a不是一个数的平方数时，它的算术平方根又该怎祥求呢？例如课本第161页的大正方形的边长 等于多少呢？    问题： 究竟有多大？建议：1、先让学生思考讨论并估计大概有多大，在此基础上按书本讲解并板书．可以这样提出问题并讲解：由直观可知招大于1而小于2，那么了 是1点几呢？（接下来由试验可得到平方数最接近2的1位小数是1.4，而平方数大于2且最接近的1位小数是1.5， 大于1.4而小于1.5......这里默认了非负数a和b当a＜b时， 这里可以从 得到。2、用夹值法去逼近一个（无理）数，是一个重要的求近似数的方法，也是一种无限逼近的数学思想，教师应加以重视，让学生体验它的妙处．3、关于 是一个“无限不循环小数”要向学生详细说明．为无理数的概念的提出打下基础．归纳（提出问题）：你对正数a的算术平方根 的结果有怎样的认识呢？ 的结果有两种情：当a是完全平方数时， 是一个有限数；当a不是一个完全平方数时， 是一个无限不循环小数。   在 出现之前，学生已经知道利用乘方运算，通过观察的方法求一些完全平方数的算术平方根，但是对于像2这样的非完全平方数，如何求它的算术平方根，对学生来讲是一个新问题．    教科书给出两种求 的方法：一种是估算，一种是使用计算器．对于第一方法，教科书利用夹值的办法，夹值法是重要的有效的求近似值的方法，所以应详细讲解．    对于无限不循环小数这个概念，教学时可以适当回忆以前学生学过的数，通过比较，了解无限不循环小数的特征，为后面学习实数做铺垫。    用计算器求一个正有理数的算术平方根 例1（课本第162页的例2)用计算器求下列各式的值：   （1） （2） （精确到0.001）可按照书本讲．注意计算器的用法，指出计算器上显示的也只是近似值，但我们可以利用计算器方便地求出一个正数的算术平方根的近似值．安排学生独立解决引言中的问题，利用计算器求出 和 的值． 通过例题，使学生掌握使用计算器求算术平方根的方法，可以和上面所估计的 的大小比较。    综合应用 例2（用多媒体显示课本第163页的例3）题略．建议：1、首先要注意学生是否弄清了题意；然后分析解题思路：能否裁出符合要求的纸片，就是要比较两个图形的边长，而由题意，易知正方形的边长是20 cm，所以只需求出长方形的边长，设长方形的长和宽分别是3xcm和2xcm,求得长方形的长为3 cm后，接下来的问题是比较3 和20的大小，这是个难点，要让学生思考，充分发表自己的意见，然后再比较．2、视学生掌握知识的情况在例3前可先解决下面的问题：比较4和 ，2 和27大小． 例题给出了一个实际问题背景，学生一般会认为一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片，通过学习可以纠正学生的认识．重点使学生掌握通过平方数比较有理数与无理数大小的一种方法．    练习 课本第164页的练习（其中第2题要求不用计算器）     探究规律 课本第163页中的用计算器探究被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律．对于（1）应有如下的规律：当被开方数扩大（或缩小）100倍，10000倍…时，其算术平方根相应地扩大（或缩小）10倍，100倍…     小结与作业     课堂小结 1、被开方数增大或缩小时，其相应的算术平方根也相应地增大或缩小，因此我们可以利用夹值的方法来求出算术平方根的近似值；2、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值；3、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？4、怎样的数是无限不循环小数？     布置作业 课本第167~168页习题10.1第5、6、9、10题；      本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）       1、本节课首先提出“ 有多大”的问题，这是一个学生关注的具有挑战性的问题，也是说明引入算术平方根必要性的好问题（如果算术平方根都可以像完全平方数的算术平方根那样求得，恐怕就没有必要花那么多的精力来学习算术平方根了），所以教学中要引起重视．解决这个问题的过程体现了“数学中的无限逼近的思想”并使学生体验“无限不循环”小数的特点（学生对无限的体会没有障碍，但对不循环会因计算实际的局限无法体会，是本节课的一个疑点，教师可适当说明，不要深究）．  2、课本的例3是一个实际问题，它有两个作用：一是用算术平方根解决实际问题，二是涉及了一个有理数与一个无理数的大小比较的问题．后者提供的方法在今后的学习中会经常用到，所以要引起重视．  3、利用计算器求一个数的算术平方根是本章的一个重要教学要求，学生掌握其方法应该不成问题，但对精确度和有效数字的要求要重视，另一方面要求学生掌握被开方数的扩大和缩小与平方根的扩大和缩小之间的规律．  课题： 10.1 平方根（3） 教学目标 1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别；2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系；3、培养学生的探究能力和归纳问题的能力．    教学难点 平方根和算术平方根的联系与区别    知识重点 平方根的概念和求数的平方根。    教学过程（师生活动） 设计理念    思考归纳导入概念 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？学生思考并讨论，使学生明白这样的数有两个，它们是3和－3.受前面知识的影响学生可能不易想到－3这个数，这时可提醒学生，这里的这个数可以是负数．注意 中括号的作用．又如： ，则x等于多少呢？使学生完成课本165页的填表练习．给出平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．即：如果 =a，那么x叫做a的平方根．求一个数的平方根的运算，叫做开平方．例如： 3的平方等于9，9的平方根是 3，所以平方与开平方互为逆运算．观察：课本165页中的图10.1-2.图10.1-2中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质．让学生体验平方和开平方的互逆关系，并根据这个关系说出1,4,9的平方根．注意：这阶段主要是让学生建立平方根的概念，先不引入平方根的符号，给出的数是完全平方数．   例1：（课本165页的例4）。求下列各数的平方根。（1） 100    （2）     （3） 0.25 建议教师要规范书写格式。 这个思考题是引入平方根概念的切入点，要让学生有充分的时间进行思考和体验．    在等式中求出x的值，为填表做准备．    通过填表中的x的值，进一步加深时“两个互为相反数的平方等于同一个数”的印象，为平方根的引入做准备．    教学中可以引导学生通过查阅资料等方式，了解平方根产生发展的过程．（通常称为平方根．在研究有关n次方根的问题时，为使各次方根的说法协调起见，常采用二次方根的说法． 3表示＋3和一3两个数．这种写法学生不太习惯，在以后的教学中宜不断提到。通过此例使学生明白平方根可以从平方运算中求得，并能规范地表述一个数的平方根．这个例题也为后面探讨平方根的特征做好准备．    讨论归纳深化概念 按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？建议：可引导学生通过观察 =a中的a和x的取值范围和取值个数得出．根据上面讨论得出的结果填课本166页的表．注：学生刚开始接触平方根时，有两点可能不太习惯，一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，这与学生过去遇到的运算结果惟一的情况有所不同，另一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，这种某数不能进行某种运算的情况在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中一般不会遇到(0作除数的情况除外）．教学时，可以通过较多实例说明这两点，并在本节以后的教学中继续强化这两点．引入符号：正数a的算术平方根可用 表示；正数a的负的平方根可用- 表示．例如……思考： 表示什么意思，这里的x可取什么样的数呢？而对于 又该怎样理解呢？这里的x又可取什么样的数呢？ 通过讨论，使学生对有理数的平方根有一个全面的认识．也是平方根概念的进一步深化．   体验分类思想，巩固平方根概念．   加深对符号意义的理解和对平方根概念的灵活应用．   测试学生对平方根概念的掌握情况．    应用 例2  下列各数有平方根？如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由。－64、0， ， 如果有要用平方根的符号来表示。例3：课本第166页的例5，求下列各式的值。（1） ，（2）－ ，（3） （4） ， 建议：要让学生明白各式所表示的意义；根据平方关系和平方根概念的格式书写解题格式。平方根和算术平方根的概念是本章重点内容，两者既有区别又有联系．区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根，因此我们可以利用算术平方根来研究平方根．思考：－ 的值是多少？ 熟练应用平方根的概念，计算有关算式的值，是本课的主要内容。 被开方数不是完全平方数时，可用计算器求出它的近似值    练习巩固 课本第167页的练习小结：1、 什么叫做一个数的平方根？2、 正数、0、负数的平方根有什么规律？3、 怎样求出一个数的平方根？数a的平方怎样表示？     小结与作业     布置作业 教科书第167页习题10.1第3、4、7、8、11、12题。     本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）       2、本课主要是在算术平方根的基础上建立平方根的概念，要以等式 =a和已有算术平方根概念为基础，并使学生明确平方根与算术平方根之间的联系与区别，明确开平方与平方之间的互逆关系，把握了这些平方根的有关概念，正数、零、负数的平方根的规律也就不难掌握了．   2、有关求算式的值的问题，一定要使学生体会到这个算式所表示的具体意义，这样才能使学生在本质上掌握其求法．